CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
06
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
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Áreas de
figuras planas
Introdução
São várias as situações do dia-a-dia nas quais está envolvida a idéia de área.
No ramo imobiliário, por exemplo, encontramos muito esse conceito. Observe
este anúncio que foi publicado no jornal local de Praia Grande/SP.
Nesta unidade iremos trabalhar com áreas de figuras planas em suas diversas
formas: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e
círculo.
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Área do quadrado
O quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados com medidas iguais.
l
l
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado
Aquadrado = l 2 ou Aquadrado = l . l
A = 52
A=5.5
A = 25 cm 2
Área do retângulo
Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos internos com medidas
iguais.
Área do retângulo = medida da base x medida da altura
Aretângulo = b . h
A=5.4
A = 20 cm²
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Área do paralelogramo
O paralelo é um quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois.
Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura
EXEMPLO:
Calcular a área de um paralelogramo que tem 5 cm de base e 3 cm de altura.
Aparalelogramo = b . h
A=5.3
A = 15 cm²
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Área do triângulo
Figura plana limitada por três segmentos de retas a que se chamam de lados.
Área do triângulo =
EXEMPLO:
Calcular a área de um triângulo que tem 5 cm de base e 6 cm de altura
Solução:
A triângulo =
A=
A=
A = 15 cm 2
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Área do losango
Losango é um quadrilátero com os lados opostos paralelos (paralelogramo),
com os lados todos iguais entre si.
Área do losango =
EXEMPLO:
Calcular a área de um losango cujas diagonais medem 5 cm e 8 cm.
A losango =
A=
A=
A = 20 cm 2
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Área do trapézio
É dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos.
Área do trapézio =
EXEMPLO:
Calcular a área de um trapézio cujas bases medem 8cm e 10cm e a altura é 4cm.
A trapézio =
A=
A=
A=
A = 36 cm 2
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Exercícios
Questão 01:
Calcule as áreas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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g)
h)
i)
j)
k)
5 cm
10 cm
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Questão 02:
Veja a planta e responda:
6,0m
5,0m
corredor
6,0m
4,0m
2,50m
5,0m
3,0m
2,0m
1,50m
3,5m
4,5m
3,0m
2,5m
3,0m
2,5m
9,0m
a) Quais as medidas de cada cômodo?
Cômodos
Dimensões
Banheiros
Exemplo: 2,50m x 3,0m
Corredor
Quarto I
Quarto II
Salas
Varanda
Área de Serviço
Cozinha
b) Quais as áreas de cada cômodo?
Cômodos
Dimensões
Banheiros
Exemplo: 7,5m2
Corredor
Quarto I
Quarto II
Salas
Varanda
Área de Serviço
Cozinha
c) Quantos m 2 de cerâmica são necessários para cobrir o piso dos
banheiros, da cozinha e da área de serviço?
d) Quanto gastaria para colocar carpete no dormitório e na sala se o metro
quadrado custa R$ 20,00?
e) Quantas lajotas quadradas de 20cm de lado, serão necessárias para
colocar no piso da cozinha?
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Questão 03:
Uma costureira confecciona 15 toalhas de retalho por semana. Todos os retalhos
tem o formato de um quadrado de 30 cm de lado. Observe as medidas da toalha
e responda:
a) Quantos retalhos são utilizados na confecção de uma toalha?
b) Qual é, em metros, o comprimento da toalha?
c) Qual é em metros, a largura da toalha?
d) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar
uma toalha?
e) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar
as toalhas de uma semana?
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Perímetro de um
Polígono
Perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.
POLÍGONO
Vários
ângulos
Ou seja:
Polígono = Figura geométrica com vários ângulos.
EXEMPLO:
5 cm
4,5 cm
4,5 cm
7,5 cm
O Perímetro do quadrilátero é:
P = 5 + 4,5 + 7,5 + 4,5
P = 21,5 cm
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Exercícios
Questão 04:
Calcule o perímetro dos seguintes polígonos:
a)
3,5 cm
3,5 cm
2,8 cm
b)
5,0 cm
2,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
5,0 cm
Questão 05:
Uma Sala retangular tem 7 m de comprimento e 3,25m de largura. A porta tem
90 cm. Quantos metros de rodapé foram colocados na sala?
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Comprimento e Área do
Círculo
N
esta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a
ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu
dia-a-dia. A superfície de uma moeda e de um disco são exemplos de círculos.
Para desenhar um círculo utilizamos o compasso como você pode observar na
ilustração ao lado.
A linha desenhada pelo compasso é conhecida como circunferência. Ela é o
contorno do círculo.
A medida da abertura do compasso é o raio do círculo ou da circunferência. A
distância entre os dois pontos diametralmente opostos da circunferência é o
diâmetro, que vale o dobro do raio.
Na Matemática, um círculo é o conjunto dos pontos internos de
uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo ao
conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um
dado valor (ao qual chamamos raio).
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Comprimento da circunferência
Medir o comprimento desta curva chamada circunferência é o nosso problema.
Uma das maneiras de resolver um problema matemático é tentar compreendêlo, observando suas propriedades e fazendo experiências. É desta forma que
vamos encontrar uma expressão matemática para o cálculo do comprimento de
qualquer circunferência.
Uma primeira olhada em várias circunferências nos leva a concluir que seu
comprimento depende da medida do raio. É fácil notar que quanto maior o raio
maior é o comprimento da circunferência.
Podemos partir desta observação para descobrir qual a relação matemática
existente entre estas duas medidas.
No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e
diâmetros de várias circunferências. Na última coluna dividimos cada medida
obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d).
Objeto Medido
C
D
ficha telefônica
6,9 cm 2,2 cm 3,13
fundo de um copo 15,5 cm 4,9 cm 3,16
Mesa de jantar
4,40 m 1,40 m 3,14
Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique se o resultado da divisão C
d é sempre um número um pouco maior do que 3. Quanto mais precisas forem
nossas medidas, mais próximo estaremos de um número constante conhecido
como número pi, cujo símbolo é .
O número é um número irracional cujo valor aproximado é 3,14. Na verdade
este número possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos apenas
uma aproximação de seu valor.
3,14159265358979323846264...
Podemos utilizar:
3,14
A partir deste resultado obtemos uma expressão geral:
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EXEMPLO:
Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26?
Uma bicicleta aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30 cm.
Substituindo r = 30 cm na fórmula
temos:
Observe este resultado: 188,40 cm = 1,884 m. Isso significa que uma volta
completa da roda desta bicicleta equivale a uma distância de aproximadamente
1 metro e 88 centímetros.
Exercícios
Questão 06:
Calcule o comprimento aproximado das circunferências cujo:
a) raio = 3 cm
c) diâmetro = 10 cm
b) raio = 7,5 m
d) diâmetro = 30 m
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Questão 07:
Determine o comprimento dos seguintes círculos:
a)
3 cm
b)
20 cm
Questão 08:
Uma praça circular tem 200m de raio. Quantos metros de grade serão
necessários para cerca-lá?
Questão 09:
O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede aproximadamente 50 cm.
Calcule o comprimento do aro.
Questão 10:
O círculo central de um campo de futebol deve medir 18,30 m de diâmetro.
Calcule o comprimento do contorno do círculo.
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Questão 11:
O diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes. Este feito foi
obtido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade
de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.C e 196 a.C. Eratóstenes era o
responsável pela biblioteca do museu, tinha muitos interesses sobre as ciências
e ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde
está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do
primeiro dia de verão (21 de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das
pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical. Olhando-se um poço
profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço. Eratóstenes observou
que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por
raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando
um ângulo um pouquinho maior que 7° em relação à cidade de Siene que ficava
800Km mais ao Sul.
Partindo destas informações e levando em consideração que muitas medidas da
época eram imprecisas, Eratóstenes calculou o diâmetro da Terra fazendo a
seguinte análise:
Se uma circunferência tem 360° e um deslocamento angular de 7° corresponde
aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a
800Km , então a volta completa deverá corresponder ao diâmetro da Terra, que
deverá ser aproximadamente 800×50Km=40.000Km. Atualmente, o diâmetro da
Terra mede 39.830 Km e observamos que a medida obtida para a época era
excelente.
Com base nas informações acima comprove tal teoria considerando o diâmetro
da Terra de aproximadamente 12740km, determine o comprimento da linha do
equador da Terra.
Lembre-se que:
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Área do círculo
Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as
áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em
pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática,
apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de
sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de
muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor
de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o
sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se
aproximava do volume desejado.
Da mesma forma que o comprimento da circunferência, a área do círculo
depende da medida de seu raio.
Acírculo
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EXEMPLO:
Uma praça circular tem 30m de raio. Quantos metros quadrados tem essa
praça?
Substituindo r = 30 m na fórmula
temos:
A área dessa praça é de aproximadamente 2826m2.
Exercícios
Questão 12:
Calcule a área aproximada das circunferências cujo:
a) raio = 3 cm
c) diâmetro = 12 cm
b) raio = 5 m
d) diâmetro = 30 m
Questão 13:
Determine a área dos seguintes círculos:
a)
4 cm
b)
20 cm
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Questão 14:
Seu João fez uma pizza de 12 cm de raio. Qual a área dessa pizza?
Questão 15:
Dona Maria tem um carrinho de pastéis muito freqüentado pelos estudantes na
hora do lanche. Para fazer seus pastéis, dona Maria prepara a massa e corta os
discos que, quando dobrados e recheados, dão deliciosos pastéis. Ela molda os
discos cortando a massa com a borda de uma xícara que tem 10 cm de diâmetro.
Qual a área da massa utilizada para fazer esse delicioso pastel?
Questão 16:
Países com economia inflacionária têm que mudar constantemente o dinheiro
em circulação. O ministro das finanças de um país com inflação alta mandou
recolher suas moedas de 5 patacas, em circulação, para fundi-las e moldar
moedas de 10 patacas. De acordo com a Casa da Moeda, são as seguintes
especificações técnicas:
Moedas do Banco Central
moedas de 5 patacas
moedas de 10 patacas
diâmetro: 18 mm
diâmetro: 20mm
Calcule a área da superfície da face de cima de cada moeda.
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Questão 17:
Durante 50 anos, a indústria fonográfica fabricou discos de vários formatos. O
mais popular nos anos 70 e 80 foi o LP (long-play). Um LP tinha o diâmetro de
cerca de 30 cm. Hoje em dia o LP foi substituído pelo CD (compact disc) um dos
mais populares meios de armazenamento de dados digitais, principalmente de
música comercializada e softwares de computador. O CD tem o diâmetro de
cerca de 12 cm.
Determine a área de cada um desses importantes instrumentos que marcaram
épocas em nossas vidas.
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Gabarito
Questão 01:
a) 16cm2
e) 8 cm2
i) 54 cm2
b) 42,25 cm2
f) 105 cm2
j) 32 cm2
c) 15 cm2
g) 30 cm2
k) 25 cm2
d) 12,18 cm2
h) 17,5 cm2
Questão 02:
a)
Cômodos
Banheiros
Corredor
Quarto I
Quarto II
Salas
Varanda
Área de Serviço
Cozinha
b)
Cômodos
Banheiros
Corredor
Quarto I
Quarto II
Salas
Varanda
Área de Serviço
Cozinha
Dimensões
2,5m x 3,0m
5,0m x 1,5m
6,0m x 3,5m
6,0m x 4,5m
9,0m x 5,0m
2,5m x 5,0m
2,0m x 3,0m
4,0m x 5,0m
Dimensões
7,5m²
7,5m²
21m²
27m²
45m²
12,5m²
6m²
20m²
c) 33,5m2
d) R$ 1860,00
e) 500 lajotas
Questão 03:
a) 48 retalhos
c) 1,8m
b) 2,4 m
d) 4,32m2
e) 64,8m2
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Questão 04:
a) P = 9,8 cm
b) P = 20 cm
Questão 05: 19,6 m de rodapé
Questão 06:
a) C = 18,84cm
c) C = 31,4cm
b) C = 47,1m
d) C = 94,2m
Questão 07:
a) C = 18,84cm
b) C = 62,8cm
Questão 08: 1256m
Questão 09: C=157m
Questão 10: C=57,462m
Questão 11: C = 40.0036km
Questão 12:
a) A = 28,26cm2
c) A = 113,04cm2
b) A = 78,5m2
d) A = 706,5m2
Questão 13:
a) A = 50,24cm2
b) A = 314cm2
Questão 14: A = 452,16cm2
Questão 15: A = 78,5cm2
Questão 16: A = 254,34mm2
A = 314mm2
Questão 17: A = 706,5cm2
A = 113,04cm2
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Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
Página | 27