UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
NOTAS SOBRE FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA
para o Curso de EPGI
Paulo Jorge Pimentel de Oliveira
(Janeiro 1998)
Departamento de Engenharia Electromecânica
Universidade da Beira Interior, 6200 Covilhã, Portugal.
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Conteúdo
1. Equações diferenciais
ì Teorema de transporte de Reynolds ...3
ì Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade...3
ì Equação da conservação da quantidade de movimento ...3
ì Equação de conservação da energia interna ...5
ì Equação de transporte para uma variável 9 conservativa ...6
´
2. Equações integrais (ou macroscopicas)
para um volume de controlo
ì Conservação de massa ...7
ì Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças) ...7
ì Conservação da energia total (interna  cinética  potencial) ...7
ì Conservação da energia mecânica (equação de Bernoulli; fluido incompressível...8
3. Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas)
3.1 Perdas de carga em linha ...8
3.2 Perdas de carga pontuais ...10
4. Transmissão de calor
4.1 Leis básicas ...11
4.2 Transferência de calor por condução ...13
4.2.1 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior ...13
4.2.2 Caso de várias cascas cilíndricas... 14
4.2.3 Caso de várias calotes esféricas ...15
4.2.4 Raio crítico de isolamento cilíndrico ... 16
Þ
4.2.5 Cilindro com fontes de calor internas q@ ... 16
4.3 Transferência de calor por convecção ... 17
4.3.1 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos ... 18
4.3.2 Convecção natural ... 20
5. Exames resolvidos
Teste de 30/1/1998 ... 21
Exame de 16/2/1998 ... 32
Bibliografia
Transport Phenomena, R.B. Bird, W.E. Stewart e E.N. Lightfoot, (1960) John Wiley.
Engineering Thermodynamics - Work & Heat Transfer, G.F.C. Rogers and Y.R.
Mayhew, (1967) Longman.
Fenómenos de Transporte- Quantidade de Movimento, Calor e Massa, C.O Bennett e
J.E. Myers, (1978) McGraw -Hill.
2
3
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
1. Equações diferenciais
ì Teorema de transporte de Reynolds
Para uma propriedade genérica por unidade de massa 9, definida num volume de
controlo V e para um campo de velocidades u, tem-se:
` 39
D '
39 dv œ ' Ð ` t  f † 39u Ñ dv
Dt V
V
(1)
Nota: a derivada substantiva, ou derivada seguindo o movimento, é dada por:
D9
`9
œ
 u † f9
Dt
`t
(2)
Em coordenadas Cartesianas, com notação indicial, fica:
D9
`9
`9
œ ` t  u4 ` x ´
Dt
4
`9
`9
`9
`9
 u `x  v `y  w `y
`t
(3)
onde (u,v,w) são as componentes da velocidade segundo os eixos (x,y,z).
ì Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade:
A massa duma determinada porção de meio contínuo conserva-se, ou seja:
D
D
m œ Dt ' 3dv œ 0
Dt
V
Ê
`3
 f † 3u œ 0
`t
(4)
onde se usou o teorema do transporte de Reynods. Usando a definição de DÎDt, esta
equação pode ainda escrever-se:
D3
œ  3f†u
Dt
(5)
Para um fluido incompressível, 3 é constante ao longo do movimento, e a equação da
continuidade fica:
f†u œ 0
(que também pode ser escrita como divu œ 0)
(6)
ì Equação da conservação da quantidade de movimento (ou do momentum)
A segunda lei de Newton diz que a taxa de variação temporal da quantidade de
movimento (mu) é igual às forças aplicadas. Para uma porção de meio contínuo contida
num volume V, a lei de Newton fica:
D '
3u dv œ ' T ds  ' 3f dv
Dt V
V
S
4
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
onde T são as forças de superfície (S é a superfície que envolve V) e f é a força por
unidade de massa que actua dentro de V (por vezes designada força “volúmica” sendo
devida a um campo de forças externo, em contraste com as forças de superfície que são
internas ao meio); normalmente f é a força da gravidade, g. A força T actuando numa
superfície com normal unitária n pode exprimir-se em termos do tensor das tensões 5
como:
T œ n † 5 (ou, em componentes: T3 œ n4 543 œ 534 n4 , pois 5 é simétrico)
Aplicando o teorema de Reynolds e o de Gauss (' n † 5 ds œ ' f † 5 dv ), obtem-se:
S
(7)
V
` 3u
 f † Ð3u uÑ œ f † 5  30
`t
(8)
que se pode também escrever, usando a equação da continuidade:
Du
(9)
3 Dt œ f † 5  30
Em problemas de mecânica de fluidos é usual separar o tensor das tensões numa parte de
pressão mais uma parte de tensões viscosas:
5 œ p$  7
(10)
($ é o tensor unitário, sendo $34 œ 0, se 3 Á 4, ou œ 1, se 3 œ 4), pelo que a equação da
conservação da quantidade de movimento fica:
Du
3 Dt œ  fp  f † 7  30
(11)
Para um fluido Newtoniano (como o ar, ou a água) as tensões viscosas são dadas por uma
equação constitutiva linear nos gradientes de velocidade, do tipo:
2
7 œ . Ðfu  fuT Ñ  3 . Ðf † uÑ $
(12)
onde . é a viscosidade dinâmica e T denota o tensor transposto. Substituindo na Eq. (11),
para . constante, obtêm-se as equações de Navier-Stokes que, conjuntamente com a
equação da continuidade, governam o movimento dum fluido Newtoniano
incompressível:
Du
3 Dt œ  fp  .f# u  30
(13)
5
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
ì Equação de conservação da energia interna E
A primeira lei da termodinâmica diz que a taxa de variação da energia total dum sistema
Þ
Þ
µ
é igual ao taxa de trabalho e de calor que entram através da fronteira, DE ÎDt œ W  Q.
µ
A energia total é E œ E  E5  E: : energia interna  cinética  potencial, mas na
dedução que se segue a energia potencial é contabilizada separadamente através das
forças volúmicas f. Aplicando este princípio a um volume V, e não esquecendo de
contabilizar todas as formas de potência que actuam sobre V, tem-se:
D '
#
' T † u ds  ' 3f † u dv  '  qÞ † n ds  ' qÞ @ dv
3
Ð
e

