Professor Eduardo Leão
Matemática e
Suas Tecnologias
MATEMÁTICA
COTIDIANO
Celulares de São Paulo terão nove dígitos, diz Anatel
Decisão foi tomada em reunião do Conselho Diretor da
agência nesta tarde. “Quarentena” para reutilização
de números desativados será reduzida.
São Paulo, 9 dez. 2010.
A Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) decidiu nesta
quinta-feira (9) elevar para nove os dígitos dos celulares de São Paulo
como forma de evitar a escassez de números. A decisão foi tomada
durante reunião na tarde desta quinta pelo Conselho Diretor da agência.
Com a medida, as prestadoras terão um prazo de 24 meses para
implementar a possibilidade de discagem com o novo dígito.
A agência informou que não detectou a necessidade de expansão
dos dígitos em outras regiões do país.
Disponível em: <http://twixar.com/07jc7wUlhEk7>.
Acesso em: 25 nov. 2011 (Adaptação).
A notícia anterior chama atenção para um problema que hoje ocorre
em São Paulo, mas que daqui a pouco tempo se espalhará por outros
estados: a escassez de números para celular. Será que a inserção de
mais um número será realmente efetiva? Vamos fazer alguns cálculos?
nº
08
Note que esse princípio deve ser aplicado apenas se, uma vez
tomada a primeira decisão, a segunda decisão puder ser tomada, sempre,
de um número n de modos.
• Respondendo a pergunta anterior, basta que utilizemos
o princípio multiplicativo. Observe:
9852__ __ __ __, 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 números diferentes.
Com a nova opção, passaremos a ter para esse mesmo prefixo um
total de:
9852__ __ __ __ __, 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 números
diferentes, ou seja, 90 000 números a mais para cada prefixo.
Assim, se um determinado estado tem, por exemplo, 10 000 000
números de celulares, precisaremos de 100 prefixos diferentes, o que
pode ser conseguido variando, por exemplo, os dois últimos dígitos do
prefixo considerado.
98 __ __ __ __ __ __ __ 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000
A partir desse cálculo, observe que essa medida será realmente
efetiva e deve solucionar o problema de falta de números de telefones
celulares por um bom tempo.
Uma situação semelhante ocorreu com as placas para carros.
Antigamente, cada placa era formada por duas letras e quatro números.
Hoje, cada placa tem três letras e quatro números.
• Agora veja um outro exemplo de contagem que aparece em
nosso cotidiano e que resolvemos pelo princípio multiplicativo:
Considere que alguns números de celular são compostos de 8
algarismos, sendo que os 4 primeiros formam o prefixo do número. Por
exemplo, seja o número 9852-1767. Se seu prefixo é 9852, quantos
números de telefones diferentes podemos formar?
Alexandre quer criar uma senha para acessar sua conta bancária
pela Internet. Essa senha deve ser formada por duas letras e quatro
dígitos. Essas letras são, necessariamente, vogais e devem aparecer
nas duas primeiras posições. Para a escolha dos algarismos, exige-se
que eles sejam distintos e que o último dígito seja par. Quantas senhas
diferentes Alexandre pode criar?
• Esse exemplo ilustra o princípio multiplicativo ou princípio
fundamental da contagem, enunciado a seguir:
90
º
0
10
º
25
70
30
50
º
40
60
Embora tenhamos enunciado esse princípio usando apenas duas
decisões, ele pode ser utilizado para um número finito qualquer de
decisões.
º
75
80
20
Se uma decisão D1 pode ser tomada de x modos e, uma vez tomada
essa decisão, qualquer que seja ela, outra decisão pode ser tomada de y
modos, então o número de modos de se tomar, sucessivamente, as
decisões D1 e D2 é x.y.
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Suas Tecnologias
Resolução:
Para a escolha das letras, observe que só é pedido que elas sejam
vogais. Não é exigido que estas sejam distintas. Logo, teremos cinco
possibilidades para a primeira vogal e cinco para a segunda.
Na parte numérica, devemos começar pelo último algarismo, pois
é necessário atender a essa restrição. Como esse algarismo deve
ser par, teremos cinco possibilidades de escolha para ele. Já para
o primeiro dígito, teremos nove possibilidades (não se pode usar o
algarismo utilizado anteriormente). É fácil notar que, para o segundo
dígito, teremos oito opções e, finalmente, para o terceiro algarismo,
teremos sete opções.
Letras
5
MINAS GERAIS
ESPÍRITO
SANTO
SÃO PAULO
Dígitos
5
9
8
7
5
A resposta será, então, 5 · 5 · 9 · 8 · 7 · 5 = 63 000 senhas possíveis.
Exercícios
A) 12
C) 36
E) 60
B) 24
D) 48
5. Observe o diagrama.
R
1. Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por
dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que
esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras,
para ocupá-las, é
A) 1 225
B) 2 450
C) 250
D) 49!
E) 50!
2. Numa cidade A, os números de telefones têm sete algarismos,
sendo que os três primeiros constituem o prefixo da cidade.
Os telefones que terminam em 10 são reservados para as
farmácias e os que têm os dois últimos algarismos iguais, para
os médicos e hospitais.
A quantidade dos demais números de telefones disponíveis na
cidade A é
A) 1 650
B) 2 100
C) 4 800
D) 8 900
E) 9 900
Z
Y
X
S
O número de ligações distintas entre X e Z é
A) 41
B) 45
C) 35
D) 39
E) 40
3. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as
tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que
se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º
lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada
tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas
diferentes poderiam existir?
A) 69
B) 2 024
C) 9 562
D) 12 144
E) 13 824
4. Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste brasileiro mostrado
na figura, deverá colorir cada estado com uma cor, tendo
disponíveis 4 cores e podendo repeti-las no mapa. Estados que
fazem divisa entre si devem ter cores distintas. Sabendo que
somente SP e ES não fazem divisa entre si, o número de formas
distintas de colorir o mapa é
2
RIO DE
JANEIRO
FB NO ENEM
FB no Enem – Nº 7 – Professor: Dawison Sampaio
1
2
3
4
5
C
E
A
B
E
079752/14 – Erbínio-27/03/14 – Rev.: Amélia