Projeto básico de controladores
l
l
l
l
Definição das margens
Diagramas de Bode
Diagramas de Nyquist
Exemplos de projetos
Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de ganho
Conhecido o máximo ganho (Km) que
assegure a estabilidade para o controle
proporcional de uma dada planta de fase
mínima (zeros no semi-plano esquerdo)
e realimentação unitária negativa, a
margem de ganho é definida como:
MG = 20log10 K m
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exercício 19.1: Margem de ganho
Dado a planta abaixo, calcule a sua
margem de ganho:
Y ( s)
1
=
U ( s ) s ( s + 5)( s + 8)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução: Margem de ganho
Y ( s)
1
=
U ( s ) s ( s + 5)( s + 8)
MG = 20log10 K m
np=[1];
dp=poly([ 0 -5 -8]);
rlocus(np,dp)
km=519
mg=20*log10(km)
MG = 54.3 dB
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Teste em Simulink: Margem de ganho
K=519
muito próximo
da estabilidade
marginal
Tempo muito
longo para
visualizar a
instabilidade
k=522
Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de fase
Mínimo atraso de fase que pode ser
adicionado por um controlador a um
sistema de malha aberta estável de
modo a desestabilizar o sistema de
malha fechada.
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Margens de ganho e fase na FT senoidal
l
Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica:
G ( s ) = Ke − sTa P( s )
l
FT de malha fechada fica:
FTmf ( s ) =
l
Ke − sTa P ( s )
1 + Ke− sTa P( s )
Fazendo s = jω pode-se obter as frequências
que instabilizam o sistema malha fechada
fazendo
1 + Ke− jωT P( jω ) = 0
a
Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de ganho e fase na FT senoidal
1 + Ke− jωTa P( jω ) = 0
l
Duas condições para satisfazer a equação
KP ( jω ) = 1
e− jωTa P( jω ) = −180
l
A FT malha aberta pode ser escrita na forma
G ( jω ) = KP( jω ) e − jωTa e jφ ( jω )
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Margens de fase na FT senoidal
l
Quando a primeira é satisfeita
KP ( jω ) = 1
l
Pode-se definir
Frequência de
cruzamento de
ganho
ωcg
Pode-se observar o quão distante a fase θ
esta de satisfazer a segunda e− jωT P( jω ) = −180
Na frequência
ωcg
φ ( jω ) − θ = −180
θ = 180 + φ ( jω )
a
l
Margem de fase
em graus
Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de ganho na FT senoidal
l
Quando a segunda é satisfeita
e− jωTa P( jω ) = −180
l
l
Pode-se definir
ω cf
Frequência de
cruzamento de
fase
Pode-se observar o quão distante o ganho KP ( jω )
esta de satisfazer a primeira KP ( jω ) = 1
Na frequência
Margem de
ωcg
0 − 20 log10 ( KP( jω ) )
ganho em dBs
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exercício 19.2: Margem de fase
Dado a planta abaixo, calcule a sua
margem de fase:
Y ( s)
1
=
U ( s ) s ( s + 5)( s + 8)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução: Margem de fase
Y ( s)
1
=
U ( s ) s ( s + 5)( s + 8)
MF = 180 + (−90.5)
np=[1];
dp=poly([ 0 -5 -8]);
w=logspace(-3,2)
bode(np,dp,w)
wcg=0.025
MF = 89.5
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Teste em Simulink: Margem de fase
G ( s) = e− jωTa P( s)
Ta =
ωTa = θ
θ 89.5* pi /180
=
≅ 62.5
0.025
ω
Ta= 65s
Controle de Sistemas Mecânicos
Vizualização das margens
l
As margens podem ser visualizadas
diretamente nos diagramas de Bode,
Nyquist e Nichols.
l
Primeiramente faz-se necessário definir
algumas freqüências para visualização
das margens
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Definição dos pontos de cruzamentos
l
Freqüência de cruzamento de ganho:
– corresponde ao ponto em que o ganho cruza a
linha de zero decibéis no diagrama do módulo
Controle de Sistemas Mecânicos
Definição dos pontos de cruzamentos
l
Freqüência de cruzamento de fase:
– corresponde ao ponto em que a fase cruza a
linha de -180 graus no diagrama de fase
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Como calcular as margens
l
Na freqüência de cruzamento de ganho
define-se a margem de fase como o ângulo
que falta para completar 180 graus.
MF
Controle de Sistemas Mecânicos
Como calcular as margens
l
Na freqüência de cruzamento de fase definese a margem de ganho como a diferença em
decibéis para atingir zero dB.
MG
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Usando os diagramas de Bode
As margens podem ser vistas no diagrama de Bode
(comando margin)
Para a planta:
MG
Y ( s)
1
=
U ( s ) s ( s + 5)( s + 8)
MF
np=[1];
dp=poly([ 0 -5 -8]);
margin(np,dp)
Controle de Sistemas Mecânicos
No diagrama de Nyquist
Considerando
o ponto onde
zero Db ⇔ raio unitário
180o ⇔ cruzamento com o eixo real negativo
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Margens no diagrama de Nyquist
Nyquis t Diagrams
1
0.5
Imaginary Axis
As margens
podem ser
encontradas
no círculo
de raio
unitário e no
ponto de
cruzamento
do eixo real
negativo.