u
Î
2
Ñ
dv
œ
Dt V
V
V
S
S
O primeiro termo do lado direito da equação representa a potência (força vezes
velocidade) das forças de superfície (aquelas que actuam na superfície S que rodeia o
´
volume V); o segundo termo representa a potência das forças volumicas;
o terceiro termo
Þ
representa o fluxo de calor por condução q que entra em V através da superfície S (o
termo é negativo porque a normal considera-se positiva a sair de V); o último representa
eventuais fontes volumétricas de calor (por exemplo, produção interna de calor por efeito
de Joule, ou por reacção química, etc). Utilizando os teoremas de Reynolds e de Gauss, a
definição de T por meio do tensor das tensões, a equação da conservação da quantidade
de movimento, e a lei de Fourier para especificar o fluxo de calor por condução:
Þ
q œ  kfT
(lei de Fourier para condução de calor)
(14)
onde k é a condutividade térmica, [W/mK], e T a temperatura, obtem-se finalmente a
equação da conservação da energia interna específica (e œ E/m):
Þ
De
3 Dt œ f † ÐkfTÑ  q@  5 À fu
(15)
Para um fluido Newtoniano fica:
Þ
De
3 Dt œ f † ÐkfTÑ  q@  pÐf † uÑ  3 F
(16)
onde a função de dissipação F œ 2.ÐDÀ D  Ðf † uÑ# Î3Ñ (com D ´ "# Ðfu  fuT Ñ
denotando o tensor das deformações) é um termo sempre positivo que representa a
dissipação viscosa (transformação de energia interna em calor devido a irreversibilidades
associadas com fricção interna por viscosidade). Este termo é pequeno em muitos casos
podendo ser desprezado. Em escoamentos a alta velocidade torna-se importante e para
velocidades usuais só é importante quando a viscosidade do fluido é elevada. Para fluidos
incompressíveis a equação da continuidade implica que o termo  pdivu se anula.
A equação de conservação da energia interna pode ainda exprimir-se em termos de
entalpia,
6
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
h œ e  pÎ3
Dh
De
Dp
p D3
Ê 3 Dt œ 3 Dt  Dt  3 Dt
ficando:
Dp
Þ
Dh
3 Dt œ f † ÐkfTÑ  q@  Dt  3 F
(17)
Relembra-se que para um gás perfeito se tem:
Dh œ c: DT e De œ c@ DT
onde c: e c@ são os calores específicos a pressão e volume constantes, respectivamente.
´
Para um fluido incompressível, ou um solido,
tem-se c: œ c@ ´ c (calor específico).
ì Equação de transporte para uma variável 9 conservativa
A equação de transporte para uma propriedade que se conserva pode, em geral, escreverse:
' Ð ` 39 Ñ dv œ  ' J9 † n ds  ' S9 dv
`t
V
S
Ê
V
` 39
 f † ÐJ9 Ñ œ S9
`t
(18)
exprimindo o facto que o aumento temporal da propriedade 9 dentro do volume V resulta
do fluxo total de 9 que entra em V através da superfície S (lembrar que o vector normal n
está a sair de V, por isso o sinal negativo) mais eventuais fontes internas de 9 por
unidade de volume, S9 .
O fluxo total de 9 (por unidade de área e de tempo) pode ser separado num fluxo
convectivo (transporte pelo movimento do meio contínuo, proporcional à
velocidade ‚ densidade) e num fluxo difusivo (transporte por vibrações a nível
molecular, proporcional ao gradiente da quantidade transportada), assim:
J9 œ Ð3u9Ñ  Ð  >9 f9Ñ
(19)
onde >9 é o coeficiente difusivo de 9. Substituindo na Eq. (18), a equação de transporte
fica:
` 39
 f † Ð3u9Ñ œ f † Ð>9 f9Ñ  S9 .
`t
(20)
É de reparar que qualquer das equações dadas anteriormente pode ser vista como
resultante desta equação geral de transporte, desde que se faça a escolha acertada de 9 ,
>9 e S9 . Por exemplo, para a energia interna, basta considerar 9 œ c@ T e >9 œ kÎc@ e
incorporar todos os termos restantes no termo fonte S9 .
7
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
´
2. Equações integrais (ou macroscopicas)
para um volume de controlo
ì Conservação de massa:
dm@Þ
Þ
œ !m3  !m/
dt
/
3
(21)
Þ
Þ
onde m3 e m/ são os caudais mássicos nas entradas e nas saídas do volume de controlo
Þ
VC, respectivamente. Lembrar que um caudal mássico é dado por m œ 3uA (onde 3 é a
densidade do fluido, A é a área de passagem e u a velocidade normal a A; em geral, em
Þ
termos vectoriais, será m œ 3u † A). Em problemas com fluidos incompressíveis (água,
por exemplo) é comum usar-se o caudal volúmétrico:
Þ
Q@ œ A u [m$ Îs]
Þ
Þ
com m œ 3Q@
(em tubos circulares, A œ 1d# Î4).
Em regime estacionário (quando não há variações temporais) temos simplesmente
que a soma dos caudais à entrada do VC é igual à soma dos caudais à saída:
Þ
Þ
!m
!m
3 œ
/
3
(22)
/
ì Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças):
dP@Þ
Þ
œ !m3 u3  !m/ u/  !p3 A3  !p/ A/  F  m@- g
dt
/
/
3
3
(23)
onde a quantidade de movimento do VC é denotada P œ ' 3u@- dv œ m@-
u @- ( traço
@-
representa um valor médio). A equação acima expressa a segunda lei de Newton aplicada
ao VC: a taxa de aumento da quantidade de movimento dentro do VC resulta de fluxos de
quantidade de movimento que entram associados com fluxos mássicos (menos os que
saiem), a que se somam as forças de pressão aplicadas nas entradas (menos a saídas),
mais a força total exterior F aplicada sobre a superfície do VC, mais as forças internas
por unidade de massa (tipicamente, o peso devido ao campo da gravidade).
Em regime estacionário o termo dPÎdt anula-se.
ì Conservação da energia total (interna  cinética  potencial):
µ
dE @Þµ
œ !m3 h
dt
3
3
Þ
Þ
Þ
Þ µ
 !m/ h /  W  Q  W=-
(24)
/
expressando o facto que o aumento da energia total dentro do volume de controlo
µ
(E @- œ E@-  E5  E: ; com E5 œ "# m@- u#@- e E: œ m@- gz@- , z= altura acima nível de
µ
referência) é devido a entrada de entalpia total (h œ h  gz  u# Î#) associada aos fluxos
8
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
mássicos (menos saída),
mais entrada através da fronteiraÞ do VC de trabalho ao eixo por
Þ
unidade de tempo (W) e de calor por unidade de tempo
(Q), mais eventualmente trabalho
Þ
devido a deslocamento da superfície de controlo (W=- œ  p=- dV@- Îdt). Se denotarmos
µ
Þ
Þ
µ
Þµ
H œ !mh , para o caso do regime estacionário (dE Îdt œ W=- œ 0) a conservação de
energia fica:
µ
µ
Þ
Þ
Þ
Þ
H3  W  Q œ H/
Í energia que entra œ energia que sai
ì Conservação da energia mecânica (equação de
incompressível)
Ao longo duma linha de corrente entre os pontos " e #, tem-se:
u#"
u##
p"
p#


gz

w
œ

 gz#  e@"#
"
"#
2
2
3
3
Bernoulli;
(25)
fluido
(26)
onde e@"# representa a dissipação devida aos efeitos viscosos no fluido (perda de carga)
entre os pontos " e #, e w"# representa o trabalho ao eixo, por unidade de massa,
eventualmente fornecido entre os pontos " e # (por exemplo, por uma bomba hidráulica
ou um ventilador).
3. Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas)
As perdas de carga separam-se em:
ì perdas de carga em linha (e@"# )  ocorrem ao longo dum tubo, devido ao atrito
nas paredes;
ì perdas de carga pontuais (e@4 )  ocorrem em dispositivos existentes em
determinados pontos duma linha (por ex. torneiras, cotovelos, curvas, expansões,
contrações, válvulas, etc).
3.1 As perdas de carga em linha calculam-se por meio de coeficientes de atrito
definidos como:
7
f ´ 1Î2A3u# (adimensional)
(27)
onde 7A é a tensão de corte existente na parede do tubo. Esta tensão na parede pode ser
relacionada com a perda de pressão existente entre duas secções dum tubo cilíndrico de
diametro d e comprimento L. A equação do balanço de quantidade de movimento reduzse a:
9
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
força de pressão œ força de atrito na parede Ê
1d#
L
Ê Ðp"  p# Ñ 4
œ 7A Ð1dL) Ê ?p œ 7A 4 d
com ?p ´ p"  p# . A equação de Bernoulli, assumindo um tubo horizontal de secção
constante (u" œ u# ) e sem que haja fornecimento de trabalho, reduz-se a:
?p œ 3 e@"#
(28)
e portanto a perda de pressão devida à fricção é:
L
L
?p œ 3 e@"# œ 7A 4 d œ fÐ 12 3 u# Ñ4 d
Ê
L u#
e@"# œ 4f d 2
Ê
[J/kg]=[m# Îs# ]
(29)
´
Os valores de f dependem do regime dinâmico (laminar ou turbulento), do numero
de
Reynolds (Re œ 3udÎ.) e do valor da rugosidade da parede dos tubos (%Îd), e são
normalmente obtidos de correlações empíricas ou de gráficos (o famoso diagrama de
Moody). Para tubos lisos, em regime laminar, as equações de Navier-Stokes permitem
obter a expressão que dá a variação da velocidade na secção do tubo de raio R,
u(r)Îu! œ 1  ÐrÎRÑ#
e permitem ainda relacionar o valor máximo da velocidade
no eixo do tubo, u! , com o
Þ

