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ANÁLISE COMBINATÓRIA
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EXERCÍCIOS
01) Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, responda:
a)
b)
c)
d)
Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
Quantos números pares de quatro algarismos podemos formar?
Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podemos formar?
Quantos números de quatro algarismos distintos são divisíveis por 5?
02) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6, e 8, quantos números naturais ímpares podem-se formar com
três algarismos distintos cada um?
03) Quantos números naturais, de quatro algarismos, podem ser formados com os algarismos 0, 2,
3, 5, 6 e 7?
04) Quantos números naturais, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com os
algarismos 0, 2, 3, 5, 6 e 7?
05) (ITA-SP) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2,
4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?
a( )
375
b( )
465
c( )
545
d( )
585
e( )
625
06) (UFPE) Uma prova de Matemática e constituída de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo
cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma.
Respondendo ao acaso todas as questões, o número de maneiras diferentes que se pode
preencher o cartão de resposta é:
a( )
80
b( )
5
16
c( )
32
5
d( )
10
16
e( )
16
5
07) No Brasil, as placas de automóvel são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos.
Dispondo-se das letras A, B, C, D e E e dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine o número de
placas diferentes que podem ser confeccionadas apresentando apenas uma vogal dentre as
letras, não sendo permitida a repetição de letra nem de algarismo.
08) Três homens e três mulheres devem posar para uma fotografia em seis degraus de uma escada,
uma pessoa em cada degrau.
a) Em quantas disposições diferentes podem ser colocadas essas pessoas, de modo que em dois degraus
consecutivos não fiquem pessoas de mesmo sexo?
b) Em quantas disposições diferentes podem ser colocadas essas pessoas, de modo que em pelo menos
dois degraus consecutivos fiquem pessoas de mesmo sexo?
09) Dispõem-se de 6 cores de tinta, sendo uma delas amarela. De quantas maneiras diferentes podese pintar o painel quadriculado abaixo, de modo que cada quadradinho tenha uma só cor, não
haja dois quadradinhos consecutivos com a mesma cor e o primeiro quadradinho da esquerda
seja amarelo, podendo-se repetir uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possíveis?
10) Seja K a solução da equação
a( )
b( )
um número primo
um número ímpar
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x
1 ! x
2
x!
1 !
5
4
, então K é:
c( )
d( )
um quadrado perfeito
divisível por 3
Raciocínio Lógico
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2a
1
1
1
1
1
1
pode ser escrita na forma
onde a e b
b!
1! 11! 3! 9! 5! 7! 7! 5! 9! 3! 11! 1!
13
são números inteiros positivos. Calcule (b – a) .
11) A soma S
12) Sabendo que n
N*, resolva a equação log[(n – 1!)] + log(n!) + logn = log (24 + 23n!).
13) (FUR-RN) O conjunto solução da equação
a( )
{1,2}
b( )
{0,3}
14) (Fabi/BH-MG) Sabendo que 8 n !
a( )
2
b( )
3
x
2 !
3! . x!
c( )
n
2 !
n
c( )
x - 1!
{1,3}
n
1
1!
4
x!
é:
d( )
{2,3}
e( )
{0,2}
e( )
6
, o valor de n é:
d( )
5
15) No numeral que representa o valor de 4! + 5! + 6! + ... + 23!, qual é o algarismo das unidades?
16) Obtenha, se existir, o valor de x , x
x
N, de modo que 7! – 8 . 5! – 9 . 5! = 3 . 10 .
17) Obtenha, em cada caso, o valor de n que verifica a equação:
a) An, 4 = 30 . An, 2
b) 3 . An, 3 = 4 . An – 1, 3
18) (Fuvest) Determine quatro números reais tal que suas somas, três a três, sejam 10, 11, 12 e 13.
19) Permutando-se de todos os modos os números da coleção 2 , 3; 3 , 3; 4 , 3; 5 , 3 , das seqüências
assim obtidas, quantas não constituem progressão aritmética?
20) De quantas formas 8 sinais “+” e 4 sinais “–” podem ser colocados em uma seqüência?
21) Uma moeda é lançada 20 vezes. Quantas seqüências de caras e coroas existem, com 10 caras e
10 coroas?
22) (Fuvest) A escrita Braille é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma
matriz de 6 pontos, tendo pelo menos um em relevo. Veja um exemplo abaixo.
A
B
Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?
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Raciocínio Lógico
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23) Permutando algarismos 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, e 4, quantos números de 10 algarismos podemos
mos formar?
24) Calcule o número de anagramas das palavras ARAPONGA, começando pela letra A.
25) Um sistema cartesiano foi associado a uma região plana de modo que o eixo 0x está orientado
do oeste para leste, o eixo 0y está orientado de sul para norte, e a unidade adotada nos dois
eixos é o km, conforme a figura:
a) Pedro deve ir do ponto O(0, 0) a A(4, 3), deslocando-se 1 quilômetro de cada vez para o norte ou para o
leste. Quantos caminhos diferentes ele pode decorrer?
b) Luís deve ir de O(0,0) a B(6,5), passando por A(4,3), deslocando-se 1 quilômetro de cada vez, para o
norte ou para o leste. Quantos caminhos diferentes ele pode percorrer?
26) Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações:
a) x + y + z = 6
b) x + y + z + t = 10
c) x + y + z + t + w = 10
27) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode
comer 5 pastéis?
28) Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa deseja comprar 3 doces. De quantas
formas isso pode ser feito?
29) Se K é o número de soluções inteiras positivas da equação: x 1 + x2 + x3 + x4 = 10, então
a( )
2
b( )
7
c( )
11
d( )
k
, vale:
4
21
30) Resolva a equação 2Ax, 4 = 4!Cx, x – 5
31) (UFSC) Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si,
turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determine o número de equipes
participantes.
[
32) (ITA-SP) Quantos números de 3 algarismos diferentes podemos formar, empregando os
caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
a( )
60
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b( )
120
c( )
240
d( )
Raciocínio Lógico
40
e( )
80
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33) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos?
34) Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais da revista B e 10
exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias de revistas dessa banca é possível
formar?
35) No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federação têm 3 representantes cada.
Deve-se formar uma comissão de modo que todos os estados e o Distrito Federal estejam
representados por 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comissão pode ser formada?
36) (ESAF – Fiscal do Trabalho-2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo
que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as
demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se para a seleção quinze candidatas,
com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O
número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de
candidatas é igual a:
a( )
120
b( )
1.220
c( )
870
d( )
760
e( )
1.120
37) (ESAF-2006) Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos
são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com
vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a:
a( )
2.180
b( )
1.180
c( )
2.350
d( )
2.250
e( )
3.280
38) (ESAF-2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de
vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:
a( )
24.360
b( )
25.240
c( )
24.460
d( )
4.060
e( )
4.650
39) (FCC) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de
quatro algarismos distintos entre 1.000 e 9.999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença
positiva entre o primeiro algarismo é o último algarismo é 3, é igual a:
a( )
936
b( )
896
c( )
784
d( )
768
e( )
728
40) (Inst. Bras. de Geog. e Estatística/2005) Pretendemos usar apenas os algarismos 0, 1, 2 e 3 para
formar números de três algarismos distintos, como 230, por exemplo. Nesse caso, podemos
formar a seguinte quantidade de números maiores que 201:
a( )
11
b( )
15
c( )
24
d( )
36
e( )
48
41) (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis meninas
– entre elas Ana e Beatriz – compra ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma
mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do
mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem
compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se
juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de
diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
a( )
1.920
b( )
1.152
c( )
960
d( )
540
e( )
860
42) (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de
modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre
em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só
poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira
da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a( )
420
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b( )
480
c( )
360
d( )
Raciocínio Lógico
240
e( )
60
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43) (ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado
a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear
as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa
de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as
seis crianças podem ser escolhidas é igual a:
a( )
286
b( )
756
c( )
468
d( )
371
e( )
752
44) (ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em fila. O número de
diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo
que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a( )
80
b( )
72
c( )
90
d( )
18
e( )
56
45) (ESAF) Você está à frente de três urnas, cada uma delas contendo duas bolas. Você não pode
ver o interior das urnas, mas sabe que em uma delas há duas bolas azuis. Sabe, ainda, que em
uma outra urna há duas bolas vermelhas. E sabe, finalmente, que na outra urna há uma bola
azul e uma vermelha. Cada urna possui uma etiqueta indicando seu conteúdo, “AA”, “VV”, “AV”
(sendo “A” para bola azul, e “V” para bola vermelha). Ocorre que
e isto você também sabe
alguém trocou as etiquetas de tal forma que todas as urnas estão, agora etiquetadas
erradamente. Você pode retirar uma bola de cada vez, da urna que bem entender, olhar a sua
cor, e recolocá-la novamente na urna. E você pode fazer isto quantas vezes quiser. O seu desafio
é determinar, por meio desse procedimento, o conteúdo exato de cada urna, fazendo o menor
número de retiradas logicamente possível. O número mínimo de retiradas necessárias para você
determinar logicamente o conteúdo exato de cada uma das três urnas é:
a( )
1
b( )
2
c( )
3
d( )
4
e( )
5
46) (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham
menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade
superior a 18 anos. Apresentaram-se para a seleção doze candidatas, com idades de 11 a 22
anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes
grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a:
a( )
85
b( )
220
c( )
210
d( )
120
e( )
150
47) (ESAF-MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma
fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que:
a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que
b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,
a( )
b( )
1112 e 1152
1152 e 1100
c( )
d( )
1152 e 1152
384 e 1112
e( )
112 e 384
48) (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0.
Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os
quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de
telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a:
a( )
504
b( )
720
c( )
684
d( )
648
e( )
842
49) (ESAF-2008) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se,
aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é
igual a:
a( )
1
10
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b( )
8
5
c( )
11
120
d( )
Raciocínio Lógico
11
720
e( )
41
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50) (ESAF-2008) Em um prova de matemática, a probabilidade de Marcelo obter conceito A é igual a
1
1
; a probabilidade de Juliano obter conceito A é igual a
e a probabilidade de Luca obter
2
3
1
conceito A é igual a
. Sabendo-se que os eventos são independentes, então a probabilidade
4
de pelo menos um destes alunos obter conceito A é igual a:
a( )
1
4
b( )
3
4
c( )
1
3
d( )
2
5
e( )
2
3
51) (ESAF-2008) Carla, Cássio e Cecília foram colegas em um curso de especialização em
Bioestatística. Durante o curso, Cássio e Cecília se casaram. Curiosos, os três colegas
verificaram, através de cálculos estatísticos, que a probabilidade de Cássio e Cecília terem um
1
filho do sexo masculino de olhos verdes é igual a
. Após muitos anos sem ter notícias de
10
Cássio e Cecília, Carla soube que eles tiveram cinco filhos. Com saudades, Carla resolveu visitálos. Durante a viagem de ida, Carla fez alguns cálculos e concluiu que a probabilidade de Cássio
e Cecília terem dois meninos de olhos verdes é igual a:
a( )
0,0135
b( )
0,0729
c( )
0,0225
d( )
0,2
e( )
0,02
52) (ANVISA – Técnico Administrativo-2010) Sejam P e H dois eventos independentes com p(P) = 0,5
e p(P H) = 0,2. Desse modo, p(H) pode ser expresso por:
a( )
1
10
b( )
3
10
c( )
4
10
d( )
7
10
e( )
10
10
53) Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa
urna. Determine a probabilidade de serem sacas 2 bolas de cada cor:
a) supondo a extração com reposição;
b) supondo a extração sem reposição.
54) Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade delas possuírem um
número comum?
55) Há 8 carros estacionados em 12 vagas em fila.
a) Qual é a probabilidade das vagas vazias serem consecutivas?
b) Qual é a probabilidade de não haver duas vagas vazias consecutivas?
56) Cinco homens e cinco mulheres sentam-se aleatoriamente em dez cadeiras em círculo. Calcule.
a) A probabilidade de os homens e as mulheres se sentarem em lugar alternados.
b) A probabilidade das mulheres se sentarem juntas.
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57) (Cespe/UnB) Julgue o item abaixo.
a( )
Considere que, na disputa ente duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada
vencedora. Se uma das equipes
A
tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a
seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa.
4º jogo
5º jogo
A perde
6º jogo
A perde
7º jogo
A perde
A perde
58) (Cespe/UnB) Julgue o item abaixo.
a( )
O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da
8
palavra Papiloscopista é inferior a 10 .
59) (Cespe/UnB) Considere a seguinte situação hipotética.
a( )
Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia
de 6 caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3
dígitos, cada um escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais
e(ou) 3 dígitos iguais.
7
Nessa situação, a empresa dispõe de até 10 códigos distintos para catalogar seus bens.
60) (Cespe/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus ( ),
espadas ( ), copas ( ) e ouros ( ). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas
contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações,
julgue os itens subseqüentes.
a( )
b( )
c( )
A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras
3
citadas no texto é igual a
.
13
Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a
1
probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ÁS de ouro é igual a
.
52
A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a
11
.
26
61) (Cespe/UnB) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma
assertiva a ser julgada.
a( )
Em um centro de pesquisa onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5
desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores
só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhido; caso contrário, não participam. Nessa
situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.
62) (Cespe/UnB) Julgue o item que se segue.
a( )
Uma empresa de engenharia de software recebeu muitas inscrições de candidatos a um cargo de
programador. Somente 60% dos inscritos eram qualificados. Um teste de aptidão foi aplicado para
ajudar a analisar as inscrições. Dos qualificados, 80% passaram no teste, que aprovou também
20% dos não-qualificados. Nessa situação, se um inscrito passou no teste (ou se foi reprovado), a
probabilidade de ele ser qualificado é maior que 86%.
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63) Uma urna apresenta 5 bolas amarelas, 7 vermelhas e 3 azuis, são retiradas ao acaso e
simultaneamente 3 bolas.
a) a probabilidade de 3 serem amarelas é ___________
b) a probabilidade de serem da mesma cor é ___________
c) a probabilidade de ser uma de cada cor é ___________
d) a probabilidade de 2 serem amarelas e a outra azul é ___________
e) a probabilidade das 3 bolas não serem da mesma cor e ___________
f)
a probabilidade de pelo menos uma ser amarela é ___________
64) (ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são
vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho.
Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram
amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes
amarelos que morreram foi:
a( )
20%
b( )
25%
c( )
37,5%
d( )
62,5%
e( )
75%
65) (ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças
são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas
serem do mesmo sexo é:
a( )
15%
b( )
20%
c( )
25%
d( )
30%
e( )
35%
GABARITO
1)
a) 4096 b) 2048
20) 495
21)
c) 840 d) 210
20!
10! 10!
40) A
58) ERRADA
41) A
59) ERRADA
42) A
60)
2) 40
22) 63
43) D
a) CERTA
3) 1080
23) 12.600
44) B
b) ERRADA
4) 300
24) 2.520
45) A
c)
5) 585
25) a) 35 b) 210
46) C
61) CERTA
6) E
26)
47) C
62) ERRADA
7) 12.960
a) 28 b) 286 c) 1001
48) D
63)
8) a) 72 b) 648
27) 21
49) C
a) C5,3 / C15,3
9) 125
28) 35
50) B
b) [C5,3 + C7,3 + C3,3] /
10) C
29) D
51) B
11) 1
30) 14
52) C
12) 4
31) 17
13) A
32) B
14) D
33) 4.536
15) 4
34) 461
53) a)
54)
C15,3
c)
10
81
b)
18
77
C5,1 . C7,1 . C3,1 / C15,3
d) C5,2 . C3,1 / C15,3
e)
1
f)
1
7
18
27
16) x = 3
35) 6
17) a) n = 8 b) n = 12
36) E
7 10 13 16
18) ;
;
;
3 3
3 3
37) A
38) A
1
56) a)
126
19) 22
39) E
57) CERTO
Prof. Raimundo Diniz
CERTA
55) a)
1
55
b)
14
55
C5,3
C 7 ,3
C3,3
C15,3
C10,3
C15,3
64) D
Raciocínio Lógico
54
b)
126
65) B
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