DETERMINAÇÃO DE FREQÜÊNCIAS NATURAIS DE ESTRUTURAS SOB
VIBRAÇÕES TRIDIMENSIONAIS A PARTIR DE IMAGENS ORIUNDAS
DE UMA CÂMERA
Fernando Marques de Almeida Nogueira
[email protected]
Flávio de Souza Barbosa
[email protected]
Luis Paulo da Silva Barra
[email protected]
Universidade Federal de Juiz de Fora
Juiz de Fora – MG – Brasil
Freqüências naturais de vibrações em estruturas são normalmente avaliadas através da
aplicação de técnicas de identificação modal aos sinais analógicos ou digitais obtidos de
dispositivos como defletômetros, acelerômetros, extensômetros elétricos, etc.
Alternativamente, é possível utilizar processamento de imagens para identificar o
comportamento dinâmico estrutural, evitando o uso de medidores eletrônicos e
condicionadores de sinais, o que, em geral, apresentam maiores custos.
A determinação de coordenadas tridimensionais da cena a partir de imagens é geralmente
realizada utilizando-se técnicas estereofotogramétricas (Shape from Stereo), as quais
necessitam utilizar duas ou mais câmeras dispostas em posições distintas. As coordenadas
tridimensionais de um ponto da cena são obtidas pela resolução do triângulo formado pelo
ponto da cena e as suas respectivas imagens nos planos sensores das câmeras.
O uso de tais técnicas apresenta várias dificuldades entre as quais pode-se destacar a
dificuldade de sincronizar os instantes das tomadas de duas ou mais câmeras, a grande
demanda de tempo de processamento e espaço para armazenamento das imagens além do
próprio custo de aquisição de duas ou mais câmeras.
Este trabalho apresenta uma técnica para determinação tridimensional das freqüências
naturais de estruturas a partir de imagens tomadas por apenas uma câmera. As coordenadas
tridimensionais do centro de um alvo circular preto e fundo branco fixado sobre a estrutura
são determinadas com precisão sub-pixel através de um processo de calibração realizado
para cada imagem da seqüência de imagens (vídeo) tomada pela câmera, formando a
resposta temporal do alvo analisado. Posteriormente, determinam-se as freqüências naturais
da estrutura por meio da Transformada Discreta de Fourier. Resultados para imagens
sintéticas são apresentados, ratificando a eficiência da metodologia proposta.
Palavras-chave: processamento de imagens, freqüência natural, dinâmica estrutural.
Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional
Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006
1. INTRODUÇÃO
Freqüências naturais de vibrações em estruturas são normalmente avaliadas através da
aplicação de técnicas de identificação modal aos sinais analógicos ou digitais obtidos de
dispositivos como defletômetros, acelerômetros, extensômetros elétricos, entre outros. De
maneira geral, tais equipamentos apresentam desempenho satisfatório, porém, a utilização
destes pode ser comprometida devido a vários fatores, tais como, posições de difícil acesso na
estrutura e/ou alto custo dos equipamentos envolvidos como condicionadores de sinais.
Alternativamente, é possível utilizar processamento de imagens para identificar o
comportamento dinâmico estrutural, podendo-se citar alguns trabalhos da literatura (Poudel et
al, 2004 e Ram et al, 1996) que utilizam este procedimento com aplicações voltadas
geralmente para avaliações de danos e identificação modal de estruturas.
As principais vantagens da abordagem proposta são:
•
•
•
•
Possibilidade de obtenção de vibrações tridimensionais;
Equipamento sensor é disposto fora da estrutura;
Grande quantidade de pontos sobre a estrutura pode ser observada
simultaneamente;
Baixo custo relativo para equipamentos de baixa freqüência.
As principais desvantagens são:
•
•
Geração de grande volume de dados para armazenagem/processamento;
Baixa amostragem temporal em relação aos demais procedimentos.
Uma dificuldade que ocorre quando se utilizam seqüências de imagens para identificar as
freqüências naturais de vibração em uma estrutura é corrigir as distorções ocasionadas pela
projeção perspectiva que ocorre entre a cena (3D) e a imagem (2D). De acordo com os
parâmetros de posição, orientação e escala (distância focal) da câmera, os efeitos da projeção
perspectiva podem alterar significantemente as componentes espectrais para a estrutura
analisada.
