MATEMÁTICA
Prof. Sabará
LISTA 1 - CONJUNTOS – PROBLEMAS
1. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se
que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que
parte desta população consome tanto o produto A quanto o produto B?
2. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o
seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física,
20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e
física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Obtenha o número estudantes com nota satisfatória em
pelo menos duas das disciplinas avaliadas.
3. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos
operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a
ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?
4. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas
fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam
A e C; 15% fumam B e C; 8% fumam A, B e C. Que porcentagem das pessoas fuma exatamente
duas marcas.
5. (CN) Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que:
40% consomem arroz, 30% consomem macarrão, 15% consomem feijão e arroz, 20% consomem feijão e
macarrão, 60% consomem feijão. O percentual correspondente às famílias que não consomem esses três
produtos, é:
a) 10%
b) 3%
c) 15%
d) 5%
e) 12%
6. (AFA) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5
nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três
esportes. Qual o valor de n,sabendo que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um
desses esportes?
7. Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma escola que se dedica a preparar candidatos a
cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. Do total T de alunos, sabe-se que 80
compareceram à primeira aula, 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que
assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a
segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30
compareceram à segunda e à terceira aulas. Com base nessas informações, se 1/3 do total de alunos não
compareceu às aulas de revisão, calcule o valor de T.
8. Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um
município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram
tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que
apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas informações,
com essa redução, qual o número de pessoas sem qualquer um desses vícios?
a) 102
b) 104
c) 106
d) 108
e) 110
9. Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 alunos não tem a mãe professora e 5
alunos tem pai e mãe professores. Qual é o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem
pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos.
a) 125
b)135
c) 145
d) 155
e) 165
10. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais, fabricadas pela Nascebem S.A., foi enviada
para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por conterem pílulas
de farinha. No teste de qualidade 74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem um número de pílulas
menor do que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos
os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
1
2015 - Matemática - Sabará - Lista 1 - Conjuntos – Problemas - 3ª Série e Pré-Vestibular224.3.2015
11. Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B;
80, os dois romances, A e B, e 340 não leram o romance A. Calcule o número de estudantes desse grupo.
12. Em um grupo de 30 crianças, todas têm olhos azuis ou estudam canto. Sabendo-se que 16 têm olhos azuis e
20 estudam canto, o número de crianças desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é:
a) exatamente 16
b) no mínimo 6
c) exatamente 10
d) no máximo 6
e) exatamente 6.
13. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas
um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:
a) 249
b) 137
c) 158
d) 127
e) 183
14. Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se
que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,
almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:
- 5 se alimentam apenas pela manhã;
- 12 se alimentam apenas no jantar;
- 53 se alimentam no almoço;
- 30 se alimentam pela manhã e no almoço;
- 28 se alimentam pela manhã e no jantar;
- 26 se alimentam no almoço e no jantar; e
- 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar.
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que só se alimentam no almoço é:
a) 80% dos que se alimentam apenas no jantar.
b) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã.
c) a terça parte dos que fazem as três refeições.
d) a metade dos funcionários pesquisados.
e) 30% dos que se alimentam no almoço.
15. Num grupo de pessoas pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam o
jornal A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes?
16. Numa escola 150 alunos estudam Matemática, 20 estudam Português e Matemática e os 30 restantes
estudam outras disciplinas. Pergunta – se: Qual o total de alunos dessa escola?
17. Num clube exatamente 30% dos sócios praticam futebol, 80% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos
um dos dois esportes, qual é o percentual de praticantes dos dois?
18. Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro
nem TV.
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e não possuem TV?
GABARITOS E RESOLUÇÕES
1.
Solução. Representando as informações em diagramas, temos:
62 x x 47 x 10 100
x 119 100
x 19
Logo, 19 pessoas consomem ambos os produtos.
2.
2
x 119
100
.
Solução. Representando as informações em diagramas, observa-se que:
i) A soma (18 + 3 + 6 + 9 + 20 + 11 + 22) = 89. Logo, há alunos sem nota satisfatória em nenhuma das 3. Temos
que x + 89 = 11 => x = 100.
ii) Ter nota satisfatória em pelo menos duas disciplinas implica em ter nota satisfatória em duas ou nas três: 3 + 6
+ 9 + 11 = 29 alunos.
OBS: Não ter nota satisfatória em pelo menos duas disciplinas implica ter nota satisfatória em somente uma ou em
nenhuma: 18 + 20 + 22 + 11 = 71. Logo, o complementar será 100 – 71 = 29.
3.
Solução. Representando na forma de diagramas, temos que o total de funcionários é: 57 + 35 + 45 + 33 = 170.
4.
Solução. Representando na forma de diagramas observa-se que há 2% dos pesquisados que não consomem
nenhuma das três marcas. A porcentagem dos pesquisados que fuma exatamente duas marcas é: 12% + 22%+
7% = 41%.
OBS: Observe que 41% = 100% - (18% + 23% + 8% + 8% + 2%).
5.
Solução. Na representação em diagramas, não haverá interseção entre os consumidores de arroz e macarrão.
Indicando “x” como o percentual de famílias que não consomem nenhum dos três produtos e considerando o total
como 100%, temos: X = 100% - (25% + 15% + 25% + 20% + 10%)
=>X = 100% - (95%) = 5%.
6.
Solução. Representando as quantidades com as retiradas das interseções, basta somar todos os valores:
N = 12 + 3 + 2 + 3 + 11 + 16 = 47 cadetes.
3
2015 - Matemática - Sabará - Lista 1 - Conjuntos – Problemas - 3ª Série e Pré-Vestibular224.3.2015
7.
