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3 – O modelo de crescimento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans (RCK)
3.1 – Introdução
3.2 – Crescimento óptimo
3.2.1 – Utilidade intertemporal
3.2.2 – Optimização dinâmica
3.2.3 – Análise da fórmula da taxa de crescimento óptimo do consumo per capita das famílias
3.2.4 – Função utilidade marginal instantânea com elasticidade constante
3.3 – Modelo RCK segundo Barro&XavierSala-i-Martin
3.3.1 – Hipóteses
3.3.2 – Comportamento optimizante das famílias
3.3.3 – Comportamento optimizante das empresas
3.3.4 – Condição fronteira
3.3.5 – Análise qualitativa da solução de SSG
⋅
∧
3.3.5.1 – k = 0
⋅
∧
3.3.5.2 – c = 0
3.3.5.3 – Diagrama de fase
3.3.5.4 – Ponto de equilíbrio de SSG: ponto de sela
3.3.6 – Análise quantitativa de SSG
3.3.6.1 – Linearização do sistema
3.3.6.2 – Resolução do sistema
3.3.6.2 – Exemplificação numérica
3.3.7 – Dinâmica de ajustamento da taxa de poupança
3.3.7.1 – Poupança de SSG
3.3.7.2 – Função poupança
3.3.8 – Efeito de substituição intertemporal e efeito rendimento
3.3.9 – Exercícios de dinâmica comparada
3.3.9.1 – Variações de g
3.3.9.2 – Variações de ρ
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3.1 - Introdução
Os modelos de crescimento estudados até agora são modelos de crescimento
exógeno com taxa de poupança exógena. Esta última hipótese significa que as
decisões das famílias sobre o emprego do seu rendimento para o seu horizonte
temporal de vida não foi considerado nos modelos de crescimento até agora
estudados. A consideração daquelas decisões no modelo de RCK implica, em
primeiro lugar, que a racionalidade económica subjacente ao comportamento
das famílias seja considerada explicitamente pelo modelo; em segundo lugar, a
taxa de poupança passa a ser uma variável endógena do modelo.
O modelo de RCK é um modelo canónico de crescimento óptimo, com um
horizonte temporal de vida infinito, foi elaborado de forma independente por
Ramsey (1928), Cass (1965) e Koopmans (1965). Ao contrário dos modelos
estudados anteriormente, este modelo tem uma natureza normativa já que as
trajectórias de equilíbrio das variáveis endógenas e o ponto de equilíbrio de
SSG são o resultado de decisões óptimas das famílias e empresas.
Foi por essa razão que no final da década de 60 e na década de 70 estes
modelos fizeram parte da agenda de investigação de Economia do
Crescimento. Com o ressurgimento da Economia do Crescimento na década
de 80, o interesse renovado por este tipo de modelos é também normativo mas
o quadro de análise alarga-se, já que o papel do Estado é estudado no seio de
modelos de crescimento óptimo endógeno.
No que se segue, iremos apresentar de forma resumida o modelo de RCK
seguindo Barro&Sala-i-Martin(1965).
3.2 – Crescimento óptimo
Iniciaremos a nossa análise pelo estudo do comportamento optimizante das
famílias supondo que o seu horizonte de vida é infinito. Trata-se pois de
estudar o problema da maximização da utilidade em dinâmica, supondo neste
caso que o horizonte temporal é infinito.
Em estática, a família maximiza a sua utilidade no período corrente,
maximizando o consumo, tendo em conta a sua restrição orçamental.
Sendo o horizonte temporal infinito, a família maximiza a sua utilidade para o
conjunto de períodos considerados, ou seja, maximiza o consumo intertemporal
tendo em conta a sua restrição orçamental intertemporal. Cada família possui
indivíduos que trabalham e que maximizam a sua utilidade tendo em conta a
geração actual mais nova e as gerações futuras de descendentes. A família
tem assim uma vida infinita apesar dos seus membros terem uma vida finita. A
consideração da família com um horizonte temporal infinito supõe que o
comportamento dos pais seja em parte altruísta em relação aos seus
descendentes:
“A família imortal corresponde a indivíduos com uma vida finita que estão ligados entre si
através de uma estrutura operativa de transferências intergeracionais que se baseiam no
altruismo” Barro&Sala-i-Martin, 1995, pp.60.
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3.2.1 – Utilidade intertemporal
Cada indivíduo adulto, membro da família, procura maximizar o seu consumo
ao longo do tempo, assim como o das gerações futuras, e valoriza em parte o
consumo presente, é um pouco egoísta, por isso desconta à taxa ρ (taxa de
preferência temporal pelo consumo presente), o consumo futuro.
Consideremos que cada família cresce à taxa n e que a dimensão das famílias
para t=0 é L(0)=1.
Função utilidade instantânea
A função utilidade instantânea é a função utilidade definida para uma data
(período). A utilidade total instantânea é uma função bem comportada, a
utilidade total instantânea cresce de forma decrescente.
(3.1) U ⎡⎣C ( t ) ⎤⎦ >0 com U ' ( t ) > 0 e U '' ( t ) < 0
A função pode ser rescrita considerando a utilidade total per capita.
U ⎡C ( t ) ⎤⎦
C (t )
c (t ) =
e u ⎡⎣c ( t ) ⎤⎦ = ⎣
L (t )
L (t )
(3.2)
u ⎡⎣c ( t ) ⎤⎦ > 0 , u ' ( t ) > 0 e u '' ( t ) < 0
A função utilidade total resulta da soma das utilidades totais instantâneas ao
longo do horizonte temporal infinito. Sendo a taxa de preferência temporal pelo
consumo presente positiva, a utilidade em t é actualizada à taxa
ρ.
Consideremos que o tempo é discreto e façamos a representação da função de
utilidade total intertemporal.
u ⎡c (1) ⎤⎦ u ⎡⎣c ( 2 ) ⎤⎦
u ⎡⎣ c ( t ) ⎤⎦
(3.3) U = u ⎡⎣c ( 0 ) ⎤⎦ + ⎣
+
+
⋅⋅⋅
+
2
t
1+ ρ
(1 + ρ )
(1 + ρ )
Se ρ apresentar um valor reduzido então, (1 + ρ ) − t e − ρ t
Podemos agora apresentar a função de utilidade intertemporal de cada família
no tempo contínuo, para o efeito devemos definir o integral próprio, de zero a
mais infinito, que corresponde à soma da utilidade total instantânea do período
t actualizada à taxa ρ e considere-se por hipótese simplificada que a taxa de
crescimento da família é zero.
∞
(3.4) U = ∫ u ⎡⎣c ( t ) ⎤⎦e− ρ t dt
0
Se a taxa de crescimento da família for superior a zero, n>0, então a fórmula
anterior é rescrita da seguinte forma.
∞
(3.5) U = ∫ u ⎡⎣ c ( t ) ⎤⎦e( n − ρ )t dt
0
3.2.2 – Optimização dinâmica
Na posse da função de utilidade intertemporal, vamos agora resolver o
problema da optimização da utilidade intertemporal das famílias. Para o efeito,
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vamos considerar uma economia de mercado muito simples, em que há
famílias e empresas, não há estado e a economia é fechada.
Cada família decide o que consumir a partir do produto corrente tendo em
conta a sua restrição orçamental. Cada família recebe rendimentos no período
corrente sob a forma de salários em troca dos serviços do trabalho e juros que
correspondem à remuneração dos activos das famílias, numa economia
fechada. A taxa de variação dos activos das famílias no período corrente é
igual aos rendimentos da família menos o consumo. O que não é consumido é
investido e a taxa de variação dos activos da família deve igualar a taxa de
variação do stock de capital per capita da economia.
∞
(3.6)
max U = ∫ u ⎡⎣c ( t ) ⎤⎦e− ρt dt
0
⋅
s.a : k t = f ( kt ) − δ kt − ct
condição fronteira 1
condições iniciais.
Para a resolução do problema de optimização dinâmica começa-se por
construir a função valor actual do hamiltoniano.
