CURSO: AUDITOR FISCAL DA RECEITA FEDERAL
Estatística Inferencial – Fernando Martinez
2. Variáveis Aleatórias Discretas
Em estudos estatísticos, nem sempre estamos interessados diretamente nos resultados possíveis
de um experimento aleatório. Pense, por exemplo, em uma fábrica que, desejando verificar a
qualidade de seus produtos, escolhe um lote e dele retira 3 peças. Se representarmos as peças
boas por B e as defeituosas por D, os resultados possíveis, para o experimento, são:
É importante notar que a fábrica não está interessada propriamente nos resultados possíveis. Ela
está interessada no número de peças defeituosas. É isso que vai lhe permitir avaliar a qualidade de
seus produtos.
Assim, para conduzir o estudo estatístico, a fábrica vai associar a cada um dos resultados possíveis
um número, que representa o número de peças defeituosas. Daí surge o conceito de variável
aleatória.
Uma variável aleatória é uma descrição numérica dos resultados possíveis de um experimento.
Mais tecnicamente, uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada
elemento do espaço amostral. As variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas.
É importante lembrar que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.
Uma variável aleatória é chamada discreta se o seu conjunto de resultados possíveis for finito ou
infinito e enumerável. Na prática, os dados de uma variável aleatória discreta são obtidos através
de contagens.
Uma variável aleatória é chamada contínua se o seu conjunto de resultados possíveis for infinito
não enumerável. Na prática, os dados de uma variável aleatória contínua são obtidos através de
mensurações.
A seguir, revisaremos apenas os conceitos relativos às variáveis aleatórias discretas. Falaremos
mais das variáveis aleatórias contínuas mais a frente.
Pense novamente no exemplo da fábrica. A variável aleatória de interesse já foi determinada,
corresponde ao número de peças defeituosas em uma amostra de três peças. A partir de agora,
vamos representá-la por X. Repare que em uma amostra de três peças, podemos ter 0, 1, 2 ou 3
peças defeituosas. Assim, a variável aleatória X é discreta, pois pode assumir apenas 4 quatro
valores, a saber, 0, 1, 2, e 3. Observe ainda que esses valores são resultantes de contagens (do
número de peças defeituosas).
Cada valor que uma variável aleatória discreta possui determinada probabilidade.
A função que associa a cada valor da variável aleatória discreta sua respectiva probabilidade é
chamada de função de probabilidade.
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Vamos supor que depois de retirar inúmeras amostras de 3 peças, a fábrica tenha construído a
seguinte tabela de distribuição de frequências:
X
Frequência
Relativa
0
0,729
1
0,243
2
0,027
3
0,001
Total
1
Há várias definições de probabilidade. Uma delas, chamada abordagem frequentista, afirma que a
frequência relativa coincide com a probabilidade. Assim,
X
Probabilidade
0
0,729
1
0,243
2
0,027
3
0,001
Total
1
Observe que fizemos duas associações.
1º Associamos números aos resultados possíveis de um experimento (conceito de variável
aleatória).
2º Associamos probabilidades a cada valor da variável (conceito de função de probabilidade).
A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é denotada por
função em representa a probabilidade da variável X assumir o valor . Assim,
. O valor da
No exemplo da fábrica,
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Mais tecnicamente, a função
é uma função de probabilidade, função massa de probabilidade
ou distribuição de probabilidade da variável discreta X, se:
1.
2.
3.
Repare que todas essas condições são satisfeitas pela função de probabilidade do nosso exemplo.
Valor Esperado
Para calcular o valor esperado de uma variável aleatória discreta X (indicado por
), temos
multiplicar os valores da variável por suas respectivas probabilidades
e depois somar os
resultados. Assim,
O valor esperado também pode ser chamado de média, esperança ou expectância.
No exemplo da fábrica,
Calculemos o valor esperado da variável X, que corresponde ao número de peças defeituosas.
Assim, espera-se que 0,408 peças defeituosas sejam retiradas em uma amostra de três peças.
