Aula 00
Curso: Estatística p/ SEFAZ PI – Auditor
Professor: Fábio Amorim
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Curso: Estatística p/ SEFAZ-PI: Auditor
Teoria e Questões comentadas
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Olá pessoal!
Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos!
Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso
público de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual, da Secretaria de Fazenda
do Estado do Piauí (SEFAZ/PI). Este curso abordará todo o conteúdo exigido
pelo edital, incluindo teoria e questões comentadas.
O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático,
trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de
fazer todas as questões que serão cobradas nesse concurso da SEFAZ/PI.
Para o cargo de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual, a disciplina de
Estatística está contida na Prova de Conhecimentos Gerais (P1), e será
responsável por 10 questões.
Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em
acompanhar o curso?
Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo
que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem
menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado.
O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão
disponibilizadas são:
Aula
Aula 0
Assunto
Data
Técnicas de Contagem e Análise Combinatória.
Combinações, Arranjos e Permutação.
e
probabilidades:
disponível
Aula 1
Espaço amostral
axiomas.
conceito,
3/11
Aula 2
Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de
posição e de variabilidade.
6/11
Aula 3
Distribuições de probabilidades discretas e contínuas
(Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Normal,
Qui-quadrado, T-Student e F).
10/11
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Aula
Assunto
Data
Aula 4
Amostragem: amostras casuais e não casuais.
Processos de amostragem, incluindo estimativas de
parâmetros. Inferência: intervalos de confiança.
13/11
Aula 5
Testes de hipóteses para médias e proporções.
17/11
Aula 6
Correlação e Regressão Linear simples
20/11
Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar!
APRESENTAÇÃO
Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo
Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino
Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo
pela Universidade Estácio de Sá (2014).
Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei
por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009,
tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de
Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT.
Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de
Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União TCU, onde estou até hoje.
Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes:
ANTT (2008) – Especialista em Regulação;
MPOG (2008) – Analista de Infraestrutura;
TCU (2009) – Auditor Federal de Controle Externo.
Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste
curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir
a tão sonhada aprovação.
Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística
aplicadas nos concursos da FCC para Auditores Fiscais, destacando, assim,
aqueles assuntos que são mais importantes para a prova!
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Histórico e análise das provas
Estatística
O gráfico abaixo mostra a quantidade de questões por assunto. Por esse
gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa
disciplina, que deverá ter 8 preciosas questões na Prova 2.
Distribuição de Questões - FCC
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES - AULA 3
7%
10%
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
36%
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - AULA 4
10%
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - AULA 6
17%
TESTE DE HIPÓTESES - AULA 5
20%
PROBABILIDADES - AULA 1
Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a
metodologia que iremos aplicar neste curso.
Boa sorte a todos e vamos lá!
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Aula 00 – Técnicas de Contagem e Análise Combinatória
Assunto
Página
1- Introdução
05
2- Princípio Fundamental da Contagem
06
3- Permutações
10
4- Arranjo
14
5- Combinação
16
6- Questões comentadas
17
7- Resumo da aula
29
8- Lista de exercícios
30
9- Gabarito
33
1- Introdução
A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como
objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos
que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas
de contagem.
Para que a contagem seja viável, é necessário que o conjunto possua:
Número limitado de elementos;
Característica específica.
Vejam alguns exemplos de aplicação:
De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de
identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números?
Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados,
utilizando-se os números de 0 a 9?
Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de
sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir?
Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes
pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares?
Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno,
intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente
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obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um
conjunto mais “populoso” de elementos. A partir dessa dificuldade é que
surgiram, na matemática, as técnicas de contagem.
Nesta aula, iremos aprender as seguintes técnicas:
Princípio Fundamental da Contagem
Diagrama de Árvore
Permutação
Permutação com repetição de elementos
Arranjo
Combinação
2- Princípio Fundamental da Contagem
Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma
técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por
isso, precisamos compreendê-lo bem.
Suponhamos que existam:
- “N” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T1 e,
- “M” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2.
Então,
- o número de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa
T2 é obtido pela multiplicação N × M.
Vamos aos exemplos:
Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto
formado pelos resultados possíveis desses lançamentos é
formado por quantos elementos?