(3.7) H ( ct , kt , λt ) ≡ u ( ct ) e− ρt + λt ⎡⎣ f ( kt ) − δ kt − ct ⎤⎦
A função valor actualizado do hamiltoniano obtém-se adicionando à função
valor actualizado da utilidade, o multiplicador de Lagrange (λt) vezes o membro
esquerdo da equação dinâmica. (λt) representa o valor actualizado do
rendimento (do capital). Representa o valor actualizado (t=0) de uma unidade
adicional de rendimento de t expresso em unidades de utils, ou de forma
equivalente, já que a variação dos activos das famílias é igual à variação do
stock de capital per capita, representa o valor actualizado (para t=0) de uma
unidade adicional de capital de t expresso em unidades de utils.
Condições de 1ª ordem:
∂H
(3.8)
=0
∂c
Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor actualizado do
Hamiltoniano em ordem à variável de controlo c e iguala-se a zero.
∂H •
+λ =0
(3.9)
∂k
Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor actualizado do
hamiltoniano em ordem à variável de estado e iguala-se ao negativo da
derivada do multiplicador relativamente ao tempo.
∂H
= 0 ⇒ u ' (ct )e − ρt − λt = 0
(3.10) H c ≡
∂c
1
A condição fronteira só será estudada mais tarde. Do ponto de vista económico garante um comportamento
optimizante das famílias no final do horizonte temporal; do ponto de vista da resolução do modelo, a condição fronteira
a par das condições iniciais permitem que o sistema de duas equações diferenciais seja determinado. Mais à frente,
estudaremos a condição fronteira.
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⋅
(3.11)
H k = λt ⎡⎣ f ' ( kt ) − δ ⎤⎦ ∧ λt ⎡⎣ f ' ( kt ) − δ ⎤⎦ = − λ t ⇒
•
(3.12) λ t = −λt ⎡⎣ f ' ( kt ) − δ ⎤⎦
A equação (3.12) é denominada a regra de poupança óptima de Ramsey.
Se logaritmizarmos e derivarmos em ordem ao tempo a equação (3.10),
obtemos:
∂ ⎡⎣ln u ' (ct ) ⎤⎦
∂t
(3.13)
−
•
d ( ρ t ) ∂ ln λt
=
∂t
dt
•
u '' (ct ) ct
λt
−ρ =
'
λt
u (ct )
A equação anterior é rescrita para obtermos no primeiro termo do membro
esquerdo da equação (3.14), a expressão da elasticidade da utilidade marginal
relativamente ao consumo. Para o efeito multiplica-se e divide-se o primeiro
termo pelo consumo per capita corrente e ambos os membros da equação por
(-1).
•
•
⎡ u '' (c )c ⎤ ct
λt
(3.14) ⎢ − ' t t ⎥ − ρ =
λt
⎣ u (ct ) ⎦ ct
⎛ • ⎞
λt
Eliminando ⎜ − ⎟ das equações (3.11) e (3.13), obtemos a taxa de
⎜ λt ⎟
⎝
⎠
crescimento óptimo do consumo per capita.
•
(3.15)
'
c t f ( kt ) − δ − ρ
=
ct
⎡ u '' (ct )ct ⎤
⎢ − u ' (c ) ⎥
t
⎣
⎦
Podemos também considerar que n>0, neste caso as equações (3.6), (3.7),
(3.10), (3.11), (3.13), (3.14) e (3.15) são rescritas:
∞
(3.16)
max U = ∫ u ⎡⎣c ( t ) ⎤⎦e( n − ρ )t dt
0
•
s.a : k t = f ( kt ) − (δ + n ) kt − ct
Constrói-se a função valor actualizado do hamiltoniano.
n− ρ t
(3.17) H ( ct , kt , λt ) ≡ u ( ct ) e( ) + λt ⎡⎣ f ( ft ) − (δ + n ) kt − ct ⎤⎦
(3.18)
Hc ≡
∂H
= 0 ⇒ u ' (ct )e( n − ρ )t − λt = 0
∂c
•
H k = λt ⎡⎣ f ' ( kt ) − δ − n ⎤⎦ ∧ λt ⎡⎣ f ' ( kt ) − δ − n ⎤⎦ = − λ t
Se logaritmizarmos e derivarmos em ordem ao tempo a equação (3.18),
obtemos:
(3.19)
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∂ ⎡⎣ln u ' (ct ) ⎤⎦
∂t
(3.20)
+
•
d ( n − ρ ) t ∂ ln λt
=
∂t
dt
•
u '' (ct ) c t
λt
+n−ρ =
'
u (ct )
λt
A equação anterior é rescrita para obtermos no primeiro termo do membro
esquerdo da equação (3.21), a expressão do negativo da elasticidade da
utilidade marginal relativamente ao consumo. Para o efeito multiplica-se e
divide-se o primeiro termo pelo consumo per capita corrente e multiplicam-se
ambos os membros por (-1).
•
•
⎡ u '' (c )c ⎤ c t
λt
(3.21) ⎢ − ' t t ⎥ − n + ρ = −
λt
⎣ u (ct ) ⎦ ct
•
λt
das equações (3.19) e (3.21), obtemos a taxa de crescimento
Eliminando
λt
óptimo do consumo per capita.
•
⎡ u '' (ct )ct ⎤ c t
'
⎢− '
⎥ − n + ρ = ⎡⎣ f ( kt ) − δ − n ⎤⎦
⎣ u (ct ) ⎦ ct
•
(3.22)
'
'
ct ⎡⎣ f ( kt ) − δ − n ⎤⎦ + n − ρ f ( kt ) − δ − ρ
=
=
ct
⎡ u '' (ct )ct ⎤
⎡ u '' (ct )ct ⎤
−
⎢ u ' (c ) ⎥
⎢ − u ' (c ) ⎥
t
t
⎣
⎦
⎣
⎦
•
c t f ( kt ) − δ − ρ
=
ct
θ (ct )
Regra geral, a elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo é
variável, dependendo do nível de consumo corrente.
'
3.2.3 – Análise da fórmula da taxa de crescimento óptimo do
consumo per capita das famílias
A taxa de crescimento óptimo do consumo per capita é igual ao rácio, taxa de
rentabilidade líquida do investimento menos a taxa de preferência pelo
consumo presente/o simétrico da elasticidade da utilidade marginal
relativamente ao consumo.
O numerador da fracção exprime o incentivo ao consumo futuro, quanto mais
elevada for a taxa de rentabilidade líquida do investimento relativamente à taxa
de preferência temporal pelo consumo presente, maior será o incentivo a
poupar no presente. O denominador representa o negativo da elasticidade da
utilidade marginal relativamente ao consumo. Quanto mais elevada for a
elasticidade em valor absoluto, maior será o incentivo ao consumo presente
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porque à medida que o consumo aumenta, a utilidade marginal decresce
rapidamente.
A taxa de crescimento óptimo do consumo per capita é positiva, nula, negativa
se a taxa de rentabilidade líquida do investimento per capita for superior, igual
ou inferior à taxa de preferência temporal pelo consumo presente. Em equilíbrio
de SSG aquela taxa deverá ser nula, na ausência de progresso técnico.
3.2.4 – Função utilidade marginal instantânea com elasticidade
constante
A especificação que utilizaremos para a função de utilidade total instantânea é
a função utilidade com elasticidade constante. Trata-se de uma função muito
simples cuja elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo não
depende do nível de consumo.
c1−θ
; u ' (ct ) = c −θ e u '' (ct ) = −θ c −θ −1
(1 − θ )
E cuja elasticidade é constante e o seu simétrico é igual a θ .
