Exercícios de Matemática
Progressão Geométrica
1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a 1 + 3, a2
– 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda
que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a
a)
3 3
b)
3
c)
3
d)
3
e)
3
3
2
3
4
3
2
3
progressão aritmética. Um possível valor da soma dos
quatro termos dessa seqüência é
a) 10
b) 18
c) 12
d) 14
e) 20
       ...
 é igual a
6) (Mack-2007) cotg  3 6 12
3
a)
b)  3
3
3
c)

d)
2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1
milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira,
que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de
renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me
aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e
ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em
reais, que devo disponibilizar mensalmente é:
Dado: 1,01361  36
a) 290,00.
b) 286,00.
c) 282,00.
d) 278,00.
e) 274,00.
3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de
1
uma PG, de razão negativa, é . Além disso, a diferença
2
entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta
na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento,
registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de
3 km2 e a partir daí, durante um determinado período, a
quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em
progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a
área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a área total
desmatada nessa região atingiu 381 km2 nos n anos em que
ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.
5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o
primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão
geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em
1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
3
3
2 3
e) 3
7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica
a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a
progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9.
Nessas condições, o produto a2a7 vale
a) –27
b) –3
3
3
c) –
3
d) 3
3
e) 27
3
8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados
pela fórmula an = n  1 . Calcule a soma dos dez primeiros
2
termos da seqüência (bn)n1, onde bn = 2 an para n 1.
9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6 2 + 63 +
... + 62006 é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4
deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4
com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,
de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior
dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão
geométrica que representa a espessura do papel dobrado em
função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o
papel seis vezes, quais serão as dimensões do
paralelepípedo?
11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen
 8  8  8  ... = cos x, com x  [0,2[, é
 9 27 81

2

4

,
a)
3 3
b) 5 , 7
6 6
3
c)  , 5
4 4

d) , 11
6 6

e) , 5
3 3
 
 
 
 
 
12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a
ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais
intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35
anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões
dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos
supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue
dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006
a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x
furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição,
determine, em função de x, o número total de furacões que
terão ocorrido no período de 1971 a 2320.
13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a
reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou
com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade
das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira
hora, são:
Tempo decorrido (minutos)
0
20
40
60
Número de bactérias
100
200
400
800
Supondo-se que as condições de reprodução continuem
válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do
experimento, a população de bactérias será de
a) 51.200
b) 102.400
c) 409.600
2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
d) 819.200
e) 1.638.400
1

2
 0
14) (Mack-2006) Dada a matriz A = 

0

1

3  , considere a
seqüência formada por todas as potências inteiras e
positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se
todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo
determinante é
1
a) 3
1
b) 4
1
c) 6
1
d) 5
1
e) 2
15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números
x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro
n1, em que a é uma constante não nula.
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência.
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8.
16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x <