Resolução:
Ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos “N”
resultados são possíveis? Logicamente, 6 resultados.
Ao lançarmos o dado pela segunda vez (tarefa T2), o número “M” de
resultados possíveis também será 6, correto?
Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de
resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será
obtido pela multiplicação N × M, ou seja, 6 × 6 = 36.
Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles:
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(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6).
Tarefa T1
'N'
resultados
possíveis
Executando
T1 e depois T2
Tarefa T2
'N x M' resultados
possíveis
'M'
resultados
possíveis
Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos
principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa
deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato
principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse
pedido poderá ser feito?
Resolução:
O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma
sobremesa (tarefa T2).
O número de resultados possíveis “N” do prato principal é 4. E o número
de resultados possíveis “M” para a sobremesa é 3.
Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser
feito de N × M maneiras diferentes, ou seja, 4 × 3 = 12 maneiras.
Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama
sequencial ou diagrama de árvore:
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Sobremesa 1
Prato Principal 1
Sobremesa 2
Sobremesa 3
Sobremesa 1
Prato Principal 2
Sobremesa 2
Sobremesa 3
12 possibilidades
Sobremesa 1
Prato Principal 3
Sobremesa 2
Sobremesa 3
Sobremesa 1
Prato Principal 4
Sobremesa 2
Sobremesa 3
*Diagrama de Árvore
Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2?
Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter
N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então:
- Ao se realizar em sequência as tarefas T1, T2, até Tk, o número de
resultados possíveis será N1 x N2 x ... x Nk.
Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da
aula.
De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de
identificação dos veículos, que contém três letras e quatro
números?
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Resolução:
Vamos convencionar que:
Escolher a primeira letra é a tarefa T1,
Escolher a segunda letra é a T2,
Escolher a terceira letra é a T3,
Escolher o primeiro dígito é a T4,
Escolher o segundo dígito é a T5,
Escolher o terceiro dígito é a T6,
Escolher o quarto dígito é a T7.
O número de letras possíveis de serem colocadas na tarefa T1 é igual a
26 (chamamos de N1).
O mesmo número se aplica a “N2” e a “N3”, correto?
No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 2, ..., 9), o mesmo
número se aplica a N5, N6, e N7.
Dessa forma temos:
Tarefa
Número
de
resultados
possíveis
(T1)
(T2)
(T3)
(T4)
(T5)
(T6)
(T7)
Letra
letra
letra
número
número
número
número
(N1)
(N2)
(N3)
(N4)
(N5)
(N6)
(N7)
26
26
26
10
10
10
10
Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados
possíveis é:
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 =
Dessa forma, podemos confeccionar
175.760.000 maneiras diferentes!
as
placas
de
.
.
veículos
.
de
Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da
contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais
técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas
desta: a permutação, o arranjo e a combinação.
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3 - Permutação
Suponhamos que um determinado conjunto possua “n” elementos. A
permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses
elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto.
Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor.
João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de
kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida
pode acontecer?
Resolução:
Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João,
Pedro, Marcos), ou seja, = 3.
Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse
caso, temos:
Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados
possíveis.
Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio
fundamental da contagem, vamos ver como?
1º Lugar
2º Lugar
3º Lugar
________
________
________
_
_
_
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Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a
posição de 1º lugar.
Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, Pedro e Marcos,
então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. Assim, temos três
possibilidades.
Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos
corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o
número de possibilidades é igual dois.
Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar,
quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um
corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra.
Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é
obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela
multiplicação das possibilidades:
1º Lugar
3
x
_________
2º lugar
2
_________
3º lugar
x
1
=
_________
6 possibilidades
Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de
contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras
diferentes de ordenar um conjunto.
Para calcularmos o número de permutações no nosso problema,
utilizamos a seguinte fórmula:
Permutação de 3 elementos:
= 3! = 3 × 2 × 1 = 6
(fatorial do número 3)
çõ .
Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3
elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que resulta um total de
6 permutações.
Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de
elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da
contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso.
Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da
permutação.
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Dado um conjunto de “n” elementos, o número de permutações
possíveis nesse conjunto é representado pela expressão:
Onde
!
!" = "!
é o fatorial do número “n”, representado pela expressão:
!=
× # − 1% × # − 2% × # − 3% × … × 1
Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo?