⎡ −θ c −θ −1 ⎤
(3.24) −ε u '( ct ),ct = − ⎢ −tθ ⎥ ct = θ
⎣ ct
⎦
Tendo em conta esta função de utilidade, a fórmula da taxa de crescimento
óptimo do consumo transforma-se em:
(3.23) u (ct ) =
⋅
'
c t f ( kt ) − δ − ρ
(3.25)
=
ct
θ
Se considerarmos agora que existe progresso técnico e que este é exógeno e
cresce à taxa g, a fórmula da taxa de crescimento do consumo óptimo per
capita é reescrita em termos do consumo em unidades de trabalho eficiente e
obtemos:
(3.26)
•
∧
•
ct
ct
∧
ct
=
ct
∧
−g =
f ' (k t ) − δ − ρ − θ g
θ
3.3.3 – Comportamento optimizante das empresas
As empresas produzem um único bem e utilizam os serviços do capital que é
propriedade das famílias. Em troca, as empresas pagam às famílias uma renda
pela remuneração dos serviços do capital. A taxa de rentabilidade líquida de
uma unidade de capital será igual a R-δ; como as famílias podem fazer
empréstimos entre elas, considerando o capital e os empréstimos substitutos
perfeitos, a txa de rentabilidade líquida do capital será igual à taxa de juro r.
(3.27) R − δ = r ⇒ R = r + δ
As empresas maximizam os lucros:
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maxΠ = max [ F ( K, L, t ) − (r + δ)K − wL ] ⇒
(3.28)
}
⇒ max {( AL ) ⎡ f (k) − (r + δ) k − we ⎤
∧
∧
− gt
⎢⎣
⎥⎦
Condições de maximização de 1ª ordem:
⎡K ⎤
⎢ AL ⎥⎦
∂Y
∂ ⎡
AL.f (k) ⎤ ⇒ AL.f (k) ⎣
=
⇒
⎥⎦
∂K ∂K ⎢⎣
∂K
∧
∂
∧
'
(3.29)
1
∧
⇒ AL.f (k)
'
∂Π
(3.30)
∂K
=0⇒
∧
= f (k)
'
AL
∂Y
∂K
− (r + δ) = 0 ⇒
∧
⇒ f (k) = r + δ
'
A produtividade marginal é igual à taxa de rentabilidade bruta do capital.
∧
(3.31)
f (k) = r + δ
'
Analisemos agora a condição de 1ª ordem relativamente ao factor trabalho e
para o efeito, explicitemos a fórmula da produtividade marginal do trabalho.
∂Y
(3.32)
∂L
∂Y
∂L
=
∂ ⎡
ALf (k) ⎤ = ⎡ f (k) − f (k) k ⎤ A
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
∂L ⎢⎣
∧
∧
∧
∧
'
= ⎡ f (k) − f (k) k ⎤ e com A = 1
∧
∧
∧
'
⎣⎢
gt
⎦⎥
0
ou ainda:
∧
∂Π
(3.33)
∂L
∂Π
∂L
=0⇒
∂Π
∂L
=
}
∂ {( AL ) ⎡ f (k) − (r + δ) k − we ⎤
∧
⎣⎢
∂L
− gt
⎦⎥ = 0
= 0 ⇒ A ⎡ f (k) − (r + δ) k − we ⎤ +
∧
∧
− gt
⎢⎣
+ AL ⎡ f (k) ⎤ k
∧
⎢⎣
∧
'
1
⎥⎦ L
∧
− (r + δ) k
1
L
⎥⎦
=0
E assim virá:
w = ⎡ f (k) − f (k) k ⎤ e
∧
(3.34)
⎢⎣
∧
∧
'
⎥⎦
gt
Tenhamos agora em conta a restrição orçamental das famílias:
•
(3.35)
a = w + ra − c − na
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A taxa de variação instantânea dos activos das famílias é igual aos salários
mais a remuneração dos activos menos o consumo menos o valor dos activos
afectado aos que nascem.
Tenhamos em conta as equações (3.31),(3.34) e (3.35) e ainda a equação de
definição do stock de capital em unidades de eficiência em função do stock de
capital per capita e iguale-se a taxa de variação dos activos à taxa de variação
do stock de capital per capita.
∧
(3.36)
a = k ∧ k= k egt
Derivando em ordem ao tempo (3.36) obtém-se:
•
(3.37)
•
∧
∧
a = k egt + g k egt
Iguala-se o 2º membro de (3.37) ao 2º membro de (3.35) e substitui-se r e w
pelas suas respectivas expressões:
•
∧
(3.38)
k egt + g k egt = ⎡f (k) − f ' (k) k ⎤ egt + r k egt − n k egt -cegt
⎢⎣
⎥⎦
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
⋅
∧
Eliminando e e resolvendo em ordem a k obtém-se:
gt
•⋅
∧
(3.39)
∧
∧
k = f (k) − (g + δ + n)-c
Trata-se da equação dinâmica do modelo de RCK relativa à variável de estado
⋅
∧
k.
3.3.4 – Condição fronteira
Analisemos agora a condição fronteira.
(3.40)
lim
a tλ t = 0
t →∞
O valor dos activos das famílias deve tender para zero quando t diverge para
infinito. Tal significa que um indivíduo que optimiza a sua utilidade não gostaria
de ter activos com valor positivo no fim da sua vida porque isso significaria que
se esses activos tivessem sido utilizados no passado, a sua utilidade teria
aumentado.
A partir da equação de Euler do modelo, resolve-se a equação diferencial em
relação ao tempo. Trata-se de uma equação diferencial linear com coeficiente
t
variável r(λ ) . O factor de integração é neste caso e
(3.41)
∫0 [r ( λ ) − n ]dλ
.
d ln λ t
dt = − [ r(λ ) − n ] dλ
dt
t
d ln λ t
=
dt
∫
∫ − [ r(λ ) − n ] dλ
0
dt
ln λ t = ∫ − [ r(λ ) − n ] dλ + const
t
0
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E obtém-se:
t
∫ −[r ( λ ) − n]dλ
(3.42)
λ t = λ 0e 0
Substitua-se em (3.40) o preço sombra de t pela sua expressão:
t
∫ −[r ( λ ) − n]dλ
lima
λ 0e 0
t
t →∞
=0
Como o preço sombra em t=0 é positivo, podemos não considerá-lo na
equação anterior e virá:
t
∫ − [ r ( λ ) − n ] dλ
e0
(3.43) lima
t
t →∞
=0
Substituindo a(t) por k(t) obtemos uma nova expressão para a condição
fronteira.
t
∫ −[r ( λ ) − n − g]dλ
∧
kt e0
(3.44) lim
t →∞
=0
∧∗
∧
lim
k t = k ⇒ r(λ ) > g + n
t →∞
(3.45)
Se substituirmos r(λ) pela sua expressão de equilíbrio, obtém-se
∧
(3.46) f (k) − δ > g + n
A condição fronteira exige que a taxa de rentabilidade do investimento líquido
seja superior à taxa de crescimento do stock de capital.
'
3.3.4 – Análise qualitativa da solução de SSG
O estudo do equilíbrio de SSG através da análise qualitativa supõe a
construção das curvas demarcadoras do plano de fase. Estas curvas são
obtidas através das equações dinâmicas do modelo, igualando a zero as
respectivas taxas de crescimento das variáveis capital e consumo medidas em
unidades de trabalho eficiente. Apresenta-se também a relação de ordem entre
a soma de parâmetros do modelo, deduzida a partir da condição fronteira e que
permitirá, posteriormente, situar o ponto de equilíbrio de SSG relativamente ao
ponto de equilíbrio da regra de ouro da acumulação de capital.
As equações dinâmicas do modelo de RCK são as seguintes:
•
∧
∧
∧
∧
(3.47) k t = f (k t ) − (n + g + δ ) k t − c t
•
∧
(3.48)
ct
∧
ct
=
1 ⎡ '⎛∧ ⎞
⎤
f ⎜ kt ⎟ − δ − ρ −θ g ⎥
⎢
θ⎣ ⎝ ⎠
⎦
⋅
∧
3.3.4.1 – A função k = 0
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⋅
∧
∧
∧
∧
(3.49) k = 0 ⇒ c = f (k ) − ( n + g + δ ) k
∧ ∧
A função acima dá-nos as combinações de ⎛⎜ k , c ⎞⎟ para as quais a taxa de
⎝
⎠
crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente é nula. Esta
função resulta da diferença entre a função de produção e a recta que a
intersecta no ponto (0,0) e no ponto para o qual o consumo em unidades de
eficiência é nulo e o investimento em unidades de eficiência é máximo. A
função apresenta um máximo. Façamos a representação gráfica.