Variância
Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
variância de X é
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e média
. A
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A variância da variável X é obtida, calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à
média.
A raiz quadrada da variância, , é chamada de desvio padrão de X.
Desenvolvendo a fórmula da variância acima, chega-se a uma expressão operacionalmente mais
indicada. Veja:
Embora a variância seja definida como a média dos quadrados dos desvios em relação à média, é
mais fácil calcular a variância, utilizando sua fórmula desenvolvida. Para efeito de memorização, a
fórmula desenvolvida corresponde à média dos quadrados menos o quadrado da média.
Função de Distribuição Acumulada
A função de distribuição acumulada
de uma variável aleatória discreta X, que tem
distribuição de probabilidade
é definida, pondo:
Observação: a função de distribuição acumulada é monótona não decrescente, definida não
apenas para os valores assumidos pela variável dada, mas para todos os números reais.
Para entender melhor o significado da função de distribuição acumulada de uma variável aleatória
discreta, vamos supor que a variável X assume os seguintes com as seguintes probabilidades:
X
P(X)
1
0,30
2
0,15
3
0,20
4
0,25
5
0,10
De acordo com a definição:
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Construindo a tabela com os valores obtidos, fica:
X
P(X)
F(X)
1
0,30
0,30
2
0,15
0,45
3
0,20
0,65
4
0,25
0,90
5
0,10
1
É importante notar que:
Ao entender as igualdades acima, fica muito fácil resolver questões relativas a este assunto.
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Questões de Concurso:
1. Suponha um jogo disputado com um único dado honesto, em que um jogador ganha R$ 20,00
se aparece o numero 2, R$ 40,00 se aparece 4, perde R$ 30,00 se aparece 6, e não ganha nem
perde se aparece qualquer das outras faces. Determine a esperança do seu ganho.
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 1,00
R$ 2,00
R$ 3,00
R$ 4,00
R$ 5,00
2. (TRF/ESAF/2006) Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda. Se do lancamento dessas duas
moedas resultar duas caras, Paulo paga a Helena R$ 5,00. Dando qualquer outro resultado, Helena
paga a Paulo R$ 2,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor
esperado dos ganhos de Helena (considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga
a Paulo) e igual a
a)
b)
c)
d)
e)
- R$ 0,25
+ R$ 0,25
+ R$ 3,00
- R$ 1,50
+ R$ 1,25
3. (MPOG/ESAF/2006) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas
duas moedas resultar duas cara, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado,
Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o
valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando-se como ganhos negativos os
valores que ela paga a Suzana) e igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
1,5
- 0,75
0,75
- 1,5
2,5
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4. (Engenheiro de Produção/IBGE/2009/CESGRANRIO) Um gerente de projetos fez estimativas
para a execução de uma atividade do projeto, conforme a tabela abaixo.
Considerando o valor esperado de uma variável aleatória, qual é o prazo esperado, em dias, para a
execução da tarefa?
(A) 8,7
(B) 10,0
(C) 11,2
(D) 11,7
(E) 12,0
Considere as informações a seguir para responder às questões 5, 6 e 7. A viabilidade financeira
do projeto de uma microempresa leva em consideração dados históricos de 100 projetos
semelhantes. A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências do VPL – Valor Presente Líquido
(valores em milhões de reais) de um conjunto de microempresas similares.
5. (Analista Área-4/Banco Central/2010/CESGRANRIO) Utilizando os dados históricos acima, o
valor esperado para o VPL da microempresa, em milhões de reais, é
(A) -10
(B) 0
(C) 5
(D) 10
(E) 20
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6. (Analista Área-4/Banco Central/2010/CESGRANRIO) Segundo os dados históricos, o valor, em
milhões de reais, que mais se aproxima do desvio padrão do VPL da microempresa é
(A) 1
(B) 2
(C) 2,5
(D) 4
(E) 4,5
7. (Analista Área-4/Banco Central/2010/CESGRANRIO) Um projeto alternativo para o investidor
apresenta um VPL esperado, em reais, de 6 milhões e um risco (desvio padrão) de 2 milhões. Pela
ótica do risco relativo, qual o melhor investimento, a microempresa ou o projeto alternativo?