No entanto, este trabalho apresenta uma abordagem na qual as coordenadas
tridimensionais (3D) de um alvo fixado sobre a estrutura são obtidas em função do tempo.
Com isso, os efeitos ocasionados pela distorção perspectiva citada são eliminados.
2. RECONSTRUÇÃO TRIDIMENSIONAL - REVISÃO
A reconstrução tridimensional de uma cena a partir de imagens pode ser realizada
através de várias técnicas existentes, entre as quais pode-se citar: Shape from Shading (Horn,
1997), Shape from Motion (Ballard & Brown, 1982), Shape from Focus (Nayar & Nakagawa,
1994), Shape from Texture (Tommaselli et al., 1996), Shape from Stereo (Dhond &
Aggarwal, 1989).
Todas as técnicas citadas acima possuem vantagens e desvantagens em relação uma às
outras, no entanto, a técnica denominada Shape from Stereo, é a mais difundida dentre as
demais.
A técnica Shape from Stereo utiliza duas ou mais câmeras situadas em posições distintas
para a recuperação da informação tridimensional da cena. De maneira esquemática, a Fig. 1
mostra uma situação em que a imagem de dois pontos P1 e P2 constituintes da cena são
projetadas sobre um mesmo pixel p em um plano sensor. Pode-se perceber que a informação
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tridimensional foi perdida utilizando-se apenas uma câmera. No entanto, as imagens dos
pontos P1 e P2 em um outro plano sensor são projetadas nos pixels p' e p". Se os parâmetros
de posição e orientação das câmeras são conhecidos, bem como os parâmetros intrínsecos, tais
como distâncias focais, distorção dos sistemas de lentes, entre outros, e a correspondência
entre p e p' for estabelecida, pode-se determinar as coordenadas tridimensionais de P1 através
da resolução do triângulo formado por P1 e os centros perspectivos (CP) das câmeras. De
maneira análoga o mesmo pode ser estabelecido para o ponto P2 se a correspondência entre p
e p" for estabelecida.
Figura 1 – Determinação por triangulação das coordenadas 3D dos pontos P1 e P2.
A maior dificuldade desta técnica consiste em estabelecer a correspondência de pixels
homólogos entre as imagens de maneira autônoma e determinar os parâmetros de posição e
orientação das câmeras.
Para cenas dinâmicas, uma outra dificuldade em empregar esta técnica é sincronizar os
instantes das tomadas das câmeras. Esta dificuldade pode inviabilizar a sua utilização, uma
vez que pequenos intervalos de tempo de defasagem entre os instantes das tomadas das
câmeras influenciam significantemente as componentes de alta freqüência de vibração da
estrutura analisada.
3. RECONSTRUÇÃO TRIDIMENSIONAL INJUNCIONADA
As dificuldades da técnica Shape from Stereo, citadas no item 2, podem ser eliminadas se
o modelo matemático da cena é conhecido a priori. Com isso, as coordenadas tridimensionais
do alvo podem ser recuperadas através de um processo de regressão não-linear das
observações dos pixels de uma única imagem constituinte da região de interesse da cena ao
modelo matemático.
Esta abordagem evita o problema de sincronização das tomadas, estabelecimento da
correspondência de pixels homólogos e determinação dos parâmetros de posição e orientação
das câmeras existentes na técnica Shape from Stereo, uma vez que utiliza apenas uma câmera.
3.1 Modelo Matemático
Para o caso desta aplicação, um alvo circular fixado sobre a estrutura é considerado como
a cena a ser analisada, sendo descrito pela equação da circunferência, por exemplo, na sua
forma paramétrica:
X = R cos(φ) + X 0
(1)
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Y = R sin (φ) + Y0
(2)
sendo:
(X,Y) são coordenadas no sistema global sobre a circunferência;
(X0,Y0) são coordenadas no sistema global do centro da circunferência;
R é o raio da circunferência; e
φ = [0,2π] .
Uma vez que a circunferência está sobre um plano, as coordenadas Z dos pontos sobre a
circunferência no sistema global devem satisfazer a equação reduzida do plano:
Z = aX + bY + c
(3)
sendo:
a, b e c os parâmetros da equação reduzida do plano.