 ; de notar que este 
valor médio na secção, u (o caudal volumétrico é Q@ œ Au
u
´
corresponde ao u usado na eq. de Bernoulli e nos balanços macroscopicos):
u! œ 2 
u .
Deste modo o valor da tensão de corte na parede pode ser calculado, de 7A
œ  Ð.` u(r)Î` rÑ<œV , e consequentemente o coeficiente de fricção:
16
f œ Re .
(30)
(Chama-se a atenção de que em alguns livros se usa um coeficiente de fricção igual a 4
vezes o aqui definido)
Para regime turbulento (Re  2000 em tubos lisos), o coeficiente de fricção não pode
ser obtido analiticamente. Existem algumas correlações empíricas ou semi-empíricas (ver
´
nas Tabelas dadas). Uma das mais usadas, para tubos lisos, é a formula
de Blasius:
f œ
0.0791
Re"Î%
(válida para 2300<Re<10& ).
(31)
10
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
No caso de tubos rugosos (altura da rugosidade % [m]) uma expressão que aproxima (erro
1%) o diagrama de Moody, podendo-o substituir nos cálculos, é:
f œ
0.331
ÐlnÐ%Î3.7d  5.74ÎRe!Þ* ÑÑ#
(válida para 5000 Ÿ Re Ÿ 10) , 10' Ÿ %Îd Ÿ 10# )
Valores típicos de altura de rugosidade para materiais comuns em tubagens:
% [mm]
Aço rebitado
0.9  9.
Betão, Concreto
0.3  3.
Madeira
0.18  0.19
Ferro fundido
0.25
Ferro galvanizado
0.15
Ferro fundido asfaltado
0.12
Aço comercial ou
ferro forjado
0.046
Tubo soprado
0.0015
Para escoamento de tipo camada-limite sobre placa plana lisa, alinhada com o eixo dos x,
´
e sendo o numero
de Reynolds local agora definido como ReB œ 3u_ xÎ. (u_ é a
velocidade constante longe da placa= velocidade não perturbada, a infinito), os
coeficientes locais (em x) de fricção são dados por:
fB œ
0.664
"Î#
ReB
(escoamento laminar, para ReB  5 10& )
(32)
sendo o valor médio de x=0 até x=x, dado por f œ 2fB ; e
fB œ
0.0592
Re!Þ#
B
(escoamento turbulento, para ReB  5 10& ).
(33)
3.2 Para as perdas de carga pontuais define-se um factor de perda de carga em
termos da energia cinética a jusante (depois) da perturbação como:
u#4
e@4 ´ K 2
(34)
onde 4 é um índice que denota a perturbação localizada. Valores de K podem ser
encontrados em tabelas especializadas. Alguns valores, válidos para escoamento
turbulento, são dados de seguida.
Tipo de obstáculo
K (u jusante)
11
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Entrada arredondada para tubo
Entrada com tubo a re-entrar
´
Contracção subita
‡
´
Expansão subita
0.05
1.0
0.45Ð1  " )
1
Ð "  1)#
Oríficio (quinas não-arredondadas)
2.7Ð1  " ÑÐ1  " # ÑÎ" #
Cotovelo a 90° (redondo)
0.4  0.9
Cotovelo a 90° (quadrado)
1.3  1.9
Cotovelo a 45°
0.3  0.4
T standard
1.8
Válvula tipo globo (aberta)
6  10
Válvula tipo "gate" (aberta)
0.2
Válvula de canto (aberta)
5
Válvula de controlo “swing check" (aberta)
2.5
(Nota: " œ área menorÎárea maior; ‡ para " œ 0, K œ 1 com u4 a montante)
Em geral, o cálculo da variação de pressão entre a entrada e a saída de uma linha de
condutas, faz-se aplicando a equação de Bernoulli (Eq. 26) e calculando o termo de perda
de carga como:
#
L u
e@"# œ !4f d 3 23
3
3
4
 ! K4 2
4
u#
(35)
onde a soma em 3 representa a perda de carga em linha, para cada troço 3, e a soma em 4
representa a perda de carga localizada, em cada elemento 4 (ligações, válvulas, etc).
4. Transmissão de calor
4.1 Leis básicas
A transferência de calor de um ponto " para um ponto # pode fazer-se por:
´
ì Condução - fenomeno
difusivo devido a vibrações que se propagam a nível
molecular; ocorre sobretudo em sólidos e, em menor grau, em líquidos. Tem de existir
um gradiente de temperatura e o fluxo de calor obedece à lei de Fourier (Eq. 14) que no
caso unidimensional fica:
Þ
dT
q œ  k dx
(36)
Se a condutividade térmica k for constante, esta expressão pode integrar-se, ficando:
Þ
ÐT" T# Ñ
Þ
Þ
q œ kÐT"  T# ÑÎ$ x [W/m# ], ou Q œ Aq œ Ð$ xÎkAÑ
(37)
12
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Aqui $ x é a distância entre 1 e 2, e A é a área de passagem (perpendicular ao fluxo de
calor). Usa-se muitas vezes uma analogia com a lei de Ohm da electricidade (V œ eI): a
diferença de potencial corresponde a diferença de temperaturas, sendo o factor que
provoca o fluxo térmico, Þ V ´ ?T; a corrente eléctrica corresponde à taxa de
transferência de calor, I ´ Q; consequentemente, a resistência térmica, para este caso
unidimensional plano, fica:
$x
e œ kA
[K/W]
(38)
´
ì Convecção  transporte devido ao movimento (macroscopico)
do meio; ocorre
dentro de fluidos (líquidos ou gases) que se movem segundo um certo campo de
velocidades u. O fluxo convectivo de energia interna é, em geral, dado pelo primeiro
termo do lado direito da Eq. (19), 3ue (e œ c@ T). Um problema com convecção é mais
complicado do que um problema so´ com condução, pois requer o conhecimento do
campo de velocidades (que pode depender, por sua vez, do campo de temperaturas). As
equações diferenciais fundamentais que governam o transporte convectivo (Eqs. 6, 13 e
16) são muito mais complicadas do que a equação que governa o transporte por condução
(Eq. 41, abaixo). Por isso recorre-se frequentemente a expressões empíricas que
fornecem o coeficiente de transmissão de calor por convecção, h, definido como:
Þ
Þ
q œ hÐT"  T# Ñ (normalmente escreve-se q œ hÐTA  T_ Ñ)
(39)
chamada a lei de Newton da convecção. Na equação entre parêntises assume-se que o
fluxo de calor convectivo é transferido duma parede quente à temperatura TA (A œ wall)
para um fluido que está a uma temperatura (a infinito) T_ .
ì Radiação - propagação de energia por ondas electromagnéticas com um
determinado comprimento de onda (na radiação térmica). A radiação ocorre mesmo
através do vácuo (isto é, ao contrário da condução e da convecção, não é necessária a
´
presença dum meio, solido
ou fluido, para que se dê a transferência de energia). Uma
outra diferença é que as equações que governam a transferência de energia por radiação
são do tipo integral, enquanto as equações da condução e convecção são diferenciais. A
lei de Stefan-Boltzmann da radiação diz que a energia emitida por um corpo negro
(corpo ideal que radia toda a energia que recebe) é proporcional à quarta potência da
temperatura absoluta do corpo. Para um corpo não ideal, chamado corpo cinzento, o valor
do fluxo de calor trocado por radiação é reduzido por um coeficiente empírico, a
emissividade % (ver valores em Tabelas), ficando:
q< œ %" 5 ÐT%"  T%# Ñ
(40)
onde a constante de Stefan-Boltzmann é 5 œ 5.67 10) W/m# K% . A Eq. (40) pode ser rearranjada de forma a aparecer um coeficiente de troca de calor por radiação:
h< ´ %" 5 ÐT"2  T#2 ÑÐT"  T# Ñ com q< œ hr ÐT"  T# Ñ.
13
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Em problemas que involvam simultaneamente convecção e radiação, pode usar-se um
coeficiente total de transmissão de calor:
htot œ h  hr .
4.2 Transferência de calor por condução
A equação diferencial que governa trocas de calor por condução é obtida directamente da
equação diferencial da energia (16), que se simplifica para u œ 0, ficando:
Þ
`T
3c ` t œ f † ÐkfTÑ  q@
(41)
Considerando apenas casos de regime permanente (estacionário) e uni-dimensionais (a
tempertaura só depende de uma coordenada espacial), obtemos as equações:
ì para geometrias planas (paredes paralelas):
dT
Þ
d
Ð
k
Ñ  q@ ÐxÑ œ 0
dx
dx
Þ
1 d
dT
ì para geometrias cilíndricas (cascas circulares): r dr Ðrk dr Ñ  q@ ÐrÑ œ 0
ì para geometrias esféricas (cascas esféricas):
Þ
1 d
dT
Ðkr# dr Ñ  q@ ÐrÑ œ 0
r# dr
(42)
(43)
(44)
4.2.1 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior (sem
fontes; k constante dentro de cada parede)
A potência calorífica transferida pode ser calculada de duas maneiras: (1) usando o
coeficiente global de transmissão de calor U, ou (2) usando a analogia eléctrica. No
primeiro caso a potência trocada vem:
Þ
Q œ AU?T [W]
(45)
onde:
?T œ T3  T/ (diferença de temperaturas interiores e exteriores,[K])
A (área da secção perpendicular ao fluxo de calor [m# ] )
Uœ
2
1
1
h3
 !Ð k4 Ñ 
$
4
4
1
h/
(coeficiente global de transmissão de calor)
com: U em [W/m K]; $4 : espessura da parede 4 [m]; k4 : condutividade térmica de 4.
(46)
14
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
A analogia com as leis válidas para a corrente eléctrica permite também escrever:
Þ
?T
Q œ e
/;
V
( semelhante a I œ e )
onde a resistência térmica equivalente eeq segue as regras válidas para resistências
eléctricas: resistências em série somam-se; resistências em paralelo somam-se os inversos
e inverte-se o resultado. A resistência térmica de cada elemento é:
$4
parede plana 4:
(47)
e4 œ Ak
4
1
convecção natural:
(48)
e œ Ah
Quando não há convecção natural tem-se e œ 0, o que equivale a ter h œ _ e assim
T_ œ TA .
4.2.2 Caso de várias cascas cilíndricas (sem fontes; k constante em cada
cilindro):
Neste caso a área de passagem de calor varia com o raio r (A œ 21rL, onde L é o
comprimento dos cilindros), e vão existir coeficientes globais baseados na área interior
A3 œ 21R3 L e na área exterior A/ œ 21R/ L:
Þ
Q œ A3 U3 ?T œ A/ U/ ?T
com:
U3 œ
1
h3
R3 !
ou
U/ œ
4
(49)
1
lnÐR4" ÎR4 Ñ
k4

