Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
ALGORITMOS BIO-INSPIRADOS APLICADOS AO AJUSTE DE UM REGULADOR
LINEAR QUADRÁTICO
Chrystian Lenon Remes∗, Renan Sebem∗, Mariana Santos Matos Cavalca∗
∗
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Rua Paulo Malschitzki, s/n - Campus Universitário Prof. Avelino Marcante
Joinville, Santa Catarina, Brasil
Emails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— In this paper, a linear-quadratic approach is proposed as controller for the presure system in
Festor didactical workstation, and its weight matrices Q and R are evaluated through different tuning methods.
The compared methods are bio-inspired algorithms and empirical tuning. Also, a study is developed on the
workstation, regarding the controllability, observability and stability of its pressure system.
Keywords—
tion.
Optimal Control, Linear-Quadratic Regulator, Genetic Algorithm, Particle Swarm Optimiza-
Resumo— Neste trabalho, é proposto a utilização de uma técnica linear quadrática como controle para o
sistema de pressão da bancada didática Festor e a avaliação de diferentes métodos de ajuste das matrizes de
peso Q e R. A comparação é realizada entre métodos de computação bio-inspirados com métodos empı́ricos no
ajuste destas matrizes. Também, é realizado um estudo da bancada, acerca da controlabilidade, observabilidade
e estabilidade do seu sistema de pressão.
Palavras-chave—
de Partı́culas.
1
Controle Ótimo, Regulador Linear-Quadrático, Algoritmo Genético, Método de Enxame
que é nada mais que um dispositivo de aquisição
de dados.
Neste trabalho propõe-se um método de
ajuste das matrizes de peso Q e R do LQR,
baseado em algoritmos bio-inspirados, para um
sistema de pressão da bancada didática Festo
(Festo, 2006).
No LQR, conforme mostrado na Equação 1,
existe uma ponderação entre os valores dos estados da planta e a ação de controle, conforme citado anteriormente. Esta ponderação é dada por
duas matrizes, comumente chamadas de Q e R,
onde Q pondera os estados da planta e R pondera
a ação de controle. Os valores atribuı́dos a Q e
R são geralmente o resultado do conhecimento já
adquirido da planta pelo operador ou da extração
exaustiva de dados empı́ricos, que não necessariamente podem convergir à solução mais eficiente.
Visando então ajustar as matrizes de pesos Q
e R através de um método sistematizado e que
possa atingir efetivamente um mı́nimo global da
função de custo (Equação 1), a utilização de algoritmos bio-inspirados, como algoritmos genéticos (Genetic Algorithms - GA) e o método de
exame de partı́culas (Particle Swarm Optimization - PSO), se mostra uma alternativa excelente,
que através de métodos iterativos pode obter os
valores ótimos das matrizes de peso Q e R, tendose em mãos especificações de projeto, como por
exemplo a definição de tempos de assentamento,
máximo sobressinal, etc.
No presente texto, será mostrada na Seção 2
uma breve descrição do sistema de pressão que
será controlado através do LQR, além de sua mo-
Introdução
O Regulador Linear Quadrático (Linear Quadratic Regulator - LQR) é uma técnica de controle
de extrema eficácia, largamente utilizada em Sistemas Lineares e Invariantes do Tempo (SLIT),
pois permite ajustar os ganhos do alocador de pólos em valores ótimos, através da minimização de
uma função de custo. Esta função de custo pode
tomar diferentes formas para cada problema. A
Equação 1 é uma forma bastante comum de representar esta função, levando em consideração uma
soma ponderada por Q e R entre os estados do
sistema, xk , e a ação de controle, uk , aplicada ao
mesmo.
J=
∞
X
(xTk Qxk + uTk Ruk )
(1)
k=0
Um bom motivo para uso do LQR na definição
dos ganhos dos estados da malha de controle é o
fato desta ferramenta prover um método bem definido de computação destes ganhos (Ogata, 2002).