A posição da câmera é definida pelas coordenadas do seu centro perspectivo CP (XCP,
YCP, ZCP) no sistema global (3D) e sua orientação pelas rotações κ (em torno do eixo Z), ϕ
(em torno do eixo Y), e θ (em torno do eixo X). A distância focal f é a distância entre o CP e
o plano sensor da câmera.
O modelo de câmera utilizado neste trabalho é o de câmera de orifício, no qual as
coordenadas (x,y) no sistema imagem de um ponto com coordenadas (X,Y,Z) no sistema
global podem ser dadas por (Gonzales, 2002):
r11 (X − X CP ) + r12 (Y − YCP ) + r13 (Z − Z CP )
r31 (X − X CP ) + r32 (Y − YCP ) + r33 (Z − Z CP )
r (X − X CP ) + r22 (Y − YCP ) + r23 (Z − Z CP )
y = f 21
r31 (X − X CP ) + r32 (Y − YCP ) + r33 (Z − Z CP )
x=f
(4)
(5)
sendo:
⎡ cosϕ cos κ cosθsenκ + senθsenϕ cos κ senθsenκ − cosθsenϕ cos κ⎤
r = ⎢− cosϕsenκ cosθ cos κ − senθsenϕsenκ senθ cos κ + cosθsenϕsenκ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ senϕ
⎥⎦
− senθ cosϕ
cosθ cosϕ
(6)
A Figura 2 mostra os sistemas global e imagem, os ângulos de orientação do sistema
imagem em relação ao sistema global, bem como o alvo circular sobre uma viga engasta
livre.
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Y
Alvo
Sistema
Global
Z
ϕ
κ
Sistema
Imagem
y
θ
X
Câmera
f
CP
x
Figura 2 - Modelo de viga engastada, alvo e sistemas de coordenadas.
Sem perda de generalidade, pode-se arbitrar a posição do centro perspectivo (CP) da
câmera nas coordenadas CP = (0,0,0), bem como os ângulos de orientação do sistema imagem
em relação ao sistema global como (κ,ϕ,θ) =(0,0,0). Neste caso, as Eqs. (4) e (5) degeneramse em:
X
Z
Y
y=f
Z
x=f
(7)
(8)
Substituindo Eqs. (1), (2) e (3) nas Eqs. (7) e (8), o modelo matemático fica:
R cos(φ) + X 0
a (R cos(φ) + X 0 ) + b(R sin (φ) + Y0 ) + c
R sin (φ) + Y0
y=f
a (R cos(φ) + X 0 ) + b(R sin (φ) + Y0 ) + c
x=f
(9)
(10)
As rotações do plano que contém o alvo em relação ao plano sensor das câmeras são
descritas de maneira implícita pelos parâmetros a e b da equação reduzida do plano, fato este
que permite anular as rotações (κ,ϕ,θ) a fim de evitar parâmetros redundantes no modelo.
Os parâmetros f e R também podem ser dados arbitrariamente sem perda de generalidade,
uma vez que a função destes é impor apenas um fator de escala para o sistema global de
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coordenadas, que por sua vez influenciam apenas a amplitude da resposta espectral também
apenas como um fator de escala.
Com isso, os parâmetros f e R podem ser arbitrados para os valores 1 e 1, sendo
necessário apenas a obtenção dos parâmetros X0, Y0, a, b, c e φ, sendo este último para cada
ponto da circunferência. De maneira formal φj, sendo j = 1,...,N, com N igual ao número total
de pontos sobre a circunferência.
Uma vez que cada ponto p(x,y) observado sobre a circunferência fornece 2 equações
(equações (9) e (10)), o número de graus de liberdade (gl) é dado por:
gl = 2n − (n + 5) = n − 5 ≥ 0
(11)
sendo:
n o número de pontos observados.
A partir da Eq. (11), conclui-se facilmente que é necessário observar no mínimo 5 pontos
sobre a circunferência a fim de determinar de maneira única os parâmetros de real interesse
que são X0, Y0, a, b, c. Os parâmetros φj precisam ser determinados também, porém os seus
valores não são de interesse nesse trabalho.
De posse dos parâmetros X0, Y0, a, b, c, determina-se a coordenada Z0 do centro da
circunferência através de:
Z 0 = aX 0 + bY0 + c
(12)
É importante ressaltar que as coordenadas tridimensionais do centro do alvo estão isentas
das distorções ocasionadas pela projeção perspectiva, uma vez que as Eqs. (9) e (10)
modelam esta projeção.