R3
R/ h/
1
R/
R3h3
lnÐR
ÎR4 Ñ
R/ ! 4"
k4
4

1
h/
(50)
(51)
´
A formula
para a resistência térmica dum cilindro é:
1
R4 œ 21L
R4"
1
lnÐ R Ñ
k4
4
(52)
(R4 é o raio da parede interior do cilindro 4, e R4" é o raio da parede exterior).
Nota: para pequena curvatura do cilindro, temos R4" œ R4  $4 onde $4 é a espesura da
parede do cilindro, sendo $4 ÎR4 ¥ 1; fica e4 œ lnÐ1  $4 ÎR4 ÑÎ21Lk4 ¸ $4 ÎA4 k4 ,
15
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
´
obtendo-se assim a formula
válida para parede plana, como seria de esperar (usou-se:
ln(1  %Ñ µ % para % pequeno).
´
ì A formula
que dá a variação da temperatura dentro duma casca cilíndrica que está à
temperatura interior de TA3 e exterior de TA/ , é:
lnÐrÎR3 Ñ
TÐrÑ œ TA3  ÐTA3  TA/ Ñ lnÐR ÎR Ñ .
/
3
(53)
4.2.3 Caso de várias calotes esféricas (sem fontes; k constante em cada esfera):
Neste caso a área de passagem de calor também varia com o raio r (A œ 41r# ), e vão
existir coeficientes globais baseados na área interior A3 œ 41R3# e exterior A/ œ 41R/# :
Þ
Q œ A3 U3 ?T œ A/ U/ ?T com ?T œ T3  T/
com:
1
U3 œ
R#
1
h3
R3# ! k1 Ð R1  R 1 Ñ 
4
4
4
ou
U/ œ
4"
R/# ! k1 Ð R1  R 1 Ñ 
4
4
4
(55)
3
R/# h/
1
R/#
R# h3
3
(54)
4"
1
h/
(56)
´
A formula
para a resistência térmica duma casca esférica é:
1
e4 œ 41
1 1
1
Ð
R Ñ
k 4 R4
4"
fora,
(57)
(R4 e R4" são os raios das paredes interior e exterior, respectivamente, da calote esférica
4)
´
ì A formula
que dá a variação da temperatura dentro duma casca esférica cuja
temperatura interior de parede é TA3 e exterior TA/ , é:
TÐrÑ œ TA3  ÐTA3  TA/ Ñ Š 1/R 1/R ‹
3
/
1ÎR3 1Îr
(58)
16
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
4.2.4 Raio crítico de isolamento cilíndrico
Se o raio exterior dum tubo cilíndrico for R" , sendo o coeficiente convectivo exterior h/ ,
e se se pretender reduzir a perda de calor do tubo para o exterior por meio dum
isolamento de raio R# e condutividade térmica kiso , define-se um raio crítico como:
R- œ
kiso
h/
(59)
Þ
Para r œ R- , a perda de calor Q é máxima. Assim, se R#  R- a perda de calor aumenta
com a espessura do isolamento (com R# Å ). Por outro lado, se R#  R- a perda de calor
diminui com R# Å . Para que o isolamento seja eficaz é neccessário que R"  R- , porque
se assim não for está-se a aumentar a perda de calor quando se acrescenta o
isolamemento.
Þ
4.2.5 Cilindro com fontes de calor internas q@ (uniforme).
A variação da temperatura neste caso é dada por:
T(r) œ T_
Þ
Þ
q@ R"
q@
 2h  4k ÐR"#  r# Ñ
(60)
onde R" é o raio do cilindro, k a condutividade térmica do material, h o coeficiente
convectivo exterior e T_ a temperatura do fluido que rodeia o cilindro. De notar que a
potência calorífica que sai do cilindro é transportada por convecção exterior,
Þ
Q œ A: hÐTA  T_ Ñ
com A: œ 21R" L (área de permuta de calor)
e resulta na totalidade da fonte de calor interna, que gera uma potência:
Þ
Þ
Þ
Q œ q@ Vol œ q@ 1R"# L
Assim a temperatura da parede do cilindro é dada por:
TA
Þ
q@ R"
œ T_  2h
e a variação de temperatura fica:
Þ
q@
T(r) œ TA  4k ÐR"#  r# Ñ.
Para r œ 0 (no eixo do cilindro) a temperatura é máxima, sendo dada por
T! œ TA 
Þ
q@ R"#
4k
de forma que a variação de temperatura pode ser escrita de forma adimensional como:
17
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
A
Š T T ‹ œ 1  #
R"
!
A
T(r)  T
r#
(61)
Nota: na prática a fonte volúmétrica de calor provém de reacções químicas ou nucleares,
ou de efeito de Joule devido à passagem duma corrente eléctrica. Neste caso será dada
Þ
por q@ œ eI# /Volume, sendo a resistência eléctrica dada por e œ 3/ LÎA onde 3/ é a
resistividade eléctrica e A é a área de passagem (A œ 1R"# )
4.3 Transferência de calor por convecção
O cálculo simplificado de problemas de convecção de calor faz-se com recurso a
´
formulas
empíricas que dão o coeficiente convectivo de transmissão de calor, h. Para
´
´
maior generalidade, as formulas
em vez de darem directamente o h, dão o numero
de
Nusselt (adimensional) que permite obter o h indirectamente:
Nu œ
hX
k
(62)
onde o comprimento X depende da geometria em questão e k é a condutividade térmica
´
do fluido. As propriedades do fluido permitem ainda definir outro numero
adimensional,
´
o numero
de Prandtl Pr œ .c: Îk. Os problemas de convecção podem dividir-se em:
Convecção forçada: o movimento do fluido é provocado por forças de pressão que
resultam duma fonte de energia mecânica externa (ex. uma bomba de água). O número
adimensional que controla o movimento é o número de Reynolds, Re œ 3udÎ.. Neste
caso Nu œ funçãoÐRe,Pr).
Convecção natural ou livre: o movimento do fluido é provocado por variações de
densidade que por sua vez resultam de variações de temperatura (ex. parede quente faz ar
ficar mais leve, e assim subir). O número adimensional importante é o número de
Grashof, Gr œ g"3# ?T X$ Î.# , onde g é a aceleração da gravidade (9.8 mÎs# ), " é o
coeficiente de expansão térmica (" œ 1ÎT [K" ] para um gás perfeito, como o ar, por
exemplo), ?T é uma diferença de temperaturas representativa (depende de cada
problema; normalmente ?T œ TA  T_ ) e X é uma distância representativa (depende do
problema). Neste caso Nu œ função(Gr,Pr).
Para cada caso, pode ter-se convecção interna (dentro de tubos, por exemplo) ou
externa (em torno dum edifício, ou perpendicular a um feixe de tubos, por exemplo); e o
regime dinâmico pode ser laminar ou turbulento.
As tabelas dadas permitem fazer o cálculo de Nu para cada caso, sendo dadas ainda
as propriedades relevantes para vários fluidos.
Tabela 2: convecção natural
Tabela 3: propriedades físicas de líquidos
Tabela 4: propriedades físicas de gases (à pressão atmosférica, p! œ 1b ¸ 1 atm;
a densidade dum gás a uma pressão diferente da atmosférica deve ser calculada como
3 œ 3! ÐpÎp! Ñ; k, . e c: não dependem da pressão).
18
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Tabela 5: convecção forçada interior a tubos
Tabela 6: convecção forçada exterior, sobre superfícies planas
Tabela 7: convecção forçada exterior de ar a incidir perpendicularmente a
cilindros.
Tabela 8: convecção forçada exterior em torno de feixes tubulares
Tabela 9: convecção em escoamentos a alta velocidade (compressíveis)
Tabela 10: convecção exterior a corpos em rotação
4.3.1 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos
Considera-se um tubo cilíndrico de seccão circular, com diâmetro d e área de passagem
A œ 1d# Î4, estando o eixo alinhado com a direcção x. A velocidade média do fluido
.
dentro do tubo é u (não varia com x porque m œ 3Au é constante e a área de passagem
também) e a temperatura média numa secção x (temperatura “bulk”) é T(x) (a
temperatura pode variar com x uma vez que o fluido vai sendo aquecido ao longo do
tubo). A temperatura média bulk à entrada é T" e à saída é T# . O fluxo de calor que entra
Þ
através das paredes do tubo é qA (x) (pode ser constante) sendo a área de permuta igual a
A: œ 1dL para um comprimento de tubo igual a L.
O balanço energético ao tubo, entre as secções 1 e 2, dá:
Þ
Þ
Þ
Q œ qA A: œ mc: ÐT#  T" Ñ
(63)
Por outro lado, a definição dum “h” médio usando a lei de Newton da convecção, pode
escrever-se:
Þ
Q œ A: hÐTA  TÑmed ´ A: h?Tmed
(64)
Como tanto a temperatura do fluido T, como a temperatura da parede TA , podem variar
ao longo do tubo, a definição da diferença média de temperaturas a usar em (64) não é
´
unica.
As duas escolhas mais comuns são a média aritmética:



