HIDRODINÂMICA
Créditos: PORTO, R.M. - EESC; LAUTENSCHLAGER, S. R. - UEM
1 - Introdução:
• A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo do movimento dos fluidos.
• O movimento de um fluido perfeito ficará completamente determinado se, em qualquer
instante t, forem conhecidas:
a grandeza e a direção da velocidade v, em qualquer ponto, ou as componentes
vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os três eixos de coordenadas;
a pressão p e a massa específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada
ponto.
• São 5 incógnitas (vx, vy, vz, p e ρ) => funções de 4 variáveis independentes, x, y, z, e t.
• A resolução do problema exige um sistema de cinco equações:
três equações gerais do movimento, relativas a cada um dos três eixos;
a equação da continuidade, que exprime a lei de conservação das massas; e
uma equação complementar, que leva em conta a natureza do fluido.
1
• Métodos gerais para a solução do problema:
Método de Lagrange => consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao
longo das suas trajetórias;
Método de Euler => estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a
variação das grandezas mencionadas.
2 – Classificação dos Escoamentos:
2.a – Permanente ou Não-Permanente (Variado):
2.a.1 - Escoamento permanente:
aquele cujas características (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de
ponto e independem do tempo;
No escoamento permanente, a vazão é constante ao longo da corrente.
Matematicamente:
∂v
= 0;
∂t
∂p
= 0;
∂t
∂ρ
=0
∂t
Escoamento permanente uniforme:
a velocidade média permanece constante ao longo da corrente;
Neste caso, as seções transversais da corrente são iguais.
2
Escoamento permanente não-uniforme (gradualmente variado):
O escoamento permanente pode ser acelerado ou retardado;
2.a.2 - Escoamento não-permanente:
As características do escoamento não-permanente, além de mudarem de ponto para
ponto, variam, num mesmo ponto, com o tempo.
De maneira semelhante:
∂v
≠ 0;
∂t
∂p
≠ 0;
∂t
∂ρ
≠0
∂t
• Exemplo => Tipos de escoamento em um rio (Figura 1):
há trechos regulares em que o escoamento pode ser considerado permanente e
uniforme;
em outros trechos (estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente
(vazão constante), passa a ser acelerado;
durante as enchentes, ocorre o movimento não-permanente: a vazão varia com o tempo.
3
Figura 1 – (a) Movimento permanente uniforme: Q1 = Q2, A1 = A2, V1 = V2; (b) permanente não-uniforme
acelerado: Q1 = Q2, A1 > A2, V1 < V2; e (c) não-permanente: Q1 ≠ Q2, A1 ≠ A2 e V1 ≠ V2, além da variação em cada
seção com o tempo.
2.b – Regime Laminar ou Turbulento:
No regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem
definidas e paralelas. Regime que ocorre a baixas velocidades ou em fluidos muito viscosos.
No regime turbulento, as trajetórias das partículas em movimento são
irregulares, com movimento aleatório, produzindo transferência de quantidade de
movimento entre regiões da massa líquida.
(a)
(b)
Figura 2 – (a) Escoamento laminar; (b) Escoamento turbulento.
4
Experiência de Reynolds
Reynolds desenvolveu experimentos com a finalidade de visualizar o comportamento de
um filete de corante no interior do escoamento, através de um tubo transparente, como ilustrado
na Figura 3.
O parâmetro adimensional:
ρVD VD
Re =
=
µ
υ
Figura 3 – Experiência de Reynolds.
representa a razão entre forças de inércia e de viscosidade e é conhecido como No. de Reynolds;
permite classificar os escoamentos como:
Re < 2000 : ESCOAMENTO LAMINAR
2000 < Re < 4000 : Escoamento de Transição / Região Crítica
Re > 4000 : ESCOAMENTO TURBULENTO
5
2.c – Escoamento em Conduto Forçado e em Conduto Livre:
Nos condutos forçados, os escoamentos ocorrem sob pressão, geralte. diferente
da pressão atmosférica, e as seções são fechadas e funcionam cheias (em geral, circulares).