3.2 Especificação do Alvo e Processamento de Imagens
A fim de facilitar a identificação de maneira autônoma dos pixels sobre a circunferência,
pode-se utilizar um alvo preto sobre fundo branco, que por sua vez ocasiona um alto contraste
na região de borda do círculo na imagem.
Uma maneira muito difundida na área de processamento de imagens para determinar
pixels em regiões de alto contraste, comumente denominados por "bordas", é realizar a
convolução de um filtro passa-alta pela imagem seguida por um processo de limiarização
(thresholding).
Um filtro muito utilizado para detecção de bordas são os operadores de Sobel. A figura
abaixo mostra estes operadores.
1
2
1
0 -1
0 -2
0 -1
dx
1
0
-1
2 1
0 0
-2 -1
dy
Figura 3 - Operadores de Sobel.
A resposta do filtro no domínio do tempo h(x,y) pode ser dada:
h ( x, y) = dx 2 + dy 2
(13)
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A resposta do filtro passa-alta fornece altos valores apenas nas regiões de alto contraste
sendo que o processo de limiarização rotula a posição desses altos valores de maneira binária
(pertence ou não a uma região de alto contraste).
A Figura 4a mostra a imagem do alvo circular preto sobre fundo branco e a Fig. 4b
mostra os pixels em branco que foram rotulados com pertencentes à região de borda.
Figura 4a – Imagem com alvo preto sobre
fundo branco.
Figura 4b – Imagem dos pixels rotulados
como bordas.
3.3 Regressão Não-Linear e Método de Mínimos Quadrados
De acordo com a Eq. (11), concluiu-se que é necessário observar no mínimo 5 pontos
sobre a circunferência a fim de determinar de maneira única os parâmetros do modelo
matemático descrito em (9) e (10). No entanto, geralmente o número de pontos observados
sobre a circunferência é muito maior que 5, o que permite utilizar, entre outros, o Método de
Mínimos Quadrados - MMQ (Gemael, 1994) para determinar de maneira única os parâmetros
do modelo.
O critério empregado no MMQ consiste em aceitar como melhor estimativa dos
parâmetros os seus respectivos valores que tornam mínima a soma dos quadrados dos
resíduos.
O modelo empregado no MMQ reúne tanto parâmetros ajustados como valores
observados ajustados ligados por uma função implícita. Em notação formal:
(
)
F Xa , La = 0
(14)
sendo:
X a o vetor dos parâmetros ajustados; e
L a o vetor das observações ajustadas.
Fazendo:
V = La − Lb
X = Xa − X0
∂F
A=
∂ X a X0
(15)
(16)
(17)
∂F
(18)
B=
∂L a
Lb
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(
W = F X0 , Lb
)
(19)
sendo:
L b o vetor das observações;
V o vetor dos resíduos;
X 0 o vetor dos parâmetros aproximados;
X o vetor de correções aos parâmetros aproximados;
A a matriz das derivadas parciais do modelo em relação aos parâmetros;
B a matriz das derivadas parciais do modelo em relação às observações; e
W o vetor dos erros de fechamento.
O modelo em (14) linearizado através de série de Taylor e desprezado os termos de
mais altas ordens, fica:
(
) (
) (
)
F X a , L a = F X 0 + X, L b + V ≈ F X 0 , L b +
(X
∂F
∂X a
X0
a
)
− X0 +
(L
∂F
∂L a
a
)
− Lb = 0
(20)
Lb
Substituindo Eqs. (15), (16), (17), (18), (19) na Eq. (20), fica:
(21)
A X + BV + W = 0
A expressão (20) representa as equações de restrição do sistema. A função-objetivo a
ser minimizada (em notação matricial) é:
(22)
t
Min V P V
sendo:
P a matriz de peso das observações. Se todas as observações possuem a mesma
precisão e não são correlacionadas a matriz P é igual à identidade.
A minimização da Eq. (22) não implica que a solução satisfaça (21). Para impor essa
condição pode-se construir uma nova função-objetivo a ser minimizada que incorpora (21) e
(22) utilizando multiplicadores de Lagrange.
t
t
(
Min V P V − 2K A X + BV + W
)
(23)
sendo:
K o vetor dos correlatos ou dos multiplicadores de Lagrange.