De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila
indiana?
Resolução:
Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de
quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados.
Como o número de elementos coincide com o número de posições,
temos uma permutação.
Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com
6 elementos. Aplicando a fórmula ' = !, temos:
(
= 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 )*
+,)
.
Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo
anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando
que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de
quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila
indiana?
Resolução:
Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da
fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse
lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições,
temos que permutar as cinco pessoas restantes.
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Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de
possibilidade é dado por pela multiplicação:
= 3 × 5! = 3 × #5 × 4 × 3 × 2 × 1% = 360 * ,-,.,+ +
3.1 – Permutações com elementos repetidos
Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde
existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar.
Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4,
5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis neste
conjunto, teremos um problema, já que o número “3” repete-se duas vezes
nesse conjunto.
Para esses problemas com repetição, o número de permutações deve
ser calculado pela expressão:
#/,1,… %
!"
Onde:
=
"!
/! 1! …
- “n” é o número total de elementos,
- “a” representa o número de repetições que possui um determinado
elemento, e
- “b” representa o número de repetições de outro elemento, e, assim,
sucessivamente.
Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto.
Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos
ordená-los de maneira diferente?
Resolução:
O número de elementos do conjunto é 6. Então
= 6. Existe apenas
um elemento repetido, o elemento “3”, o qual se repete duas vezes, então
= 2.
Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição:
#3%
'
=
#4%
(
=
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
= 360 * ,-,.,+ +
2!
2×1
Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior:
Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas
formas podemos ordená-los de maneira diferente?
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Resolução:
Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10.
Então, = 10. Existem três elementos que se repetem: as letras “P”, “R” e
“W”. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é
representado por:
=2
5- = 3
6=3
Conhecidos os valores de “n”, e do número de repetições, podemos
aplicar a fórmula:
#3,7,8%
'
=
Portanto,
diferentes.
=
#4, , %
9:
=
10!
=
2! 3! 3!
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 50.400
#2 × 1% × #3 × 2 × 1% × #3 × 2 × 1%
podemos
ordenar
esse
conjunto
de
50.400
maneiras
4 - Arranjo
O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos
contar o número de maneiras diferentes de selecionar “=” elementos,
em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “"”
elementos. Neste caso ≥ (“ ” representa todo o conjunto e “ ” uma parte
dele).
Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição.
Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger
um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos.
Quantos são os resultados possíveis dessa eleição?
Resolução:
Podemos
contagem.
resolver
esse
problema
pelo
princípio
Síndico (T1)
Subsíndico (T2)
_________
_________
fundamental
da
Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de
síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades.
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Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico,
quantos candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram
cinco candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2).
Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total
de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das duas tarefas:
Síndico
Subsíndico
6
x
_________
5
=
_________
30 possibilidades
Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem
chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos “r” elementos em uma
determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos, o
número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula:
?",
Em que a expressão @',
“r” a “r”.
A
=
=
"!
#" − =%!
significa: arranjo de “n” elementos, tomados
Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos:
@',
A
= @(,
4
=
6!
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= =
= 30 * ,-,.,+ +
#6 − 2%! 4!
4×3×2×1
Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo,
é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a
contagem.
Em outras palavras, a situação em que o candidato “A” seja eleito
síndico, e o candidato “B”, subsíndico, é diferente da situação em que o
candidato “B” seja eleito síndico, e o candidato “A”, o subsíndico. Assim, a
ordem dos elementos altera o resultado!
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5 - Combinação
A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível
contar o número de maneiras diferentes de selecionar “=” elementos,
pertencentes a um conjunto com “"” elementos ( ≤ %.
Percebam que esta definição é semelhante a do Arranjo, no entanto, a
diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos
elementos, haja vista que não interfere na contagem.
Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento:
Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se
de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
Resolução:
Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas ( = 3)
dentro de um conjunto de cinco pessoas ( = 5). Para essa situação, a ordem
de escolha não interfere na contagem que se pretende fazer. Interessa,
apenas, os funcionários escolhidos para a comissão, e não a ordem de
escolha.
Para essas situações, a técnica da combinação é utilizada.
A combinação de “r” elementos a partir de um conjunto com “n”
elementos é dado pela expressão:
C',
A
Em que a expressão C',
tomados “r” a “r”.