Nos condutos livres, os escoamentos ocorrem à superfície livre, sob pressão
atmosférica, e as seções são fechadas (parcialmente cheias) ou abertas (canais).
Figura 4 – Formas usuais de seção transversal de condutos livres (canais) na prática da engenharia hidráulica.
6
3 – Equações Fundamentais dos Escoamentos Permanentes dos Líquidos:
3.a – Equação da Conservação da Massa – Lei da Vazão
Vazão ou descarga:
Considerando o tubo de fluxo, indicado na Figura 5, tem-se como expressão da lei de
conservação da massa através do mesmo num intervalo de tempo dt:
Massa que entra - Massa que sai =
= Variação da massa no interior do tubo
Matematicamente:
ρ1 A1 V1 dt − ρ2 A 2 V 2 dt = dM
.............................. (Eq.
1)
(
Figura 5 – Tubo de fluxo.
7
Para:
escoamento permanente
=>
dM = 0 ∴ M = cte.
líquido incompressível
=>
ρ1 = ρ2 = ρ = cte.
Na Eq. 1, resulta:
te
A1 V1 = A 2 V 2 = A V = Q = c .
......................... (Eq.
2)
(
Conhecida como equação da vazão, equação da continuidade ou Lei de Leonardo-Castelli.
Define-se, então, em termos de volume:
Vazão ou descarga, numa determinada seção, é o volume de líquido que
atravessa essa seção na unidade de tempo.
A vazão é expressa em m3s-1 ou em outras unidades múltiplas ou submúltiplas.
Para o cálculo de canalizações, em tabelas, é comum empregar-se litros por segundo
(L s-1);
Os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam usar litros por
hora (L h-1) ou metros cúbicos por hora (m3 h-1).
8
3 – Equações Fundamentais dos Escoamentos Permanentes dos Líquidos:
3.b – Equação da Conservação da Energia – Teorema de Bernoulli
Aplicando-se a equação fundamental
da Dinâmica a um elemento da massa líquida
em movimento, como indicado na Figura 6, temse para o equilíbrio das forças de campo
(gravidade) e de contato (pressão e atrito),
após considerações teóricas e simplificações:
- Na direção tangencial s do escoamento
permanente de líquido perfeito (sem
viscosidade):
p V2
te
z+ +
=H=c .
γ 2g
......................... (Eq.
3)
(
Figura 6 – Forças sobre o volume elementar.
Teorema de Bernoulli => para o movimento de líquidos perfeitos em regime permanente, a
carga total H, que representa a energia mecânica por unidade de peso do líquido, é constante
ao longo de cada trajetória.
9
Linha de energia e linha piezométrica:
Para dois pontos sobre uma linha de corrente (≡ trajetória da partícula) no escto.
permanente de um fluido real, o teorema de Bernoulli escreve-se como:
2
2
p1 V1
p 2 V2
z1 + +
= z2 + +
+ ∆ H12
γ 2g
γ 2g
......................... (Eq.
4)
(
Nesta equação, as parcelas representam energias por unidade de peso do líquido e têm
dimensão linear, admitindo a representação geométrica indicada na Figura 7:
Figura 7 – Linha de energia e linha piezométrica relativas ao movimento de uma
partícula em sua trajetória.
10
As denominações dos termos da Eq. 4 e Figura 7 são:
• z – carga de posição (energia potencial em relação a um plano horizontal de referência);
• p/γγ − carga ou energia de pressão;
• V2/2g – carga ou energia cinética;
• (z + p/γγ) – cota piezométrica;
• Linha piezométrica - lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por (z + p/γ);
• Linha de energia (ou de cargas totais) - lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por
(z + p/γ + V2/2g);
• ∆H12 – perda de carga ou perda de energia por unidade de peso do líquido (representa a
energia gasta para vencer as forças de atrito no deslocamento da partícula entre os pontos 1 e 2).