2
, é uma progressão geométrica, cos2x vale
1
a) 2
3
b) 2
1
c) - 2
3
d) - 2
2
e) - 2
17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática,
propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio
montou uma página na internet sobre questões de
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página.
Supondo que o número de visitas à página, durante o ano,
dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de
Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no
instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada
minuto, a metade da distância que o separa do ponto B,
conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a
distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro
minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao
final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final
do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim,
sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza
linearmente em cada período considerado.
22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30,
estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro
termos dessa progressão aritmética, obtemos três números
em progressão geométrica. Então, um dos termos da
progressão aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
presente, no final do ano, se suas notas, em todas as
disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos
comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e
(1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João
ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10
primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua
distância ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) =
distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do
instante t = 0.
19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro
circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1
litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta
ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao
contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas
grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão
geométrica. O valor de V é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 7
e) 5
20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2,
4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG
formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da
PA é
a) 2197.
b) 2198 - 1.
c) 2198.
d) 2198 + 1.
e) 2199.
3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da
Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma
coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com
mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser
desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica
chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela
Nasa. Se um computador, munido de um sistema de
inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada
um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que
precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que
o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10
anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada
em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T 1 de
área 16 3 cm2 Unindo-se os pontos médios dos lados
desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero
T2, que tem os pontos médios dos lados de T 1 como
vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo
triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T 3, e
assim por diante, indefinidamente. Determine:
a) as medidas do lado e da altura do triângulo T 1, em
centímetros;
b) as áreas dos triângulos T 2 e T7, em cm2.
25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja
medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é
construído, unindo-se os pontos médios dos lados do
triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios
dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro
triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A
soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados
na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a
a) 16cm.
b) 18cm.
c) 20cm.
d) 24cm.
e) 32cm.
26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos
dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o
termo numericamente igual à razão da seqüência é o
a) quarto.
b) quinto.
c) sexto.
d) sétimo.
e) oitavo.
27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2,
a3, … satisfaz à lei de formação
an + 1 = 6an, se n é ímpar,
1
an + 1 =
an, se n é par.
3
Sabendo-se que a1 = 2
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez
que é executado, reduz à metade o número de linhas
verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem
digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024
linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas
verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução
ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k
é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos
isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos
hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a
área do retângulo de lados h e d é igual a
a) 68.
b) 102.
c) 136.
d) 153.
e) 192.
30) (UFRJ-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos
tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do
produto de seus termos vale 36. Ache a razão da
progressão.
31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma
quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes:
1) perde-se a quantia X apostada;
2) recebe-se a quantia 2X.
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na
primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2
centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por
diante, apostando em cada vez o dobro do que havia
apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela
perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia
total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª
jogada, tem-se que Q é igual a:
a)
T
2
b) T
c) 2T
d) T-1
e) T+1
33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3,
então os termos gerais da Progressão Aritmética e da
Progressão Geométrica correspondentes são:
2.3n
a) 2 + 3n e 3
b) 2 + 3n e
c) 3n - 1 e
d) 3 + 2n e
e) 3n - 1 e
4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
3 n1
2
2.3n
3.2n
2.3n
3
1
34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o sétimo termos de uma
progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O
quinto termo dessa progressão é:
a) 14
b)
volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2
da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do
terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em
que foi abandonada a bola é, em metros, igual a
30
c) 2 7
d) 6 5
e) 30
35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam
disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa".
Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2 moedas,
simultaneamente. Vence o jogo e, conseqüentemente, fica
com o objeto, aquele que conseguir o maior número de
caras. Ocorrendo empate, a experiência será repetida, tantas
vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor.
Calcule:
a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na
primeira experiência.
b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa.
36) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i
e z = (1 + i).
Determine:
a) z2 e (w2  z + w), onde z indica o conjugado de z.
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) é
uma progressão geométrica, determinando todos os seus
termos e a sua razão.
37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno
gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o
dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior.
Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto
a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas
as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5
minutos. Calcule:
a) O número total de questões da referida prova.
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas
as questões da prova.
38) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão
geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o
número de termos n desta progressão, em função de A, B e
q.
b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros
em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada
parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas
parcelas são necessárias para pagar a dívida?
39) (CPCAR-2002) Uma bola é abandonada de uma certa
altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o solo e
5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
a) 0,8
b) 1
c) 8
d) 0,5
40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003,
preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se
numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um
treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma
velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a
velocidade pela metade. É correto afirmar que
a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de
45 minutos.
b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta
mais de 10 minutos.
c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6 km/h no
mínimo.
d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente.
41) (UEL-2002) A figura construída segundo a seqüência
abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de
Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo.
Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos
1
menores, com arestas iguais a da aresta deste. O cubo
3
central e os cubos do centro de cada face são removidos. O
procedimento se repete em cada um dos cubos menores
restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a
Esponja. Supondo que a medida da aresta do cubo inicial
seja igual a 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura
30?
44) (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro
termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
30
a)
8
 
9
29
b)
8
 
9
30
c)
9
 
8
d)
 20 


 27 
e)
 27 


 20 
5 x 2
termos é 3 900, pode-se afirmar que 5 , é igual a
a)
19
1
25
1
5
c) 1
d) 5
e) 25.
b)
19
42) (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e
salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual
caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A
expressão matemática para h(n) é:
2
 
3
a) 30  
n
2
(30)n
3
b)
c) 20.n
2
.n
3
d)
 2
 
3
e)  
n
45) (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi
infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois
dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se
cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o
"mc1" exterminará a metade do rebanho?
46) (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se
uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já
houveram sido colocadas anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
60
43) (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de
quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros
com lado igual à metade do lado do quadrado anterior,
então a soma das áreas desses quadrados é:
a) 2
3
b)
4
4
c)
5
5
4
4
e)
3
d)
6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
 (2j  1)
47) (FGV-2003) a) calcule j1
.
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica
2


1, x , x ,...