(A) A microempresa, pois apresenta um Coeficiente de Variação maior.
(B) A microempresa, pois apresenta um Coeficiente de Variação menor.
(C) O projeto alternativo, pois apresenta um Coeficiente de Variação maior.
(D) O projeto alternativo, pois apresenta um Coeficiente de Variação menor.
(E) É indiferente, pois os investimentos apresentam Coeficientes de Variação iguais.
8. (Analista de Pesquisa Operacional/Petrobrás/2010/CESGRANRIO) O número de caminhõestanque que chegam a um terminal de distribuição de combustíveis, para se abastecerem com
gasolina, em um período de uma hora, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de
probabilidades:
A média e a variância do número de caminhões por hora são, respectivamente,
(A) 1,60 e 0,64
(B) 1,60 e 0,08
(C) 1,55 e 0,36
(D) 1,50 e 5,00
(E) 1,50 e 2,25
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9. (Economista/Petrobrás/2010/CESGRANRIO) A distribuição de probabilidades da variável
aleatória X é tal que X = 1 com 50% de probabilidade ou X = 3 com 50% de probabilidade. Logo, a
média e o desvio padrão de X são, respectivamente, iguais a
(A) 2 e 2
(B) 2 e 1
(C) 2 e 0
(D) 1.5 e 2
(E) 1.5 e 1
10. (ENAP ESTATÍSTICO ESAF 2006) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do
lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando
qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam
estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se
como ganhos negativos os valores que ela paga a Suzana) e igual a
(A) 1,5.
(B) -0,75.
(C) 0,75.
(D) -1,5.
(E) 2,5.
11. (PETROBRAS CESGRANRIO 2010) Suponha que você esteja participando de um sorteio que
consiste na retirada de uma cartela de dentro de uma urna, onde está declarado o valor com o
qual você será contemplado. Considere ainda que existam dentro da urna 1000 cartelas, com os
valores assim distribuídos:




500 cartelas com o valor R$ 0,00;
300 cartelas com o valor R$ 50,00;
150 cartelas com o valor R$ 100,00;
50 cartelas com o valor R$ 200,00.
A medida que o número de cartelas retiradas for aumentando, tendendo para o infinito, para que
valor, em reais, tendera a media dos valores dos prêmios contemplados?
(A) 40,00
(B) 75,00
(C) 87,50
(D) 100,00
(E) 200,00
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12. (SUSEP ESAF 2006) Em uma casa de jogos (Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$
10,00, para quem obtiver uma face de número primo ao jogar um dado honesto é de R$ 20,00,
para quem obtiver outra alternativa (face de número não primo).Para N jogadas (sendo N um
número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da aposta, ou seja, o valor esperado,
será de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 10,00
R$ 10,33
R$ 13,33
R$ 15,00
R$ 17,33
13. (ANALISTA TRE PI FCC 2009) Uma fabrica produz peças, das quais 90% são boas. As demais
possuem algum tipo de defeito que não as inutiliza para o uso. As pecas são vendidas em caixas
com 2 peças. Se a caixa não tiver nenhuma peça defeituosa, seu preço de venda é R$ 200,00,
tendo uma peca defeituosa o preço e R$ 100,00 e tendo mais de uma, o preço e R$ 50,00. O preço
médio de uma caixa é
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 180,50
R$ 172,00
R$ 168,50
R$ 162,50
R$ 161,00
14. (FAZENDA RJ CEPERJ 2011) Uma variável aleatória discreta apresenta a distribuição de
probabilidades da tabela abaixo, em que um dos valores que assume foi substituído por ♦, e uma
das probabilidades foi substituída por ♥.