O LQR será aplicado na mesa didática Festo,
presente no laboratório de Controle de Processos da Universidade do Estado de Santa Catarina
(UDESC), que pode ser acionada e controlada via
software MatlabTM através da ferramenta OPC
(Object Linking and Embedding for Process Control) e o Simulinkr. Assim, é possı́vel controlar os
atuadores eletrônicos da planta, fazer leitura dos
valores dos sensores e ainda controlar entradas e
saı́das digitais disponı́veis (Arruda, 2012). Todo
o processo de comunicação passa pelo Easy Port,
2909
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delagem. Na Seção 3, serão discutidos os dois algoritmos bio-inspirados, GA e PSO, utilizados no
ajuste das matrizes de peso Q e R do LQR. Na
Seção 4, serão mostrados os resultados comparativos dos controladores ajustados tanto pelo método
empı́rico tradicional, quanto pelos algoritmos GA
e PSO. Por fim, na Seção 5 é apresentada a conclusão dos métodos utilizados e dos resultados por
eles obtidos.
Pressure Tank
V108
V109
B103
Tank 101
V106
P101
2
V103
Descrição do Sistema de Pressão
A bancada didática Festo (Festo, 2006) possui um sistema hidráulico completo, possuindo 2
reservatórios e 1 tanque de pressão, além de diversas válvulas manuais, uma bomba hidráulica
proporcional e uma válvula eletrônica proporcional. A bancada didática é mostrada na Figura
1. Neste trabalho, a configuração hidráulica utilizada é mostrada no diagrama de blocos da Figura
2. São utilizados aqui apenas um reservatório e o
tanque de pressão, que é onde propõe-se controlar a pressão do sistema. O atuador é a bomba
hidráulica proporcional, o qual fará o controle da
pressão do tanque.
V105
M101
Figura 2: Diagrama de blocos do sistema hidráulico de pressão.
da tensão máxima.
É importante também destacar que variações
nas válvulas manuais da bancada implicam em variações no modelo do sistema e consequentemente
na saı́da do mesmo. Desta forma, todo o processo de modelagem e extração de resultados experimentais foi obtido sobre uma mesma configuração das válvulas manuais, de forma que estas
não sofreram quaisquer modificações ao longo da
obtenção dos dados. Ainda, buscou-se um ponto
de operação inicial onde a bomba proporcional e a
válvula eletrônica pudessem operar em uma região
de linearidade, estando este ponto em 80% e 25%
da tensão máxima aplicável de cada componente,
respectivamente.
2.1
Obtenção do modelo matemático do sistema
de pressão
Foi obtido através do System Identification
Tool do MatLabTM , o modelo matemático aproximado do sistema em um ponto de operação fixo,
através da resposta ao degrau aplicado na bomba
hidráulica. Estando o sistema operando no ponto
de operação, é então dada uma variação do tipo
degrau de +10% da tensão máxima aplicável na
bomba hidráulica proporcional. Desta forma, o
modelo de primeira ordem obtido representa a variação da saı́da dado uma variação na entrada. O
ı́ndice de correlação entre a planta real e o modelo
é de 88.16%.
A Equação 2 descreve o modelo do sistema de
pressão obtido:
Figura 1: Foto da bancada didática Festor.
Quanto as restrições fı́sicas existentes e caracterı́sticas não lineares, conforme citado em
(Arruda et al., 2013), tem-se que a ação de controle da bomba proporcional apresenta uma zona
morta, que vai de 0% até cerca de 25% do valor máximo de tensão que pode ser aplicada. A
válvula eletrônica proporcional V106 não adiciona variações significativas na resposta do sistema
quando alimentada com tensões maiores que 30%
G(s) =
1
(1 + τ1 s)
(2)
Foi ainda adicionado um filtro à malha de realimentação, dado pela função de transferência des-
2910
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crita pela Equação 3:
H(s) =
1
s+1
um sistema de pressão. Nele, o foco principal era
a análise e comparação da complexidade de cada
algoritmo utilizado para o aprendizado do FCM,
além de mostrar que ambos eram capazes de resolver o problema proposto.
No trabalho de (Serapião and Azzolini, 2012),
a heurı́stica de GA usando um mecanismo de punição e recompensa foi utilizada também para propósitos de aprendizagem, onde um conjunto de alguns robôs deve ser capaz de executar funções de
navegação autônoma.
Existem também diversos trabalhos de projetos de malhas de controle LQR utilizando algoritmos de otimização para encontrar as matrizes Q
e R mais adequadas para a especificação. O trabalho de (Wongsathan and Sirima, 2009) utiliza o
GA para a obtenção de Q e R em um projeto de
LQR para um pêndulo invertido.