?Tmed œ ?T œ T A  T
T T

com T œ " 2 # (média da temperatura bulk) (65)
e a média logarítmica:
?Tmed œ ?Tln œ
com:
?T" ?T#
?T
ln ?T"
(66)
#
?T" œ ÐTA  TÑ" (diferença de temp. à entrada)
?T# œ ÐTA  TÑ# (diferença de temp. à saída)
Estas duas médias não diferem substancialmente desde que as diferenças de temperatura
não variem muito entre a entrada e a saída (se ?T" não for superior a ?T# em mais de 50

%, a diferença entre ?T e ?Tln é inferior a 1 %). Deste modo é preferível usar a média
19
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
aritmética pois facilita a resolução analítica dos problemas. Quando houver grande
variação de ?T, a média logarítmica é mais precisa e deve ser usada. Esta média resulta
da integração da equação de definição de h, como é mostrado de seguida.
Dedução da Média Logarítmica
O calor trocado entre a parede e o fluido, para uma fatia de fluido de expessura dx, é
dado por:
Þ
Þ
Þ
dQ œ Pdx h ÐTA  TÑ œ mc: dT œ  Ðmc: ÑA dTA
Þ
onde P é o perímetro molhado (neste caso P œ 1d) e Ðmc: ÑA representa a capacidade
calorífica da parede do tubo. Juntando as equações, obtemos:
Þ
1
1
1
1
Þ
Þ Ñ dQ œ  Ð Þ
Þ ÑPdx h ÐTA  TÑ
dTA  dT œ  Ð Ðmc
 mc
 mc
Ñ
Ð
mc
Ñ
: A
:
: A
:
Integrando esta equação, entre x=0 (T=T1 ) e x=L (T=T2 ), obtem-se:
1
1
Þ
Þ Ñ
ln ?T2 Î?T1 œ  Ap hÐ Ðmc
 mc
: ÑA
:
Por outro lado, a integração das equações do balanço de energia dá :
Þ
Þ
Þ
Q œ mc: ÐT#  T" Ñ œ Ðmc: ÑA ÐTA"  TA# Ñ
que depois de substituição na equação anterior resulta na definição da média logarítmica
(Eq. 66).
O número de Nusselt para estes casos segue uma lei do tipo:
Nu œ C Rem Prn K
Em regime laminar (Re  2000) e para tubos curtos é necessário fazer uma correcção
devida ao comprimento de desenvolvimento (zona inicial do tubo na qual as condições
variam; diz-se que as condições não são ainda de desenvolvimento completo). O tubo
considera-se curto quando o número de Graetz, Gz=RePr dÎL, é maior do que 10 (ver
tabelas). Neste caso a expressão para o Nu é:
Nu œ 1.86ÐRe Pr dÎLÑ1/3 Ð.Î.w Ñ0.14
Para tubos compridos, em regime laminar de desenvolvimento completo (as condições
não variam já ao longo do tubo), o Nusselt é constante,
Nu œ 3.66
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Em regime turbulento, utiliza-se a conhecida expressão
Nu œ 0.023 Re0.8 Pr0.4
válida para gases ou líquidos em que a viscosidade não varie muito com a temperatura.
Nas expressões dadas acima, as propriedades do fluido devem ser baseadas na
temperatura bulk média, isto é ÐT1  T2 ÑÎ2. Muitas vezes o uso de T1 , normalmente um
valor conhecido, não causa erros apreciáveis. Se as propriedades variarem
substancialmente ao longo do tubo (por exemplo, se a gama de temperaturas for muito
grande), então deve usar-se a temperatura bulk média, que requer o conhecimento da
temperatura do fluido à saída T2 . Como esta pode não ser conhecida, tem de se entrar
num processo numérico iterativo.
4.3.2 Convecção Natural
A expressão que dá o número de Nusselt para convecção natural é do tipo:
Nu œ C ÐGrPr)m K
devendo as propriedades ser calculadas à temperatura de filme (Tf œ 0.5ÐT_  Tw Ñ).
Quando o problema é calcular a temperatura da parede sendo conhecido o fluxo de calor,
o método de cálculo deve ser como explicado de seguida:
q œ h?T
e Nu œ hXÎk œ CÐÐGrÎ?TÑPrÑm K ?Tm œ B ?Tm
com B œ CÐÐGrÎ?TÑPrÑm K . Resolvendo estas duas equações para ?T, obtem-se:
?T œ ÐqXÎkBÑ1/Ð1+mÑ
e Tw œ T_  ?T. Uma primeira aproximação de Tw , requerida para o cálculo das
propriedades, pode ser feita arbitrando o valor de h.
20
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
CURSOS: EPGI
DISCIPLINAS: Fenómenos de Transferência
EXAME : Teste
ANO LECTIVO: 4!
DATA: 30 Janeiro 1998
(1) Calcule a potência da bomba de água necessária no circuito dado abaixo, para um
caudal inicial de 60 litros/minuto. Os tubos são de aço comercial e o seu diâmetro é dado
na figura. As linhas verticais correspondem a diferenças de cotas.
(2) Calcule as componentes segundo x e y da força que o óleo (a 80°C) que circula na
contração representada em baixo exerce sobre as paredes. y é segundo a vertical.
(3) A temperatura na parede exterior de um tubo horizontal de aço (carbono 1%) é de
130°C, sendo o diâmetro do tubo de 1 polegada. A temperatura do ar longe do tubo é de
25 °C. Se pretendesse isolar termicamente o tubo, diga, justificando quantitativamente,
qual dos materiais isolantes escolhia: poliuretano ou polistireno ?
21
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Resolução do teste de Fenómenos de Transferência de 30 Jan. 1998.
PROBLEMA 1
O fluido que circula na instalação representada é água, com massa específica
3 œ 103 kg/m3 e viscosidade . œ 103 kg/ms. Aplicando a equação de Bernoulli entre os
pontos 1 e 2, e tendo em atenção que estes pontos estão dentro dos reservatórios, temos:
p1 /3  u21 Î2  g z1  wb œ p2 Î3  u22 Î2  g z2  ev12
onde o trabalho específico da bomba, wb , é considerado como positivo ao ser fornecido à
bomba (o sentido esperado para essa transferência de energia). Como os reservatórios
estão à pressão atmosférica, temos p1 œ p2 œ patm . Como a velocidade no centro dos
reservatórios é aproximadamente nula, tem-se u1 œ u2 œ 0. De forma que a equação de
Bernoulli se reduz a:
wb œ g(z2  z1 )  ev12
mostrando que o trabalho que é necessário fornecer à bomba deve ser suficiente para
fazer a água vencer a diferença de alturas entre 1 e 2, e compensar a perda de carga total
que ocorre entre esses dois pontos. O termo de diferença de alturas é:
g(z2  z1 ) œ 9.8 (20  10  15) œ 245 m2 Îs2 .
O termo de perda de carga é composto por perdas de carga em linha e perdas de carga
pontuais.
Cálculo das perdas de carga em linha:
Começa-se por dividir a instalação em troços ao longo dos quais tanto o diâmetro
dos tubos como a velocidade média da água são constantes.
Troço A: do reservatório ao primeiro “T”
Neste troço o diâmetro do
o comprimento é LA œ 10  20 œ 30m,
. tubo é dA œ 50.8 mm,
-3
3
o caudal volúmétrico é Qv œ 60 l/min œ 10 m /s, e a velocidadae média vem:
.
uA œ Qv Î(1d2A /4) œ 0.49 m/s
O número de Reynolds é dado por:
ReA œ 3uA dA Î. œ 24892
22
23
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
e sendo maior que 2000 mostra que o regime de escoamento é turbulento. Neste caso, e
para tubos de aço comercial com uma rugosidade de % œ 0.046 mm (ver Tabelas), o
coeficiente de fricção pode ser calculado da fórmula:
fA œ
0.331
%
ÐlnÐ 3.7d
 5.74
ÑÑ2
Re0.9
œ
0.331
ÐlnÐ 3.70.046
 5.74 ÑÑ2
‚50.8 248920.9
œ 0.00669
Troço B: do primeiro “T” ao segundo “T”
Neste troço o diâmetro
é LB œ 115 m. O
. do tubo é dB œ 38.1 mm e-3 o comprimento
3
caudal volúmétrico é Qv œ 0.5 ‚ 60 l/min œ 0.5 10 m /s, e a velocidadae média vem:
.
uB œ Qv Î(1d2B /4) œ 0.44 m/s
