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C APÍTULO 8
D INÂMICA DO M OVIMENTO P LANO DE C ORPOS R ÍGIDOS
I MPULSO E Q UANTIDADE DE M OVIMENTO
Neste capítulo será analisada a lei de Newton apresentada numa outra forma
integral. Nesta forma integra-se a lei de Newton dada por (6.7) no tempo. Esta
forma se baseia nos conceitos de impulso e quantidade de movimento do corpo
rígido. Ao final deste capítulo estes conceitos são aplicados na teoria de impacto.
8.1
Q UANTIDADE DE M OVIMENTO L INEAR DE UM C ORPO R ÍGIDO
Seja um corpo rígido C, de massa m e cujo centro de massa se localiza em
G. Seja v a velocidade de um ponto qualquer, de massa dm, deste corpo.
y
v
dm
vG
r
G
rG
P
C
x
Figura 8.1 - Corpo rígido C com centro de massa G.
Usando a definição de quantidade de movimento linear de uma partícula,
podemos escrever para o corpo C a quantidade de movimento linear L como
73
L
v dm
(8.1)
m
A posição do centro de massa G do corpo rígido pode ser obtida através de
rG
1
r dm
mm
(8.2)
r dm
(8.3)
E, portanto,
m rG
m
Derivando (8.3), obtém-se
m vG
v dm
(8.4)
m
Substituindo (8.4) em (8.1), obtemos
L
v dm m vG
(8.5)
m
A equação (8.5) é a definição da quantidade de movimento linear de um corpo
rígido de massa m, com centro de massa em G. É uma grandeza vetorial obtida
pelo produto da massa do corpo pela velocidade de seu centro de massa.
8.2
Q UANTIDADE DE M OVIMENTO A NGULAR DE UM C ORPO R ÍGIDO
A definição de quantidade de movimento angular de um corpo rígido é dada
a partir da definição feita para a partícula, mostrada no Capítulo 4. Seja um corpo
rígido C, de massa m e cujo centro de massa se localiza em G. Seja v a velocidade
de um ponto qualquer, de massa dm, deste corpo. Pode-se escrever a quantidade de
movimento angular deste elemento de massa em relação ao ponto P tomado na
origem do sistema de referência, ver Figura 8.1, usando a definição (4.31), ou seja
74
dH P
(8.6)
r v dm
Logo a quantidade de movimento angular do corpo rígido em relação a um ponto P
é dada por
HP
(8.7)
r v dm
m
Pode-se relacionar a velocidade v do elemento de massa dm com a velocidade do
ponto P, através de
v vP ω r
(8.8)
Substituindo (8.8) em (8.7), resulta
HP
r ( vP
ω r ) dm
(8.9)
m
ou
HP
r (ω r ) dm
r vP dm
m
(8.10)
m
Para qualquer movimento plano, podemos fazer r
HP
(x i
y j ) dm vP
m
(x i
y j) (
xi
yj e ω ω k , e obter
yi
x j )dm
(8.11)
m
que é igual a
HP
( xG m vPy
( x2
yG m vPx )
y 2 ) dm k
(8.12)
m
ou, finalmente
HP
( xG m vPy
yG m vPx
IP ) k
(8.13)
75
Assim a quantidade de movimento angular no movimento plano é uma grandeza
vetorial na direção de z, podendo escrever na forma escalar sua intensidade
HP
m ( xG vPy
(8.14)
yG vPx ) I P
Observe-se que se nas seguintes condições:
v P rG , isto é, xG vPy
yG vPx
0
ou
vP
0
a equação (8.14) fica na forma simples
HP
(8.15)
IP
Em geral são conhecidas as propriedades em relação ao centro de massa G.
Neste caso a equação (8.14) pode ser modificada, usando
m ( xG2
IP
IG
vP
vG ω rP / G
yG2 )
(8.16)
e
vG ω rG
(8.17)
Para o movimento plano, (8.17) pode ser escrita nas componentes
vPx
vGx
yG
vPy
vGy
x yG
(8.18)
Aplicando (8.18) e (8.16) em (8.14), obtém-se
HP
m ( xG vGy
yG vGx ) I G
(8.19)
Observe-se que quando se calcula a quantidade de movimento angular em relação
ao ponto G, faz-se G P . Neste caso, xG 0 e yG 0 . Portanto
76
HG
(8.20)
IG
Assim, para o movimento plano qualquer, as equações que definem as
quantidades de movimento linear e angular de um corpo rígido são:
Lx
m vGx
Ly
m vGy
HG
IG
(8.21)
Observemos que na translação
HP
m ( xG vGy
HG
0
yG vGx )
(8.22)
ou
(8.23)
A definição da quantidade de movimento angular em relação ao centro de
massa G, ver Figura 8.1, é dada por:
HG
r
v dm
(8.24)
m
onde r
r rG . Então
HG
( r rG ) v dm
(8.25)
r v dm
(8.26)
m
ou
HG
m
rG v dm
m
Aplicando a definição (8.7) e a propriedade da em (8.4), obtém -se
HP
HG
rG mvG
(8.27)
77
Observando a Figura 8.2, para o caso do movimento plano, podemos
escrever
HP
IG
(8.28)
m vG dG
onde o sinal da segunda parcela deve ser obtido pelo sinal do produto vetorial.
y
mvG
G
C
dG
rG
x
P
Figura 8.2 - Posição e velocidade do centro de massa G.
