COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ESTUDO DO
CRESCIMENTO E PRODUÇÃO FLORESTAL
Francisco Walter de Lima Gomes1
Universidade Católica de Brasília
Curso de Matemática
RESUMO: Este trabalho visa comparar dois modelos matemáticos quantitativos para aplicação no
corte sustentável de uma plantação de pinheiro silvestre para a comercialização como árvores de Natal.
O primeiro modelo, a avaliação é feita por meio de uma fórmula padrão para o corte sustentável em
que o rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de altura
especifica e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Neste modelo a altura da árvore determina seu
valor econômico. Os parâmetros de crescimento das árvores também devem ser levados em conta para
determinar o rendimento sustentável ótimo da floresta. No segundo modelo, a avaliação é feita por
meio de Programação Matemática (Método Simplex-Lexicógrafico), em que a maximização do
rendimento total de todas as árvores sem classes específicas, dará o maior rendimento sustentável
ótimo para o produtor a cada quatro anos (horizontes de planejamento). Para esse modelo, os cortes
são por talhões.
Palavras-chave: Modelos, programação linear, matriz de crescimento.
1. INTRODUÇÃO
O uso de modelos matemáticos tem uma longa tradição na área florestal. Desde o início do
plantio de florestas manejadas, surgiu o desejo de influenciar e prognosticar o crescimento
com o fim de dominar a produção. Esse desejo tem as suas raízes nas circunstâncias especiais
da produção florestal.
Os longos prazos e a irreversibilidade de tais problemas como: florestas com horizontes de
planejamentos duvidosos, desmatamentos das florestas nativas e a não obtenção do certificado
florestal expedidos por órgãos do Governo Federal. Esse fato levou a produtores e
administradores a procurar novas alternativas de bons lucros e conservação das florestas. Os
modelos matemáticos fazem papel de suma importância para escolha de um bom manejo
florestal, propondo maiores rentabilidades e um desenvolvimento sustentável.
Segundo Strack (1984), modelos são abstrações e simplificações de processos com o fim de
descrever e estimar os seus resultados finais, bem como o seu transcurso.
De acordo com Bronson (1985), existem ferramentas importantes que permitem analisar as
informações e a tomada de decisão em função das condições de mercado ou da demanda da
própria empresa, como por exemplo, as avaliações econômicas, de planejamento e de
otimização, que consideram critérios econômicos na obtenção de projetos.
1
Licenciando do Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília – DF
E-mail: [email protected]
No trabalho proposto encontraremos um modelo para o qual o valor econômico total de todas
as árvores removidas é o maior possível. Isto determinará o rendimento sustentável ótimo da
floresta e é maior rendimento que pode ser obtido continuamente sem dizimar a mesma.
Segundo Kolman (1998), o uso de técnicas matriciais auxiliará o administrador a escolher
um bom manejo.
2. CONCEITOS TEÓRICOS
Segundo Anton & Rorres (2001), o primeiro modelo parte da formulação do seguinte
problema: um plantador possui uma floresta de pinheiro silvestre que são vendidos ano após
ano como árvores de natal. Árvores de diferentes tamanhos têm valores econômicos diferentes
no mercado natalino como mostra a Tabela 1.
Tabela 1: Relação valor-intervalo de altura
Classes de altura Valor (R$) Intervalo de altura (h)
[0, h1 )
1 ( muda)
Nenhum
[h1 , h2 )
p2
2
p3
[h2 , h3 )
3
n −1
p n −1
n
pn
[hn−2 , hn−1 )
[hn−1 , ∞ )
Conforme Figura 1, durante o período de crescimento uma árvore no máximo muda uma
classe para cima.
Altura da Árvore
hn −1
hn − 2
h3
h2
h1
0
p2
p3
pn −1
Valor da Árvore
pn
Figura 1 – Representação Gráfica das Árvores dispostas em classes de alturas e valor
econômico.
2
Observando a Tabela 1. A primeira classe consiste de mudas com altura no intervalo de
[0, h1 ) e sem valor econômico.