O trabalho de (Selamat and Bilong, 2013) utiliza o PSO da mesma maneira, para um sistema de
suspensão ativa de um veı́culo guiado por trilhos.
Foi obtido uma redução de 33% no deslocamento
lateral do veı́culo, para a velocidade de 60 m/s.
A intenção do uso de algoritmos de otimização
neste trabalho é encontrar a relação ótima das matrizes Q e R utilizadas na minimização da função
de custo J do LQR, dadas especificações e restrições do sistema. Os dois principais algoritmos que
serão utilizados são o GA e o PSO.
(3)
Por fim, tem-se a Equação 4, que é a função de transferência em malha aberta do sistema,
composta pela planta e o filtro:
G(s) =
Kp
(1 + τ1 s)(s + 1)
(4)
Onde Kp = 0.67665 e τ1 = 7.6624 s.
A partir da função de transferência G(s) do
sistema na forma contı́nua, foi obtida então a
sua representação em espaços de estados, ainda
na forma contı́nua. Por fim, este sistema será
discretizado através do método zero-order holder
(ZOH), o qual resulta na seguinte representação,
conforme Equação 5:
0.8925 −0.0123
0.0945 0.9994
0.0945
0.0048
A=
B=
C=
0
0.0883
(5)
D=0
O perı́odo de amostragem utilizado foi Ts =
0.1 s, devido às limitações da bancada em operar
com perı́odos de amostragem menores.
2.2
3.1
Algoritmos Genéticos são uma excelente ferramenta quando se busca a solução de problemas
de otimização. Baseados na teoria evolucionária
de Darwin, a qual diz que dada uma população
existe a tendência de que os indivı́duos mais fortes
predominem, o GA busca o indivı́duo que melhor
se encaixa na função de custo desejada (Zanghi
et al., 2012). Existem duas formas de se montar
a lógica do GA. Uma utilizando-se de números na
representação binária, que é a metodologia aqui
utilizada, e outra utilizando-se de números reais,
conforme mostrado por (Angélico et al., 2012). A
seguir, serão descritos de maneira breve os passos realizados pelo GA utilizado para ajustar as
matrizes de peso do controlador do sistema.
Análise das caracterı́sticas do sistema em
malha aberta
O sistema em questão é caracterizado como
sendo de segunda ordem, conforme Equações 4 e
5, é controlável (possuindo o posto da matriz de
controlabilidade igual a 2) e observável (possuindo
posto da matriz de observabilidade igual a 2).
Além disso, o sistema também é estável em
malha aberta, já que seus autovalores da matriz
de estados discreta tem módulo menor que 1 (z1 =
0, 9048 e z2 = 0, 9870).
3
Algoritmos Genéticos
Algoritmos de Otimização
3.1.1
O número de aplicações que se utilizam de
algoritmos bio-inspirados vem crescendo em um
ritmo acelerado. Isto porque estes algoritmos conseguem lidar com a busca de mı́nimos e máximos
de funções, mesmo que estas possuam caracterı́sticas extremamente não-lineares ou que sejam de
difı́cil solução analı́tica.
Em (Angélico et al., 2012) foram utilizados os
algoritmos GA e PSO para aprendizado de Mapas Cognitivos Difusos (Fuzzy Cognitive Maps FCM) que possam atuar no controle também de
Seleção, Cruzamento e Mutação
O algoritmo inicia gerando uma população
inicial aleatória, onde cada individuo desta população é um candidato para a minimização da
função de aptidão.
Na seleção, é feita a avaliação dos indivı́duos de uma população através da função de aptidão, mais comumente conhecida por função fitness, onde é feita uma classificação de quais são
os melhores e piores indivı́duos. Neste trabalho, é
utilizada uma estratégia de elitismo, que garante
2911
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que os melhores indivı́duos irão fazer parte das
gerações futuras (Zanghi et al., 2012).
No cruzamento, os indivı́duos obtidos através
da etapa de seleção irão participar de um processo
de reprodução, gerando novos indivı́duos. Para
tanto, os indivı́duos são transformados em números binários. O número de cortes e a posição dos
mesmos é gerada de forma aleatória para cada par.
Os indivı́duos provenientes da etapa de seleção
irão realizar o cruzamento, dois a dois, também
de forma aleatória, mas sem que dois indivı́duos
se cruzem repetidamente.
