Álgebra Linear I - Aula 14
1. Matrizes.
2. Forma matricial de uma transformação linear.
3. Composição de transformações lineares e produto de matrizes.
4. Determinante do produto de matrizes.
Roteiro
1
Matrizes
Uma matriz n × m (onde n representa o
colunas) M é definida como segue:

a1,1 a1,2
 a2,1 a2,2

A =  ..
..
 .
.
an,1 an,2
número de linhas e m o número de
...
...
..
.
a1,m
a2,m
..
.
. . . an,m





Dizemos que (aj,1 , aj,2 , aj,m ) é a j-ésima linha de A e que (a1,j , a2,j , an,j ) é a
j-ésima coluna de A. Quando n = m, dizemos que a matriz é quadrada.
Dadas duas matrizes A e B das mesmas dimensões n × m,




a1,1 a1,2 . . . a1,m
b1,1 b1,2 . . . b1,m
 a2,1 a2,2 . . . a2,m 
 b2,1 b2,2 . . . b2,m 




,
B
=
A =  ..

 ..
..
..
..
..  ,
..
..
 .


.
.
.
.
.
.
. 
an,1 an,2 . . . an,m
bn,1 bn,2 . . . bn,m
definimos a soma e a substração de matrizes S = A + B e D = A − B, como
segue,


a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 . . . a1,m + b1,m
 a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 . . . a2,m + b2,m 


S=
,
..
..
..
..


.
.
.
.
an,1 + bn,1 an,2 + bn,2 . . . an,m + bn,m
1
e



D=

a1,1 − b1,1
a2,1 − b2,1
..
.
an,1 − bn,1
a1,2 − b1,2 . . . a1,m − b1,m
a2,2 − b2,2 . . . a2,m − b2,m
..
..
...
.
.
an,2 − bn,2 . . . an,m − bn,m



,

isto é, S e D são matrizes das mesmas dimenões n × m que A e B, onde os
coefientes si,j e di,j das matrizes soma S e substração D são:
si,j = ai,j + bi,j ,
di,j = ai,j − bi,j .
A multiplicação da matriz A pelo escalar λ é a matriz E, n × m, cujos
coeficientes são
ei,j = λ ai,j .
Finalmente, dadas matrizes A, n × m, e B, r × k, o produto P = A B está
definido quando r = m e é uma matriz n × k, o coeficiente pi,j da matriz
produto é dado por
pi,j = ai,1 b1,j + ai,2 b2,j + · · · + ai,m bm,j .
Mais tarde veremos como o produto de duas matrizes aparece de forma natural: a regra de multiplicação ficará clara quando estudemos a composição
de transformações lineares.
V. pode interpretar os coeficientes da matriz produto como segue. Escreva

 

a1,1 a1,2 . . . a1,m
ℓ1
 a2,1 a2,2 . . . a2,m   ℓ2 

 

A =  ..
..
..  =  ..  ,
.
.
 .
.
.
.   . 
an,1 an,2 . . . an,m
ℓn
onde cada ℓi é um vetor linha de Rm da forma
ℓi = (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,m ).
Analogamente, escreva

b1,1 b1,2 . . . b1,k
 b2,1 b2,2 . . . b2,k

B =  ..
..
..
..
 .
.
.
.
bm,1 bm,2 . . . bm,k
2



 
c1
=

c2

ck 
cada cj é um vetor coluna de Rm da forma


b1,j
 b2,j 


cj =  ..  .
 . 
bm,j
Então, pi,j é obtido como o produto escalar dos vetores ℓi e cj ,
pi,j = ℓi · cj .
Observe que o produto A B de duas matrizes pode estar definido e o
produto B A pode não esta-lo. Por exemplo, se a matriz A é 3 × 2 e B é
2 × 1. Neste caso A B é uma matriz 3 × 1 e não é possı́vel fazer o produto
B A.
Também pode acontecer que os dois produtos estejam definidos e os resultados dos produtos serem matrizes de dimensões diferentes. Por exemplo,
se A é 3 × 2 e B é 2 × 3, temos que A B está definido e é uma matriz 3 × 3,
e A B também está definido e é uma matriz 2 × 2. Portanto, o produto de
matrizes não é (em geral) comutativo: mesmo quando as matrizes A B e B A
têm as mesmas dimensões. Um exemplo desta situação é
2 1
1 3
A=
, B=
.
1 1
1 1
Temos
AB =
2 1
1 1
1 3
1 1
BA=
1 3
1 1
1 2
1 1
e
=
3 7
2 4
=
5 4
3 2
Portanto, os dois produtos estão definidos, porém
A B 6= B A.
3
.
2
Forma matricial de uma transformação linear
Lembramos que se T e L são transformações lineares de R3 em R3 e de R2
em R2 são da forma:
T : R3 → R3 ,
T (x, y, z) = (a1 x + a2 y + a3 z, b1 x + b2 y + b3 z, c1 x + c2 y + c3 z),
L : R2 → R2 ,
L(x, y) = (a1 x + a2 y, b1 x + b2 y).
Observe que
T (1, 0, 0) = (a1 , b1 , c1 ),
T (0, 1, 0) = (a2 , b2 , c2 ),
T (0, 0, 1) = (a3 , b3 , c3 ),
L(1, 0) = (a1 , b1 ),
L(0, 1) = (a2 , b2 ).
As transformações lineares T e L têm as seguintes representações matriciais (representando os vetores na sua forma coluna):
  