1/MG
0
-0.5
MF
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Controle de Sistemas Mecânicos
Margens finitas menores
A aproximação
dos cruzamentos
do ponto (-1,0)
gera margens
menores tanto
para o ganho
como para a fase
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Usando o diagrama de Nichols
As margens são visualizadas em um único gráfico
MF
MG
np=[1];
dp=poly([ 0 -5 -8]);
nichols(np,dp)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.1: Margens finitas
Y ( s)
1
=
U ( s) s( s + 2)( s + 4)
Para a planta (comando margin):
Bode Diagrams
Gm=33.625 dB (at 2.8284 rad/s ec), P m=84.647 deg. (at 0.1247 rad/s ec)
P has e (deg); Magnitude (dB)
0
MG
-50
-100
-100
MF
-150
-200
-250
10
-1
10
0
10
1
Frequency (rad/s ec)
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exemplo 19.1: Gráfico do lugar das raízes
Usando o comando rlocus:
Y ( s)
1
=
U ( s) s( s + 2)( s + 4)
6
4
Imag Axis
2
0
-2
-4
-6
-6
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
2
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.1: Diagrama de Nyquist
Para a planta:
Y ( s)
1
=
U ( s) s( s + 2)( s + 4)
% raio unitário
teta=linspace(0,2*pi,100);
re=cos(teta);
im=sin(teta);
plot(re,im,'k')
axis equal, hold on
np=1;
dp=poly([-4 -2 0]);
sys=tf(np,dp);
[r i]=nyquist(sys);
r1(1,:)=r(1,1,:);
i1(1,:)=i(1,1,:);
plot(r1,i1,'b'), grid
zoom
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.02
0
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
0.02
Exemplo 19.1: Diagrama de Nichols
Y ( s)
1
=
U ( s) s( s + 2)( s + 4)
Para a planta:
Nichols Charts
50
Open-Loop Gain (dB)
0
-50
-100
-150
-200
-260
-240
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
Open-Loop P has e (deg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Margem de ganho infinita
Para a planta:
Y ( s)
16
=
U ( s) ( s + 2)( s + 4)
Bode Diagrams
Gm = Inf, P m=93.268 deg. (at 2.6623 rad/s ec)
P has e (deg); Magnitude (dB)
0
-20
-40
0
-50
-100
-150
10
0
10
1
Frequency (rad/s ec)
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exemplo 19.2: Lugar das raízes
Y ( s)
16
=
U ( s) ( s + 2)( s + 4)
Para a planta:
3
2
Imag Axis
1
0
-1
-2
-3
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Diagrama de Nyquist
Para a planta:
Y ( s)
16
=
U ( s) ( s + 2)( s + 4)
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exemplo 19.2: Diagrama de Nichols
Y ( s)
16
=
U ( s) ( s + 2)( s + 4)
Para a planta:
Nichols Charts
0
Open-Loop Gain (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Open-Loop P has e (deg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Sempre estável
Para a planta:
Y (s)
8
=
U ( s ) ( s + 2)( s + 4)
Bode Diagrams
Gm = Inf, P m=180 deg. (at 0 rad/s ec)
P has e (deg); Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
0
-50
-100
-150
10
0
10
1
Frequency (rad/s ec)
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exemplo 19.3: Lugar das raízes
Y (s)
8
=
U ( s ) ( s + 2)( s + 4)
Para a planta:
3
2
Imag Axis
1
0
-1
-2
-3
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Diagrama de Nyquist
Para a planta:
Y ( s)
8
=
U ( s) ( s + 2)( s + 4)
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Exemplo 19.3: Diagrama de Nichols
Y (s)
8
=
U ( s ) ( s + 2)( s + 4)
Para a planta:
Nichols Charts
0
Open-Loop Gain (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Open-Loop P has e (deg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de Redução de ganho
Quando o sistema é instável em malha
aberta (pólos da FT de malha aberta no
SPD), a margem de redução de ganho é
definida como o menor ganho (Kr) que
assegure a estabilidade do sistema em
malha fechada:
MRG = 20 log10 (K r )
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Margem de Redução de ganho
Observar as margens juntamente com o
lugar das raízes da malha aberta
np=...;
dp=...;
figure(1)
margin(np,dp)
figure(2)
rlocus(np,dp)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.4: Margem de redução de ganho
Para a planta cuja FT é
G( s) =
3s 2 + 6s + 4
s3 + 1
calcule a margem de ganho e margem de fase e
justifique o resultado
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
Solução:
nps=[3 6 4];
dps=[1 0 0 1];
figure(1)
margin(nps,dps)
figure(2)
rlocus(nps,dps)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:
km=0.371
mg=20*log10(km);
mg= -8.6125
Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores