Exercícios do módulo 2
Análise de Sistemas Ambientais
01-01-2011
Licenciatura em Engenharia do Ambiente, Escola Superior Agrária de Coimbra
Manuela Abelho
2|Página
Índice
Parte 1. Exercícios para resolver com ‘papel e lápis’ .............................................................................. 3
1 Dinâmica de populações .................................................................................................................. 3
1.1 Crescimento independente da densidade .................................................................................... 3
1.2 Crescimento dependente da densidade ....................................................................................... 5
1.3 Competição inter-específica: o modelo de Lotka-Volterra ........................................................... 6
2 Ecotoxicologia .................................................................................................................................. 7
3 Ciclos biogeoquímicos ...................................................................................................................... 7
Parte 2. Exercícios de modelação com STELLA ....................................................................................... 8
4 Introdução ........................................................................................................................................ 8
5 Modelação de dinâmica de populações ........................................................................................... 9
6 Modelação de ecotoxicologia ........................................................................................................ 10
3|Página
Parte 1. Exercícios para resolver com ‘papel e lápis’
1 Dinâmica de populações
1.1 Crescimento independente da densidade
Fonte: Neal, D (2004) Introduction to population biology. Cambridge University Press, Cambridge.
1.1.1 Taxa geométrica
1. Uma população de plantas anuais produz em média 2.2 sementes/planta. Sabendo que o
número inicial de plantas na população é de 996, quantas plantas existirão passadas 10
gerações?
2. Uma população de uma borboleta com um ciclo de vida anual aumentou de 5000 para 6000
indivíduos num ano. Qual será o seu tamanho 3 anos depois (da população inicial de 5000),
assumindo que não existem alterações na taxa de crescimento?
3. Uma população de bactérias tem um tempo de duplicação de 20 minutos (λ = 2). Se
começarmos com uma população de 10 bactérias, qual será o tamanho da população após
12 horas?
4|Página
[Dica: t deve ser um múltiplo do intervalo de tempo necessário para que ocorra duplicação,
visto que é nesse período de tempo que se verifica λ = 2]
4. Uma população de insectos aumento de 6 para 15 indivíduos em duas semanas. Qual será o
tamanho da população após 10 semanas se a taxa de multiplicação se mantiver igual?
[Dica: t deve ser um múltiplo do intervalo de tempo necessário para que ocorra o valor de λ]
1.1.2 Taxa exponencial
5. Uma espécie de ratazanas reproduz-se continuamente com uma taxa (rm) de 0.0143 por dia.
Um pequeno número invade uma lixeira onde as condições são ideais. Quanto tempo
demorará a população a duplicar de tamanho?
6. Uma população de tunicados marinhos (Thalia democrática, pequenos invertebrados
marinhos que se alimentam de fitoplâncton) com sobreposição de gerações tem uma taxa de
crescimento per capita=0.47. Imaginando que no tempo 0 a população tem 2 indivíduos,
quanto tempo demorará a atingir 1000 indivíduos?
7. As baleias cinzentas do Pacífico, Eschrichtius robustus, estão divididas em duas populações, a
população coreana do Pacífico ocidental e a população californiana do Pacífico oriental.
Enquanto a população coreana quase desapareceu, a população californiana recuperou após
ter sido quase dizimada durante o período em que foi permitida a sua caça. No final desse
período, em 1967, existiam apenas 8000 indivíduos de baleia-cinzenta. Em 1983, um estudo
determinou que a taxa de natalidade nesse ano foi de 0.130 e que a taxa de mortalidade foi
0.089.
a. Qual a taxa de crescimento per capita da população?
b. Indique a equação do crescimento desta população.
c. Assumindo que todos os factores se mantêm estáveis, estime qual o tamanho da
população em 2011.
8. A população humana aumentou de aproximadamente 600 milhões para 900 milhões entre
1700 e 1800. Calcule o valor de rm assumindo que ocorreu crescimento exponencial.
