FUVEST VESTIBULAR 2005 – FASE II
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
Q 01. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando
R$96, 00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o
preço unitário do produto A excede em R$2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A
que foi comprado.
RESOLUÇÃO.
Produto A
Unidades
x
Valor pago (R$)
96
Produto B
y
84
Total
x+y = 26
180
Preço unitário
96
x
84 96

2
y
x
Resolvendo o sistema:
x  y  26
 y  26  x
x  y  26

 42x

2


84
96


 y  42x   48  x  26  x  x  74x  1248 - 42x  0 


2
42x

48y
xy



y
x
48  x


x 2  74x  1248  42x  0  x2  116x + 1248 = 0 
116  13456  4992 116  8464 116  92


 x  12 ou x  104 (valor impossível) 
2
2
2
x = 12 e y = 14.
x
RESPOSTA: Foram compradas 12 unidades do produto A.
Q 02. Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa
linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3  3,
1


2
3


2

 tem posto 1.
6
A = 3a  b  2c 1


1
 b  c  3a
c  2a  b
2


RESOLUÇÃO:
Como a matriz A tem posto 1, então vale o sistema:
 3a  b  2c 1 6
  2

1 3
2

2


 b  c  3a c  2a  b



2
3


3a  b  2c  4 ( I )

( II )  e
 b  c  3a  2
1

2 1
c  2a  b  3 (III)
1
2
3a  b  2c  4
3a  b  2c  4
c  2



3c  6 (I  II)
3c  a  7 (I  III) a  1

b  3
RESPOSTA: a = 1, b = 3 e c = 2.
1
Q 03. Uma sequência de números reais a1, a2, a3, … satisfaz à lei de formação an + 1 = 6an, se n é ímpar e an + 1 =
1
an,
3
se n é par.
Sabendo-se que a1 =
2,
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38.
RESOLUÇÃO:
a)
Pelos dados da questão a série é: a1 =
a3+1 =
 
6 2 2  12 2 , a4+1=
2 , a1+1 = 6 2 , a2+1=
6 2
2 2,
3
12 2
 4 2 , a5+1 = 6(4 2 ) =24 2 ,....
3
Temos assim que os termos de ordem ímpar formam uma PG de primeiro termo
ordem par formam uma outra PG onde o primeiro termo 6
sequência são:
2 e razão 2, bem como os de
2 e a razão 2, que os oito primeiros termos da
2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .
b) a37 é o 19o da PG formada pelos termos de ordem ímpar da sequência considerada na questão, assim, A19 = a37
18
= 2.2 .
a38 é o 19o da PG formada pelos termos de ordem par da sequência considerada na questão, assim, B19 = a38 =
6
2.218 = 3. 219 2.
RESPOSTA: a37 e a38 são, respectivamente,
2 . 21 8 e 3. 21 9 2 .
Q 04. A figura representa duas circunferências de raio R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente,
tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que:
a) As retas t1 e t2 são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.
b) A reta t2 é tangente às circunferências no ponto D.
Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.
2
RESOLUÇÃO:
Do enunciado, tem-se
AB  t2. Traçando os raios BE  t1 e AF  t1 , tem-se a figura:
na qual vemos que os triângulos retângulos AFC e BEC são congruentes, respectivamente, aos triângulos ADC e BDC
 2 + 2 = 180o   +  = 90o  ABC é retângulo  CD =
R.r (a medida da altura de um triângulo retângulo é
a média geométrica entre as medidas dos segmentos que determina sobre a hipotenusa)  SABC =
RESPOSTA: SABC =
Rr (R  r)
.
2
Rr(R  r)
.
2
Q 05. Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do
triângulo retângulo ABC é
5
, determine o valor de m.
2
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo AOD: AD =
4  1  5 e SAOD =
1 2
1.
2
2
2
2
 5 
S
1  5 
 AD 
 2
Como os triângulos AOD e ABC são semelhantes  AOD  
 

 




5
S ABC
5
 AC 
m2
m2
2
5

m2
2
5
 m 2 2 2 5 m 2 2 2 5 m 2  5 2 2  m 
RESPOSTA: m 
5 2 2
2
 m
5 2 4

2
5 2
2.
2
3
Q 06.
Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r, cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado.
Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura),
e que o quadrado tem lado
2 7 , determine r.
RESOLUÇÃO:
Das informações do problema pode-se construir a figura acima.
A diagonal do quadrado ABCD é igual a 2r  AB 2 = 2r  AB = r 2  .EA = 2r + r 2
O triângulo AEO é retângulo e isósceles ( OE é um segmento da bissetriz do ângulo reto determinado pelas diagonais
7 r.
do quadrado) e OE = OF + FE =


Como OE = EA  2r  r 2  7  r  r  r 2  7  r 1  2  7 
r
7
2 1
 r

7


2 1
RESPOSTA: r  7

2 1
  7
2 1
 2  1 .