=D E =
A
!
# − %! !
significa: combinação de “n” elementos,
Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto:
C',
A
= CF,
=
5!
5!
5×4×3×2×1
=
=
= 10 * ,-,.,+ +
#5 − 3%! 3! 2! 3! #2 × 1% × #3 × 2 × 1%
Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes.
Supondo-se um conjunto com os cinco funcionários {A, B, C, D, E}, as
combinações possíveis são:
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D},
{B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}.
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6- Questões Comentadas
Pessoal, como vocês irão observar, existem poucas questões elaboradas pela
FCC para essa parte da matéria. Assim, fiz uma complementação com
algumas questões do CESPE para vocês praticarem mais!
1.
(FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa
como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos
algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e
alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as
casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam
que o total de possibilidades era suficiente para identificar
(A) 25 casas.
(B) 27 casas.
(C) 30 casas.
(D) 32 casas.
Resolução:
Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser
formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o
número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem.
Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o
mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve ser calculado
pela multiplicação dessas possibilidades.
1º Dígito
2º Dígito
3
x
_________
3
_________
3º Dígito
x
3
=
_________
27 casas
Resposta, letra B.
2.
(FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua
lanchonete. Ela serve:
− cinco variedades de chás;
− três sabores de pãezinhos;
− quatro qualidades de geleias;
Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é
(A) 60.
(B) 50.
(C) 45.
(D) 40.
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Resolução:
Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio
fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no
estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma
geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das
possibilidades de cada item, assim:
Chá
Pão
5
________
x
3
_________
Geleia
x
4
=
_________
60 possibilidades
Resposta, letra A.
3.
(FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro
turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas
entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os
outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes
de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a
(A) 18.
(B) 24.
(C) 36.
(D) 48.
(E) 72.
Resolução:
Vamos chamar os professores de A, B e C.
Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma.
Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas,
desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à
1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente.
A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes
que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir
entre as turmas.
Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição
do professor A:
çã* + “ ” .
çã* + 4 .
* =
* =
#3,7,… %
'
#4%
J
=
=
!
! -! …
4!
= 12 * ,-,.,+ +
2!
Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o
número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O
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mesmo número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados
com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12 +
12 + 12 = 36.
Resposta, letra C.
4.
(FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao
cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos
disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares
disponíveis?
(A) 24.
(B) 120.
(C) 180.
(D) 360.
(E) 720.
Resolução:
Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes
lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto
seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas
quatro delas.
Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a
ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a
configuração:
Cadeira
1
Cadeira
2
Cadeira
3
Cadeira
4
Leonardo
Amigo A
Amigo B
Amigo C
É diferente, por exemplo, da configuração:
Cadeira
1
Cadeira
2
Cadeira
3
Cadeira
4
Amigo A
Leonardo
Amigo B
Amigo C
Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o
conjunto com 6 cadeiras “n=6” será arranjado em 4 posições “r=4”, por meio
da seguinte expressão:
AM,
N
= A(,
J
=
Resposta, letra D.
6!
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= =
= 360 possibilidades
#6 − 4%! 2!
2×1
5.
(FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta
velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de
plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas
não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da
parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o
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da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades
para o número da placa de tal automóvel é
(A) 2500.
(B) 2000.
(C) 1000.
(D) 250.
(E) 100.
Resolução:
Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da
contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos
numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5,
7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o
quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim,
temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8).
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de
possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de
cada tarefa. Deste modo:
1º Dígito
5
2º Dígito
x
________
10
3º Dígito
x
________
10
_______
4º Dígito
x
5
= 2500 possibilidades
_______
Resposta, letra A.
6.
(FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9
999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o
primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a
(A) 936.
(B) 896.
(C) 784.
(D) 768.
(E) 728.
Resolução:
Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3,
nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2),
(6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6),
(4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0,
_,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000
a 9999.
Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o
último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas,
portanto,
para
o
segundo
algarismo
temos
8
possibilidades.
Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades.
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Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem:
1º Dígito e 4º Dígito
13
2º Dígito
8
x
________________
3º Dígito
x
________
7
= 728 possibilidades
_______
Resposta, letra E.