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X
P(X)
2
0,30
4
0,15
♦
0,20
10
♥
12
0,10
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Sabendo-se que a esperança dessa distribuição é igual a 6,30, o valor correspondente a ♦ e a
probabilidade correspondente a ♥ serão, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
5 e 0,15
6 e 0,25
7 e 0,25
8 e 0,25
9 e 0,15
15. (ANALISTA BACEN FCC 2006) Um investidor espera conseguir, com uma determinada aplicação
no mercado financeiro, as seguintes taxas reais de juros em função dos cenários “Bom”, “Médio” e
“Ruim”.
Cenário
Taxa Real
de Juros
Distribuição de
Probabilidades
do Cenário
Bom
+ 10
0,30
Médio
+8
0,50
Ruim
+5
0,20
A expectância e a variância da respectiva taxa de juros são, respectivamente
a)
b)
c)
d)
e)
8% e 0,67%
8% e 0,64%
8% e 0,03%
7,5% e 0,67%
7,5% e 0,09%
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Considere os dados a seguir para responder à questão 16.
Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes
números de moradores em cada uma:
16. (Técnico Administrativo/BNDES/2008/CESGRANRIO) Seja X a variável que corresponde ao
número de moradores em cada uma das 5 residências. Qual o gráfico da função de distribuição
acumulada de X ?
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17. (ANALISTA ESTATÍSTICO MPU ESAF 2004) Uma variável aleatória X tem função de distribuição
Assinale a opção que corresponde ao valor da função massa de probabilidades (ou função
densidade de probabilidades, se for o caso) de X no ponto
.
a)
b)
c)
d)
e)
0,250
0,333
0,083
0,583
0,417
18. (SEFAZ MG ESAF 2005) Uma variável aleatória X tem função distribuição de probabilidades
dada por:
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Assinale a opção correta.
a)
b)
c)
d)
e)
X é do tipo (absolutamente) contínuo é Pr (2 < x ≤ 4) = 0,461
X é do tipo discreto é Pr (2 < x ≤ 4) = 0,658
X é do tipo discreto é Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506
X é do tipo (absolutamente) contínuo é Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506
X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo Pr (2 < x ≤ 4) = e 0,506.
19. (ANALISTA BACEN FCC 2001) Uma variável aleatória X tem função de distribuição de
probabilidades dada por:
Assinale a opção que da o valor da probabilidade de X = 2.
(A) 7/12
(B) 11/12
(C) 1/3
(D) 3/4
(E) 10/12
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Distribuição Binomial
A distribuição binomial é uma função de probabilidade que fornece a probabilidade de ocorrência
de experimentos binomiais.
Chamamos de experimento binomial todo experimento que possui as seguintes características:



É formado por uma sequência de n provas (ensaios) independentes e do mesmo tipo;
Em cada ensaio (prova), somente são possíveis dois resultados. Um deles é chamado de
sucesso (aquele que se espera que aconteça) e o outro de fracasso (aquele que não se
espera que aconteça);
A probabilidade de ocorrência do sucesso em cada prova (ensaio) é indicada por p,
enquanto que a probabilidade de ocorrência do fracasso em cada prova (ensaio) é indicada
por q = 1 - p. É importante ressaltar que as probabilidades de sucesso e de fracasso são
constantes (não se alteram) durante a realização de todo o experimento.
A variável aleatória associada ao experimento binomial fornece o número de sucessos em n
ensaios. Por conta disso, ela é discreta, pois assume um número de finito de valores (o número de
sucessos pode ser 1, 2, 3, ..., ou n).
Em um experimento binomial, nosso objetivo será calcular a probabilidade de ocorrência de x
sucessos em n tentativas (ensaios). Para tanto, vamos definir a distribuição de probabilidade
binomial.
Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição binomial. A probabilidade de ocorrer x
sucessos, em n tentativas (provas, ensaios), de um experimento binomial, é dada pela seguinte
fórmula, chamada função de probabilidade de uma distribuição binomial:
Onde:




–
É importante lembrar que
probabilidade da variável X assumir o valor x.
, ou seja, o valor de f em x corresponde à
Por exemplo, ao lançarmos um dado 4 vezes, qual é a probabilidade da face 3 aparecer 2 vezes?