8.3
PRINCÍPIO DO I MPULSO E DA Q UANTIDADE DE M OVIMENTO L INEAR
Vamos partir da formulação diferencial da lei de Newton
F
maG m
dvG
dt
(8.29)
Realizando a integral de (8.29) entre os instantes de tempo t 1 e t 2 , sendo v G1 e v G2
as velocidades do dentro de massa do corpo nestes instantes, obtemos
t2
t1
F dt
v2
m dvG
(8.30)
mvG 2 mvG 1
(8.31)
v1
ou
t2
t1
F dt
Vamos usar a definição de impulso de uma força dada por
78
I1
t2
2
t1
(8.32)
F dt
Assim, pode escrever o princípio do impulso e da quantidade de movimento como
t2
mvG 1
t1
F dt
(8.33)
mvG 2
ou
L1
I1
(8.34)
L2
2
Há uma forma angular correspondente a este princípio. O princípio da
quantidade de movimento angular pode ser obtido a partir da equação de momentos
da dinâmica
MG
d
dt
IG
(8.35)
Integrando (8.35) entre os instantes t 1 e t 2 , sendo ω 1 e ω 2 as velocidades angulares
do corpo nestes instantes, obtemos
t2
IG
1
t1
M G dt
IG
2
(8.36)
Vamos usar a definição de impulso angular dada por
Ω1
t2
2
t1
M G dt
(8.37)
Assim, podemos escrever o princípio do impulso e da quantidade de movimento
angular como
H G1
1 2
HG 2
(8.38)
As equações que serão utilizadas nas aplicações de movimento plano são
79
t2
mvG 1 x
mvG 2 x
Fy dt
mvG 2 y
M G dt
IG
t2
mvG 1 y
IG
Fx dt
t1
t1
t2
1
t1
(8.39)
2
A conservação da quantidade de movimento é conseqüência direta deste
princípio. Se o impulso resultante de todas as forças aplicadas é nulo, a quantidade
de movimento se conserva, isto é
mvG1
(8.40)
mvG 2
Se o impulso angular resultante de todos os momentos em relação ao centro de
massa G for igual a zero, a quantidade de movimento angular se conserva, ou seja
IG
8.4
1
IG
(8.41)
2
I MPACTO E XCÊNTRICO
No estudo de impacto entre duas partículas já foram definidos os conceitos
de impacto central e de impacto oblíquo, ver Capítulo 4. Neste capítulo vamos
tratar do impacto excêntrico. Ocorre um impacto excêntrico quando a linha de
impacto não coincide com a linha que une os centros de massa dos corpo s em
contato, conforme mostra a Figura 8.3. Se estas linhas coincidem, ocorre o impacto
central e podem ser aplicadas todas as equações correspondentes do Capítulo 4.
B
plano de contato
linha de centros
GB
A
GA
linha de impacto
Figura 8.3 - Impacto excêntrico entre os corpos A e B.
80
B
GB
a - antes do impacto: v A1 > v B1
vB1
GA
A
vA1
B
GB
b - impacto - deformação
Pdt
- Pdt
GA
A
B
GB
c - impacto - mesma velocidade v
GA
A
v
B
GB
d - impacto - restauração
Rdt
- Rdt
GA
A
B
GB
e - após o impacto: v B2 > v A2
vB2
A
GA
vA2
Figura 8.4 - Fases do impacto excêntrico entre A e B.
81
A Figura 8.4 ilustra as fases: a ocorre imediatamente antes do impacto; b, c
e d ocorrem durante o impacto e após o impacto. As velocidades indicadas são as
projeções das velocidades dos pontos em contato na direção da linha de impacto.
As velocidades v A1 e v B1 são as projeções das velocidades imediatamente antes do
impacto, enquanto que as velocidades v A2 e v B2 são as projeções das velocidades
imediatamente após do impacto. Durante o impacto ocorre a fase de deformação,
passando por um instante em que as projeções das velocidades destes pontos é
igual, cujo valor é indicado por v.
Realizando os mesmos passos mostrados na seção 4.4 do Capítulo 4,
podemos mostrar que
e
vB 2 v A 2
v A1 vB 1
(8.42)
onde e é o coeficiente de restituição, conforme já definido anteriormente.
Utilizando as equações do princípio da quantidade de movimento e a equação
(8.40) é possível determinar as projeções das velocidades após o impacto, dado as
velocidades imediatamente antes deste impacto.