∧
∧
(n + g + δ ) k
f (k )
∧
k
∧
c
•
∧
k =0
∧
∧
k
*
∧
k
m
a x
k
•
∧
Gráfico 1 – Curva demarcadora k = 0
•
∧
3.3.4.2 – A função c = 0
•
∧
∧
(3.50) c = 0 ⇒ f ' (k ) = δ + ρ + θ g
⎛ ∧ ∧⎞
A função acima dá-nos as combinações de ⎜ k , c ⎟ para as quais a taxa de
⎝
⎠
crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente é nula. A
produtividade marginal do capital é constante seja qual o valor do consumo em
unidades de trabalho eficiente. Façamos a representação gráfica.
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•
∧
∧
c=0
c
•
∧
k =0
∧
∧
k
k
∧
*
k
m ax
•
∧
Gráfico 2 – Linha demarcadora c = 0
3.3.4.3 – Diagrama de fase
∧
Analisemos agora a dinâmica de c .
•
∧
c
∧
c
e
a
b
∧
k
∧
Gráfico 3 – Dinâmica de c
A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região da direita o
consumo em unidades de trabalho eficiente diminui, na região da esquerda, o
consumo em unidades de trabalho eficiente aumenta. Tomemos o ponto a para
mostrarmos que na região da direita a taxa de crescimento do consumo em
unidades de trabalho eficiente diminui e, para o efeito, tenhamos em conta a
expressão da taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho
eficiente:
∧
∧
⎛∧ ⎞
⎛∧ ⎞
⎛∧ ⎞
ka > ke ⇒ f ' ⎜ ka ⎟ < f ' ⎜ ke ⎟ ⇒ f ' ⎜ ka ⎟ < δ + ρ +θ g ⇒
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∧
∧
1⎡
⎤
(3.51) ⇒ f ' ⎛⎜ k a ⎞⎟ − (δ + ρ + θ g ) < 0 ⇒ ⎢ f ' ⎛⎜ k a ⎞⎟ − (δ + ρ + θ g ) ⎥ < 0 ⇒
θ⎣ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎦
•
∧
⇒
c
∧
<0
c
O estudante pode proceder de forma análoga relativamente ao ponto b.
∧
Analisemos agora a dinâmica de k .
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∧
c
b
•
∧
k =0
e
a
∧
∧
k*
k
∧
Gráfico 4 – Dinâmica de k
A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região interior à curva
demarcadora, o stock de capital em unidades de trabalho eficiente aumenta;
pelo contrário, na região exterior à curva de marcadora, o stock de capital em
unidades de trabalho eficiente diminui. Tomemos o ponto a para mostrarmos
que na região interior à curva, a taxa de crescimento do stock de capital em
unidades de trabalho eficiente diminui e para o efeito comparemos com o ponto
e e tenhamos em conta a expressão da taxa de crescimento do stock de capital
em unidades de trabalho eficiente.
∧
∧
∧
∧
∧
∧
c a < c b ⇒ c a < f (k a ,e ) − ( n + g + δ ) k a ,e ⇒ k a ,e
(3.52)
∧
∧
∧
⋅
∧
⇒ f (k a ,e ) − c a − ( n + g + δ ) k a ,e > 0 ⇒ k
O estudante pode fazer um exercício análogo para o ponto b.
Estamos agora em condições para construir o diagrama de fase do modelo de
RCK. Para o efeito, apresentamos num mesmo gráfico as curvas
∧
∧
demarcadoras e as dinâmicas conjuntas de c e k nas quatro regiões em que o
plano foi divididdo.
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∧
•
∧
c
c=0
II
I
•
∧
k =0
IV
III
∧
∧
k*
k
Gráfico 5 – Diagrama de fase do modelo de RCK
3.3.4.4 – Ponto de equilíbrio de SSG: ponto de sela
∧
∧
A dinâmica de c e k expressa no gráfico 5, mostra que o ponto de equilíbrio de
SSG é um ponto de sela. É um ponto de equilíbrio instável. Se a economia se
encontrar em desequilíbrio na vizinhança do ponto de sela, só a ele retornará
se se encontrar sobre o ramo estável. O ramo estável é a recta que se
encontra nas regiões I e III do plano e que passa pelo ponto de equilíbrio de
SSG, ver gráfico 6.
∧
c
•
∧
c=0
II
I
•
∧
k =0
III
IV
∧
k*
∧
k
Gráfico 6 – Ponto de equilíbrio de sela
Podemos agora analisar geometricamente o que acontecerá se a economia se
encontrar numa das quatro sub-regiões.
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∧
c
⋅
∧
c=0
II
o
o
III
I
⋅
∧
k =0
IV
∧
∧
k*
k
Gráfico 7 – Trajectórias de desequilíbrio
Como mostra o gráfico 7, qualquer que seja a região em que se encontre a
economia, esta afasta-se do ponto de equilíbrio de SSG, exceptuando se se
encontrar sobre o ramo estável da economia.
Podemos agora analisar com mais rigor o graf.1 e o graf. 2. O equilíbrio
(descentralizado) de SSG está aquém do equilíbrio da Regra de Ouro, o stock
de capital e o consumo per capita são menores.
A linha demarcadora do consumo per capita em unidades de trabalho eficiente
diz-nos que em situação de SSG, a taxa de juro é igual à taxa de desconto
efectiva, (ver (3.50)). Aquela equação juntamente com a condição fronteira
permitem que se chegue à conclusão que a taxa de desconto efectiva é
superior à taxa de crescimento do stock de capital físico o que implica que o
stock de capital em unidades de trabalho eficiente de SSG é inferior ao da
regra de ouro.
∧
f '(k ) * −δ = ρ + gθ ∧ f '(k ) * −δ > g + n ⇒ ρ + gθ > g + n
∧
∧
f '(k )ouro − δ = n + g ∧ f ''(k ) < 0 ∧ ρ + gθ > g + n ⇒ k * < kouro
3.3.6 – Análise quantitativa de SSG
Apresenta-se de seguida a log-linearização do sistema de equações
diferenciais do modelo de RCK o que nos vai permitir determinar a solução do
sistema.
3.3.6.1 – Log-linearização do sistema
Faz-se uma aproximação de primeira ordem de Taylor na vizinhança do
equilíbrio de SSG e definem-se as variáveis em logaritmos no sistema de duas
equações dinâmicas do modelo de RCK. A função de produção considerada é
a Cobb-Douglas
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∧
∧
⎧∧
k
f
(k)
c
⎪ =
− ∧ − (n + g + δ)
∧
⎪⎪ ∧
k
k
k
(3.53) ⎨ ⋅
⎪ c∧ 1
∧
⎪ ∧ = ⎡f ' (k) − δ − ρ − θg ⎤
⎢
⎥⎦
⎩⎪ c θ ⎣
⋅
Ou ainda, tomando o logaritmo das variáveis, obtemos:
(3.54)
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
∧
dt
⎢
⎥
d ln k t
≅ ⎣ ∧ ⎦
dt
∂ ln k t
∧
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
dt ⎥
∧
∧
⎢
ln k t − ln k * + ⎣ ∧ ⎦
∂ ln c t
∧
(
)
∧
∧*
∧
∧*
ln k t = ln k ∧ ln c t = ln c
⎛ ln c∧ t − ln c∧ ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
*
∧
∧*
∧
∧*
ln c t = ln c ∧ ln k t = ln k
(3.55)
⎡ d ln c t ⎤
∂
⎢
⎥
∧
⎢⎣ dt ⎥⎦
d ln c t
≅
∧
dt
∂ ln k t
∧
⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
⎥
dt ⎥
∧
∧
⎢
ln k t − ln k * + ⎣ ∧ ⎦
∂ ln c t
∧
(
)
∧
∧*
∧
∧*
ln k t = ln k ∧ ln c t = ln c
⎛ ln c∧ t − ln c∧ ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
*
∧
∧*
∧
∧*
ln c t = ln c ∧ ln k t = ln k
Escreva-se agora as expressões das derivadas parciais das taxas de
crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente e do
consumo em unidades de trabalho eficiente em relação ao logaritmo do stock
de capital em unidades de trabalho eficiente e em relação ao logaritmo do
consumo em unidades de trabalho eficiente.