Esse é um exemplo de experimento binomial? Vejamos:
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


O dado será lançado 4 vezes (ensaios, provas idênticas). O fato de ocorrer a face 2 no
primeiro lançamento não vai influenciar o resultado do segundo lançamento e assim por
diante, logo os ensaios são independentes entre si.
Em cada ensaio (lançamento do dado) somente podem ocorrer dois resultados: face = 3
(sucesso) e face ≠ 3 (fracasso).
A probabilidade do sucesso p(face = 3)= p = 1/6 e a probabilidade do fracasso p(face ≠ 3)= q
= 1 - p = 1 – 1/6 = 5/6 são constantes durante a realização de todo o experimento.
Repare que esse exemplo se encaixa perfeitamente nas características de um experimento
binomial. Logo, a probabilidade da face 3 aparecer 2 vezes, ao lançarmos um dado 4 vezes, pode
ser calculada, utilizando a distribuição binomial.
Repare que:




–
Fazendo as devidas substituições, na função de probabilidade binomial, fica:
Assim, a probabilidade da face 3 ocorrer 2 vezes, em 4 lançamentos, é igual a 11,57%.
Valor esperado da distribuição binomial
O valor esperado, esperança matemática ou a média da distribuição binomial é dado pelo produto
entre o número de tentativas (ensaios) do experimento e a probabilidade de ocorrência do
sucesso de cada ensaio (constante). Assim,
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Variância da distribuição binomial
A variância da distribuição binomial é dada pelo produto entre o nº de ensaios, probabilidade do
sucesso e probabilidade do fracasso. Assim,
Vale lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
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Questões de Concurso:
20. (ENAP ESTATÍSTICO ESAF 2006) Um experimento binomial é um experimento que comporta
um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os resultados classificados em
apenas duas categorias, a saber: sucesso ou fracasso. Muito embora essa classificação seja
arbitrária, costuma-se denotar a probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por
q. Desse modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é dada por
(A)
30
50
p30 q20
(B)
30
50
p20 q30
(C)
30
50
p0 q20
(D)
30
50
p q20
(E)
30
50
p20 q0
21. (ANALISTA TÉCNICO SUSEP ESAF 2006) Se p é a probabilidade de um evento acontecer em
uma tentativa única e seu complemento (1 – p) é a probabilidade do evento não ocorrer
(distribuição binomial), então a probabilidade do evento ocorrer exatamente x vezes, em n
tentativas é dada por:
(A) p X =
x
n
px qn-x
(B) p X = 1 - px qn-x
(C) p X = px qn-x
(D) p X = 1
x
n
(E) p X = px
qn-x
px qn-x
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22. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO BACHAREL EM ECONOMIA FMP 2011) Segundo o controle de
qualidade de uma empresa, a probabilidade do seu produto apresentar falha é de 0,10. Três
pessoas compram o produto. A probabilidade de somente duas dessas pessoas terem comprado o
produto com falha é:
(A) 0,001.
(B) 0,009.
(C) 0,027.
(D) 0,243.
(E) 0,810.
23. (AFRFB ESAF 2009) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de
ocorrerem dois sucessos e doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as
probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
80 % e 20 %
30 % e 70 %
60 % e 40 %
20 % e 80 %
25 % e 75 %
24. (GDF SEJUS UNIVERSA 2010) Em certo plano amostral, em uma população de 100 elementos,
optou-se pelo seguinte critério: joga-se uma moeda (honesta) e, se der cara, o elemento entra na
amostra; se der coroa, ele não entra na amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra?
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 40
(E) 50
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25. (ANALISTA TRT 2º REGIÃO FCC 2008) Em uma grande cidade, a probabilidade de uma pessoa
responder corretamente a uma questão formulada por um entrevistador é igual a 40%.
Selecionando ao acaso três pessoas sem reposição e fazendo a pergunta para cada uma
independentemente, a probabilidade de pelo menos uma acertar a resposta é igual a
(A) 78,4%
(B) 60,0%
(C) 54,6%
(D) 48,0%
(E) 44,8%
26. (AFRE MG ESAF 2005) Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contábil grave
em uma auditoria seja 0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas, assinale a opção que
dá a probabilidade de que não mais do que uma detecte erro contábil grave.