7.
(FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática
e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de
Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?
(A) 21.
(B) 45.
(C) 250.
(D) 315.
(E) 1680.
Resolução:
Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto
com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim,
podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras
diferentes de se escolher as questões da prova de matemática.
C',
A
⇒ C(,
=
J
6!
6!
6×5×4×3×2×1
=
=
= 15 * ,-,.,+ +
#6 − 4%! 4! 2! 4! #2 × 1% × #4 × 3 × 2 × 1%
Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7
questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o
número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física.
C',
A
⇒ CY,
4
=
7!
7!
7×6×5×4×3×2×1
=
=
= 21 * ,-,.,+ +
#7 − 2%! 2! 5! 2! #5 × 4 × 3 × 2 × 1% × #2 × 1%
Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de
possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa.
Matemática
15
x
________
Física
21
= 315 possibilidades
________
Resposta, letra D.
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8.
(CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia TCDF/DF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três
serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os
outros três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro
titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente.
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e
seus respectivos suplentes é superior a 100.
R.
Membros titulares
De início, precisamos escolher três membros titulares entre seis servidores de
uma organização. Nesta situação, a ordem de escolha não interfere na
contagem que precisamos fazer.
Em outras palavras, supondo que sejam escolhidos os servidores A, B e C, não
importa a ordem de escolha: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB ou CBA.
Para esses casos em que precisamos escolher “r” elementos de um conjunto
de “n” elementos, independentemente da ordem de escolha, a técnica de
contagem adequada é a combinação.
Nesse problema, devemos utilizar a combinação de 6 elementos, tomados 3 a
3: C6, 3.
C',
C(,
=
A
=
!
# − %! !
6!
6!
6×5×4×3×2×1
=
=
= 20 * ,-,.,+ +
#6 − 3%! 3! 3! 3! #3 × 2 × 1% × #3 × 2 × 1%
Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores sejam A, B, C,
D, E e F, as 20 possibilidades de escolha dos titulares são:
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE,
BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, DEF.
Suplentes
Escolhidos os membros titulares, restam os suplentes. Para eles, a ordem de
escolha interfere na contagem, haja vista que “em caso de falta do membro
titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente”.
Para esses problemas em que precisamos escolher “r” elementos de um
conjunto de “n” elementos, em uma determinada ordem, a técnica de
contagem adequada é o Arranjo.
Assim, o número de maneiras diferentes de escolher três suplentes entre três
servidores restantes é:
@',
@
,
=
A
=
!
# − %!
3!
3! 3 × 2 × 1
= =
= 6 * ,-,.,+ +
#3 − 3%! 0!
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Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores ABC sejam os
titulares, os suplentes podem ser distribuídos como:
DEF, DFE, EFD, EDF, FED, FDE.
Contagem Final
Portanto, para calcularmos o número de maneiras de serem selecionados os
três membros titulares e seus respectivos suplentes, vamos utilizar o princípio
fundamental da contagem.
Se, para a escolha dos titulares temos 20 possibilidades (tarefa T1), e para a
escolha dos suplentes, 6 possibilidades (tarefa T2), o número total será obtido
pela multiplicação dessas quantidades:
Titulares
20
_________
Suplentes
x
6
_________
=
120 possibilidades
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os três membros
titulares e seus respectivos suplentes é superior a 100.
Resposta, CERTO.
9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO Tão logo os membros titulares sejam
escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes.
R. Conforme o exercício anterior, escolhidos
possibilidades de escolher os suplentes.
os
titulares,
temos
6
Resposta, ERRADO.
10. (CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014)
Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo
feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
R. Em síntese, precisamos selecionar:
- 4 entre 10 servidoras do sexo feminino, e
- 1 entre 20 servidores do sexo masculino.
Para fazer essa escolha, percebam que a ordem não irá interferir na
contagem. Por isso, a técnica de contagem adequada é a Combinação.
C',
A
=
!
# − %! !
Para a escolha das servidoras, vamos calcular o número de combinações de 10
elementos, tomados 4 a 4: C10, 4.
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C9:,
J
=
10!
10!
10 × 9 × 8 × 7 × 6!