Há ainda a etapa de mutação, que visa espalhar os indivı́duos no domı́nio de busca, diminuindo as chances de convergência em mı́nimos
locais. A escolha dos indivı́duos a serem mutados
é feita apenas dentro do grupo de indivı́duos gerados pela etapa de cruzamento, e é realizada de
forma aleatória. O método de mutação utilizado
consiste apenas na permutação de dois bits aleatórios do próprio indivı́duo e comutação de um outro
bit aleatório do mesmo indivı́duo selecionado.
Passados os processos de seleção, cruzamento
e mutação, tem-se por fim a nova população que
passará por uma nova avaliação através da função fitness, a fim de quantificar se algum individuo na nova população atende aos requisitos exigidos para tal função. Sendo os requisitos atendidos
por algum dos indivı́duos, este será o selecionado.
Não sendo atendidos os requisitos, retorna-se novamente aos passos de seleção, cruzamento e mutação.
3.2
mes na busca por comida.
Durante o processo de busca haverá uma partı́cula que terá o menor erro em relação à resposta
desejada. Além disso cada partı́cula tem armazenado a posição do menor erro que encontrou durante todo o processo de busca.
Assim, o movimento de cada partı́cula é ponderado por três componentes, sendo a primeira
componente em direção à melhor partı́cula, uma
segunda componente em direção a melhor posição
que a mesma já encontrou, e por fim, uma última
componente na direção do movimento do ciclo anterior, relacionada a inércia da partı́cula. E ainda,
a velocidade inicial de cada partı́cula é aleatória.
Existe uma condição especial quando a velocidade da partı́cula leva-a fora do campo de busca.
Esta condição é corrigida com a simulação de uma
colisão elástica no limite do campo de busca.
Existem alguns parâmetros de ajuste para a
busca por PSO, como o número de partı́culas, a
ponderação das parcelas da velocidade das partı́culas e o campo de busca. O parâmetro mais crı́tico na busca por PSO é o campo de busca, pois a
escolha equivocada dos limites do campo de busca
irá influenciar na convergência ou não do processo
de busca, pois o algoritmo pode convergir em uma
solução que não condiz com a realidade do problema. Além disso, a utilização de um campo de
busca muito extenso tornará o processo de busca
mais lento.
3.3
Construção da função fitness
Para que os algoritmos de otimização possam
encontrar os valores das matrizes de peso do LQR,
devem ser definidos alguns requisitos de projeto,
através dos quais será montada a função fitness.
Para tanto, a função fitness mostrada na Equação
6 é a soma do erro quadrático do tempo de assentamento e do máximo sobressinal, sendo que os
requisitos de projeto são os valores alvo de tempo
de assentamento e máximo sobressinal. É válido
observar que os requisitos de projeto do controlador devem ser realizáveis para que os algoritmos
de otimização possam atingir a convergência. O
objetivo dos algoritmos bio-inspirados é encontrar
os valores das matrizes Q e R, de forma que estas
sejam semi-definidas positivas e que façam com a
função fitness tenha valor zero.
PSO
O particle swarm optimization (PSO) é um
método de otimização de funções contı́nuas e não
lineares (Kennedy and Eberhart, 1995). É baseado no comportamento social de um bando de pássaros ou então de um cardume de peixes.
O algoritmo PSO também possui diversas
variações, como por exemplo o CPSO (Chaotic
PSO), proposto por Gao et al. (2008), onde é
utilizado um fator caótico no cálculo das velocidades das partı́culas, e o PSO-QI, mostrado por
Luite e Venayagamoorthy (2008), onde as partı́culas do algoritmo são manipuladas como se fossem
partı́culas quânticas, tendo estas associadas uma
densidade de probabilidade de estar em um determinado ponto.
Basicamente o algoritmo cria partı́culas dentro de um campo de busca de dimensão N em posições aleatórias, sendo que cada partı́cula é uma
candidata a minimizar a função de custo em questão (de Oliveira and Lopes, 2012). Cada partı́cula
tem associada a si uma velocidade e uma inércia,
que se modificam a cada iteração do algoritmo, fazendo assim com que as mesmas se movimentem
neste espaço N-dimensional, se assemelhando com
o comportamento de bandos de pássaros e cardu-
F (Mp , ts ) =
Mp − Mp alvo
Mp alvo
2
+
2
ts − ts alvo
ts alvo
(6)
Nota-se ainda que caso o projetista deseje é
possı́vel definir outras funções fitness que contemple outros requisitos comuns na área de controle
dinâmico de sistemas tais como tempo de pico,
tempo de subida, margem de fase ou mesmo margem de ganho.