9. O valor de rm para uma população de ratinhos é 0.14 por semana. Se começarmos com uma
população de 24 ratinhos, qual será o tamanho da população após 65 dias, assumindo
crescimento exponencial?
10. Estima-se que em 1959 a população humana mundial era 2 907 000 000, com uma taxa de
natalidade de 36 por 1000 pessoas por ano e com uma taxa de mortalidade de 19 por 1000
pessoas por ano.
a. Qual a sua taxa de crescimento per capita?
b. Assumindo que essa taxa de crescimento se manteve constante, quantas pessoas
existiriam em 2011?
c. Que pode concluir?
5|Página
1.2 Crescimento dependente da densidade
Fonte: Neal, D (2004)
Introduction to population biology. Cambridge University Press, Cambridge.
1. Uma cultura de Paramecium cresce, em laboratório, de acordo com a equação do
crescimento logístico. Se a capacidade limite (K) for 400/mL e a taxa intrínseca de
crescimento (rm) de 0.7 por dia, qual será a densidade de indivíduos após 10 dias numa
cultura que se iniciou com 5 indivíduos/mL?
2. Uma população de Passeriformes tem uma capacidade limite de 31 pares reprodutores por
hectare. A população foi introduzida numa zona com uma densidade de 1 par por hectare e
atingiu uma densidade de 12 pares por hectare após 10 anos. Qual a sua taxa intrínseca de
crescimento, assumindo que cresce de acordo com o modelo logístico?
3. Imagine que quer iniciar um negócio de produção de isco (minhocas) para pescadores.
Começou com apenas 5 indivíduos e descobre que ao fim de 28 dias a população aumentou
para 1044 indivíduos.
a. Qual o valor de rm assumindo que ocorreu crescimento exponencial?
b. Usando esse valor, calcule o tamanho da população após 15 semanas de iniciada a
cultura, assumindo uma taxa de crescimento per capita (rm) constante.
c. As suas esperanças de se tornar milionário desvanecem-se ao descobrir que tem
apenas 2500 minhocas após 15 semanas e que esse número se mantém
aproximadamente constante de aí em diante. Calcule o valor de rm assumindo
crescimento logístico.
d. Porque é que os valores de rm são diferentes nas respostas (a) e (c)?
4. Uma população demora 10 dias a duplicar de 20 para 40 indivíduos. Quanto tempo demorará
a duplicar outra vez se:
a. crescer exponencialmente ou
b. crescer logisticamente com K=100?
5. O crescimento de uma população microbiana ocorre de acordo com a equação do
crescimento logístico. Se a sua capacidade limite (K) for de 5.0 × 106 células por mL, qual será
a sua densidade após 3 horas numa cultura que se iniciou com 2 × 103 células por mL, se a
sua taxa intrínseca de crescimento for 0.29 por hora?
6|Página
1.3 Competição inter-específica: o modelo de Lotka-Volterra
Fonte: Neal, D (2004) Introduction to population biology. Cambridge University Press, Cambridge.
1. Num deserto do Arizona, verificou-se que as populações de formigas e de roedores
competem pelo alimento, constituído por sementes. Na área de estudo, o número de
colónias de formigas é de 318 e o número de roedores é 122. Quando os roedores são
experimentalmente removidos, o número de colónias de formigas aumenta para 543 (71%).
Quando as formigas são experimentalmente removidas, o número de roedores aumenta
para 144 (18%). Quando são excluídas as formigas e os roedores, a biomassa de sementes
aumenta de 4.13 kg para 5.12 kg (24%). Calcule os coeficientes de competição.