Seja xi ( i = 1,2,3,... n ) o número de árvores na i -ésima classe que sobrevivem aos cortes.
Com estes números, formamos o vetor de não-cortadas:
x1
x
X = 2
xn
Neste modelo, o número total de árvores da floresta é fixo e é dado por:
x1 + x 2 + x3 + ... + x n = s
(1)
Onde s é predeterminado pela área disponível para plantio que cada árvore ocupa.
A configuração da floresta é dada pelo vetor x depois de cada corte. Entre dois cortes, as
árvores crescem e produzem uma nova configuração, conforme a Figura 2.
Árvores removidas
corte
Floresta após crescimento
C
r
e
s
c
i
m
e
n
t
o
Configurações
florestais
Floresta no início do processo de crescimento
(vetor de não-cortadas x)
iguais
Árvores não removidas
P
l
a
n
t
a
ç
ã
o
c
d
e
Floresta depois de cortar
(vetor de não-cortadas x )
m
u
d
a
s
Figura 2 – Etapas de manejo para uma política de corte sustentável.
3
Para cada árvore removida é plantada uma muda no seu lugar, de modo que a floresta tenha
sempre a mesma quantidade de árvores.
Durante o período de crescimento, uma árvore da i -ésima classe pode crescer e passar a uma
classe de maior altura ou então o crescimento pode ser retardado por algum motivo e ela
permanecer em sua classe.
Portanto, é definido o seguinte parâmetro g i de crescimento para i = 1,2,3,..., n − 1 :
g i é a fração das árvores da i -ésima classe que nela permanecem para a (i + 1) -ésima classe
durante um período de crescimento.
1 − g i é a fração das árvores da i -ésima classe que permanecem durante um período de
crescimento.
Daí temos a seguinte matriz de crescimento:
G é uma matriz de ordem quadrada cujas as linhas representam as classes (alturas das
árvores) e as colunas representam as frações das árvores que permanece na mesma classe
( 1 − g i ) e as frações das árvores que passam para a classe seguinte ( g i ).
Os zeros que aparecem na matriz representam que não há mudas nessas classes.
Todavia, se a matriz das árvores cortadas for maior que zero, o produtor estar removendo
apenas mudas sem valor econômico conforme equação ( 7).
G=
1 − g1
0
g1
1− g2
0
g2
0
0
1 − g3
.
...
...
...
0
0
0
0
0
0
1 − g n −1
0
0
0
0
g n −1
1− gn
(2)
As entradas da matriz X são o número de árvores nas n classes antes do período de
crescimento.
Durante o corte o plantador remove y i (i = 1,2,..., n) árvores da i-ésima classe.
Efetuando o produto das matrizes:
GX =
1 − g1
0
g1
1− g2
0
g2
0
0
1 − g3
.
...
...
...
0
0
0
x1
. x2
xn
0
0
0
1 − g n −1
0
0
0
0
g n −1
1− gn
4
temos a seguinte matriz:
(1 − g 1 ) x1
g x x1 + (1 − g 2 ) x 2
g 2 x 2 + (1 − g 3 ) x 3
GX =
(3)
g n − 2 x n − 2 + (1 − g n −1 ) x n −1
g n −1 x n −1 + x n
são os números de árvores nas n classes depois do período de crescimento.
Durante o corte o plantador remove y i (i = 1,2,..., n) árvores da i-ésima classe.
Logo, temos o vetor-coluna
.
Y=
y1
y2
yn
de árvores cortadas. Assim, um total de
y1 + y 2 + ... + y n
Árvores são removidas a cada corte. Este também é o número total de árvores adicionadas à
primeira classe (as novas mudas) depois de cada corte, define a seguinte matriz de reposição
de tamanho Rnxn .
Onde a primeira linha representa a reposição de árvores plantadas e a demais linhas não há
reposição de árvores.
R=
1 1 ... 1
0 0 ... 0
(4)
0 0 ... 0
então o vetor-coluna
RY =
1 1 ... 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
y1
y2
yn
y1 + y 2 + ... + y n
0
=
0
(5)
0
5
A matriz RY indica que o total de árvores removidas é igual às plantadas.
Especificará a configuração de árvores plantadas após cada corte.
Agora nós estamos prontos para escrever as seguintes equações, que caracterizam uma
política de corte sustentável:
configuração
no final do período − [corte] +
de crescimento
ou, matematicamente,
reposição
de mudas
configuração
= no início do período
de crescimento
GX − Y + RY = X
Esta equação pode ser reescrita como
( I − R )Y = (G − I ) X
(6)
onde:
I é a matriz identidade.
Nós nos referimos à Equação (6) como a condição de corte sustentável. Quaisquer matrizes
vetores X e Y com entradas não-negativas e tais que x1 + x 2 + ... + x n = s que satisfazem esta
equação matricial, determinam uma política de corte sustentável para a floresta. Observe que
se y1 > 0 , então o cortador está removendo mudas sem valor econômico e substituindo-as por
mudas novas. Como isto não faz sentido, nós supomos que
(7)
y =0
1
com esta hipótese, pode ser verificado que (6) é o formato matricial do seguinte conjunto de
equações:
y 2 + y 3 + .... + y n = g 1 x1
y 2 = g 1 x1 − g 2 x 2
y 3 = g 2 x 2 − g 3 x3
y n −1 = g n − 2 x n − 2 − g n −1 x n −1
(8)
y n = g n −1 x n −1
Observe que a primeira equação em (8) é a soma das demais n − 1 equações.
6
Como nós devemos ter y i ≥ 0 para i = 2,3,..., n, as equações (8) exigem que
g1 x1 ≥ g 2 x 2 ≥ ... ≥ g n −1 x n −1 ≥ 0
(9)
Reciprocamente, se x é um vetor-coluna com entradas não-negativas que satisfaz a Equação
(9), então (7) e (8) definem um vetor-coluna y com entradas não-negativas. Além disto, x e
y satisfazem a condição de corte sustentável (6). Em outras palavras, uma condição
necessária e suficiente para que um vetor-coluna x determine uma configuração da floresta
que permite um corte sustentável é que as entradas de x satisfazem (9).
3. RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO
Foi removida y i árvores da i-ésima classe (i = 2,3,..., n ) e cada árvore na i-ésima classe tem
valor econômico pi , o rendimento total RT do corte é dado por:
RT = p 2 y 2 + p3 y 3 + ... + pn y n
(10)
Usando (8), pode substituir os y i em (10) e obter
RT = p 2 g1 x1 + ( p3 − p 2 ) g 2 x2 + ... + ( p n − pn −1 )g n −1 xn −1
(11)
Combinando (11), (1) e (9), pode-se enunciar o problema de maximizar o rendimento da
floresta sobre todas as possíveis políticas de corte sustentável como segue:
Inicialmente denotamos
RTk = rendimento obtido cortando todas as árvores da k-ésima classe e nenhuma árvore das
outras classes.
O maior valor de RTk para k = 2,3,..., n será, então, o rendimento sustentável ótimo e o
correspondente valor de k será a classe que deveria ser completamente cortada para obter
este rendimento sustentável ótimo. Como nenhuma classe é cortada, exceto a k-ésima, temos:
y 2 = y3 = ... = y k −1 = y k +1 = ... = y n = 0
(12)
Além disto, como todas as árvores da k-ésima classe são cortadas, nunca há árvores nas
classes de altura acima da k-ésima classe. Assim,
xk = x k +1 = ... = x n = 0
(13)
Substituindo (12) e (13) na condição d corte sustentável (8) obtemos
7
y k = g1 x1
0 = g1 x1 − g 2 x2
0 = g 2 x 2 − g 3 x3
(14)
0 = g k − 2 xk − 2 − g k −1 xk −1
y k = g k −1 xk −1
As Equações (14) também podem ser escritas como
y k = g1 x1 = g 2 x2 = ... = g k −1 x k −1
(15)
x2 = g1 x1 / g 2
x3 = g1 x1 / g 3
xk −1 = g1 x1 / g k −1
Das quais segue que
(16)
Substituindo as Equações (13) e (16) em
x1 + x 2 + ... x n = s
[ que é a Equação (1)], pode-se resolver em x1 e obter
x1 =
s
1+
g1 g1
g
+
+ ... + 1
g2 g3
g k −1
(17)
onde:
s corresponde o total de árvores na floresta.
Para o rendimento RTK , combina (10), (12), (15) e (17) para obter
RTk = p 2 y 2 + p3 y3 + ... + p n y n
= pk y k
(18)
= pk g1 x1
=
pk .s
1
1
1
+
+ ... +
g1 g 2
g k −1
A equação (18) determina RTK em termos dos parâmetros econômicos e de crescimento
conhecido para quaisquer k = 2,3,..., n .
8
Para k = 2,3,..., n O correspondente valor de k é o número da classe que é completamente
cortada.
4. APRESENTAÇÃO DO 1º MODELO
Esse problema constitui em: Uma empresa florestal deseja elaborar um plano de manejo para
uma floresta inequiânea (florestas heterogêneas em altura), para os próximos 4 anos
(horizontes de planejamento), com o objetivo de maximizar o rendimento sustentável ótimo.
Os dados desse exemplo estão apresentados na Tabela 2.
Tabela 2: Relação preço-intervalo de altura em metro
Classes
Valor (R$)
Intervalo de altura (m)
1ª (Mudas)
0,00
[0,04)
2ª
150,00
[0,4;1,5)
3ª
250,00
[1,5;2,0)
4ª
350,00
[2,0;3,0)
A seguinte matriz de crescimento refere-se a uma floresta de pinheiro silvestre com os
seguintes parâmetros de crescimento:
Atribuindo valores arbitrários a seguinte matriz de vértices, representando as frações das
árvores que passam de uma classe para outra e as que ficam na mesma classe, temos:
1
2
1
G= 2
0
0
1
3
7
10
0
0
0
0
4
0
5
1
0 0
1
5
Qual classe deveria ser completamente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo e
qual é o rendimento?
Resolução:
Da matriz G de crescimento obtemos:
Considere uma plantação com 100 árvores então, temos s = 100.
g1 = 1 2 , g 2 = 7 10 e g 3 = 1 5
p 2 = 150, p3 = 250,00 e p 4 = 350,00
9
Onde:
RT = rendimento total.
g1 são frações das árvores da primeira classe.
g 2 são frações das árvores da segunda classe.
g 3 são frações das árvores da quarta classe.
p 2 é o preço das árvores da primeira classe
p 2 é o preço das árvores da segunda classe.
p3 é o preço das árvores da terceira classe.
Aplicando a equação (18), temos:
150.100
R$ = 7.500,00
2
250.100
RT3 =
R$ = 7.291,66
2 10
+
1 7
350.100
RT4 =
R$ = 4.152,54
2 10 5
+ +
1 7 1
RT2 =
Esse modelo mostra o rendimento de cada classe, conforme mostra a equação (18).
RT2 , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da segunda classe e nenhuma
árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe
pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da primeira classe.
RT3 , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da terceira classe e nenhuma
árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe
pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da segunda classe mais
as frações da terceira.
RT4 , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da quarta classe e nenhuma
árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe
pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da segunda, da terceira
e da quarta classe.
5. APRESENTAÇÃO DO 2º MODELO
Neste segundo modelo utilizaremos a programação Linear (Método Simplex).
Segundo Silva (2001), esse método é formado por um grupo de critérios para escolha de
soluções básicas que melhorem o desempenho do modelo. Para isso, o problema deve
apresentar uma solução básica inicial.
As soluções básicas subseqüentes são calculadas com a troca de variáveis básicas por não
básicas, gerando novas soluções.