(A) 2,8 4 5
(B) 0,400
(C) 0,2 10
(D) 2,8 4 5
(E) 2,8 4 5
10
27. (APO SEPLAG RJ CEPERJ 2011) Um analista sabe que, para os processos de dotação
orçamentária de uma determinada prefeitura, a probabilidade de encontrar alguma irregularidade
é de 20%. Presumindo que esses processos são independentes entre si, a probabilidade de que,
numa amostra de dez, no máximo dois processos apresentem alguma irregularidade será de:
(A) 1,80
(B) 3,40
(C) 0,64
(D) 4,04
(E) 1,60
0,8
0,8
0,2
0,8
0,2
8
8
8
8
2
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28. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA PETROBRÁS BIOCOMBUSTÍVEL CESGRANRIO
2010) Uma prova é composta por 5 questões objetivas. Cada questão possui 4 alternativas das
quais somente uma é a certa. A figura abaixo ilustra o cartão de respostas dessa prova.
Uma pessoa “chuta” todas as respostas diretamente no cartão, sem sequer olhar as perguntas da
prova. A probabilidade de que essa pessoa acerte mais do que 3 questões é
(A)
(B)
(C)
(D) 2
(E) 3
29. (Geólogo Petrobrás/2009/CESGRANRIO) Em uma camada de rocha reservatório de petróleo,
foi estimado que 60% de seu volume apresenta porosidade acima de 20% e o restante do volume
apresenta porosidade abaixo de 20%. De um conjunto de 6 amostras retiradas desta camada, qual
a probabilidade aproximada de que 2 delas apresentem porosidade acima de 20%?
(A) 0,91
(B) 0,87
(C) 0,42
(D) 0,31
(E) 0,14
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30. (Engenheiro de Equipamentos Júnior/Petrobrás/2009/CESGRANRIO) Seis válvulas são
escolhidas, aleatoriamente, da produção de um fabricante que apresenta 10% de peças
defeituosas. Qual a probabilidade de duas dessas válvulas apresentarem defeitos? Considere
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
31. (EPE/CESGRANRIO) Uma firma exploradora de petróleo acha que 95% dos poços que perfura
não acusam deposito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, a probabilidade de obter resultado
positivo em pelo menos um deles e, aproximadamente, de:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
96,1%
73,5%
30,0%
26,5%
3,9%
32. (SERPRO /ESAF) Uma Cia. aérea sabe que as chances são de 5 em 100 de que um passageiro
com reserva confirmada não apareça para o voo. Neste contexto, a Cia. vende 52 passagens para
um voo que só pode acomodar 50 passageiros. Assinale a opção que da a probabilidade de que
haja lugar disponível para todo passageiro que se apresente para viajar. Suponha que os
passageiros tomem suas decisões de viajar independentemente.
a)
b)
c)
d)
e)
(0,95)50
399/400
1/10
50/52
1-3,55 x (0,95)51
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33. (EMATER/PA/Estatístico/UNAMA/2005) Sabe-se que na prática de inseminação artificial
bovina, 20% dos casos não obtém sucesso. A probabilidade de que em quatro praticas dessa
inseminação, se obtenha três sucessos (nascimentos de filhotes) é de:
A)
B)
C)
D)
0,01.
0,02.
0,41.
0,51.
34. (FAE) Um agente de seguros vende apólices a 5 mulheres, todas da mesma idade e de boa
saúde. A probabilidade de uma mulher nessas condições estar viva daqui a 20 anos e de 1/2. A
probabilidade de pelo menos uma das mulheres estar viva daqui a 20 anos e de:
a)
b)
c)
d)
e)
31/32
1/32
5/32
6/32
16/32
35. (ANA ESAF 2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer
determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população,
qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta
variação genética?
a)
b)
c)
d)
e)
0,98%
1%
2,94%
1,30%
3,96%
36. (ATA MF ESAF 2009) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da
probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a)
b)
c)
d)
e)
35%
17%
7%
42%
58%
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Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada para fornecer as probabilidades do número de ocorrências de
determinado evento em um intervalo contínuo de tempo ou de espaço. Ela descreve, por
exemplo, a massa de probabilidades do número de ligações telefônicas em um intervalo de uma
hora (tempo) ou do número de defeitos em uma superfície metálica de quatro metros quadrados
(espaço). Os intervalos de tempo e espaço são contínuos, mas a variável aleatória correspondente
ao número de ocorrências de determinado evento é discreta.
