Número de casas decimais e de algarismos significativos
A maneira que o resultado de uma medida é numericamente escrito contém
informação a respeito da precisão da medida. É através do número de casas
decimais e de algarismos significativos que entendemos o que a grafia de um
número tem a dizer sobre a precisão com que a medição foi efetuada. Além
de apresentar ilustrações numéricas desses fatos, aqui também descrevo as regras práticas para somar, subtrair, multiplicar e dividir valores com diferentes
números de algarismos significativos e casas decimais.
Quando você mede o comprimento de algum objeto utilizando uma régua
usual, daquelas de trinta centímetros, você consegue ler até o número de milímetros do objeto, mas tem dificultade para ler, com certeza, frações de milímetro.
Por exemplo, com uma régua assim você pode medir um pequeno objeto e descobrir que seu comprimento tem cerca de 2, 2 cm ou 22 mm. Eu digo que o
comprimento é cerca de 2, 2 cm, e não 2, 2 cm exatamente, porque geralmente
a nossa leitura é aproximada, isto é, escrevemos 2, 2 cm quando o tamanho do
objeto fica próximo dessa marcação na régua, talvez um pouquinho mais ou
um pouquinho menos do que essa marcação. Não há, em uma régua comum,
mais subdivisões para frações de milímetro. Então, quando indicamos o comprimento do objeto escrevendo 2, 2 cm, já está implícito o fato de que o número
é aproximado.
O significado, para alguém que lê, de 2, 2 cm é que o comprimento exato deve
estar entre 2, 15 cm (inclusive) e 2, 25 cm (exclusive), isto é, o comprimento exato
fica no intervalo, em centímetros, [2, 15; 2, 25) . Assim, a expressão numérica
de que um certo comprimento é escrito como 2, 2 cm quer dizer, na verdade,
que o comprimento exato fica em um intervalo de possíveis valores, não sendo,
portanto, determinado. Nesse caso, dizemos que há apenas dois algarismos
significativos no valor escrito como 2, 2 cm.
Utilizando um instrumento com maior precisão, como um paquímetro, por
exemplo, poderíamos obter uma casa decimal a mais no valor do comprimento do
objeto acima. Por exemplo, poderíamos descobrir que o comprimento fica mais
próximo de 2, 18 cm. Nesse caso, o significado dessa grafia é que o comprimento
exato está entre os valores 2, 175 cm (inclusive) e 2, 185 cm (exclusive) e há três
algarismos significativos nessa medida.
Suponha agora que temos dois comprimentos, de dois objetos diferentes, mas
que foram medidos com instrumentos diferentes, um com precisão maior do que
a do outro. Digamos também que os comprimentos assim obtidos são 5, 1 cm e
3, 16 cm. Somando ingenuamente esses dois valores, obtemos 8, 26 cm. Mas a
soma desses comprimentos deve ter uma ou duas casas decimais? Ora, embora
3, 16 cm nos dê duas casas decimais, o número 5, 1 cm nos dá uma só. Então,
nesse caso, a soma só pode ter duas casas decimais, pois a segunda casa depois
da vírgula de 5, 1 cm é incerta e, somada com 0, 06 cm, que é o significado da
segunda casa depois da vírgula de 3, 16 cm, dá um número incerto também.
Logo, o que é significativo, para a soma, é 8, 3 cm, onde já arredondamos o
1
resultado anterior, 8, 26 cm, para uma só casa decimal. O mesmo fazemos na
subtração, isto é, tirando 3, 16 cm de 5, 1 cm dá, ingenuamente, 1, 94 cm, que,
com arredeondamento para uma só casa decimal depois da vírgula, dá 1, 9 cm.
Note que o arredondamento sempre é feito depois de todas as operações.
Para multiplicação, o número de algarismos significativos do produto resultante deve ser igual àquele do fator com menor número de algarismos significativos. Por exemplo, tomando 5, 1 cm multiplicado por 3, 16 cm dá, ingenuamente, 16, 116 cm2 . Mas, uma vez que o fator com menor número de algarismos significativos é 5, 1 cm, então devemos arredondar o resultado ingênuo,
16, 116 cm2 , para ter apenas dois algarismos significativos também. Para isso,
2
arredondamos o resultado para 16 cm .