=
=
= 210 * ,-,.,+ +
#10 − 4%! 4! 6! 4! 6! × #4 × 3 × 2 × 1%
Para a escolha dos servidores, vamos calcular o número de combinações de 20
elementos, tomados 1 a 1: C20, 1.
C4:,
9
=
20!
20!
20 × 19!
=
=
= 20 * ,-,.,+ +
#20 − 1%! 1! 19! 1!
19! 1!
Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de escolha
servidores e servidoras, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem.
Se, para a escolha das servidoras temos 210 possibilidades (tarefa T1), e para
a escolha dos servidores, 20 possibilidades (tarefa T2), o número total será
obtido pela multiplicação dessas quantidades:
Servidoras
210
_________
Servidores
x
20
_________
=
4200 possibilidades
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os servidores é
superior a 4.000.
Resposta, ERRADO.
11. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) A análise de requerimentos
de certificação de entidades educacionais, no âmbito do Ministério da
Educação, será realizada por uma equipe formada por, no mínimo, um analista
contábil, um analista educacional e um analista processual.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis
analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar
equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe
é superior a 5.000.
R. Considerando que cada equipe deve ter exatamente três analistas de cada
especialidade, precisamos escolher, separadamente:
- 3 analistas contábeis entre 5 existentes;
- 3 analistas educacionais entre 7 existentes;
- 3 analistas processuais entre 6 existentes.
Para cada um desses grupos, a ordem de escolha dos analistas não interfere
na contagem, por isso, vamos utilizar a técnica de Combinação:
C',
A
=
!
# − %! !
O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas contábeis entre 5
existentes é: C5, 3
CF,
=
5!
5!
5 × 4 × 3!
=
=
= 10 * ,-,.,+ +
#5 − 3%! 3! 2! 3! #2 × 1% × 3!
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O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas educacionais entre 7
existentes é: C7, 3
CY,
=
7!
7!
7 × 6 × 5 × 4!
=
=
= 35 * ,-,.,+ +
#7 − 3%! 3! 4! 3! 4! × #3 × 2 × 1%
O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas processuais entre 6
existentes é: C6, 3
C(,
=
6!
6!
6 × 5 × 4 × 3!
=
=
= 20 * ,-,.,+ +
#6 − 3%! 3! 3! 3! #3 × 2 × 1% × 3!
Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de montar a
equipe de analistas, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem.
Se, para a escolha dos analistas contábeis temos 10 possibilidades (tarefa T1),
para a escolha dos analistas educacionais, 35 possibilidades (tarefa T2), e,
para a escolha dos analistas processuais, 20 possibilidades (tarefa T3), o
número total de possibilidades será obtido pela multiplicação dessas
quantidades:
Contábeis
10
_______
Educacionais
x
35
_______
Processuais
x
20
_______
=
7000 possibilidades
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa
equipe é superior a 5.000.
Resposta, CERTO.
12. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO A partir
de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente
um analista de cada especialidade em cada equipe.
R. Sendo a equipe formada por um analista de cada especialidade, precisamos
contar o número de maneiras diferentes de escolher:
- 1 analista contábil entre 5 existentes: C5, 1
- 1 analista educacional entre 7 existentes: C7, 1
- 1 analista processual entre 6 existentes. C6, 1
Utilizando, da mesma forma, a técnica da combinação:
CF,
CY,
C(,
9
9
9
=
5!
5!
=
= 5 * ,-,.,+ +
#5 − 1%! 1! 4! 1!
=
6!
6!
=
= 6 * ,-,.,+ +
#6 − 1%! 1! 5! 1!
=
7!
7!
=
= 7 * ,-,.,+ +
#7 − 1%! 1! 6! 1!
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Por fim, considerando o princípio multiplicativo, ou princípio fundamental da
contagem:
Contábeis
Educacionais
5
x
_______
7
_______
Processuais
x
6
=
_______
210 possibilidades
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa
equipe é inferior a 300.
Resposta, ERRADO.
13. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de
Informação - STF - 2013) A presidência de determinado tribunal é apoiada
por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram indicados, do
quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente
qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base nessas
informações, julgue os itens seguintes.
Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres,
então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12
candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias.
R.