O número de Reynolds é dado por:
ReB œ 3uB dB Î. œ 16764
continuando o regime a ser turbulento. O coeficiente de fricção pode ser calculado pela
mesma fórmula:
fB œ
0.331
œ 0.00738 .
ÐlnÐ 3.70.046
 5.740.9 ÑÑ2
‚38.1
16764
Troço C: do segundo “T” ao ponto 2
Neste troço o diâmetro
do tubo é dC œ 25.4 mm e o comprimento é LC œ 50 m. O caudal
.
volúmétrico é Qv œ 0.9 ‚ 30 l/min œ 0.45 10-3 m3 /s, e a velocidadae média vem:
.
uC œ Qv Î(1d2C /4) œ 0.89 m/s
O número de Reynolds é dado por:
ReC œ 3uC dC Î. œ 22606
continuando o regime a ser turbulento. O coeficiente de fricção pode ser calculado pela
fórmula:
fC œ
0.331
œ 0.00729 .
ÐlnÐ 3.70.046
 5.740.9 ÑÑ2
‚25.4
22606
A perda de carga em linha para os 3 troços fica:
L
u2
L
u2
L
u2
ev12-linha œ 4 fA d A 2A  4 fB d B 2B  4 fC d C 2C œ
A
B
C
24
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
œ 1.897  8.625  22.734 œ 33.256 m2 /s2 .
Observe-se que a perda de carga maior é no troço C, embora o seu comprimento seja
substancialmente inferior ao do troço B. Isto acontece porque a perda de carga é
proporcional ao quadrado da velocidade média e esta é maior no troço C (quase o dobro
do valor nos primeiros dois troços).
Cálculo das perdas de carga singulares (ou pontuais):
Os coeficientes de perda de carga (das tabelas) para cada uma das singulariedades
existentes no circuito, baseados na velocidade a jusante, são:
1 válvula globo, K œ 10
4 cotovelos standard, K œ 0.9
1 cotovelo standard (para a bomba de água), K œ 0.9
2 “T”, K œ 1.8
1 entrada re-entrante, K œ 1.0
1 saída abrupta, K œ 1.0 (baseado na velocidade a montante).
Como a velocidade média varia ao longo do circuito, ter-se-á de fazer o cálculo
singulariedade por singulariedade, ou mais facilmente por troços, ficando:
u2
u2
u2
ev12-singular œ Ð1  0.9Ñ 2A  Ð1.8  4 ‚ 0.9  10Ñ 2B  Ð1.8  1.0Ñ 2C œ
œ 0.228  1.491  1.109 œ 2.828 m2 /s2 .
(Repare-se que no troço A se considera a entrada re-entrante e o cotovelo da bomba; no
troço B considera-se o primeiro “T”, os 4 cotovelos e a válvula globo; no troço C
considera-se o segundo “T” e a saída abrupta)
Deste modo a perda de carga total entre os pontos 1 e 2 é dada pela soma do valor em
linha e do valor singular, vindo:
ev12 œ ev12-linha  ev12-singular œ 33.256  2.828 œ 36.084 m2 /s2 .
Substituinado agora na equação de Bernoulli, obtemos o valor do trabalho específico da
bomba de água:
wb œ 245  36.084 ¸ 281.1 m2 /s2 ´ J/kg,
e a potência da bomba é dada por:
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
.
.
.
.
Wb œ mA wb œ 281.1 W (com mA œ 3Qv œ 1 kg/s).
Trata-se portanto duma pequena bomba de água, com uma potência de cerca de 0.38 hp.
25
26
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
PROBLEMA 2
As propriedades físicas do óleo obtêm-se das tabelas para a temperatura dada de 80°C,
massa específica 3 œ 852.02 kg/m3 e viscosidade cinemática / œ 3.75 10-5 m2 /s.
.
.
.
Por conservação da massa o caudal à entrada é igual ao caudal à saída, m1 œ m2 ´ m,
sendo este caudal mássico dado por
.
m œ 3A2 u2 œ 852.02 ‚ Ð10.12 Î4Ñ ‚ 3 œ 20.075 kg/s .
e a velocidade à entrada (ponto 1) vindo:
d
100
u1 œ Ð d2 Ñ2 u2 œ Ð 200 Ñ2 ‚ 3 œ 0.75 m/s.
1
O volume da contração é a soma do volume de dois cilindros, um com diâmetro d1 œ 200
mm e comprimento L1 œ 400 mm, e outro com d2 œ 100 mm e L2 œ 400 mm, sendo
dado por:
1
Vol œ 4 Ðd21 L1  d22 L2 Ñ œ 0.0157 m3 .
A massa de óleo contida dentro da contração é dada por:
m œ 3 Vol œ 13.383 kg .
Depois destes cálculos preliminares, passamos à formulação do problema. A força sobre
o cilindro F tem componentes Fx e Fy dadas pela equação da conservação da
quantidade de movimento escrita para o volume de controlo que rodeia a contração, e
assumindo condições estacionárias:
.
Fx œ Ðp1 A1  p2 A2 Ñcos )  mÐu1  u2 Ñ cos )
(1)
.
Fy œ Ðp1 A1  p2 A2 Ñsin )  mÐu1  u2 Ñ sin )  m g
(2)
A pressão à entrada é conhecida, p1 œ 1 b œ 105 N/m2 . A pressão à saída tem de ser
obtida da equação de Bernoulli para o escoamento de 1 para 2:
p1 /3  u21 Î2  g z1 œ p2 Î3  u22 Î2  g z2  ev12
que se pode também escrever:
p1 p2
œ 12 Ðu22  u21 Ñ  gÐz2  z1 Ñ  ev12
3
(3)
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
À partida não se pode desprezar nenhum dos termos, pois não se sabe quais os termos
preponderantes. O termo de energia cinética é:
1 2
Ðu
2 2
 u21 Ñ œ 0.5 ‚ Ð32  0.75 2 Ñ œ 4.2188 m2 /s2 .
O termo de energia potencial é:
g(z2  z1 ) œ gÐL1  L2 Ñsin ) œ 9.8Ð0.4  0.4ÑsinÐ30°Ñ œ 3.9200 m2 /s2 .
Cálculo da perda de carga em linha:
No tubo mais grosso o número de Reynolds é:
Re1 œ u1 d1 Î/ œ 0.75 ‚ 0.2Î3.75 10-5 œ 4000
e no tubo mais fino:
Re2 œ u2 d2 Î/ œ 3 ‚ 0.1Î3.75 10-5 œ 8000
portanto (Re  2300) o regime é turbulento em ambos os tubos (embora esteja
praticamente no limite da transição de laminar para turbulento). O número de Reynolds é
relativamente baixo porque o fluido em causa, o óleo, tem uma viscosidade elevada (10
vezes maior do que a água). Usando a expressão de Blasius para o cálculo do coeficiente
de atrito, temos:
0.0791
e
f1 œ 40000.25 œ 0.009946
0.0791
f2 œ 80000.25 œ 0.008364
A perda de carga em linha, nos dois cilindros, é dada por:
ev12-linha
2
2
L1 u1
L2 u2
œ 4f1 d 2  4f2 d 2 œ 0.0223  0.6022 œ 0.6245 m2 /s2 .
1
2
A perda de carga em linha no cilindro mais fino, e onde por consequência a velocidade
média é maior, é bastante superior à perda de carga no cilindro mais grosso.
Cálculo da perda de carga singular
O coeficiente de perda para uma contração súbita é dado por:
d
K œ 0.45Ð1  " Ñ œ 0.45Ð1  Ð d2 Ñ2 Ñ œ 0.3375
1
e o valor da perda de carga singular vem:
27
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
u2
ev12-singular œ K 22 œ 0.3375 ‚ 32 Î2 œ 1.5188 m2 /s2 .
A perda de carga total na contração fica:
ev12 œ 0.6245  1.5188 œ 2.1433 m2 /s2 ,
sendo de notar a perda de carga em linha não é de desprezar em comparação com a perda
de carga localizada, como se seria tentado fazer à priori.
Substituindo valores na equação de Bernoulli (3), a diferença de pressões vem:
p1 p2
œ 4.2188  3.92  2.1433 œ 10.282 m2 /s2 ,
3
mostrando que todos os três termos são importantes (variação de energia cinética,
variação de energia potencial e perda de carga por atritos). A pressão à saída vem dada
por:
p2 œ p1  3 ‚
p1 p2
œ 105  852.02 ‚ 10.282 œ 91239.5 N/m2 .
3
Podemos agora usar as equações da quantidade de movimento dadas acima (1) e (2) para
calcular as forças:
Fx œ 2100.1  39.1 œ 2061.0 N
Fy œ 1212.5  22.6  131.2 œ 1058.8 N,
onde, seguindo a ordem dos termos em (1) e (2), o primeiro termo corresponde às forças
de pressão, o segundo à variação do fluxo de quantidade de movimento associado com o
caudal mássico, e para Fy o terceiro é o peso. É observável das equações acima que o