10
Utilizamos o método simplex lexicográfico visando a assegurar a convergência do algoritmo
devido a degeneração das variáveis básicas.
No Método Simplex ocorre o processo de degeneração, quando temos uma solução básica
viável onde existe ao menos uma variável básica nula.
O fenômeno da degeneração pode, teoricamente, implicar na não convergência do Método
Simplex, por levar à ocorrência de ciclos. A ciclagem consiste em voltarmos à mesma base
depois de certo número de interações. A ciclagem indefinida entre a mesma seqüência de
bases poderia impedir-nos de chegar ao final do processo iterativo do Simplex.
Como última observação, cabe ainda mencionar que a ciclagem é um fenômeno bastante raro
na degeneração.
Na ausência de degeneração, a convergência finita do algoritmo Simplex é garantida pelo fato
de gerarmos bases que implicam um valor decrescente para a função objetivo.
No caso de empate, isto é, para o caso em que o Simplex permite mais de uma escolha para
linha pivô, o método Lexicográfico fornece uma regra que permite refinar esta escolha, até
que uma única linha pivô possa ser indicada.
Basta seguir uma escolha arbitrária para o elemento pivô, e desenvolver todo processo de
pivoteamento normal do Simplex.
Nesta escolha não importa se os coeficientes das varáveis não básicas sejam positivos ou
negativos. O importante é adotar uma escolha para convergência do método.
Obviamente existe uma série de opções possíveis nas escolhas que podemos fazer para o
elemento pivô. O importante é que uma vez feita uma escolha, e que implica certa ordem
(maior coeficiente ou menor), deve ser mantida constituindo a essência da mecânica do
método lexicográfico.
Certa floresta é dividida em quatro classes de altura e a matriz de crescimento das árvores
entre os cortes é dada por
Para a matriz de crescimento desse modelo, atribuímos os mesmos valores arbitrários de
conformidade com o primeiro modelo.
1
2
1
G= 2
0
0
0
1
3
7
10
0
0
0
0
0
4
5
1
5
0
1
11
Os preços das classes de alturas estão na Tabela 3 abaixo:
Tabela 3: Relação preço-intervalo de altura em metro
Classes
Valor (R$)
Intervalo de altura (m)
1ª (Mudas)
0,00
[0,04)
2ª
150,00
[0,4;1,5)
3ª
250,00
[1,5;2,0)
4ª
350,00
[2,0;3,0)
O rendimento total é dado pela função objetivo:
Max.RT = p 2 g1 x1 + ( p3 − p 2 )g 2 x 2 + ( p 4 − p3 )g 3 x3
x1 + x 2 + x3 ≤ s
g 3 x3 ≥ 0
Sujeito a: g 2 x 2 − g 3 x3 ≥ 0
g1 x1 − g 2 x 2 ≥ 0
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Onde y i representa a quantidade de árvores que foram repostas. A quantidade de árvores
removidas é igual à das plantadas.
y 3 = g 2 x 2 − g 3 x3
y 2 = g1 x1 − g 2 x 2
Na função objetivo proposta acima, utilizamos a Linguagem de Programação Linear para
maximizar o maior rendimento sustentável ótimo.
Onde:
p 2 , p 3 e p 4 representam os preços das árvores.
g1 , g 2 e g 3 representam as frações das árvores.
Para a primeira restrição x1 + x 2 + x3 ≤ s , o número de árvores plantadas em cada classe é
sempre o mesmo correspondendo o total da floresta.
Foram usadas as restrições ≥ 0 , devido o fato de o plantador não está plantando apenas mudas
sem valor econômico. Pois de acordo com o enunciado da página 6, se a restrição fosse do
12
tipo > 0 , o plantador estava removendo somente mudas os quais para esse modelo não faz
sentido.
O problema é composto das seguintes restrições:
1º a restrição é do tipo ≥ : (maior igual) a variável de folga é substituída e seu valor é
negativo, quando se anulam as variáveis de decisão.