Se quatro assessorias forem chefiadas por mulheres, e, consequentemente,
duas por homens, precisamos contar as possibilidades de escolhas,
considerando um total de 8 mulheres e 4 homens.
Assim, inicialmente, vamos calcular as possibilidades de escolha das
funcionárias. Neste caso, não importa a ordem de escolha, correto? Por isso,
podemos utilizar a técnica da Combinação:
- O número de possibilidades diferentes de escolher 4 funcionárias entre 8
existentes é: C8, 4.
CZ,
J
=
8!
8!
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
=
=
= 70 * ,-,.,+ +
#8 − 4%! 4! 4! 4!
4! × 4!
- O número de possibilidades diferentes de escolher 2 funcionários entre 4
existentes é: C4, 2.
CJ,
4
=
4!
4!
4 × 3 × 2!
=
=
= 6 * ,-,.,+ +
#4 − 2%! 2! 2! 2! #2 × 1% × 2!
Assim, temos 70 possibilidades de escolha das funcionárias e 6 possibilidades
de escolha dos funcionários.
Utilizando o princípio multiplicativo para calcular o número de possibilidades
diferentes de escolher os funcionários e as funcionárias:
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Funcionárias
70
_______
Funcionários
x
6
_______
=
420 possibilidades
Portanto, o número de maneiras possíveis de se escolher a chefia das
assessorias é superior a 400.
Resposta, CERTO.
14. (CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis TCE/RO - 2013) Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10
notebooks, todos distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10
homens e 10 mulheres —, de modo que cada empregado receba um único
equipamento, julgue o seguinte item.
A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de
forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2.
R.
Precisamos distribuir 10 desktops para 10 empregados homens, e 10
notebooks para 10 empregadas mulheres.
Conforme dito no enunciado, esses equipamentos são distintos. Essa
informação é importante pois irá influenciar na contagem que precisamos
fazer.
Assim, dados que os desktops são representados pelos elementos {D1, D2,
..., D10}, distribuir o equipamento D1, por exemplo, para um empregado A,
representa uma situação diferente de distribuir D1 para o empregado B.
A partir dessas considerações, vamos iniciar com os desktops. Supondo que os
empregados homens estejam alocados em estaçõs de trabalhos dispostas lado
a lado:
_A__/__B__/__C__/__D__/__E__/__F__/__G__/__H__/__I__/__J__
Para os desktops {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10}, precisamos
calcular o número de maneiras diferentes que podemos ordenar esses
desktops, a partir da disposição das estações de trabalho. Isso nada mais é do
que calcular o número de permutações dos elementos do conjunto de 10
desktops. Portanto:
9:
'
=
!
= 10! * ,-,.,+ +
A mesma situação ocorre na distribuição de 10 notebooks para as 10
empregadas mulheres, portanto, o número de possibilidades também é o
mesmo: 9: = 10!
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Utilizando o princípio multiplicativo, fundamental da contagem, para
calcularmos o número total de maneiras de distribuirmos 10 desktops para 10
empregados homens e 10 notebooks para 10 empregadas mulheres:
Desktops
10!
_______
Notebooks
x
10!
_______
=
2 × 10! possibilidades
Portanto, o número de maneiras diferentes #2 × 10!% é superior a #2 × 9!%.
Resposta, CERTO.
15. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ –
2013) Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E)
estão ligados em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção
da rede, o computador A está infectado com algum vírus; consequentemente,
o computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o
computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão
infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado
isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a
utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus
que os limpa de qualquer infecção por vírus.
Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas
relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir.
Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem
disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os
computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas
escolherem os computadores para utilização será inferior a 100.
R.
De acordo com o enunciado, precisamos distribuir 5 computadores para 5
pessoas. O número de maneiras diferentes de efetuarmos essa distribuição
equivale a calcularmos o número de maneiras diferentes de ordenarmos os 5
computadores.
Para realizar essa contagem, devemos utilizar a técnica da Permutação.
F
'
=
!
= 5! = 120 * ,-,.,+ +
Assim, o número de possibilidades é superior a 100.
Resposta, ERRADO.
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7- Resumo da aula
Vimos nesta aula 0 as seguintes técnicas de contagem:
Princípio Fundamental da Contagem;
Permutação;
Permutação com repetição;
Arranjo;
Combinação.