termo principal no cálculo das forças é o da diferença de pressões a actuar no plano 1 e 2.
O peso não pode ser desprezado, comparativamente aos termos de fluxo de quantidade de
movimento. Em valor absoluto, a magnitude do vector da força que actua sobre as
paredes da contração é:
2
F œ É
F2x  F2y œ 2317.7 N œ 236.4 kgf ,
um valor considerável. O ângulo que esta força faz com a horizontal é obtido de:
Fy
ângulo œ arctanÐ F Ñ œ 27.2 ° ,
x
28
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
que mostra que a força sobre o tubo não está exactamente alinhada com o eixo do tubo
(senão o ângulo seria 30°), estando ligeiramente apontada para baixo devido ao efeito do
peso do fluido.
29
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
PROBLEMA 3
Neste problema tem-se um tubo horizontal de aço que perde calor para o ar que o rodeia.
A parede do tubo está à temperatura de Tw œ 130°C estando o ar a T_ œ 25°C. Para se
tentar diminuir as perdas de calor através das paredes do tubo vão ser considerados dois
materiais isolantes: poliuretano (k1 œ 0.026 W/mK) ou polistireno (k2 œ 0.17 W/mk).
Para se escolher o isolamento precisamos de saber qual o raio crítico para cada um deles,
pois só assim saberemos se ao acrescentar o isolamento não estaremos inadvertidamente
ao aumentar as perdas de calor. Como o raio crítico é definido por
Rc œ
kiso
h
torna-se necessário calcular o o coeficiente de transmissão de calor h para este problema
de convecção natural.
Cálculo do coeficiente de transmissão de calor por convecção
A temperatura de filme é:
Tf œ
Tw T_
œ 77.5 °C œ 350.5 K.
2
Para essa temperatura obtemos das tabelas as seguintes propriedades do ar:
7
•número de Grashof, XGr
m-3 K-1
3 ?) œ 6.510 10
•condutividade térmica, k œ 0.03003 W/mk,
•número de Prandtl, Pr œ 0.697 .
Das tabelas de convecção natural em torno de cilindros horizontais vemos que o
comprimento típico X fica igual ao diâmetro do tubo, X œ d œ 0.0254 m, e a diferença
de temperatutas representativa fica igual a ?) œ T w  T_ œ 105°. Deste modo o
número de Grashof vem
Gr œ 6.510 107 ‚ 0.02543 ‚ 105 œ 1.120 105
e
GrPr œ 78074,
mostrando que o regime é de convecção natural laminar. Para este caso,
Nu œ 0.47 ÐGr PrÑ0.25 œ 7.86
e
h œ
kNu
0.03003‚7.86
œ
œ 9.3 W/m2 K.
d
0.0254
30
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Cálculo do raio crítico para cada isolamento:
k
0.026
k
0.17
Poliuretano, Rc1 œ h1 œ 9.3
œ 0.0028 m œ 2.8 mm,
Polistireno, Rc2 œ h2 œ 9.3 œ 0.0183m œ 18.3 mm.
Escolha do isolamento:
Como o raio do tubo sem isolamento é R œ dÎ2 œ 12.7 mm vemos que o
poliuretano apresenta um raio crítico menor que o raio do tubo, e que o contrário
acontece com o polistireno. Deste modo, quando se acrescenta poliuretano ao tubo
metálico está-se imediatamente a reduzir a perda de calor através das paredes; com o
polistireno acontece o contrário: de ínicio a perda de calor até aumenta (sendo máxima
quando Riso œ Rc2 œ 18.3 mm) e só para valores de Riso bastante maiores que 18.3 mm é
que o isolamento de polistireno começará efectivamente a reduzir a perda de calor. A
escolha lógica do isolamento, sem entrar com considerações financeiras, é simples: o
poliuretano.
31
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
CURSOS: EPGI
DISCIPLINAS: Fenómenos de Transferência
EXAME : 1o exame
ANO LECTIVO: 4!
DATA: 16 de Fevereiro de 1998
1) Dimensione a bomba de água (caudal e potência) para o circuito dado na figura abaixo.
Os depósitos estão à pressão atmosférica. A rugosidade dos tubos é 0.1 mm. Traços
verticais correspondem a variações de altura.
2) Calcule as componentes segundo x e y da força necessária para segurar o elemento em
“Y” dado na figura. Despreze perdas de atrito e considere que o elemento está num plano
horizontal. O fluido é água.
3) Um tubo de aço (k œ 43.3 W/mK) com 3 m de comprimento, tem 2" de diâmetro interno,
3" de diâmetro externo e está coberta com uma camada de 1" de isolamento de asbestos
(k=0.208 W/mK). No interior do tubo circula um gás quente, à temperatura média de
Tgas œ 320°C, sendo o coeficiente convectivo interior de hi œ 284 W/m2 K. A superfície
exterior do isolamento está exposta ao ar ambiente à tempertura Tar œ 38°C, sendo o
coeficiente convectivo exterior de he =17 W/m2 K.
Calcule a perda de calor para o ambiente (W). Calcule ainda as diferenças de
temperatura na parede do tubo e no isolamento.
32
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA
Resolução do exame de 16/2/1998
Problema 1.
Existem 3 troços onde o diâmetro do tubo e o caudal de água são constantes:
Troço 1: do reservatório de partida (ponto 1) até ao "T" (ponto 4);
diâmetro,. d1 œ 2'' œ 50.8 mm
caudal, Qv1 œ 30+40=70.l/min= 1.167 10-3 m3 /s
velocidade média, u- 1 œ Qv1 /(1d21 /4) œ 0.576 m/s
número de Reynolds, Re1 œ 3d1 u- 1 /. œ 29261 Ê regime turbulento
(nota, massa específica da água, 3 œ 1000kg/m3 , viscosidade, . œ 10-3 kg/ms)
Troço 2: do "T" (ponto 4) ao reservatório de 30 l/min (ponto 2);
diâmetro,. d# œ 1.'' œ 25.4 mm
caudal, Qv2 œ 30 l/min =. 5.0 10-4 m3 /s
velocidade média, u- 2 œ Qv2 /(1d22 /4) œ 0.987 m/s
número de Reynolds, Re2 œ 3d2 u- 2 /. œ 25070 Ê regime turbulento
Troço 3: do "T" (ponto 4) ao reservatório de 40 l/min (ponto 3);
diâmetro,. d3 œ 1.5'' œ 38.1 mm
caudal, Qv3 œ 40 l/min =. 6.667 10-4 m3 /s
velocidade média, u- 3 œ Qv3 /(1d23 /4) œ 0.585 m/s
número de Reynolds, Re3 œ 3d3 u- 3 /. œ 22289 Ê regime turbulento
Cálculo das perdas de carga em linha:
L
u-2
• Troço 1: Ðev1-4 )linha œ 4 f1 d 1 21
1
sendo o comprimento do troço de L1 œ 50 m, e onde o factor de atrito (% œ 0.1 mm) é
dado por:
f1 œ
0.331
-3
# œ 7.0951 10
ÐlnÐ%Î3.7d1  5.74ÎRe!Þ*
1 ÑÑ
Fica: Ðev1-4 )linha œ 4.634 m2 /s2 .
mm):
• Troço 2: o comprimento do troço é de L2 œ 49 m e o factor de atrito (% œ 0.1
f2 œ
0.331
-3
# œ 8.1309 10
ÐlnÐ%Î3.7d2  5.74ÎRe!Þ*
ÑÑ
2
33
34
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Fica: Ðev4-2 )linha œ 30.561 m2 /s2 .
mm):
• Troço 3: o comprimento do troço é de L3 œ 114 m e o factor de atrito (% œ 0.1
f3 œ
0.331
-3
# œ 7.6823 10
ÐlnÐ%Î3.7d3  5.74ÎRe!Þ*
ÑÑ
3
Fica: Ðev4-3 )linha œ 15.733 m2 /s2 .
u-2
Cálculo das perdas de carga pontuais: ev œ K 2
• Troço 1 (de 1-4):
entrada re-entrante, K=1.0
bomba (= válvula gate), K=0.2
1 cotovelo 90°, K œ 0.9
(ev1-4 )pontual œ Ð1  0.2  0.9Ñ 0.5762 /2 œ 0.348 m2 /s2
• Troço 2 (de 4 -2):
"T", K=1.8
2 válvulas globo, K=10.
1 cotovelo 90°, K œ 0.9
1 saída, K œ 1.0
(ev4-2 )pontual œ Ð1.8  2 ‚ 10  0.9  1.0Ñ 0.9872 /2 œ 11.544 m2 /s2
• Troço 3 (de 4-3):
"T", K=1.8
1 válvula globo, K=10.
6 cotovelos 90°, K œ 0.9
saída, K œ 1.
(ev4-3 )pontual œ Ð1.8  10  6 ‚ 0.9  1.0Ñ 0.5852 /2 œ 3.114 m2 /s2
Aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (dentro dos respectivos
reservatórios):
u21
u22
p1
p2


