Introdução a
Teoria da Percolação
José Garcia Vivas Miranda
 Era uma vez...
 Definição
 Aplicações;
Percolação
Como tudo começou
Surgiu da discussão entre Broadbent e Hammersley em
1957 sobre o problema do volume excludente da máscara de
mineiros de carvão.
Eles propuseram um modelo probabilístico de fluxo de um
fluido com a aleatoriedade associada ao meio e não ao
fluido.
A teoria da percolação surge como um modelo alternativo
aos modelos de fluxo de fluidos em que a aleatoriedade estava
normalmente associada ao fluido.
Percolação
Formas de representação de
modelos de percolação
Autômatos (originada na física)
Teoria dos grafos (Originada na matemática).
Percolação
Representação como autômatos
Percolação
Representação como autômatos
Imaginemos uma rede grande o suficiente para que os
efeitos de fronteira sejam negligenciáveis. (rede quadradasquare lattice)
Uma certa fração da rede é preenchida com bolinhas.
Sitios vizinhos são agrupados em “clusters”.
A teoria da percolação é o estudo da formação destes
clusters.
Percolação
Representação como autômatos
As regras podem ser qualquer:
•As bolinhas tendem a unir-se
•Ou tendem a separar-se
•Ou são aleatoriamente colocadas.
Considerando o modelo mais simples (aleatório) podemos
definir a probabilidade de ocupação P.
N º bolinhas pN
N º sitios vazios  (1  p) N
Percolação
Representação como autômatos
Para diferentes Ps teremos diferentes tamanhos de clusters
Dizemos que o sistema percolou quando existe um cluster
que toca as fronteiras da rede. Analogamente a quando o café
ultrapassa o filtro.
Percolação
Probabilidade crítica de percolação lateral.
Como calcular, numericamente esta probabilidade?
Exemplo para n=2 e p=1/4 em uma rede regular quad.
1
ps=0
Exemplo para n=2 e p=1/2
ps=4/6=2/3
2 possib.
2 possib.
2 possib.
Percola
Não percola
Percola
Percolação
Transição de percolação
No modelo anterior podemos fazer o gráfico de ps vs.p
Percolação
Limiar de percolação
Contudo Ps depende, não apenas de p mais também do
tamanho do sistema.
p=0.55
p=0.6
Eixo x: quando 4/L
= 0 o tamanho do sistema é L = ∞ e
quando 4/L = 1 o tamanho do sistema é L = 4
Por extrapolação obtemos a pH  lim p s ( p ,L)
L 
Percolação
Limiar de percolação
Para sistemas infinitos existe uma probabilidade ninja pc de
forma que acima dela o sistema sempre percola e abaixo
nunca.
Percolação
Probabilidade crítica de percolação lateral.
Onde Sp(n) representa a probabilidade de conexão entre
lados opostos de uma rede de tamanho n.
Percolação
Percolação e fractais
Vimos que no limite de um sistema infinito, pc é um número
mágico. Precisamente para este valor, ocorre uma transição de
fase e o sistema exibe um agregado ‘gigante’, isto é, o
agregado principal estende-se pela primeira vez a toda a escala
do sistema.
Para pc o sistema exibe invariância de escala.
Percolação
Uma aplicação
Fogo em floresta
Percolação
Representação como grafos
Nesta representação o meio e definido como um grafo G,
usualmente infinito e regular.
O fluxo do fluido e determinado como uma rede aleatória de
nós e arestas no grafo.
Existem dois modelos padrões:
 “bond percolation model” – cada aresta é ocupada
com uma probabilidade P independente das demais arestas.
“site percolation model” – cada vértice é ocupado com
uma probabilidade P independente. Uma aresta é ocupada
apenas quando os seus vértices adjacentes são.
Percolação
Representação como grafos
Da mesma forma que na representação anterior o objetivo é
encontrar a dependência das propriedades topológicas do grafo
em relação ao parâmetro P.
Para Ps pequeno o fluxo será local, para Ps grandes (~1) o
fluxo cruzará toda a rede.