Constatamos que, por meio delas, é possível contar o número de
elementos que fazem parte de um conjunto. Em resumo, as principais
características dessas técnicas são:
Princípio
Fundamental
da Contagem
O número de maneiras de se realizar uma
tarefa T1, seguida da tarefa T2, é obtido pela
multiplicação do número de maneiras de se
fazer cada uma dessas tarefas.
Permite contar o número de maneiras
diferentes que os elementos de um conjunto
podem estar ordenados.
Permutação
Pn=n! (simples)
Pn
Arranjo
a,b,...
= n! /(a! b!...) (com repetição)
Permite contar, em uma determinada
ordem, o número de maneiras diferentes de
selecionar “r” elementos dentro de um
conjunto com “n” elementos.
An, r=n!/(n-r)!
Combinação
Permite contar, independente da ordem, o
número de maneiras diferentes de selecionar
“r” elementos dentro de um conjunto com “n”
elementos.
Cn, r=n!/(n-r)!r!
Pois bem, pessoal, com este resumo encerramos a Aula 0. Na próxima aula
conversaremos sobre o estudo das probabilidades. Bons estudos a todos e até
a próxima!
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8- Lista de Exercícios
1. (FCC / SEPLAG / 2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa
como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos
algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e
alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as
casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam
que o total de possibilidades era suficiente para identificar
(A) 25 casas.
(B) 27 casas.
(C) 30 casas.
(D) 32 casas.
2. (FCC / SEPLAG / 2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua
lanchonete. Ela serve:
− cinco variedades de chás;
− três sabores de pãezinhos;
− quatro qualidades de geleias;
Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é
(A) 60.
(B) 50.
(C) 45.
(D) 40.
3. (FCC-SABESP/2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas
de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três
professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois
assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir
essas aulas, respeitando tais condições, é igual a
(A) 18.
(B) 24.
(C) 36.
(D) 48.
(E) 72.
4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema.
Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De
quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis?
(A) 24.
(B) 120.
(C) 180.
(D) 360.
(E) 720.
5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade
por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no
local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu
fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte
numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da
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direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o
número da placa de tal automóvel é
(A) 2500.
(B) 2000.
(C) 1000.
(D) 250.
(E) 100.
6. (FCC-BACEN/2006) Os clientes de um banco contam com um cartão
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9
999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o
primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a
(A) 936.
(B) 896.
(C) 784.
(D) 768.
(E) 728.
7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7
de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física
para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?
(A) 21.
(B) 45.
(C) 250.
(D) 315.
(E) 1680.
8. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia TCDF/DF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três
serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os
outros três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro
titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente.
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e
seus respectivos suplentes é superior a 100.
9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO Tão logo os membros titulares sejam
escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes.
10. (CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014)
Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo
feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
11. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) A análise de requerimentos
de certificação de entidades educacionais, no âmbito do Ministério da
Educação, será realizada por uma equipe formada por, no mínimo, um analista
contábil, um analista educacional e um analista processual.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.
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A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis
analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar
equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe
é superior a 5.000.
12. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO A partir
de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente
um analista de cada especialidade em cada equipe.
13. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de
Informação - STF - 2013) A presidência de determinado tribunal é apoiada
por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram indicados, do
quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente
qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base nessas
informações, julgue os itens seguintes.
Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres,
então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12
candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias.
14. (CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis TCE/RO - 2013) Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10
notebooks, todos distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10
homens e 10 mulheres —, de modo que cada empregado receba um único
equipamento, julgue o seguinte item.
A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de
forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2.
15. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ –
2013) Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E)
estão ligados em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção
da rede, o computador A está infectado com algum vírus; consequentemente,
o computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o
computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão
infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado
isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a
utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus
que os limpa de qualquer infecção por vírus.
Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas
relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir.
Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem
disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os
computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas
escolherem os computadores para utilização será inferior a 100.
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9- Gabarito
1
B
5
A
9
ERRADO
13
CERTO
2
A
6
E
10
ERRADO
14
CERTO
3
C
7
D
11
CERTO
15
ERRADO
4
D
8
CERTO
12
ERRADO
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