g
z

w
œ

 g z2  ev1-2 ,
1
b1-2
2
2
3
3
Como p1 œ p2 œ pressão atmosférica, e u1 œ u2 œ 0 (no centro dos reservatórios a água
pode considerar-se como estando parada), o trabalho específico da bomba fica:
wb1-2 œ gÐz2  z1 Ñ  ev1-2 .
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
A perda de carga é dada pela soma entre 1-4 e 4-2 das perdas de carga em linha e
pontuais,
ev1-2 œ ev1-4  ev4-2 œ Ð4.634  0.348Ñ  Ð30.561  11.544Ñ œ
œ 4.982  42.105 œ 47.087 m2 /s2
A energia potencial é gÐz2  z1 Ñ œ 9,8 ‚ 29 œ 284.2 m2 /s2 .
wb1-2 œ 284.2  47.087 œ 331.287 m2 /s2 .
Da mesma forma, a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3 (dentro dos reservatórios)
dá:
wb1-3 œ gÐz3  z1 Ñ  ev1-3 ,
com
ev1-3 œ ev1-4  ev4-3 œ 4.982  Ð30.561  11.544Ñ œ
œ 4.982  18.847 œ 23.829 m2 /s2
e
gÐz3  z1 Ñ œ 9,8 ‚ 30 œ 294 m2 /s2 .
portanto: wb1-3 œ 317.829 m2 /s2 .
Estes resultados mostram que a energia específica requerida para vencer as perdas de
carga e variações de altura é maior no percurso entre 1 e 2 (isto acontece sobretudo
devido ao reduzido diâmetro do tubo que induz uma velocidade média maior e, por
consequência, perdas de carga ainda bastante maiores, pois estas são proporcionais ao
quadrado da velocidade). O trabalho específico da bomba será assim de:
wb œ wb1-2 œ 331.287 kJ/kg.
O caudal que a bomba tem de movimentar é de:
.
.
mbomba œ 3 Qv1 œ 1000 ‚ 1.167 10-3 œ 1.167 kg/s,
e a potência da bomba será:
.
.
Wbomba œ mbomba ‚ wb œ 387 W.
35
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Problema 2.
Os caudais e velocidades em cada um dos ramos do elemento em "Y" da figura são:
Ramo-3:.
Qv3 œ 13.6 m3 /min œ 0.2267 m3 /s
d3 œ 6"
. œ 0.1524 m,
u- 3 œ Qv3 ÎÐ1d23 Î4Ñ œ 12.426 m/s (a área da secão é A3 œ 0.018241 m2 ).
Ramo-2:.
Qv2 œ 20.4 m3 /min œ 0.34 m3 /s
d2 œ 12"
. œ 0.3048 m,
u- 2 œ Qv2 ÎÐ1d22 Î4Ñ œ 4.660 m/s (a área da secão é A2 œ 0.072966 m2 ).
Ramo-1:.
.
.
Qv1 œ Qv2  Qv3 œ 0.34  0.2267 œ 0.5667 m3 /s
œ 0.4572 m,
d" œ 18"
-u œ Q. ÎÐ1d2 Î4Ñ œ 3.452 m/s (a área da secão é A œ 0.16417 m2 ).
1
1
v1
1
A pressão em 1 é atmosférica, p1 œ 105 N/m2 . As pressões em 2 e em 3 são obtidas por
aplicação da equação de Bernoulli (o atrito dentro do elemento é desprezado):
• Bernoulli entre 1 e 2:
u21
u22
p1
p2

œ

,
2
2
3
3
3
ou seja, p2 œ p1  2 Ð u21  u22 Ñ œ 95 100 N/m2 .
• Bernoulli entre 1 e 3:
u23
u21
p1
p3

œ

,
2
2
3
3
3
ou seja, p3 œ p1  2 Ð u21  u23 Ñ œ 28 755 N/m2 .
A força que a água exerce sobre o elemento em Y é obtida da equação do balanço da
quantidade de movimento, que segundo a direcção x (horizontal) é:
.
.
.
0 œ m1 u1x - m2 u2x  m3 u3x  p1 A1x  p2 A2x  p3 A3x  Fx
(nota: Fx é a força sobre o fluido, igual à força necessária para fixar o elemento). Como
u1x œ 0 e A1x œ 0, a componente segundo x da força, fica:
.
.
Fx œ 3 Ð Qv2 u2 cos 45  Qv3 u3 cos 60)  p2 A2 cos 45 - p3 A3 cos 60. œ
36
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
œ -288.2  4644.4 œ 4356.2 N
Do mesmo modo, a equação segundo y escreve-se:
.
.
.
0 œ m1 u1y - m2 u2y  m3 u3y  p1 A1y  p2 A2y  p3 A3y  Fy
e
.
.
.
Fy œ 3 Ð  Qv1 u1  Qv2 u2 sin 45  Qv3 u3 sin 60) 
 Ð  p1 A1  p2 A2 sin 45  p3 A3 sin 60.Ñ œ 1603.7  11056.4 œ
œ  9452.4 N
O módulo do vector força é: F œ ÐF2x  F2y Ñ1/2 œ 10408 N
O ângulo que o vector força faz com a vertical é, 9 œ arctgÐFx ÎFy ) œ 24.7 ° .
37
38
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
Problem 3.
O esquema da distribuição de temperatura através das paredes do tubo e revestimento é
dado de seguida:
Com
e
R1 œ 2"/2 œ 25.4 mm;
R2 œ 3"/2 œ 38.1 mm
R3 œ R2  e œ 38.1  25.4 œ 63.5 mm (a espessura do isolamento é e œ 1").
A temperatura interior, do gás que circula dentro do tubo, é Tgas œ 320 °C para um
coeficiente convectivo interior de hi œ 284 W/m2 K. A temperatura exterior, do ar
ambiente que rodeia o isolamento, é Tar œ 38 °C e he œ 17 W/m2 K. O comprimento do
tubo é L œ 3 m. A condutividade térmica do metal do tubo é k1 œ 43.3 W/mK e a do
isolamento de asbestos, k2 œ 0.208 W/mK.
O balanço global de transferência de calor por condução é:
.
Q œ Ai Ui ?Ttotal ,
com:
Ai œ 21R1 L œ 0.47878 m2 ;
?Tglobal œ Tgas  Tar œ 320  28 œ 282 °C;
Ui œ
œ
1
1
h3
1
284
R1 ˆ k1 lnÐR2 ÎR1 Ñ k1 lnÐR3 ÎR2 щ
1
2

R1
R3 h/
œ
1
1
1
0.0254ˆ 43.3
lnÐ38.1Î25.4Ñ 0.208
lnÐ63.5Î38.1щ 
25.4
63.5‚17
œ
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
œ
1
0.00352 0.06260.0235
œ 11.152 WÎm2 K
(Notar que no denominador, o primeiro valor corresponde a uma pequena resistência
térmica, devida à convecção interior, e os dois outros termos têm igual importância,
correspondendo à resistência térmica no isolamento e à convecção exterior).
A potência calorífica que se perde para o exterior, pode agora ser calculada,
.
Q œ 0.47878 ‚ 282 ‚ 11.152 œ 1505.7 W
Esta potência, calor transferido por unidade de tempo, conserva-se através da secção do
cilindro, podendo ser calculada separadamente como calor transferido do interior para a
parede interior do tubo,
.
Q œ Ai hi ?Tgas œ Ai hi ÐTgas  T1 ) Ê T1 œ 308.9 °C e ?Tgas œ 11.1°C;
ou calor transferido por condução da superfície interior do cilindro para a superfície
exterior:
.
1
Q œ Ai Š R Îk lnÐR ÎR ) ‹ÐT1  T2 ) Ê T2 œ 308.2 °C e
1 1
2
1
?Tmetal œ T1  T2 œ 0.75°C;
ou calor transferido por condução da superfície exterior do tubo para a superfície exterior
do isolamento:
.
1
Q œ A2 Š R Îk lnÐR ÎR ) ‹ÐT2  T3 ) Ê T3 œ 112 °C e
2 2
3
2
?Tisol œ T2  T3 œ 196.2 °C;
ou, finalmente, como calor transferido por convecção do exterior do isolamento para o
ambiente,
.
Q œ A3 he ?Tar œ A3 he ÐT3  Tar ) Ê Tar œ 38 °C e ?Tar œ 74 °C.
Note que se obtem novamente o valor Tar œ 38 °C, confirmando-se assim o cálculo.
Portanto, a maior queda de temperatura ocorre através do isolamento (?Tisol œ 196.2
°C), seguido da convecção exterior (?Tar œ 74 °C). Isto implica que a maior resistência
térmica é a do isolamento, como já se tinha verificado. A resistência térmica da
convecção exterior também é elevada porque, como se trata de convecção natural (sem
39
Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira
arrefecimento "forçado"), o coeficiente convectivo é baixo (e e œ 1ÎAh). Na parede
metálica do tubo a variação de temperatura é praticamente desprezável (reflectindo o
facto do metal ser um bom condutor de calor).
40