Se uma variável aleatória X possui distribuição de Poisson, então sua função de probabilidade é
dada por:



: representa o número de ocorrências por unidade de tempo ou espaço;
: representa a taxa média de ocorrência por unidade de tempo ou espaço;
: número de Euler, vale aproximadamente 2,71828.
Nem sempre a questão fornece a taxa média de ocorrências ( ) na mesma unidade que devemos
utilizar para fazer os cálculos. A taxa média pode, por exemplo, ser fornecida em horas, mas a
resposta solicitada em minutos. Nesses casos, convertemos as unidades antes de fazer as contas.
Valor esperado da distribuição de Poisson
O valor esperado, esperança matemática ou a média da distribuição Poisson corresponde ao
parâmetro . Assim,
Variância da distribuição de Poisson
A variância da distribuição Poisson corresponde ao parâmetro . Assim,
Vale lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
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Aproximação da binomial pela Poisson
Se tomarmos a distribuição binomial e fizermos o número de tentativas tender ao infinito, é
possível demonstrar que a fórmula da binomial se transformar na fórmula de Poisson. Desse
modo, podemos afirmar que a Poisson corresponde à distribuição binomial, com o número de
tentativas tendendo ao infinito.
Embora a distribuição de Poisson coincida com a binomial, apenas na hipótese de o número de
tentativas tender ao infinito, ela pode ser utilizada como uma excelente aproximação da binomial,
mesmo que o números de ensaios seja finito. Entretanto, para utilizar a distribuição de Poisson,
precisamos determinar o valor do parâmetro . Sabemos que
corresponde à média da
distribuição de Poisson. Na distribuição binomial, a média é dada por
. Igualando as médias,
fica:
De posse de , podemos fazer uso da distribuição de Poisson.
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Questões de Concurso:
37. (AFRFB ESAF 2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma
distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a
refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
38. (PETROBRAS DISTRIBUIDORA ADMINISTRADOR CESGRANRIO 2010) Em um posto de gasolina
entram para abastecer, em média, 60 carros por hora. Qual a probabilidade de a cada 5 minutos
entrarem nesse posto, para abastecer, pelo menos 3 carros? Considere a seguinte fórmula para o
cálculo das probabilidades de Poisson:
onde:




(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x = número de sucessos desejados
= média da distribuição de Poisson
e = constante neperiano 2,71828
e3 = 20,08554 ; e5 = 148,41316
0,8754
0,7350
0,2650
0,1404
0,1246
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39. (ANALISTA MPE FCC 2006) O número de falhas de certo tipo de placa térmica tem distribuição
de Poisson, com taxa média de 0,1 defeitos por m2. Na confecção da superfície de um armário, é
necessário cobrir uma superfície de 2m por 2m com essa placa. A probabilidade de que haja pelo
menos uma falha nessa superfície e de:
(A) e-0,1
(B) 1 - e-0,1
(C) 1 - e-0,4
(D) e-0,4
(E) 1 - 1,4e-0,4
40. (ANALISTA TRF 1º REGIÃO FCC 2001) A probabilidade de que um item produzido por uma
máquina seja defeituoso é de 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta máquina e
selecionada ao acaso. Use a aproximação pela distribuição de Poisson para determinar a
probabilidade de que não mais do que um item defeituoso seja encontrado nesta amostra.