2. Num estudo efectuado com duas espécies de protozoários verificou-se o seguinte. Quando
separadas, Paramecium caudatum tem K=70 indivíduos/mL e Stylonychia mytilus tem K=11
indivíduos/mL. Quando em conjunto, o efeito inibidor de Stylonychia em Paramecium é 5.5
() e o efeito inibidor de Paramecium em Stylonychia é 0.12 ().
a. Determine se pode ocorrer coexistência entre as duas espécies.
b. Quando se alteram as condições de cultura, Stylonychia fica com K=20 e o efeito
inibidor de Paramecium em Stylonychia aumenta para 0.2 (). Qual será o resultado
da competição, de acordo com o modelo de Lotka-Volterra?
7|Página
2 Ecotoxicologia
Resumo das equações para bioacumulação

1. Um europeu com 78 kg inala diariamente, em média, 20 m3 de ar com uma concentração de
cádmio de 1.5 g /m3. A eficiência de assimilação de metais pelos pulmões é 50%. A
quantidade total de cádmio no alimento é 300 g /dia. A eficiência de assimilação dos metais
nos intestinos é 8%. O coeficiente de excreção do cádmio nos animais é 0.001 L/24h.
a. Qual a concentração máxima de cádmio no corpo (Cmax)?
b. Compare este valor com a concentração existente numa pessoa de 50 anos
(C/Cmax).
2. Daphnia magna é um micro-crustáceo amplamente utilizado para estudos laboratoriais de
ecotoxicologia. O objectivo destes estudos é determinar o efeito de contaminantes na
dinâmica populacional da espécie de teste de forma a poder extrapolar os resultados obtidos
para os ecossistemas aquáticos que recebem aquele contaminante. No entanto a
variabilidade individual pode camuflar os efeitos do contaminante, pelo que apenas algumas
espécies são elegíveis como organismos indicadores. A Daphnia é uma dessas espécies,
porque o seu modo de reprodução (partenogénese) permite a obtenção de descendentes
geneticamente iguais entre si. Numa experiência com DCA (dicloroanilina), uma substância
extremamente tóxica utilizada no fabrico de herbicidas, foram obtidos os resultados
apresentados na tabela abaixo.
r
0 g/L
10 g/L
25 g/L
50 g/L
0.27
0.23
0.13
-0.13
a. Utilizando o valor de r obtido para a concentração de DCA=50 g/L, determine
quantos dias demorará uma população com 1000 indivíduos/L a ficar com apenas 2
indivíduos.
b. Estime a evolução da população com os outros valores de r, para o período de tempo
obtido na alínea a). Sabendo que para a sobrevivência das populações contribuem
outros factores negativos para além do efeito de substâncias tóxicas, qual será o
valor-limite tolerável pela população? Que pode concluir acerca do efeito desta
substância nos ecossistemas aquáticos?
3 Ciclos biogeoquímicos
Resumo das equações para a concentração
8|Página
1. Um efluente contendo um pesticida (Pz) é descarregado num lago, onde não existem
gradientes de concentração. O caudal de entrada é 200 m3/24 h e contém uma concentração
de Pz=2 mg/L. Um rio entra no lago com um caudal de 800 m3/24 h. O pesticida tem um
tempo de meia vida de 30 dias. As taxas de sedimentação e de evaporação são
negligenciáveis. O volume do lago é 100 000 m3. Qual é a concentração de equilíbrio de Pz?
Parte 2. Exercícios de modelação com STELLA
4 Introdução
Os modelos em STELLA são desenvolvidos a partir dos seguintes componentes básicos (Figura 1):
 Variáveis de estado - ou stocks, representam variáveis ou quantidades. Aumentam e/ou
diminuem ao longo do tempo. [quantidade]
 Fluxos - ou flows, representam variáveis de fluxo, ou seja as entradas e saídas das variáveis
de estado. [quantidade/tempo]
 Conversores - servem para introduzir parâmetros, estabelecer operações aritméticas, ou
fazer conversões de unidades conforme as necessidades
 Conectores - servem para ligar os outros componentes e estabelecer uma relação
matemática
S to ck
co nverter
flo w
flow
Figura 1 Componentes principais do software STELLA
Na figura 2 mostram-se vários exemplos de diagramas conceptuais elaborados com o software
STELLA.