2º a restrição é do tipo =:(igual) não recebe a variável de folga.
Neste caso, acrescentamos em cada uma das restrições do tipo ≥ e = variáveis auxiliares a j
com a formação de um novo modelo.
Não há uma solução básica inicial devido à segunda, terceira e a quarta restrições.
O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das variáveis auxiliares e a
manutenção da solução básica. Isto pode ser feito de duas maneiras:
Método do M grande ou Método da função objetivo auxiliar.
Este problema foi desenvolvido pelo Método do M grande.
Modelo auxiliar: Max. RT = p 2 g 1 x1 + ( p3 − p 2 )g 2 x 2 + ( p 4 − p3 )g 3 x3 − M 2 a 2 − M 3 a3 − M 4 a 4
x1 + x 2 + x3 + xF1 = 100
g 3 x3 − xF2 + a 2 = 0
Sujeito a:
g 2 x 2 − g 3 x3 − xF3 + a3 = 0
g1 x1 − g 2 x 2 − xF4 + a 4 = 0
Neste caso, existe uma degeneração, então é necessário utilizar o Simplex-Lexicográfico para
a escolha do elemento pivô.
À medida que a função é maximizada, as variáveis auxiliares a2 , a3 e a4 deixam a base,
devido ao grande valor de M 2 , M 3 e M 4 .
Quadro Inicial:
RT
x1
x2
x3
xF1
xF2
xF3
xF4
a2
a3
a4
b
M4
0
1
− 75
− 70
− 20
0
0
0
0
M2
M3
0
1
15
1
0
0
0
0
0
0
100
−1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7 10
0
0
1
0
−1 5
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
1/2
− 7 10
0
0
0
0
−1
0
0
1
0
13
Variáveis básicas:
Variáveis não-básicas:
x1 = 0
xF1 = 100
a2 = 0
a3 = 0
a4 = 0
xF3 = 0
x2 = 0
x3 = 0
xF2 = 0
1ª Iteração:
RT
x1
x2
x3
xF1
xF2
xF3
xF4
a2
a3
a4
b
1
0
0
0
− 175
12 5
− 20
0
0
0
− 150
M2
M3
M4
0
1
15
1
0
0
0
0
0
0
0
−1 5
0
0
1
0
0
0
−1
0
2
0
0
1
0
0
0
−2
0
0
0
0
7/10
−7 5
−1
0
−2
0
1
0
100
0
0
0
2
0
2ª Iteração:
RT
a2
a3
a4
b
M3
100
0
1
− 24 7
0
M4
−2
0
2
M2
0
0
0
− 10 7
−2
0
−2
0
0
10 7
2
0
2
0
0
a2
a3
a4
b
M2
M3
M4
−2
0
0
2
0
1
x1
0
x2
0
x3
− 70
xF1
0
xF2
0
xF3
− 250
xF4
− 150
0
0
0
59 35
1
0
0
0
1/5
0
−1
0
0
0
24 7
0
0
1
1
0
−2 7
−2 5
0
0
0
0
3ª Iteração:
RT
x1
0
x2
0
x3
0
xF1
0
xF2
− 350
xF3
− 250
xF4
− 150
0
0
0
0
0
0
0
59 7
−5
24 7
0
0
1
1
0
0
0
− 10 7
−2
− 10 7
−2
2
0
0
−2
1
0
0
1
0
1
0
0
− 59 7
5
10 7
2
− 24 7
0
10 7
2
100
0
0
0
Na primeira parte do problema, que levou à eliminação das variáveis auxiliares, o que
pretenderíamos não era maximizar o objetivo, e sim eliminar as variáveis auxiliares,
retornando assim ao problema original. Podemos escolher para entra na base uma variável
com qualquer coeficiente na função objetivo, desde que a entrada dessa variável provoque a
saída de uma variável auxiliar
14
Novo Quadro
RT
1
x1
0
x2
0
x3
0
xF1
0
xF2
− 350
xF3
− 250
xF4
− 150
0
0
0
0
1
59/7
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
−5
1
0
1
0
0
24 7
0
− 10 7
−2
− 10 7
−2
x2
0
x3
0
xF1
1
x1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
b
0
100
0
0
−2
0
0
0
1ª Iteração:
RT
2450 59
xF2
0
xF3
− 6350 / 59
0
7 59
1
24 59
35 59
0
120 59
1
0
1
0
0
14 59
70/59
10 59
14 59
0
0
− 830 413
− 166 59
20 59
− 90 59
1
x1
0
x2
0
x3
836
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−1 5
59 70
−2 7
97
xF4
− 8360 / 59
b
245000 59
700 59
3500 59
1000 59
1400 59
2ª Iteração:
RT
1
0
xF1
6630 59
0
12
0
1
xF2
0
1