2912
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Para cada iteração do GA e PSO, estes fornecem os valores das matrizes Q e R, a partir das
quais uma resposta ao degrau é simulada, e os
valores de máximo sobressinal e tempo de assentamento são calculados. Com estes valores calculados, a função fitness é testada. O processo todo
se repete até que a função fitness atinja um valor
tolerável próximo de zero.
4
Tabela 1: Dados experimentais encontrados com
matrizes Q e R obtidas de forma empı́rica.
Rodada
1
2
3
4
5
6
7
8
Resultados
O controlador LQR foi implementado
utilizando-se um estado estendido integrador, de
forma que o sistema pudesse seguir uma dada
referência. Isto resulta num sistema de ordem
aumentada (neste caso, a ordem do sistema
estendido é 3) (Cavalca et al., 2010). A Figura 3
ilustra a malha de controle completa em diagrama
de blocos.
Mp (%)
2,42
4,05
1,96
1,55
0,77
4.32
0.77
1.61
ts (s)
9,9
10,6
7,8
8,2
10,5
10,7
10,6
9,3
R e sp ost a ao d e gr au
0.09
P r e ssão ( b ar )
0.085
0.08
0.075
Rodada 4
Rodada 5
Rodada 7
0.07
r(k) +
-
e(k)
Integrador
Filtro
Realimentação
-Kw
+
+
u(k)
Saturador
-Kx
Bancada
FESTO®
dx/dt=Ax+Bu y(k)
y = Cx
0.065
0
x(k)
H(z)
Q/R
5
10
15
Te m p o ( s)
20
25
30
Figura 4: Três melhores resultados encontrados
utilizando as matrizes Q e R obtidas empiricamente.
GA
PSO
4.2
Figura 3: Diagrama de blocos completo da malha
de controle.
Projeto do Controlador LQR utilizando GA
e PSO
Para encontrar os melhores indivı́duos ou partı́culas, foi utilizada a função de custo descrita na
Equação 6, com os mesmos valores alvo definidos
anteriormente. A cada iteração de ambos os algoritmos bio-inspirados, eram obtidos os valores
das matrizes Q e R, que então eram aplicados em
uma simulação da planta. Através desta simulação, eram obtidos os valores de tempo de assentamento e máximo sobressinal da planta, que eram
aplicados novamente à função fitness F (Mp , ts )
para avaliação, conforme scripts disponı́veis em
(Remes et al., 2014).
A Tabela 2 mostra os parâmetros utilizados
para o GA, e a Tabela 3 para o algoritmo PSO.
Os limites inferior e superior da Tabela 3 são referentes ao campo de busca em q11 , q22 , q33 e R,
repectivamente.
A seguir, serão comentados os resultados experimentais da planta com o controlador LQR,
tendo suas matrizes de peso ajustadas tanto pelo
método empı́rico quanto através dos algoritmos
bio-inspirados.
Para comparação dos resultados, a função de
fitness descrita na Equação 6 possui os seguintes
valores alvo: ts = 4, 8 s e Mp = 0, 7%, obtidos
através de algumas simulações da planta com os
algoritmos bio-inspirados.
Tanto para os resultados obtidos empiricamente quanto para os resultados extraı́dos através
dos algoritmos bio-inspirados, foi utilizada uma
configuração onde a matriz Q é diagonal de dimensão 3 × 3 e a matriz R é um valor escalar.
4.1
F
7,17
24,36
3,63
1,98
1,42
28,25
1,47
2,57
Tabela 2: Parâmetros utilizados no GA
Projeto Empı́rico do Controlador LQR
Parâmetro
população
variáveis
bits (parcela inteira)
bits (parcela fracinária)
Através dos ajustes empı́ricos das matrizes de
peso Q e R, foram obtidos os seguintes resultados,
descritos na Tabela 1.