 
x
a1 a2 a3
x
x
a
a
x
1
2
[T ]  y  =  b1 b2 b3   y  , [L]
=
.
y
b1 b2
y
z
c1 c2 c3
z
Isto significa que se escrevemos um vetor v na forma coluna [v] e fazemos o
produto das matrizes [T ] [v] obtemos como resultado o vetor T (v) na forma
coluna: seja v = (x, y, z), então
 
x
[v] =  y 
z
e

 
  

x
a1 a2 a3
x
a1 x + a2 y + a3 z
[T ]  y  =  b1 b2 b3   y  =  b1 x + b2 y + b3 z  .
z
c1 c2 c3
z
c1 x + c2 y + c3 z
Pelos comentários já feitos temos a seguinte interpretação das colunas da
matriz [T ].
4
• A primeira coluna é a imagem de T (1, 0, 0),
• a segunda coluna é a imagem de T (0, 1, 0),
• a última coluna é a imagem de T (0, 0, 1).
Comentários análogos podem ser feitos para a matriz [L].
Exemplos 1.
• As transformações lineares identidade e nula têm como matrizes associadas as matrizes identidade (diagonal igual a 1 e todos os outros
coeficientes nulos) e a matriz nula (todos os coeficientes são zero).
• As matrizes das transformaçõeso lineares de cisalhamento horizontal
H(x, y) = (x, αx + y) e vertical V (x, y) = (x + αy, y) são
1 0
1 α
[H] =
e [V ] =
.
α 1
0 1
• Lembrando que a projeção ortogonal no vetor unitário (a, b, c) de R3 é
da forma
P (x, y, z) = (a2 x + aby + acz, abx + b2 y + bcz, acx + bcy + c2 z).
temos

a2 ab ac
[P ] =  ab b2 bc  .
ac bc c2

• Lembrando a fórmula das reflexões R e S (em R2 ) em torno dos eixos
X e Y e T em torno da origem
R(x, y) = (x, −y),
S(x, y) = (−x, y),
(veja a última aula) temos
1 0
−1 0
[R] =
, [S] =
,
0 −1
0 1
5
T (x, y) = (−x, −y),
[T ] =
−1 0
0 −1
.
• Lembrando a expressão da rotação de ângulo θ no sentido anti-horário
Rθ (x, y) = ((cos θ) x − (senθ) y, (cos θ )y + (senθ) x),
temos
[Rθ ] =
cos θ −senθ
senθ cos θ
.
• Consideremos agora a de projeção T na reta ax + by = 0 segundo a
direção do vetor v = (c, d). Pelos resultados da aula anterior,
ax + by
ax + by)
T (x, y) = x −
c, y −
d .
ac + bd
ac + bd
Portanto,

ac
bc
 1 − ac + bd − ac + bd 
[T ] = 
.
ad
bd
−
1−
ac + bd
ac + bd

Exemplo 1. Determine a matriz da transformação linear
T : R3 → R3 ,
T (u) = u × v,
onde v = (1, 1, 1).
Resposta: Para isto determinaremos a
i
T (x, y, z) = (x, y, z) × (1, 1, 1) = x
1
Portanto,
T (1, 0, 0) = (0, −1, 1),
forma geral de T . Observe que
j k y z = (y − z, z − x, x − y).
1 1 T (0, 1, 0) = (1, 0, −1),
T (0, 0, 1) = (−1, 1, 0).
Finalmente, obtemos


0
1 −1
1 .
[T ] =  −1 0
1 −1 0
6
Exemplo 2. Determinar a matriz da transformação linear
T : R3 → R3 ,
T (u) = (u · v) w,
onde v = (1, 1, 1) e w = (1, 2, 3).
Resposta: Calcularemos as imagens dos vetores i, j e k. Temos
T (1, 0, 0) = ((1, 0, 0) · (1, 1, 1)) (1, 2, 3) = (1, 2, 3),
T (0, 1, 0) = ((0, 1, 0) · (1, 1, 1)) (1, 2, 3) = (1, 2, 3),
T (0, 0, 1) = ((0, 0, 1) · (1, 1, 1)) (1, 2, 3) = (1, 2, 3).
Portanto,