Observações:
- parcelas geometricamente perpendiculares ao plano horizontal de referência, independente da
curvatura da trajetória;
- a linha de energia desce sempre no sentido do escoamento, a menos que haja introdução de
energia externa pela instalação de uma bomba;
- a linha piezométrica não necessariamente segue esta propriedade;
- a perda de carga corresponde ao rebaixamento da linha de energia entre os dois pontos
considerados.
11
Equação da Energia em Tubos de Fluxo
pressão (p)
Para uma seção
carga de posição (z)
velocidade (v)
Valores tomados para o centro da seção
Valor variável com a posição do ponto na seção
devido à presença de contorno sólido e à viscosidade.
Para cada trajetória há uma LE. Na prática,
interessa definir p/ toda a seção uma LE para a
velocidade média V na seção.
A energia cinética da massa global vale (Fig. 8):
Figura 8 – Distribuição de velocidade em uma seção.
1
1
1
1
2
2
2
E c = mV = ρVolV = ρQ∆tV = ρAV 3
2
2
2
2
A energia cinética através de um elemento de área dA vale:
dE c =
(i)
(∆t , dt unitários)
1
1
1
1
1
dmv 2 = ρdVolv 2 = ρdQdtv 2 = ρv 3dA ⇒ E c = ∫ ρv 3dA
A 2
2
2
2
2
(ii)
12
A relação entre (ii) e (i) é chamada de fator de correção da energia cinética ou coeficiente de
Coriolis e é dada por:
1 3
3
v
dA
∫A 2 ρv dA
∫
A
≥1
→α=
α=
3
1 3
VA
ρV A
2
A quantidade de movimento da massa global vale:
r
r
r
r
Q = mV = ρVolV = ρQ∆tV = ρV 2 A
(iii)
A quantidade de movimento de um elemento de área dA vale:
(∆t , dt unitários)
r
r
r
r
r
1 2
2
=
ρdQdt
v
=
ρv
dA
⇒
dQ = dmv = ρdVolv
Q = ∫ ρv dA
A 2
(iv)
A relação entre (iv) e (iii) é chamada de fator de correção da quantidade de movimento ou
coeficiente de Boussinesq e é dada por:
β=
∫
A
ρv 2 dA
2
ρV A
→β =
2
v
∫ dA
A
2
V A
≥1
13
Assim, a equação geral da energia para tubos de fluxo, representada pelas velocidades médias
nas seções 1 e 2, fica:
p1
V12 p 2
V22
L d(βV )
+ z1 + α 1
=
+ z2 + α 2
+ ∆H12 +
γ
2g
γ
2g
g dt
Para escoamento laminar em tubos
circulares (distribuição de velocidade
parabólica):
α = 2,0 e β = 4/3
Para escoamento turbulento em tubos
circulares (distribuição de velocidade
logarítmica):
Figura 9 – Distribuições de velocidade típicas para
escoamentos laminar e turbulento em uma seção.
α ≅ 1,0 (=1,06) e β ≅ 1,0 (= 1,02)
Obs.: O coeficiente de Coriolis é mais importante nos escoamentos em condutos livres,
onde a distribuição de velocidade numa seção é menos uniforme.
14
Aplicações:
1) O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente
varia gradualmente de 150mm, no ponto A, 6m acima de um referencial,
para 75mm, no ponto B, 3m acima do referencial. A pressão no ponto A
vale 103 kN/m2 e a velocidade média é de 3,6 m/s. Pede-se determinar:
a) A velocidade média na seção do ponto B;
b) O valor do no. de Reynolds do escoamento nas seções dos pontos A e B;
c) Desprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto B?
(Probl. 1.2 – PORTO)
15
2) Em um ensaio de laboratório, uma tubulação de aço galvanizado com
50mm de diâmetro possui duas tomadas de pressão situadas a 15 m de
distância uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 1,0 m.
Quando a água escoa no sentido
ascendente, tendo uma velocidade
média de 2,1 m/s, um manômetro
diferencial ligado às duas tomadas de
2
m
5
1
pressão e contendo mercúrio acusa
=
L
uma diferença manométrica de 0,15m.
Calcule a vazão, o no. de Reynolds, a
diferença de pressão entre as duas
tomadas e a perda de carga do
escoamento no trecho.
Indicar, esquematicamente, as linhas
piezométrica e de energia.
1,0
1
hHg=0,15
Dado: densidade do mercúrio 13,6.
(Probl. 1.8 – PORTO)
16
Fórmula Universal da Perda de Carga
No fenômeno físico do escoamento de um líquido real, com velocidade média V,
caracterizado pela sua viscosidade dinâmica µ e massa específica ρ, através de uma tubulação
circular de diâmetro D, comprimento L e altura de rugosidade ε da parede, a queda de pressão ∆p
que ocorre naquele trecho pode ser expressa como:
∆p = F (ρ , V , D , µ , L , ε )
Aplicando-se o teorema fundamental da Análise Dimensional, conhecido como
teorema de Vashy-Buckingham ou teorema dos Π’s, obtém-se a seguinte relação entre os quatro
parâmetros adimensionais relacionados ao fenômeno:
 ρVD ε L 
∆p
, , 
= Φ′ 
2
ρV
D D
 µ
2
Escreve-se, pelo fato de ser
∆p ∝ L/D:
L  ρVD ε 
∆p
= Φ 
, 
2
ρV
D  µ
D
2
17
A função indicada na expressão anterior pode ser obtida experimentalmente e
representa o fator de atrito f da tubulação.
Como ∆p
= γ ∆H
e
γ=ρg,
L V2
∆H = f
D 2g
vem:
...........................
(Eq.
5)
(
A Eq. 5 (Eq. 1.20 – PORTO) é a fórmula universal da perda de carga ou equação de
Darcy-Weisbach, de grande importância nos problemas relacionados aos escoamentos.
Como será visto no próximo capítulo, o fator de atrito f é determinado como uma
função do número de Reynolds do escoamento e da rugosidade relativa do conduto.
(
f = Φ Re , ε
)
D
18
Resistência aos Escoamentos Uniformes
Velocidade de atrito
X
L
P 2A
Para o escoamento no trecho de comprimento L, em
condições de equilíbrio dinâmico, tem-se:
∑F
x
= p1A − p 2 A − τ0 PL − Wsenθ = 0 1.21
P 1A
Como
W =γAL
Escreve-se:
e
z 2 − z1
senθ =
L
τ0
Q
θ
(p1 − p 2 )A − τ0 PL − γA(z 2 − z1 ) = 0 1.22
z1 W = γAL z2
Dividindo-se por (γγA) e separando-se os termos de mesmo índice, obtém-se:
τ0 P
p1
p2
( + z1 ) − ( + z 2 ) =
L
γ
γ
γ A
1.23
O primeiro membro representa a perda de carga no trecho (∆
∆H). Introduzindo-se o conceito
de raio hidráulico, obtém-se:
τ0 L
A
R h = ⇒ ∆H =
P
γ Rh
1.24
∆H
J=
⇒ τ0 = γR h J
L
1.25
19
Seção Circular:

πD
Area =
4

Perimetro = πD

2
A
A
D
πD 2
D
⇒ Rh = 4 =
πD
4
Corte AA
Eq. universal da perda de carga:
L V2
1.20
∆H = f
D 2g
τ 0 L 4τ0 L
∆H =
=
γ Rh
γ D
L V 2 4τ0 L
τ0
V2
τ0
f
∆H = f
=
⇒ =f
⇒
=V
D 2g
γ D
ρ
8
ρ
8
Velocidade de atrito
τ0
u* =
ρ
1.26
1.28
u*
f
=
V
8
20
Potência Hidráulica de Bombas e Turbinas
A LE sempre decai no sentido do escoamento, a menos que uma fonte externa de
energia seja introduzida. Turbinas e bombas são máquinas hidráulicas que têm a função,
respectivamente, de extrair ou fornecer energia ao escoamento.