Na divisão, a regra é a mesma que na multiplicação, isto é, na divisão, o
número de algarismos significativos do quociente resultante deve ser igual ao do
numerador, se menor do que o do denominador, ou igual ao do denominador,
se menor do que o do numerador. Assim, por exemplo, a divisão de 5, 1 cm
por 3, 16 cm dá, ingenuamente, 1, 6139240 . . ., adimensional, já que o cm do
numerador é cancelado pelo cm do denominador. Como só podemos ter dois algarismos significativos, como em 5, 1 cm, que é o numerador neste caso, devemos
arredondar o quociente resultante para 1, 6.
Você pode se perguntar de onde vêm as regras acima. Para responder isso,
observe o que acontece com a incerteza no algarismo que deixamos de escrever
em cada termo, no caso de uma soma. Por exemplo, como acima, 5, 1 + 3, 16,
em centímetros, quer dizer algo assim, aproximadamente,
5, 1 + α × 10−2 + 3, 1 + 6 × 10−2 ,
onde α é um algarismo incerto, mas que fica entre −5 (inclusive) e 5 (exclusive).
Então, somando, esse resultado dá, em termos de potências de 10,
8, 2 + (6 + α) × 10−2 .
isso quer dizer que o resultado pode estar entre os valores
8, 2 + 1 × 10−2 = 8, 21
(inclusive), quando α = −5, e
8, 2 + 11 × 10−2 = 8, 2 + 0, 11 = 8, 31
(exclusive), quando α = 5. A média aritmética desses dois resultados dá
8, 21 + 8, 31
2
=
8, 26,
que, arredondado para uma só casa decimal, dá 8, 3, como a regra diz. Não
dá para escrever esse número com mais do que uma casa decimal, porque as
distâncias à media são ±0, 05, obtidas de 8, 21 − 8, 26 = −0, 05 e 8, 31 − 8, 26 =
0, 05, o que implica, como vimos acima, em incerteza na segunda casa decimal.
É óbvio que na subtração acontece a mesma coisa.
2
Na multiplicação, temos, analogamente,
5, 1 + α × 10−2 × (3, 16) ,
que dá
16, 116 + 0, 0316α.
Note que o produto resultante dá um número entre
16, 116 − 5 × 0, 0316
=
16, 116 − 0, 158 = 15, 958
=
16, 116 + 0, 158 = 16.274
(inclusive), quando α = −5, e
16, 116 + 5 × 0, 0316
(exclusive), quando α = 5. A média aritmética desses dois números é dada por
15, 958 + 16.274
2
=
16, 116.
Aqui, as distâncias à média são obtidas de 15, 958−16, 116 = −0, 158 e 16, 274−
16, 116 = 0, 158, dando, portanto, ±0, 158, que já modificam a primeira casa
decimal. Logo, não podemos deixar o resultado escrito com casa decimal alguma
e escrevemos apenas 16. Assim, na multiplicação, temos apenas dois algarismos
significativos, conforme a regra explicada acima.
De maneira análoga, na divisão temos, por exemplo,
5, 1
0, 01
5, 1 + α × 10−2
=
+
α = 1, 613924 . . . + α × 0, 00316455 . . . ,
3, 16
3, 16 3, 16
o que fornece
5, 1 + α × 10−2
= 1, 613924 . . .−5×0, 00316455 . . . = 1, 613924 . . .−0, 01582275,
3, 16
isto é,
5, 1 + α × 10−2
= 1, 59810125 . . .
3, 16
(inclusive), quando α = −5, e
5, 1 + α × 10−2
= 1, 613924 . . .+5×0, 00316455 . . . = 1, 613924 . . .+0, 01582275,
3, 16
isto é,
5, 1 + α × 10−2
= 1, 62974675 . . .
3, 16
(exclusive), quando α = 5. A média aritmética desses dois números dá
1, 59810125 . . . + 1, 62974675 . . .
2
3
=
1, 613924 . . .
e as distâncias à média são 1, 59810125 . . . − 1, 613924 . . . = −0, 01582275 . . .
e 1, 62974675 . . . − 1, 613924 . . . = 0.01582275 . . . , isto é, ±0.01582275 . . ., que
já modificam a segunda casa decimal. Logo, nosso resultado deve ser escrito
com apenas uma casa decimal, ou seja, aproximamos a média acima por 1, 6.
Como na multiplicação, temos apenas dois algarismos significativos na divisão
também, de acordo com a regra mencionada no começo desta postagem.
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