0
0
0
xF3
xF4
55870 413
0
48 54
12 7
− 10 7
− 82 413
0
1
0
0
b
663000 59
0
50
0
100
Observando o último Tableau, a solução ótima foi encontrada maximizando a função objetiva
dada, onde encontramos o valor ótimo de R$ 11.237,29 da variável b. Foi feito o
pivoteamento de cada linha usando o algoritmo Simplex.
Pelo critério do Simplex, como todos os coeficientes da primeira linha são positivos, logo a
função atingiu seu ponto ótimo.
6. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO
O objetivo do trabalho foi alcançado comparando dois modelos matemáticos para
comercialização de venda de pinheiro silvestre como árvores de natal. As vantagens do
primeiro modelo estão na aplicação de ser um modelo bastante simplificado. Portanto, mais
fácil de trabalhar. A preocupação do produtor está apenas no manejo das classes especificas.
15
Apesar das árvores das outras classes terem preços mais elevados, conforme mostra a equação
(18), para o produtor a política de corte sustentável adotada por essa equação determinar o
maior rendimento sustentável ótimo sem dizimar a floresta.
Por outro lado, como o primeiro modelo determina uma política de corte sustentável, não
havendo novos desmatamentos por hectares, o produtor receberá o certificado florestal pela
elaboração de um bom manejo florestal.
Todavia, no primeiro modelo o produtor terá rendimento sustentável ótimo de R$ 7.500,00
cortando todas as árvores da segunda classe, e nenhuma árvore de qualquer outra classe.
Em termos econômicos esse modelo tem a desvantagem em relação ao Método Simplex pelo
fato de o produtor obter receitas oriundas dos plantios, cortando somente classes de alturas
especificas predestinadas para o corte.
Por essa razão, esse modelo poderá trazer perdas de lucro para o produtor no mercado
natalino.
No segundo modelo o produtor terá rendimento total de R$ 11.237,29 a cada corte. Neste
caso, a produção é maior devido ao corte ser raso (cortando todas as árvores por hectares),
para obtenção do ótimo na função objetivo.
Os preços das árvores neste modelo devem ser levados em conta para obtenção do maior
rendimento.
As desvantagens desse modelo correspondem a critérios mais rigorosos, a saber:
Recursos computacionais adequados para este tipo de problema florestal;
Melhor horizonte de planejamento para uma política de corte sustentável;
Maior disponibilidade para o planejamento do manejo florestal.
Portanto, o cenário que apresentou o melhor resultado para a maximização do lucro foi o
segundo modelo em que usou a programação linear com o rendimento sustentável ótimo da
floresta.
7. REFERÊNICAS BIBLIOGRÁFICAS
BRONSON, Richard. Pesquisa operacional. 2. ed. São Paulo: Mc Graw Hill do Brasil, 1995.
HOWAD, Anton; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro:
Prentice - Hall, 1998.
SILVA, Ermes Medeiros et al. Pesquisa operacional: programação linear. 3. ed. São Paulo,
Atlas, 1998.
STRACK, Jair. Modelagem e simulação de sistemas. 1. ed. Rio de Janeiro, LTC- Livros
Técnicos e Científicos S.A., 1984.
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