Engenharia ::: MAF2201 – Física 1
Prof.: Maurício Falleiros
Prova P1
Turma A04
Questões
1. Calcule a sua velocidade média (do percurso completo) nas duas seguintes situações: (a) você
caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05
m/s ao longo de uma pista reta; (b) você caminha durante 1,00 mim à velocidade de 1,22 m/s e
depois corre durante 1,00 mim a 3,05 m/s ao longo de uma pista reta. (c) faça o gráfico de x
contra t para os dois casos e indique como se determina a velocidade média no gráfico.
Conceito: velocidade média do percurso completo é a razão entre o deslocamento total e o
tempo total.
O item (c) foi cancelado no início da prova. Onde se lê “1,00 mim”, leia-se “1,00 min”.
situação (a)
Δ x total=Δ x 1+ Δ x 2=73,2+73,2=146,4 m
Δ t total =Δ t 1+ Δ t 2=
v m=
Δ x 1 Δ x 2 73,2 m
73,2 m
+
=
+
=60+ 24=84 s
v1
v 2 1,22 m/s 3,05 m/s
Δ x total 146,4 m
=
=1,74 m / s
Δ t total
84 s
situação (b)
Δ x total=Δ x 1+Δ x 2=v 1 Δ t 1 +v 2 Δ t 2 =(1,22 m/s).(60s )+(3,05 m /s).(60 s )=73,2+183=256,2 m
Δ t total =Δ t 1+ Δ t 2=1 min +1 min=60+ 60=120 s
v m=
Δ x total 256,2 m
=
=2,14 m/s
Δ t total
120 s
2. A posição de um objeto é dada, em metros, por x(t) = 4 – 11t + 2t2, com t em segundos. (a)
Qual sua velocidade em t = 1 s e em t = 3 s? (b) Qual sua aceleração nestes mesmos instantes?
Em que instante a velocidade se anula?
Conceito: obter a expressão da velocidade em função do tempo, pela derivada da posição em
função do tempo; e da aceleração pela derivada da velocidade. E operar com estas funções.
(a) v (t )=
dx (t)
=−11+4 t
dt
(b) a (t)=
dv (t)
=4 m/s 2 (constante) →
dt
(c) v (t )=0
→
→ −11+ 4 t=0
v (1s)=−7 m/s
v (3 s)=1 m /s
a(1 s)=4 m /s 2
a (3s)=4 m/s 2
→ t=11/4=2,75 s
3. Os freios do seu carro são capazes de criar uma desaceleração de 5,3 m/s 2. Se você estiver a
120 km/h e subitamente avistar um radar, qual o tempo mínimo no qual você consegue reduzir
a velocidade do seu carro baixo do limite de velocidade a 80 km/h?
Conceitos: aplicação das equações do movimento com aceleração constante; conversão de
unidades.
Observa-se que a aceleração e as velocidades são dadas em unidades diferentes. Antes de
operar com as equações, é necessário converter uma para as unidades das outras, ou vice-versa.
Neste caso, é mais natural converter as velocidades para m/s (ninguém fez o contrário, mas
estaria correto expressar a aceleração em km/h.s ou mesmo em km/h2 e usar as equações).
v0 = 120 km/h = 120 / 3,6 = 33,3 m/s
v = 80 km/h = 80 / 3,6 = 22,2 m/s
v (t )=v 0 + a t
→ 22,2=33,3−5,3 t
→ t=11,1/5,3=2,09 s
Também possível operar com a definição de aceleração média:
am=
Δv
Δt
→
t−t 0 =
v−v 0 22,2−33,3
=
=2,09 s
am
−5,3
Atenção para o sinal de negativo na aceleração, já que é uma DESaceleração.
4. Deixa-se cair uma pedra de um penhasco de 80 m de altura. Quanto tempo ela leva para cair (a)
os primeiros 40 m e (b) os 40 m seguintes? (c) Em que altura ela estará na metade do tempo
total de queda?
Conceito: queda livre nas vizinhanças da superfície terrestre; operar com as equações
adequadas (movimento com aceleração constante).
Duas possibilidades razoáveis: (1) eixo y vertical para baixo, com zero no início do
movimento; (2) eixo y vertical para cima, com zero no chão. Outras possibilidades também são
corretas.
Duas formas de operar para os itens (a) e (b): (i) calcular o tempo do primeiro trecho, calcular a
velocidade da pedra no fim deste trecho e usá-la como velocidade inicial no equacionamento
do segundo trecho; (ii) calcular o tempo do primeiro trecho e, mantendo um único
equacionamento, calcular o tempo total da queda – então subtrair do tempo total o tempo do
primeiro, para obter o do segundo trecho. Apenas a forma (ii) será dada aqui, mas a (i) é,
também, correta – experimente por si próprio.
Opção (1) de eixo (vertical para baixo, zero no alto do penhasco e 80 m no chão):
x0 = 0, v0 = 0 e a = +9,8 m/s2: y (t)=0+0 t +
4,9t 21=40
y (t 1)=40 m
→
y (t 2)=80 m
→ 4,9 t 21=80 → t 1=
√
√
→ t1 =
9,8 2
2
t =4,9t
2
40
=2,86 s
4,9
80
=4,04 s → t 2−t 1=4,04−2,86=1,18 s
4,9
Opção (2) de eixo (vertical para cima, zero no chão e 80 m no alto do penhasco)
x0 = 80 m, v0 = 0 e a = –9,8 m/s2: y (t)=80+0 t−
y (t 1)=40 m
→ 80−4,9 t 21=40 → t 1=
y (t 2)=80 m
→ 4,9 t 21=80
→ t 1=
√
√
9,8 2
t =80−4,9 t 2
2
40
=2,86s
4,9
80
=4,04 s → t 2−t 1=4,04−2,86=1,18 s
4,9
(c) Metade do tempo total de queda é 2,02 s. Neste instante, a posição da pedra é
2
y (2,02 s)=4,9 . 2,02 =20,0 m na opção (1) de eixo, ou seja, caiu 20,0 m de um total de 80 m
e está,
então, 60,0 m acima
do chão. Na opção (2) de eixo,
2
Y (2,02 s)=80−4,9.2 ,02 =60,0 m .
5. Uma chave cai de uma ponte de uma altura de 48 m acima da água. Ela cai bem em cima de um
barco modelo, movendo-se com velocidade constante, que estava a 13 m do ponto de impacto
quando a chave foi largada. Qual a velocidade do barco?
Conceito: chave em queda livre, simultaneamente ao barco em movimento uniforme – o tempo
de queda da chave é o mesmo tempo que o barco leva para percorrer os 13 m.
Para a chave: y (t)=4,9 t 2 (eixo y para baixo, zero no alto da ponte). Tempo de queda:
y (t q )=48 → 4,9 t q 2=48 → t q =3,13s
Neste tempo, o barco percorre 13 m, então v=
Δ x 13
=
=4,15 m /s
t q 3,13
6. Uma bolinha rola horizontalmente para fora do lado do tampo de uma mesa que está a uma
altura de 1,10 m. Ela toca o piso em um ponto a uma distância horizontal de 1,76 m do lado da
mesa. (a) quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual é a sua velocidade escalar no instante em
que ela sai da mesa?
Conceito: movimento de projéteis – componentes vertical e horizontal do movimento são
independentes, exceto pelo tempo, pois são simultâneos. O tempo de queda (tempo que a bola
fica no ar) é o mesmo tempo de avanço horizontal.
y (t)=1,10−4,9 t
2
(eixo y para cima, com zero no chão e posição inicial no tampo da mesa)
y (t q )=0 → 1,10−4,9 t 2q=0 →t q=0,474 s
vx=
Δ x 1,76
=
=3,71 m /s
t q 0,474
Como o lançamento é horizontal (na saída da mesa), a velocidade escalar é a própria
velocidade horizontal (a vertical é zero, no instante do lançamento).
7. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 50 m. A bala acerto o alvo 2,9 cm
abaixo do ponto visado. Quais são (a) o tempo de voo da bala e (b) o módulo da sua velocidade
ao sair da carabina?
O problema é exatamente o mesmo do anterior: o tempo de travessia dos 50 m é o mesmo
tempo de queda dos 2,9 cm. Deve-se prestar atenção nas unidades: a queda é de 0,029 m.
y (t)=4,9 t
2
y (t q )=0,029
vx =
(eixo y para baixo, com zero na boca do cano da arma)
→ 4,9 t 2q=0,029 →t q=0,0769s
Δx
50
=
=650 m /s
t q 0,0769