2 4

.
48) (Unicamp-1994) Seja   -1 um número complexo tal
que n = 1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que,
se n for par, a expressão 1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n é igual a
1 
1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a 1   .
49) (Fuvest-2003) No plano cartesiano, os comprimentos de
segmentos consecutivos da poligonal, que começa na
origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma
progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois
segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então,
se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
1 p 12
a) 1 p
1 p 12
4
2
b) 1 p
1 p 16
2
c) 1 p
1 p 16
2
d) 1 p
1 p 20
4
e) 1 p
50) (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem,
nessa ordem, uma progressão geométrica.
atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a
bola terá percorrido, em metros?
a) 255,50
b) 383,00
c) 383,50
d) 383,63
54) (AFA-1999) Se a seqüência de inteiros positivos (2, x, y)
é uma Progressão Geométrica e (x+1, y, 11) uma
Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
55) (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em
progressão geométrica de razão 2.
Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em
51) (AFA-1998) Seja f uma função real que satisfaz as
seguintes propriedades:
I.
f(0) = 1;
II.
0 < f(1) < 1; e
III.
f(x + y) = f(x).f(y) x, yR.
Então, a expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9) é
equivalente a
[f(1)]  1
a) f(1)  1
[f(1)]10  1
b) f(1)  1
9
[f(1)] 9  f(1)
f(1)  1
c)
[f(1)]10  f(1)
f(1)  1
d)
52) (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma
progressão geométrica de razão positiva valem
respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é:
a) 170
b) 2 85
c) 80
d) 40
e) 4
53) (AFA-1999) Uma bola é solta de uma altura de 128
metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a
metade da altura anterior. Esse movimento se repete até
7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
a) progressão aritmética de razão 2.
b) progressão geométrica de razão 2.
c) progressão aritmética de razão 2 .
d) progressão geométrica de razão
2.
56) (Unicamp-1998) Considere uma progressão geométrica
de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do
terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente
anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa
progressão.
1 5
2 e q > 0,
b) Supondo que o primeiro termo seja
calcule a soma dos três primeiros
termos dessa progressão.
57) (FMTM-2002) Dentre as seqüências dadas, aquela que
forma uma progressão geométrica é a seqüência



6
4
3
a) sen , sen , sen



b) sen2 6 , sen2 4 , sen2 3 .