(A) 4e-3
(B) 4e-2
(C) 3e -3
(D) 1- 4e-3
(E) 1- 3e-3
41. (ANALISTA TRT 2ª REGIÃO FCC 2007) Sabe-se que a variável aleatória X é bi-modal para x = 1 e
x = 2 e que tem distribuição de Poisson. Sabendo que X é diferente de zero, a probabilidade de X
assumir um valor menor do que 3 é dada por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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42. (MPU FCC 2007) O número de pacientes atendidos por um clinico geral segue uma distribuição
de Poisson com taxa de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente
consulte o clinico geral em um período de 15 minutos e:
a)
b)
c)
d)
e)
43. (SEFAZ RJ FGV 2009) O número de clientes que buscam, em cada dia, os serviços de um
renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com media de 2 pacientes por dia. Para cada
cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de
duas cirurgias em um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Assinale a
alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião. (considere que
)
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 5.600,00
R$ 8.400,00
R$ 10.000,00
R$ 14.400,00
R$ 20.000,00
44. Uma caixa contem uma ficha vermelha e sete brancas. Extrai-se uma ficha ao acaso e anota-se
a cor, repondo-se na caixa e misturando as fichas. Utilizando a aproximação de Poisson determine
a probabilidade de que, em 8 extrações apareçam exatamente 3 fichas vermelhas.
a)
b)
c)
d)
e)
6,13%
7,25%
8,53%
9,67%
10,1%
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45. (AFPS) Sabe-se que o numero de clientes que procuram atendimento numa agencia da
previdência no período das 17 as 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes.
Assinale a opção que da o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período.
Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o numero neperiano.
a)
b)
c)
d)
e)
0,776
0,667
0,500
0,577
1,000
46. O número de navios petroleiros, digamos N, que chegam a determinada refinaria, a cada dia,
tem distribuição de Poisson, com media igual a 2. As atuais instalações do porto podem atender a
três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três
deverão seguir para outro porto. Em um dia, qual e a probabilidade de se ter de mandar
petroleiros para outro porto? ( e-1 = 0,37 e-2 = 0,137 e-3 = 0,05)
a)
b)
c)
d)
e)
12,1%
13,2%
14,9%
16,3%
17,6%
47. Sabe-se de experiência que num processo de auditoria contábil o numero de discrepâncias
entre valores registrados e auditados tem distribuição de Poisson com media 1. Seja e a base de
logaritmo neperiana. Assinale a opção que corresponde a probabilidade de que num determinado
processo de auditoria ocorra no mínimo uma discrepância entre valores registrados e auditados.
a)
b)
c)
d)
e)
1/e
1 – 1/e
(1/e) (1 – 1/e)
5,0%
3,8%
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(TJ PA Estatístico FCC 2009) Atenção: Para responder as questões de números 33 e 34 considere o
enunciado abaixo. O numero de falhas de certo tipo de placa plástica tem distribuição de Poisson,
com taxa media de 0,05 defeitos por m2. Na construção de um barco, e necessário cobrir uma
superfície de 8 m2 com essa placa.
48. A probabilidade de que não haja falhas nessa superfície e:
a)
b)
c)
d)
e)
49. Na construção de 2 barcos, que serão cobertos com uma superfície de 8 m2 cada com essa
placa, a probabilidade de que pelo menos 1 não apresente defeito na superfície é
a)
b)
c)
d)
e)
50. Uma variável aleatória x tem distribuição de Poisson com parâmetro 2. O valor de E[x2] e:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
4
6
16
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Gabarito
1–E
11 – A
21 – A
31 – D
41 – A
2–A
12 – D
22 – C
32 – E
42 – A
3–D
13 – A
23 – D
33 – C
43 – D
4–D
14 – C
24 – E
34 – A
44 – D
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5–C
15 – C
25 – A
35 – C
45 – D
6–E
16 – A
26 – E
36 – A
46 – B
7–D
17 – B
27 – D
37 – C
47 – B
8–A
18 – B
28 – A
38 – A
48 – D
9–B
19 – C
29 – E
39 – C
49 – C
10 – D
20 – A
30 – C
40 – A
50 – D
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