Solução. De acordo com o enunciado, 36 alunos assistiram somente à primeira
aula e 15 alunos assistiram somente à segunda aula. Indicando com incógnitas as
quantidades desconhecidas no diagrama, temos:
i) O valor de “y” representa o número de alunos que não foram à 1ª aula, mas
foram à 2ª e 3ª aula. Logo, y = 30.
1ª aula : x z 36 20 80
2ª aula : x 30 20 15 85
ii) 3ª aula : z 30 w 20 65
20 z
z 30
36 20 80
w 20 65
z
x z 36 20 80
x 85 65 20
z 30 w 20 65
80 76
4
w
65 54
.
11
iii) A soma dos valores vale 2T/3. Temos:
36 + 20 + 20 + 4 + 15 + 30 + 11 = 136. Logo T = (136 x 3) ÷ 2 = 204.
8.
Solução. Observe pelo diagrama que inicialmente 240 = (90 + 40 + 110) indivíduos apresentavam pelo menos um
desses vícios e 300 – 240 = 60, nenhum vício. Com a redução de 20% dos indivíduos com algum vício, passaram
a não ter vício nenhum (0,20 x 240) = 48 indivíduos. Logo, adicionados aos 60 iniciais, o total de indivíduos sem
nenhum vício será 60 + 48 = 108.
9.
Solução. Repare que se 55 possuem pai ou mãe professor e 120 não possuem pai
professor, então há alunos que não possuem nem pai, nem mãe professor.
Representando as regiões com incógnitas, temos:
x
x
y
5
z
z
y 55
130
120
( 1)
30 z 130
y 100 120
z
x
x
y
y
50
10
2x
60
x
30
.
100
y 20
O total de alunos é: 30 + 5 + 20 + 100 = 155.
10.
Solução. Representando as reprovações por farinha como RF e RN por número
de pílulas e, da mesma forma, as aprovações AF e NA, respectivamente no teste
de farinha e número especificado, observa-se:
i) Se 26 caixas ficaram reprovadas somente no teste da farinha, então foram
aprovadas no teste do número de pílulas.
ii) Da mesma forma as 12 caixas reprovadas somente no número de pílulas foram
aprovadas no teste da farinha.
iii) Pelas informações, foram aprovadas 60 caixas no teste de pílulas de farinha.
Logo, 12 + x = 60 => x = 48.
4
OBS: O mesmo resultado poderia ter sido encontrado sabendo que 74 caixas foram aprovadas no teste do
número especificado. Logo, x + 26 = 74 => x = 74 – 26 = 48.
Resposta. Foram aprovadas em ambos os testes 48 caixas.
11.
Solução. Representando a situação em diagramas, temos:
i) Como 270 leram o romance B e 80 leram A e B, então 270 – 80 = 190 leram somente o
romance B.
ii) Como 310 leram apenas os romances A ou B, então x + 190 = 310. Logo, leram somente o
romance A, x = 310 – 190 = 120 estudantes.
iii) Como 340 não leram o romance A, então y + 190 = 340. Logo, y = 340 – 190 = 150 não leram nenhum dos dois
romances.
O total de estudantes é: 120 + 80 + 190 + 150 = 540 estudantes.
12.
Solução. Representando a situação em diagramas, temos:
Adicionando as quantidades, temos:
16 – x + x + 20 – x = 30 => – x = 30 – 36 => x = 6.
13.
Solução. Representando a situação em diagramas, temos:
i) Como 56 leem o jornal A e 21 leem A e B, então 56 – 21 = 34 leem somente o jornal A.
ii) Como 106 leem apenas um dos jornais A ou B, 106 – 35 = 71 leem somente o jornal B.
iii) Como 66 não leem o A, então y + 34 = 66. Logo, y = 66 – 35 = 31 não leem nenhum dos
dois romances.
O total de alunos é: n = 35 + 21 + 71 + 31 = 158 alunos.
14.
Solução. Retirando as interseções e analisando as afirmações de acordo com os diagramas, temos:
a) .
Falso. 80% de 12 = 9,6. Diferente de 15.
b) .
Verdadeiro. O triplo de 5 é 15.
c).
Falso. A terça parte de 18 é igual a 6. Diferente de 15.
d)
Falso. O número de pesquisados é: 45 + 20 + 15 = 80. Metade é 40. Diferente de 15.
e)
Falso. No almoço se alimentam 30 + 8 + 15 = 53. 30% desse valor é 15,9. Diferente de 15.
5
2015 - Matemática - Sabará - Lista 1 - Conjuntos – Problemas - 3ª Série e Pré-Vestibular224.3.2015
15.
Solução. Representando a situação em diagramas após a retirada das interseções, temos:
Total = 20 + 30 + 50 = 100 assinantes.
16.
Solução. Pelo enunciado, nenhum aluno estuda somente Português. Isto é, todos os
alunos que estudam Português estudam Matemática. Analisando os diagramas, temos:
Total = 130 + 20 + 30 = 180 alunos.
17.
Solução. Organizando as informações em diagramas, considerando o total em
100%, temos:
80% - x + x + 30% - x = 100%
- x = 100% - 110%
X = 10%.
18.
Solução. Organizando em diagramas, vem:
315 – x + x + 240 – x + 182 = 600
- x + 737 = 600
- x = 600 – 737
x = 137. Possuem carro e TV.
a)
Observando o diagrama com a união, vem:
N = 178 + 137 + 103 = 418 famílias.
Ou N = 600 – 182 = 418 famílias.
b)
N = 137.
c)
N = 178.
6