c) tg 6 , tg 4 , tg 3



d) cos 6 , cos 4 , cos 3



2 6
2 4
2 3
e) cos , cos , cos .
58) (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa
enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia
2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia
1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3,
cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também
enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim,
sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de
dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o
valor de x é:
a) 12.
b) 24.
c) 52.
d) 63.
e) 126.
59) (UFC-2002) Considere a função real de variável real
definida por f(x) = 2-x. Calcule o valor de
f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...
60) (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador
corresponde a um procedimento como o descrito a seguir.
A partir de um triângulo eqüilátero, de área A,
acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo
eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados
livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados
iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente
construímos uma figura com uma infinidade de triângulos
(veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região
determinada por esse processo.
61) (Mack-1996) Num paralelepípedo retângulo a soma das
medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 .
Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica,
então o seu volume é:
8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
a) 216.
b) 108.
c) 81.
d) 64.
e) 27.
62) (Mack-1999) Seja a seqüência geométrica, de n termos
positivos, que se obtém inserindo-se k meios geométricos
1
2
entre
e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n
vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
63) (UFPR-2002) Uma cidade cuja população vem
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se
o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de
habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a
fórmula: P(t) = 30000(0,9)t. Supondo que o ritmo de
diminuição se mantenha, é correto afirmar:
Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000.
Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam
uma progressão geométrica.
O tempo necessário, em anos, para que a população se
log1 log2
reduza à metade da atual é log0,9
P(20) = 0.
Em cada período de um ano a população diminui
10%.
64) (Unicamp-modificada-1990) Construir "fractais” no
computador corresponde a um procedimento como o
descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de
área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro
triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior;
aos segmentos livres destes triângulos acrescentamos
triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim
sucessivamente construímos uma figura com uma
infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área,
em termos de A, da região determinada por esse processo.
65) (Una-2001) Um funcionário de uma repartição pública
inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia
320 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte
tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior,
repetindo-se este fato dia após dia. Se, para terminar o
trabalho, tem de despachar 3200 documentos, pode-se
concluir que:
a) O trabalho estará terminado em menos de 20 dias.
b) O trabalho estará terminado em menos de 26 dias.
c) O trabalho estará terminado em 58 dias.
d) O funcionário nunca terminará o trabalho.
5
4
3
b)
2
2
c)
3
d) 4
e) 31
a)
66) (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição
pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no
primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho,
no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao
dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para
terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos,
pode-se concluir que:
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias;
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias;
c) o trabalho estará terminado em 58 dias
d) o funcionário nunca terminará o trabalho;
e) o trabalho estará terminado em 60 dias;
67) (Fuvest-2002) Em um bloco retangular (isto é,
27
paralelepípedo reto retângulo) de volume
, as medidas
8
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a
medida da aresta menor é:
7
a)
8
8
b)
8
9
c)
8
10
d)
8
11
e)
8
68) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c
estejam, simultaneamente em progressão aritmética e
progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a+c = 2b
c) a + c =b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
69) (Fuvest-1977) O quinto e o sétimo termos de uma PG
valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:
a) 14
b) 10
c) 4
6
d) 4 10
e) 10
70) (Cesgranrio-0) Adicionando-se uma mesma constante a
cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos
uma PG de razão
9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
71) (Fuvest-1999) Seja (an) uma progressão geométrica de
1o termo a1 = 1 e razão q2, onde q é um número inteiro
maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja
razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:
a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.
b) Existe algum valor de n para o qual na = bn ?
c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm ?
72) (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada
círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio
do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a
soma das áreas de todos os círculos é:
a) 12
b) 15/4
c) 64/3
d) 32
e) 32/3
73) (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1=3, B1A2=2.
Calcule a soma dos infinitos segmentos:
A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+...
Gabarito
1) Alternativa: E
16) Alternativa: C
2) Alternativa: B
17) Alternativa: B
3) a) -2
18) a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é
inferior a 1m.
b)
3
22
b)
4) Resposta: 7
5) Alternativa: D
6) Alternativa: D
7) Alternativa: A
Como (a1 , a5 , a9 ) estão em PG de razão 9, logo:
a5  a1 .9 .
Da PG teremos:
19) Alternativa: D
a6  a5 .q  9 3  a1 .9.q  a1 .q   3  a2   3
20) Alternativa: D
a6  a2 .q 4  9 3   3.q 4  q   3 , pois
a1  0 e a2  0 .
a7  a6 .q  a7  9 3.( 3)  a7  27.
Logo:
a2 .a7  27 3 .
8)
21) Alternativa: E
22) Alternativa: C
23) Alternativa: A
24) a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm.
b) As áreas dos triângulos T 2 e T7, em cm2, são
S10 = 62 ( 2 + 1)
9) Alternativa: C
respectivamente iguais a 4 3 e
3
256
10) a) (0,1) 2kmm
b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm.
25) Alternativa: D
26) Alternativa: A
11) Alternativa: B
12) Resp: 1023x.
27) a)
2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48
2
b)a37= 218.
2 e a38 = 6.218
13) Alternativa: C
14) Alternativa: E
28) Alternativa: A
15) a) 2048
b) 9840
29) Alternativa: C
10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
2
30) Razão = 10
b) 1,28m
31) Alternativa: E
47) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600
33) Alternativa: E
b) 
34) Alternativa: D
35) a)
b)
3 3 3 1
1
1
+
. + .
=
2
8
8 4 8 4
10 2 1
1 10 1
+
. +(
) . + ... (soma infinita de PG) =
2 32 2
32 2
8
11
36) a) 2i e -4 + 6i
2 , 2, 2 2 , 4),
que é uma progressão geométrica de razão 2 .
b) |z| =
2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1,
37) a) 8 questões.
b) 127,5 minutos.
38) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja,
supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 +
B
log q
.
A
b) 25 parcelas.
39) Alternativa: C
40) Alternativa: A
41) Alternativa: B
x 19
219
48) 1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n é a soma dos n+1 primeiros
termos da PG de a1 = 1 e q = -, portanto
  n1  1 ()n ()  1
  1
1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n =    1 =
(   ) n (   )  1 (  ) n (  )  1
  1
  1
Assim, se n for par,
=
=
  1
  1 = 1 e
(   ) n (   )  1  (  ) n (  )  1
 1
  1
  1
se n for ímpar,
=
=   1
1 
= 1 
49) Alternativa: D
50) Resposta: x = 6 ou x = -6
51) Alternativa: B
52) Alternativa: C
53) Alternativa: C
54) Alternativa: B
55) Alternativa: D
43) Alternativa: E
1 5
1 5
2
2
56) a) q =
ou q =
b) S3 = -1- 5
44) Alternativa: B
57) Alternativa: C
45) A sequência de animais mortos segue uma PG de razão
3: 1, 3, 9, 27,...
A soma dos n primeiros termos dessa PG é
58) Alternativa: A
42) Alternativa: A
1(3 n  1)
S=
> 7500  3n > 15001  n > log315001  n
3 1
> 8,75
Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em
18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido.
Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do
rebanho morto.
46) a) 256 tábuas
11 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
1
a1
2.
1 (  1 )
1

q
3
2
59) R: S =
=
=
60) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos
demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma
infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+
3A/7 = 10A/7
61) Alternativa: E
62) Alternativa: A
63) F – V – V – F – V
64) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos
4
demais formam uma PG infinita de razão
e cuja soma
9
A
infinita é 3 . Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3
5
A
A
=8 .
5
5
65) Alternativa: D
66) Alternativa: D
67) Alternativa: C
Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq
3
27
= x3 =
x=
. Como x é a aresta intermediária
2
8
entre a maior e a menor, ela é a média geométrica dessas
3
9
duas. Então, ( )2 = 2.m  m =
2
8
68) Alternativa: D
69) Alternativa: D
70) Alternativa: A
71) a) b1 = q4
b) sim, n = 5
c) 2n – m = 5
72) Alternativa: C
73) Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em
A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e
outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A
soma das duas PGs resulta em S = 9.
12 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br