⎡ d ln k t ⎤
⎡ d ln k t ⎤
⎡ d ln k t ⎤
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
∂⎢
∂⎢
⎥
⎥ ∂⎢
⎥
⎥
dt
dt
dt
dt
∧
∧
⎢⎣
⎥⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(3.56)
= k t ⎣ ∧ ⎦ ∧ ⎣ ∧ ⎦ = ct ⎣ ∧ ⎦
∧
∂ ln k t
∂ kt
∂ ln c t
∂ ct
∧
∧
∧
∧
⎡ d ln c t ⎤
⎡ d ln c t ⎤
⎡ d ln c t ⎤
⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
∂⎢
∂⎢
⎥
⎥ ∂⎢
⎥
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦ ∧ ⎢⎣ dt ⎥⎦
⎢⎣ dt ⎥⎦ ∧ ⎢⎣ dt ⎥⎦
= kt
∧
= ct
(3.57)
∧
∧
∧
∧
∂ ln k t
∂ kt
∂ ln c t
∂ ct
∧
∧
∧
∧
E tendo em conta a 1ª equação do sistema (3.53), obtemos:
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⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
∧
∧
∧
⎢⎣ dt ⎥⎦
f (k) c t
'
= f (k) − ∧ + ∧
(3.58)
∧
kt
kt
∂ ln k t
∧
Determina-se depois a derivada no ponto de SSG.
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
(3.59)
∧
∂ ln k t
∧
∧
∧
= f (k) −
'
f (k)
∧
kt
∧
+
ct
∧
kt
∧
∧
∧ ∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = c *
∧
∧
∧ ∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = c *
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
(3.60)
∧
∂ ln k t
∧
∧
= f ' (k) − (n + g + δ)
∧
∧
∧
∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = ln c *
∧
∧
∧
∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = ln c *
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
(3.61)
∧
∂ ln k t
∧
= (ρ + θg + δ) − (n + g + δ)
∧
∧
∧
∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = ln c *
E finalmente obtém-se:
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
(3.62)
∧
∂ ln k t
∧
= ρ − n − (1 − θ)g
∧
∧
∧
∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = ln c *
Procede-se de forma análoga relativamente ao cálculo da derivada parcial da
taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente
relativamente ao logaritmo do consumo em unidades de trabalho eficiente.
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⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
∧
⎢⎣ dt ⎥⎦
ct
(3.63)
=− ∧
∧
kt
∂ ln c t
∧
⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
⎥
dt
⎢⎣
⎥⎦
(3.64)
∧
∂ ln c t
∧
∧
=−
f (k)
∧
kt
+ (n + g + δ)
∧
∧
∧
∧
ln c t = ln c *∧ ln k t = ln k *
Tendo em conta a especificação da função de produção, obtemos:
(3.65)
⎡ d ln k t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
∧
∂ ln c t
∧
∧
f ' (k)
(ρ + θg + δ)
=−
+ (n + g + δ) = −
+ (n + g + δ)
α
α
∧
∧
∧ ∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = c *
E a aproximação linear à taxa de crescimento do stock de capital em unidades
de eficiência é dada por:
∧
(
)
(
∧
∧
d ln k t
≅ [ρ − n − (1 − θ)g ] ln k t − ln k * +
dt
(3.66)
∧
⎡ (ρ + θg + δ)
⎤ ∧
+ ⎢−
+ (n + g + δ) ⎥ ln c t − ln c*
α
⎣
⎦
)
∧
d ln c t
Procedamos de forma análoga relativamente a
:
dt
∧
⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
⎥
dt
∧
∧
⎢⎣
⎥⎦ ∧ ∂ ⎧ 1 ⎡ ' ∧
⎤ = 1 k t f '' (k)
k
f
(k)
g
(3.67)
=
−
δ
−
ρ
−
θ
t
∧
∧ ⎨
⎢
⎥⎦ θ
∂ ln k t
∂ kt ⎩θ ⎣
}
Tendo em conta a expressão da segunda derivada da função de produção
obtemos:
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⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎦⎥
(3.68)
∧
∂ ln k t
∧
∧*
1
ρ + δ + θg
= (α − 1)f ' (k ) = −(1 − α )
θ
θ
∧
∧
∧
∧
ln k t = ln k *∧ ln c t = ln c *
Deduza-se agora a expressão da derivada parcial da taxa de crescimento do
consumo em unidades de trabalho eficiente relativamente ao logaritmo do
consumo em unidades de trabalho eficiente.
⎡ d ln c t ⎤
∂⎢
⎥
⎢⎣ dt ⎦⎥ ∧ ∂
(3.69)
= ct ∧
∧
∂ ln c t
∂ ct
∧
}
⎧1 ⎡ ' ∧
⎤
⎨ ⎢f (k) − ρ + δ + θg ⎥
⎦
⎩θ ⎣
∧
*
∧*
d ln c t
ρ + θg + δ ⎛ ∧
⎞ + 0.⎛ ln c∧ t − ln c∧ ⎞
≅ −(1 − α)
ln
k
−
ln
k
(3.70)
t
⎜
⎟
⎜
⎟
dt
θ
⎝
⎠
⎝
⎠
As equações (3.66)e (3.68) formam o sistema de equações diferenciais loglinearizadas do modelo de RCK que pode ser escrito na forma matricial
abreviada.
⎡ d ln k
⎢
dt
(3.71) ⎢
⎢ d ln c
⎢
⎣⎢ dt
∧
t
∧
t
⎡ ⎛ k∧ t ⎞ ⎤
(ρ + θg + δ) ⎤ ⎢ ln ⎜ ∧ * ⎟ ⎥
n+g+δ−
⎥ ⎢ ⎜⎝ k ⎟⎠ ⎥
α
⎥
⎥⎢
∧
⎥ ⎢ ⎛ ct ⎞ ⎥
0
⎦⎥ ⎢ ln ⎜⎜ ∧ * ⎟⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ c ⎠ ⎥⎦
⎤ ⎡
⎥ ⎢ ρ − n − (1 − θ)g
⎥=⎢
⎥ ⎢ (1 − α)(ρ + θg + δ)
⎥ ⎢−
θ
⎦⎥ ⎣
Escreva-se a expressão do determinante da matriz característica (A), a matriz
dos coeficientes de (3.71):
⎡ (ρ + θg + δ)
⎤ (ρ + θg + δ)(1 − α )
− (n + g + δ) ⎥
α
θ
⎣
⎦
(3.73) ρ + θg > n + g ∧ α <1 ⇒ det A < 0
(3.72) det A = − ⎢
O facto do determinante da matriz característica ser negativo, implica que a
equação característica tenha duas raízes reais, uma positiva e outra negativa.
Neste caso, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Escreva-se a equação
característica:
ρ − n − (1 − θ)g − ϕ
(3.74)
(1 − α)(ρ + θg + δ)
−
θ
n+g+δ−
(ρ + θg + δ)
α
=0
−ϕ
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Façamos:
(3.75) ρ − n − (1 − θ)g = ξ
E resolva-se a equação (3.74), equação de 2º grau em ϕ:
(3.76) ϕ − ξϕ −
2
⎡ (ρ + θg + δ)
⎤ (ρ + θg + δ)(1 − α )
−
(n
+
g
+
δ
)
=0
⎢⎣
⎥⎦
α
θ
Ε cujas soluções são:
ξ±
⎡ (ρ + θg + δ) − (n + g + δ) ⎤ (ρ + θg + δ)(1 − α )
⎢⎣
⎥⎦
α
θ
ξ +4
2
(3.77) ϕ =
i
2
Seja ϕ1 a raiz positiva e ϕ2 a raiz negativa.