9|Página
Figura 2 Exemplos de modelos elaborados com o software STELLA
Como desenhar o modelo?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Desenhar todas as variáveis de estado
Fazer a ligação com os fluxos (garantir as ligações)
Verificar as unidades: Stocks – a mesma unidade; Flows – a anterior/ tempo
Introduzir conversores
Fazer as restantes ligações com conectores
Introduzir equações matemáticas, valores dos parâmetros e valores iniciais das variáveis de
estado
7. Simular
5 Modelação de dinâmica de populações
1. As baleias cinzentas do Pacífico, Eschrichtius robustus, estiveram em risco de extinção devido
à caça. Após a proibição da caça à baleia, em 1967, existiam apenas 8000 indivíduos de
baleia-cinzenta. Em 1983, um estudo determinou que a taxa de natalidade nesse ano foi de
0.130 e que a taxa de mortalidade foi 0.089.
a. Desenhe o diagrama conceptual do problema (consulte a Figura 2).
b. Atribua aos fluxos os valores fornecidos no problema e determine como a população
aumenta de tamanho a partir do valor existente em 1967.
c. Faça a simulação até 2011 e compare os valores obtidos na simulação com os
resultados que obteve na resolução do mesmo problema (Exercícios sobre dinâmica
de populações).
2. Estima-se que em 1959 a população humana mundial era 2 907 000 000, com uma taxa de
natalidade de 36 por 1000 pessoas por ano e com uma taxa de mortalidade de 19 por 1000
pessoas por ano. Faça o diagrama conceptual do problema e simule o crescimento da
população humana até 2050 utilizando estes valores.
3. Duas espécies de paramécia têm os parâmetros de crescimento abaixo listados.
Parâmetro
Capacidade limite
Taxa intrínseca de crescimento
Coeficiente de competição
Paramecium aurelia
K1=105
r1=1.1244
=1.64
Paramecium caudatum
K2=64
r2=0.7944
=0.61
a. Desenhe o diagrama conceptual e faça a simulação da evolução das populações
isoladas, considerando uma população inicial de 20 indivíduos em cada espécie.
10 | P á g i n a
b. Sabendo que quando em conjunto se verifica a existência de competição
interespecífica desenhe o diagrama conceptual da relação e faça a simulação da
evolução das populações em conjunto. O que pode concluir acerca do desfecho da
competição?
c. Acrescente ao diagrama uma taxa de remoção diária de 0.1 do número de indivíduos
de cada espécie. Qual o desfecho da competição nestas circunstâncias? Explique o
porquê da diferença em relação ao resultado obtido na alínea b.
4. Uma população de raposas tem como presa principal uma população de coelhos. Faça o
diagrama conceptual e a simule a interacção predador-presa (modelo de Lotka-Volterra) ao
longo de 30 anos usando os seguintes valores: população inicial de coelhos=200, população
inicial de raposas=20; taxa de crescimento per capita da população de lebres=0.70, taxa de
morte das lebres por predação=0.06, taxa de aumento dos predadores pelo consumo das
lebres=0.007, taxa de mortalidade do predador=0.50.
6 Modelação de ecotoxicologia
1. Considere o diagrama conceptual da Figura 3.
a. Estabeleça as respectivas relações matemáticas.
b. Programe-o em STELLA e analise os resultados.
Figura 3 Diagrama conceptual da bioacumulação de chumbo na cadeia trófica
num sistema aquático
2. Considere o balanço de massas representado na Figura 4.
c. Estabeleça um diagrama conceptual que o represente de modo global ou parcial
(neste caso, indique qual o seu sistema).
d. Programe-o em STELLA e analise os resultados
Sugestão: de forma progressiva substitua valores nos fluxos por equações estudadas
e que melhor se aplicam.
11 | P á g i n a
Figura 4 Balanço de massas de cádmio num sistema agrícola