Nota-se que os 3 melhores resultados foram
obtidos das rodadas 4, 5 e 7. Na Figura 4, tem-se
um gráfico da resposta ao degrau destas rodadas,
para exemplificar a atuação do controlador.
Valor
40
4
16
8
Na Figura 5, é descrito o gráfico com os resul-
2913
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bons. A Figura 7 mostra a resposta ao degrau
utilizando a técnica empı́rica (rodada 5), PSO e
GA.
Tabela 3: Parâmetros iniciais utilizados no PSO.
Valor
100
4
[0, 0, 0, 0]
[100, 100, 100, 100]
[0.007 48]
5.5 %
0.4
0.55
0.05
R e sp ost a ao d e gr au
0.09
0.085
P r e são ( b ar )
Parâmetro
no de partı́culas
no de parâmetros
limite inferior
limite superior
alvo
tolerância
inércia
auto confiança
toward best
0.08
0.075
0.07
tados da resposta ao degrau do controlador LQR
que teve suas matrizes de peso ajustadas pelo GA.
Empirico 5
GA
PSO
0.065
0
5
10
15
Te m p o ( s)
20
25
30
Figura 7: Comparação entre os resultados das três
técnicas utilizadas.
R e sp ost a ao d e gr au
0.09
P r e ssão ( b ar )
0.085
0.08
5
Conclusão
0.075
Os algoritmos de otimização mostraram-se eficientes na busca das matrizes Q e R. Os resultados
encontrados com GA ou PSO possuem valores melhores que os encontrados empiricamente, mesmo
quando aplicados experimentalmente.
A partir das matrizes encontradas pelos algoritmos, foram obtidos resultados experimentais de
sobressinal e tempo de assentamento. Os resultados obtidos experimentalmente foram condizentes
com os resultados obtidos nas simulações.
Alguns parâmetros, como o número de partı́culas ou indivı́duos dos algoritmos de otimização
foram variados, e obtiveram pouca influência nos
valores encontrados de Q e R, com maior influência no tempo de convergência da busca.
A busca de maneira empı́rica das matrizes Q
e R é exaustiva se comparada com a realizada pelos algoritmos bio-inspirados. Mesmo após diversas tentativas não se encontrou valores tão bons
quanto os encontrados através dos algoritmos.
É importante destacar que as especificações
de sobressinal e tempo de assentamento são estudos de caso, os algoritmos propostos neste trabalho podem otimizar outras especificações, como
consumo de energia, tempo de subida e erro em
regime permanente.
Além dos algoritmos GA e PSO utilizados
neste trabalho pode-se utilizar um algoritmo hı́brido entre GA e PSO, que já foi utilizado no trabalho de (Shi et al., 2005).
0.07
0.065
0
5
10
15
Te m p o ( s)
20
25
30
Figura 5: Resultados encontrados utilizando as
matrizes Q e R obtidas através do GA.
Os valores de máximo sobressinal e tempo de
assentamento obtidos foram 0,66% e 5,1s, respectivamente, que aplicados na função de custo resultam em um valor de F = 0, 007172 experimental.
Já na Figura 6, é descrito o gráfico com os
resultados da resposta ao degrau do controlador
LQR que teve suas matrizes de peso ajustadas
pelo PSO.
R e sp ost a ao d e gr au
0.09
P r e ssão ( b ar )
0.085
0.08
0.075
0.07
0.065
0
5
10
15
Te m p o ( s)
20
25
30
Figura 6: Resultados encontrados utilizando as
matrizes Q e R obtidas através do algoritmo PSO.
Os valores de máximo sobressinal e tempo de
assentamento obtidos foram 1,36% e 6,4s, respectivamente, que aplicados na função de custo resultam em um valor de F = 1, 000091 experimental.
Ambos os resultados encontrados através dos
algoritmos GA e PSO são considerados muito
Agradecimentos
Os autores agradecem o apoio fornecido pelo
Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico
e Tecnológico (CNPq), pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CA-
2914
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
PES) e também ao Programa de Bolsas de Monitoria de Pós-Graduação (PROMOP) da UDESC.
Remes, C. L., Sebem, R. and Cavalca,
M. S. M. (2014).
ABILQR, http:
//www.mathworks.com/matlabcentral/
fileexchange/47058-renansebem-abilqr.
[Online; acessado em 26/Junho/2014].
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