∧
A solução log-linearizada para ln k t toma a forma:
∧*
∧
(3.78) ln k t = ln k + a 1e 1 + a 2 e
ϕt
ϕ2 t
∧*
∧
ln k t = ln k ⇒ a 1 = 0
(3.79) lim
t →∞
A constante a2 é determinada pela condição inicial e a1 pela condição fronteira.
∧*
∧
(3.80) Para t = 0 ∧ a 1 = 0 ⇒ a 2 = ln k 0 − ln k
E substituindo em (3.78) obtém-se:
∧*
∧
⎡
⎢⎣
∧*
∧
(3.81) ln k t = ln k + ln k 0 − ln k
⎤ e ϕ2 t
⎥⎦
Ou ainda:
∧*
∧
(3.82) ln k t = ln k (1 − e
−βt
∧
) + ln k 0 e−βt
Onde β representa a velocidade de convergência e é o simétrico da raiz
negativa. Tendo em conta (3.77) e (3.81), obtém-se:
ξ +4
2
(3.83) β =
⎡ (ρ + θg + δ) − (n + g + δ) ⎤ (ρ + θg + δ)(1 − α ) − ξ
α
θ
⎣⎢
⎦⎥
2
∧
Podemos também obter a solução para ln y t tendo em conta a especificação
da FP em logaritmos:
∧*
∧
(3.84)
∧
ln y t = α ln k (1 − e −βt ) + α ln k 0 e −βt
∧
∧*
∧
ln y t = ln y (1 − e −βt ) + ln y 0 e −βt
E para T=t-t0, virá:
ln y t − ln y 0 (1 − e
(3.85)
=
T
T
∧
∧
−β t
) ln y − ln y (1 − e )
∧*
−β t
∧
0
T
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3.3.6.3 - Exemplificação numérica
Vamos agora apresentar o exemplo numérico relativo modelo de RCK de Barro
&Sala-i-Martin e para o efeito a linearização não tomará as variáveis em
logaritmos.
O sistema de equações é então o seguinte:
⋅
⎧
∧
∧ 0.3
∧
⎪
k = k −c
⎪⋅
∧ -0-7
⎪∧ ∧
⎪c = c(0.3 k − 0.06)
(3.86) ⎨
∧
⎪
k0 =1
⎪
∧
⎪
e −0.06t k t = 0
⎪⎩ lim
t →∞
Tomemos as duas primeiras equações do sistema, igualemos a zero as taxas
de crescimento instantâneas e determinemos a solução de SSG.
⋅
⎧
∧
∧ 0.3
∧
⎧ ∧*
⎪⎪
k = 0⇒ k −c = 0
⎪k = 10
⇒⎨ *
(3.87) ⎨ ⋅
∧
∧
∧ −0.7
⎪∧
⎪c =2
⎩
⎪⎩c = 0 ⇒ c(0.3 k − 0.06) = 0
Linearização do sistema:
⎡ ∧⎤
⎡ ∧⎤
d
k
dk
t
⎥
∂⎢
∂⎢ t ⎥
∧
⎢ dt ⎥
⎢ dt ⎥
∧
∧*
∧
∧*
d kt
( kt − k ) + ⎣ ∧ ⎦
(ct − c )
(3.88)
≅ ⎣ ∧ ⎦
dt
∂k
∂c
t
t
∧
(3.89)
⎡ ∧⎤
dc
∂⎢ t ⎥
∧
⎢ dt ⎥
d ct
≅ ⎣ ∧ ⎦
dt
∂ kt
∧
∧
∧
∧
∧*
(ct − c )
∧
∧
∧
∧
k t = k *∧ c t = c *
∧
∧
∧
∂ ct
∧
∧
∧
∧
∧
t
∧
(3.90)
∧
⎡ ∧⎤
dc
∂⎢ t ⎥
⎢ dt ⎥
∧
∧*
⎦
(k − k ) + ⎣
k t = k *∧ c t = c *
∧ −0.7
d kt
≅ 0.3 k t
dt
∧
k t = k *∧ c t = c *
∧ ∧ ∧ ∧
k t = k *∧ c t = c *
∧
∧*
(kt − 10) − (ct − c )
k t = k *∧ c t = c *
___________________________________________________________________
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∧
(3.91)
∧ ∧ −1.7
d ct
≅ −0.21 c k t
dt
∧
∧
∧
∧
∧
∧ −0.7
(kt − 10) + (0.3 k t
∧
− 0.06)
k t = k *∧ c t = c *
(ct − 2)
∧ ∧ ∧ ∧
k t = k *∧ c t = c *
E finalmente obtemos o sistema de RCK linearizado:
⎧ ∧
∧
∧
⎪ d kt = 0.06 k t − ct + 1.4
⎪ dt
(3.92) ⎨ ∧
∧
⎪ d ct
=
−
0.008
k
t + 0.08
⎪
⎩ dt
A solução geral é do tipo:
⎧ ∧ ∧*
ϕt
ϕ 2t
⎪kt = k + b1v11e 1 + b2 v12 e
(3.93) ⎨
∧
∧*
⎪c = c + b v eϕ1t + b v eϕ 2t
1 21
2 22
⎩ t
Para obtermos a solução exacta, temos em primeiro lugar que determinar os
valores próprios da matriz dos coeficientes (A); em segundo lugar temos que
determinar os vectores próprios à direita da matriz dos coeficientes (v(i)) e
finalmente determinamos os valores das constantes (b1 e b2).