Aplicando o PCE a um escoamento
permanente do sistema com a máquina indicada na
Figura 10, temos:
H e ± e maq = H s
Figura 10 – Máquina hidráulica em uma
tubulação.
Pela definição de potência total (fornecida ou consumida), tem-se:
Pot =
E maq
∆t
=
e maq ⋅ peso
∆t
=
e maq ⋅ γQ∆t
∆t
= γQe maq
Assim, a expressão geral da potência hidráulica da máquina é:
Pot = ± γQ(H s − H e )
Há perdas no processo de transformação de energia:
• Potência absorvida pela turbina < Potência recebida do escoamento
⇒ rendimento (η
η)
• Potência cedida pela bomba > Potência que o escoamento recebe
21
Definindo
altura total de elevação (ou manométrica) da bomba → H = Hs - He
queda útil da turbina → Hu = He - Hs
• para as bombas:
γQ(H s − H e ) γQH
Pot =
=
η
η
• para as turbinas:
Pot = ηγQ(H e − H s ) = ηγQH u
tem-se
No caso particular da água, γ = 9,81.103 N/m3 e para Q (m3/s) e H (m) as expressões
ficam:
• para as bombas:
9,81QH
Pot =
η
• para as turbinas:
Pot = 9,81⋅ ηQH u
(kW)
(kW)
Outra unidade de potência muito utilizada, principalmente para bombas, é o
cavalo-vapor(cv), que guarda a seguinte relação com o quilowatt:
1 kW = 1,36 cv
22
O estudo de problemas de escoamento deve considerar o traçado da LE ou da LP
entre seções de interesse, principalmente quando existe uma máquina hidráulica.
Para o caso de sistema com
máquina ligando 2 reservatórios com
NA cte. podemos escrever (Figura 11):
Figura 11 – Instalação de turbina (T) e bomba (B) em uma tubulação.
• para a turbina: Hu = Zm - Zj - ∆Hm - ∆Hj = Zm - Zj - ∆H = HB - ∆H
• para a bomba: H = Zj - Zm + ∆Hm + ∆Hj = Zj - Zm + ∆H = HG + ∆H
onde:
- HB = Zm - Zj => queda bruta; e
- HG = Zj - Zm => altura geométrica de elevação.
23
Aplicações (Cont. 2):
2) Calcule o fator de atrito f da
tubulação, a tensão de cisalhamento
média na parede da tubulação e a
velocidade de atrito.
m
5
2
1
=
L
1
1,0
hHg=0,15
3) Um determinado líquido escoa, em regime permanente, através de uma
tubulação horizontal de 0,15m de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a
parede é de 10 N/m2. Calcule a queda de pressão em 30m de tubulação.
(Probl. 1.3 – PORTO)
4) A Figura a seguir mostra um sistema de bombeamento de água do
reservatório R1 para o reservatório R2, através de uma tubulação de diâmetro
igual a 0,40m pela qual escoa um vazão de 150 L/s com uma perda de carga
unitária J = 0,0055 m/m. As distâncias R1B1 e B1R2 medem, respectivamente,
18,5 m e 1800 m. A bomba B1 tem potência igual a 50 cv e rendimento de
80%. Com os dados da figura, determine:
24
a) a que distância de B1 deverá ser instalada B2 para que a carga
de pressão na entrada de B2 seja igual a 2,0 mH2O?;
22,0m
b) a potência da bomba B2, se o rendimento é de 80%, e a
carga de pressão logo após a bomba?
Despreze, nos dois itens, a carga cinética na tubulação!!.
R2
(Probl. 1.14 – PORTO)
15,0m
0,0m
B2
-2,0m
R1
B1
Figura 1.12 – Problema 1.14 (PORTO)
25