1 1 1
[T ] =  2 2 2  .
3 3 3
Analogamente, dada uma matriz [T ] temos uma transformação linear T
associada a dita matriz. Dada a matriz


a1 a2 a3
[T ] =  b1 b2 b3 
c1 c2 c3
sua transformação linear associada é
T (x, y, z) = (a1 x + a2 y + a3 z, b1 x + b2 y + b3 z, c1 x + c2 y + c3 z).
Ou de outra forma, escrevendo os vetores
  
x
a1 a2
[T ]  y  =  b1 b2
z
c1 c2
3
em froma coluna,
 
a3
x
b3   y  .
c3
z
Composição de transformações lineares. Produto de matrizes
Considere duas transformações lineares T e L,
T : Rm → Rk ,
L : Rn → Rℓ .
7
Se ℓ é igual a m temos que dado um vetor u de Rn sua imagem L(u) está
em Rℓ = Rm , que é o domı́nio de T , portanto podemos aplicar T a L(u),
obtendo T (L(u)). Neste caso podemos definir a composição T ◦ L como
T ◦ L(u) = T (L(u)).
Analogamente, se k é igual a n, dado qualquer vetor v de Rm sua imagem
T (v) está em Rk = Rn , que é o domı́nio de L, portanto podemos aplicar L a
T (v), obtendo L(T (v)). Neste caso podemos definir a composição L ◦ T .
Dadas duas transformações lineares
T : Rm → Rk ,
L : Rn → Rm ,
a composição T ◦ L
T ◦ L : Rn → Rk ,
é uma nova transformação linear:
• T ◦ L(u + v) = T (L(u + v)) = T (L(u) + L(v)) = T (L(u)) + T (L(v)) =
T ◦ L(u) + T ◦ L(v),
• T ◦ L(σu) = T (L(σu)) = T (σL(u)) = σT (L(u)) = σ(T ◦ L(u)).
Observação 1. Como no caso do produto de matrizes, a composição de
transformações lineares não é comutativa. Em alguns casos a composição
T ◦ L pode estar definida e não esta-lo a composição L ◦ T . Mesmo quando
as duas composições estão definidas pode acontecer que T ◦ L 6= L ◦ T . Por
exemplo, considere os cisalhamentos
T (x, y) = (x + α y, y),
e L(x, y) = (x, β x + y).
Então
L ◦ T (x, y) = L((x + α y, y)) = (x + α y, y + β α y + β x),
e
T ◦ L(x, y) = T ((x, β x + y)) = (x + α y + α β x, y + βx),
que obviamente são (em geral) diferentes. Dê v. mesmo outros exemplos.
8
A seguir calcularemos a matriz associada à composição de duas transformações lineares. Por simplicidade, faremos os cálculos em R2 , os cálculos
em R3 são idênticos.
Sejam T e L transformações lineares cujas matrizes são
a1 a2
c1 c2
[T ] =
, [L] =
.
b1 b2
d1 d2
Para determinar a matriz de L◦T é suficiente calcular L◦T (1, 0) e L◦T (0, 1),
que serão as colunas da nova matriz.
L ◦ T (1, 0) = L((a1 , b1 )) = a1 L(1, 0) + b1 L(0, 1) =
= a1 (c1 , d1 ) + b1 (c2 , d2 ) =
= (a1 c1 + b1 c2 , a1 d1 + b1 d2 ).
L ◦ T (0, 1) = L((a2 , b2 )) = a2 L(1, 0) + b2 L(0, 1) =
= a2 (c1 , d1 ) + b2 (c2 , d2 ) =
= (a2 c1 + b2 c2 , a2 d1 + b2 d2 ).
Obtendo a nova matriz:
[L ◦ T ] =
c1 a1 + c2 b1 c1 a2 + c2 b2
d1 a1 + d2 b1 d1 a2 + d2 b2 .
.
Finalmente, observamos que os cálculos feitos para calcular o produto de
duas matrizes fornece a seguinte regra geral. Considere os vetores c = (c1 , c2 )
e d = (d1 , d2 ) que determinam as linhas de [L], e os vetores u = (a1 , b1 ) e
v = (a2 , b2 ) que determinam as colunas de [T ]. Temos a seguinte expressão:
c·u c·v
[L][T ] =
.
d·u d·v
4
Determinante do produto de duas matrizes
Considere as matrizes triangulares
a b
[A]
0 c
e [B]
d e
0 f
.
Denote por det[M] o determinante de uma matriz quadrada (mesmo número
de linhas que de colunas). Observe que
det[A] = a c
det[B] = d f.
9
Observe que
[AB] = [A][B] =
ad ae + bf
0
cf
e que
det[AB] = (a d) (c f ) = det[A] det[B].
Neste caso temos que o determinante da matriz produto é o produto dos
determinantes.
De fato, sempre, o produto de duas matrizes é o produto dos determinantes das duas matrizes. Uma justificativa é a seguinte: reduzindo à forma escalonada, o determinante não muda, assim a afirmação decorre da afirmação
sobre o produto de matrizes triangulares.
10