Determinação dos valores próprios da matriz A:
(3.94)
⎡ 0.06 −1⎤
⎡0.06 − ϕ
A=⎢
∧ A-ϕ I= ⎢
⎥
⎣ −0.008 0 ⎦
⎣ −0.008
−1 ⎤
−ϕ ⎥⎦
(3.95) det(A-ϕ I) = 0 ⇒ ϕ 2 − 0.06ϕ − 0.008 = 0
Determinação das raízes:
0.06 ± (0.06) 2 + 0.032
2
Seja ϕ1 a raiz positiva e ϕ2 a raiz negativa:
(3.96) ϕ1,2 =
(3.97) ϕ1 = −0.064 ∧ ϕ2 = 0.124
Determinação do vectores próprios à direita da matriz A:
Determine-se em primeiro lugar o vector próprio à direita da matriz A associado
ao valor próprio negativo:
(3.98)
−1 ⎤
⎡ v11 ⎤
⎡0.06 + 0.064
(1)
∧
=
A − 0.064 I = ⎢
v
⎢v ⎥
0.064 ⎥⎦
⎣ −0.008
⎣ 21 ⎦
___________________________________________________________________
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O sistema de equações é o seguinte:
−1 ⎤ ⎡ v11 ⎤ ⎡0 ⎤
⎡ 0.06 + 0.064
(3.99) ⎢
=
+0.064 ⎥⎦ ⎢⎣ v21 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
⎣ −0.008
Resolvendo o sistema obtém-se:
⎡v ⎤ ⎡ 1 ⎤
(3.100) ⎢ 11 ⎥ = ⎢
⎥
⎣ v21 ⎦ ⎣ 0.12 ⎦
Determinemos agora o vector próprio à direita da matriz A associado ao valor
próprio positivo:
−1 ⎤
⎡v ⎤
⎡0.06 − 0.124
(3.101) A + 0.124 I = ⎢
∧ v (2) = ⎢ 12 ⎥
⎥
−0.124 ⎦
⎣ −0.008
⎣ v22 ⎦
O sistema de equações é o seguinte:
−1 ⎤ ⎡ v12 ⎤ ⎡ v12 ⎤
⎡ 0.06 − 0.124
=
(3.102) ⎢
−0.124 ⎥⎦ ⎢⎣v22 ⎥⎦ ⎢⎣v22 ⎥⎦
⎣ −0.008
Resolvendo o sistema obtém-se:
⎡v ⎤ ⎡ 1 ⎤
(3.103) ⎢ 12 ⎥ = ⎢
⎥
⎣ v22 ⎦ ⎣ −0.06 ⎦
Formemos a matriz dos vectores próprios à direita de A, V:
v ⎤ ⎡ 1
1 ⎤
⎡v
(3.104) V = ⎢ 11 12 ⎥ = ⎢
⎥
⎣v21 v22 ⎦ ⎣0.12 −0.06 ⎦
Formemos a matriz diagonal cujo elemento genérico da matriz diagonal é eϕit :
(3.105)
⎡eϕ1t
E=⎢
⎣ 0
0 ⎤
⎥
eϕ2t ⎦
⎡b ⎤
E seja b o vector coluna das constantes: b = ⎢ 1 ⎥
⎣b2 ⎦
Solução do sistema:
*
⎡∧ ⎤ ⎡∧ ⎤ v
v ⎤ ⎡ eϕ1t 0 ⎤ ⎡ b1 ⎤
k
k
t
⎡
(3.106) ⎢ ∧ ⎥ = ⎢⎢ * ⎥⎥ + ⎢ 11 12 ⎥ ⎢
⎥
∧
⎢ ⎥
v21 v22 ⎦ ⎣ 0 eϕ 2t ⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦
⎣
c
⎣ t ⎦ ⎢⎣ c ⎥⎦
E substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores obtemos:
⎡∧ ⎤
kt
1 ⎤ ⎡e −0.064t
⎡10 ⎤ ⎡ 1
(3.107) ⎢ ∧ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢
⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0.12 −0.06 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
⎣ ct ⎦
0 ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎥⎢ ⎥
e
⎦ ⎣b2 ⎦
0.124 t
___________________________________________________________________
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Determinação das constantes:
Façamos t=0 e obtemos:
⎡∧ ⎤
ko
1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎡10 ⎤ ⎡ 1
(3.108) ⎢ ∧ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢
⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0.12 −0.06 ⎥⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦
⎣ co ⎦
Ou ainda:
∧
(3.109)
∧
k 0 = 10 + b1 + b2 ∧ k 0 = 1 ⇒ b1 + b2 = −9
∧
c 0 = 2 + 0.12b1 − 0.06b2
Tendo em conta a condição fronteira, podemos determinar b2:
(3.110) lim e −0.06t ⎡⎣10 + b1eϕ1t + b2 eϕ2t ⎤⎦ = 0 como ϕ 2 > 0 ⇒ b2 = 0
t →∞
E tendo em conta a 3ª equação de (3.86) determinamos b1:
(3.111) b1 = −9
A solução exacta é assim a seguinte:
∧
(3.112) k t = 10 − 9e −0.064t
∧
(3.113) c t = 2 − 1.08e −0.064t
∧
∧
Representação gráfica de k t e c t :
10
∧
kt
1
t
∧
Gráfico 8 – Função k t
O stock de capital em unidades de trabalho eficiente tende assimptoticamente
para o seu valor de SSG (=10, no exemplo numérico), crescendo de forma
desacelerada.
∧
Representação gráfica de c :
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2
∧
c
t
0.92
t
∧
Gráfico 8 – Função c t
O consumo em unidades de trabalho eficiente tende assimptoticamente para o
seu valor de SSG (=2, no nosso exemplo numérico), crescendo de forma
desacelerada.
fl
fl
c
k
10
2
8
1.8
6
1.6
4
1.4
2
1.2
t
t
10
20
30
40
Gráf. 8 – Trajectória de k^ para k^*
10
20
30
40
Gráf. 9 Trajectória de c^ para c^*
3.3.7 –Dinâmica de ajustamento da taxa de poupança de SSG
Vamos agora deduzir a função poupança a partir da função consumo e a
expressão da poupança de SSG a partir das expressões de SSG do consumo
e do stock de capital em unidades de trabalho eficiente a fim de podermos
analisar a trajectória de ajustamento da taxa de poupança a uma situação de
SSG. As deduções acima referidas tomam a Cobb-Douglas como
especificação da função de produção. Queremos saber qual vai ser a dinâmica
da taxa de poupança quando a economia se caracteriza por um stock de
capital em unidade de eficiência inicial que é inferior ao stock de capital em
unidades de eficiência de SSG. Esta questão deve ser colocada já que no
modelos de RCK, a taxa de poupança é determinada endogenamente, e em
geral, deveremos ter variações da taxa de poupança na fase de ajustamento à
situação de SSG. Por outro lado, mesmo que a taxa de poupança seja
constante é necessário determinar o correcto valor que está dependente dos
parâmetros do modelo.
3.3.7.1 – Poupança de SSG
Tendo em conta a especificação da FP, podemos definir a função taxa de
poupança:
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(3.114)
∧
∧
f (k t ) − c t
∧
∧
f (k t ) = A ktα ⇒ st =
∧
f (k t )
Em situação de SSG virá:
∧*
c
(3.115) s = 1 −
*
∧*
f (k )
Tenhamos em conta o sistema (3.53) e façamos a substituição de
∧
∧
c t e f (k t ) pelas expressões respectivas de SSG:
∧*
∧
c
(3.116) s = 1 −
*
= 1−
∧*
∧
f (k ) − (n + g + δ ) k
∧
∧
(3.117)
∧
f (k )
α
=
∧
= −( n + g + δ )
f (k )
f (k )
Com a Cobb-Douglas, virá:
k
∧
k
∧
f (k ) f ' (k )
E substituindo na equação acima obtemos:
s* = (n + g + δ )
α
∧
; como f ' (k ) = ρ + δ + θ g ⇒
∧
f ' (k )
(3.118)
α (n + g + δ )
⇒ s* =
ρ + δ +θ g
Tendo em conta a condição fronteira, a taxa de poupança de SSG é inferior à
participação do capital físico no produto.
(3.119) ρ + δ + θ g > n + δ + g ⇒ s* < α
Analisemos agora a evolução da taxa de poupança.
⋅
∧
∧
st ≡ 1 − zt ∧ zt ≡
'
∧
∧
f ( kt )
∧
f (k t )
= α ⇒ γt =
zt
∧
zt
⋅
∧
⇒ γt =
zt
∧
⇒ γt =
ct
∧
∧
=
.
∧
=
ct
∧
ct
−
'
ct
∧
−
'
∧
⋅
∧
∧
∧
f (k t ) k t
⋅
∧
f (k t ) k t k t
∧
∧
f (k t ) k t k t
ct
∧
∧
∧
⇒
f (k t ) k t
⋅
∧
.
∧
=
zt
zt
⋅
∧
∧
f (k t ) k t
(3.120)
ct
.