2 1 .
4
Q 07. Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2] que satisfazem a equação cos 2 2x 
1
 sen 2 x .
2
RESOLUÇÃO:
Sendo cos2x = cos2x – sen2x  cos2x =1 – 2sen2x.
Fazendo a devida substituição na equação cos 2 2x 

2 1  2sen 2 x

2

 


2
1
1
 sen 2 x , teremos: 1  2sen 2 x   sen 2 x 
2
2
2


 
 
 1  2sen 2 x  2 1  2sen 2 x  1  2sen 2 x  0  1  2sen 2 x 2 1  2sen 2 x  1  0 


1
1
2
1
ou senx   .
ou sen 2 x   senx  
2
2
2
4
5
7
, x3 =
ou x4 =
.
4
4
11
7
, x7 =
ou x8 =
6
6
7
11
ou
.
4
6
1  2sen 2 x  0 ou 2 1  2sen 2 x  1  sen 2 x 
2

3
, temos :x1 = , x2 =
2
4
4
1

5
De senx   , temos : x5 = , x6 =
6
6
2
  3 5 7 5
RESPOSTA: , ,
,
,
,
,
4
6 4 4 6
6
De senx  
Q 08. A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3.
As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide.
RESOLUÇÃO:
Consideremos o plano EFH contendo o segmento EG, altura da
pirâmide, e os segmentos EH e EF perpendiculares aos lados AB e
CD, respectivamente. O plano EFH é então perpendicular ao plano
EFH e FH//BC, logo FH = 3.
Sendo a área do triângulo EAB igual a 4 10 
AB  EH
4  EH
 4 10 
 4 10  EH  2 10
2
2
Sendo a área do triângulo ECD igual a 2 37 
CD  EF
4  EF
 2 37 
 2 37  EF  37 .
2
2
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos EGH e EGF temos o sistema
37  3  x 2  40  x 2
x  2

h 2  40  x 2
EG 2  EH 2  GH 2

2
2

 37  9  6x  x  40  x  h 2  36
 2
2
2
2
2
EG  EF  FG
h  37  3  x 
6x  12
h  6


O volume da pirâmide é V =
SABCE  h 4  3  6

 24 .
3
3
RESPOSTA: 24u.v.
5
Q 09. Seja f(x) = ax2 + (1 – a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero.
Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo
fechado compreendido entre as raízes.
RESOLUÇÃO:
Como o número 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes, então existem duas possibilidades de
gráficos:
Nos dois gráficos podemos notar que a e f(3), no intervalo entre raízes, têm sempre sinais diferentes, logo em qualquer
dos casos o produto a.f(3) será sempre um número não positivo, isto é a.f(3)  0  a 9a  31  a   1  0 

a(6a  4)  0 , cujas raízes são 0 e 

2
mas sendo f(x) uma função do 2o grau, temos que a tem que ser diferente de
3
zero.
Para determinar a solução da inequação a(6a  4)  0 , façamos o estudo da
variação do sinal do binômio a(6a+4):
RESPOSTA: Analisando o gráfico ao lado concluímos que a (6 a  4 ) 0
 2 
para a pertencente ao intervalo  , 0 .
 3 
Q 10. Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade
de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos
dois últimos lançamentos.
RESOLUÇÃO:
Como são 4 lançamentos sucessivos o número total de possibilidades do espaço amostral é de 6  6  6  6 = 64
o
o
Evento A : 1 lançamento = 2 lançamento
Evento B: 1o lançamento  2o lançamento
1o
6
6
Lançamentos
2o
3o
1
5
5
4
4o
5
4
n(A) = 6155
n(B) = 6544
A probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos
6 1 5  5 6  5  4  4 25
80 105 35
números sorteados nos dois últimos lançamentos, é então:
.





4
4
216 216 216 72
6
6
35
RESPOSTA: A probabilidade é
.
72
6