∧
−α
kt
∧
zt ct
kt
Substituindo a taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho
eficiente e a taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho
eficiente pelas respectivas expressões, obtemos:
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⋅
∧
∧
∧
k
c
1 ⎡ ⎛∧⎞
⎤
(3.121) γ t = ∧ = ⎢ f ' ⎜ k ⎟ − δ − ρ − θ g ⎥ − α ∧ + α ∧ + α (n + g + δ )
⎦
zt θ ⎣ ⎝ ⎠
f (k )
k
ou ainda:
zt
⋅
∧
∧
∧
∧
f ' (k )
c f ' (k )
1 ⎡ '⎛∧⎞
⎤
+α
+ α (n + g + δ )
γ t = ∧ = ⎢ f ⎜ k ⎟ − δ − ρ −θ g ⎥ −α
∧
α
⎦
zt θ ⎣ ⎝ ⎠
f (k ) α
zt
(3.122)
⋅
∧
γt =
zt
∧
zt
=
∧
∧
1 ⎡ '⎛∧⎞
⎤
f ⎜ k ⎟ − δ − ρ − θ g ⎥ − f ' ( k ) + zt f ' ( k ) + α ( n + g + δ )
⎢
θ⎣ ⎝ ⎠
⎦
e virá:
⋅
∧
1 ⎤ 1
⎛ ∧ ⎞⎡
= f ' ⎜ k ⎟ ⎢ zt + − 1⎥ − [δ + ρ + θ g ] + α (n + g + δ )
θ ⎦ θ
⎝ ⎠⎣
zt
E a expressão da taxa de poupança de SSG é a seguinte:
(3.123) γ t =
zt
∧
⋅
∧
(3.124) s* =
z
α (n + g + δ )
θ − 1⎤
1
⎛ ∧ ⎞⎡
⇒ γ t = ∧t = f ' ⎜ k ⎟ ⎢ zt −
+ (δ + ρ + θ g )( s* − )
⎥
δ + ρ +θ g
θ ⎦
θ
⎝ ⎠⎣
zt
O comportamento de zt vai depender da relação de ordem entre a taxa de
poupança de SSG e o inverso do negativo da elasticidade da utilidade marginal
relativamente ao consumo. Tendo em conta a equação anterior três casos se
podem dar:
⋅
1⎛
1−θ ⎞
⎜ ⇒ zt =
⎟ ⇒ γ t = 0 ⇒ st = 0, ∀t
θ⎝
θ ⎠
⋅
1⎛
1−θ ⎞
(3.125) 2) s > ⎜ ⇒ zt <
⎟ ⇒ γ t < 0 ⇒ s t > 0, ∀t
θ⎝
θ ⎠
⋅
1 ⎛
1−θ ⎞
⇒
>
⇒
< 0, ∀t
3) s < ⇒ ⎜ zt >
γ
0
s
t
t
θ
θ ⎟⎠
⎝
1) s =
A equação de definição de z explica a relação de ordem entre zt e [θ-1)/θ] tendo
em conta a relação de ordem entre s e (1/θ).
A relação de ordem entre s e (1/θ) e a existência de uma solução de SSG
explica o valor nulo ou negativo ou positivo de g associado a um valor nulo ou
positivo ou negativo da taxa de poupança.
Basta derivar a (3.123) em ordem ao tempo para que a proposição anterior
possa ser facilmente provada.
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•
∧
∧
∧
(3.126) γ t = f '' (k t ) k t [ zt − (θ − 1) / θ ] + f ' (k t )γ t zt
Consideremos o caso 1) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é igual a
θ , a proporção do consumo no produto é constante, qualquer que seja t e a
taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é constante, logo
a taxa de poupança manter-se-á constante.
Consideremos agora o caso 2) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é
superior a θ , a proporção do consumo no produto é inferior a θ qualquer que
seja t, e a taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é
negativa, qualquer que seja t, logo a taxa de poupança crescerá.
Consideremos agora o caso 3) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é
inferior a θ , a proporção do consumo no produto é superior a θ qualquer que
seja t, a taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é
positiva, qualquer que seja t, logo a taxa de poupança diminuirá.
Podemos assim resumir os três casos descritos:
1) s* =
(3.127) 2) s* >
3) s* <
1
θ
1
θ
1
θ
⋅
⇒ st = s* ⇒ s t = 0 ∨ t
⇒ st >
⇒ st <
1
θ
1
θ
⋅
, ⇒ st > 0 ∨ t
⋅
, ⇒ st < 0 ∨ t
Podemos representar graficamente a função poupança para cada um dos três
casos e virá:
s
*
s*
s
*
1
θ
t
t
t
∧*
∧
Gráfico – 9 Possíveis dinâmicas de ajustamento de s para s* quando kt < k
3.3.8 - Efeito de substituição intertemporal e efeito rendimento
Que significado atribuir ao caso em que a taxa de poupança decresce (cresce)
quando a economia se encontra numa fase de transição como a descrita na
secção anterior? A evolução da taxa de poupança vai depender da importância
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conjugada de dois efeitos: o efeito de substituição intertemporal e o efeito
rendimento.
Defina-se o efeito de substituição intertemporal de uma descida da taxa de
rentabilidade do capital para riqueza dada. A descida do custo do consumo
corrente relativamente ao consumo futuro leva as famílias a aumentarem o seu
consumo corrente.
É o tipo de efeito de substituição intertemporal que se adequa ao caso que tem
vindo a ser tratado. Com efeito, à medida que o stock de capital em unidades
de eficiência aumenta, a produtividade marginal diminui, o que leva a uma
diminuição da taxa de rentabilidade do capital é o que constitui um desincentivo
à poupança. Se mais nenhum efeito se fizesse sentir, poderíamos afirmar que
a evolução da poupança seria negativa.
Mas devemos ter em conta um outro tipo de efeito, o efeito rendimento. Definase o efeito rendimento. O efeito rendimento de uma descida da taxa de
rentabilidade do capital é uma diminuição do consumo das famílias em todos
os períodos.
A evolução da taxa de poupança vai depender do peso respectivo dos dois
efeitos. Assim, se θ <1 o efeito de substituição intertemporal é forte, se θ >1 o
efeito de substituição intertemporal é fraco, domina o efeito rendimento e
finalmente se θ =1, os dois efeitos cancelam-se.
Podemos agora ilustrar a análise anterior considerando os seguintes valores
para os parâmetros:
ρ=0.02; δ=0.05; n=0.01; g=0.02
Barro&Sala-i-Martin mostram que o modelo não conduz a bons resultados
quando se considera que α=0.3, mas se considerarmos um conceito de capital
mais alargado, então os resultados são aceitáveis, k representará o capital
físico e humano, logo α=0.75.
Determinemos θ tal que o inverso seja igual à taxa de poupança de SSG e virá
θ=1,75. Se a taxa de poupança for superior/igual/inferior a 1,75, então a taxa
de poupança corrente aumentará, manter-se-á constante, diminuirá,
respectivamente.
A análise empírica mostra que em geral a taxa de poupança aumenta de forma
moderada com o rendimento per capita, durante a transição para a situação de
SSG. Os valores dos parâmetros acima referidos são compatíveis com este
comportamento da taxa de poupança na fase da transição, sendo que α deverá
ser igual a 0,75 e θ deve ser superior a 2 mas não muito superior a 2 e porquê?
Porque um valor muito superior a 2 implica uma taxa de poupança de SSG
muito baixa, o que é incompatível com o conceito lato de capital que foi
adoptado.
3.3.9 – Exercícios de Dinâmica Comparada
No que se segue, chamamos a atenção do estudante para o estudo dos efeitos
permanentes e transitórios de uma alteração da taxa de progresso técnico ou
da taxa de preferência temporal pelo consumo presente. Tal análise pode ser
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levada a cabo tendo em conta as equações dinâmicas do modelo RCK e ou
tendo em conta o diagrama de fase.
3.3.9.1 – Variações de g
O estudante pode supor uma variação positiva de g e analisar o tipo de
deslocamento que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimentará
em consequência. Em seguida, pode determinar a nova situação de equilíbrio
de SSG e compará-la com a situação anterior. E finalmente pode comparar as
trajectórias das variáveis per capita, para saber se ocorreram efeitos
permanentes de nível e/ou de crescimento.
A análise pode ser feita a partir do modelo de RCK linearizado ou a partir do
diagrama de fase.
3.3.9.2 – Variações de ρ
O estudante pode supor uma variação negativa de ρ e analisar o tipo de
deslocamento que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimentará
em consequência. Em seguida, pode determinar a nova situação de equilíbrio
de SSG e compará-la com a situação anterior. E finalmente pode comparar as
trajectórias das variáveis per capita, para saber se ocorreram efeitos
permanentes de nível e/ou de crescimento.
A análise pode ser feita a partir do modelo de RCK linearizado ou a partir do
diagrama de fase.
Bibliografia
Barro, R e Sala-i-Martin, X., Economic Growth, McGraw-Hill, 1995, Cap. 2, 5995.
Chiang, Alpha., Elements of Dynamic Optimization, New-York, International
Studente Edition, McGraw-Hill, 1992, Caps. 7 a 9 e 9:9.3.
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