Sem demonstrações, o vetor de correção aos parâmetros aproximados X é obtido por:
(
X = − A t M −1 A
sendo:
)
−1
A t M −1 W
(24)
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(25)
M = BP −1B t
A minimização de (23) deve ser realizada de maneira iterativa, uma vez que (21)
representa uma aproximação linear do modelo original em X 0 e L b . O processo iterativo
cessa quando as componentes de X forem menores que um valor ∆ estipulado. A Figura 5
mostra o processo iterativo.
iteração 1
W = F Lb , X0
(
( )
B = F′(L )
)
A = F′ X 0
(
)
A t M −1 W
Xa = X0 + X
(
)
A t M −1 W
Xa = X0 + X
(
)
A t M −1 W
Xa = X0 + X
X = − A t M −1A
−1
atualização
X0 = Xa
b
iteração 2
W = F Lb , X0
(
( )
B = F′(L )
)
A = F′ X 0
X = − A t M −1A
−1
atualização
X0 = Xa
b
iteração k
W = F Lb , X0
(
( )
B = F′(L )
A = F′ X 0
)
X = − A t M −1A
−1
X<∆
FIM
b
Figura 5 - Processo iterativo para o MMQ em modelos não-lineares.
A Figura 6 mostra um exemplo em detalhe de uma circunferência (curva vermelha)
ajustada para as observações (pontos verdes) além da representação do centro da
circunferência (cruz magenta) e do raio (linha amarela).
Figura 6 - Circunferência ajustada.
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Apesar das observações serem realizadas de maneira discreta (coordenadas dos pixels que
estão sobre a região de alto contraste) as coordenadas 3D do centro do alvo são obtidas com
precisão denominada sub-pixel, uma vez que estas são oriundas do processo de regressão.
Após a realização do MMQ, pode-se estimar as matrizes Variâncias-Covariâncias (MVC)
dos parâmetros ajustados (Xa), das observações ajustadas (La) e dos resíduos (V). Nestas
matrizes, os elementos da diagonal principal são as variâncias e os demais são as covariâncias
e, portanto, estas matrizes representam estimativas da precisão do processo de regressão.
A Figura 7 mostra, para o exemplo de regressão apresentado na Fig. 6, nos gráficos
superiores a MVC de Xa e a MVC de La, nos gráficos inferiores a MVC de V e a MVC de Xa
novamente, porém apenas para os 5 primeiros parâmetros ajustados da regressão que são,
nesta ordem, X0, Y0, a, b e c. Para as demais linhas e colunas dessa matriz, os valores
representam as variâncias e covariâncias para os parâmetros ajustados φj. Para as demais
matrizes o raciocínio é análogo.
MVC Xa - frame = 300
-5
MVC La - frame = 300
x 10
0.08
20
20
15
40
50
0.06
60
10
100
0.04
80
5
150
0.02
0
200
-5
250
100
120
140
0
-0.02
20 40 60 80 100120140
50
MVC V - frame = 300
MVC Xa - frame = 300
0
50
-0.2
100
-0.4
150
-0.6
200
-0.8
250
50 100 150 200 250
100 150 200 250
-5
x 10
1
6
2
4
3
4
2
5
1
2
3
4
5
0
Figura 7 - Matrizes Variâncias-Covariâncias de Xa, La e V.
4. SÉRIE TEMPORAL DO ALVO E DETERMINAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS
NATURAIS
Para construir a série temporal do alvo realiza-se a regressão não-linear descrita no item
3.3 para cada imagem da seqüência de imagens (vídeo) tomada durante a vibração da
estrutura. Neste trabalho esta série é composta de fato por três séries temporais, sendo uma
para cada conjunto de coordenadas na direção X, Y e Z do centro do alvo. Estas séries são
denominadas X0(t), Y0(t) e Z0(t), onde t é o instante da tomada.
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De posse das séries temporais citadas acima realiza-se a Transformada Discreta de
Fourier para cada uma das séries temporais, obtendo-se a resposta espectral da estrutura para
as direções X, Y e Z, aqui denominadas X0(F), Y0(F) e Z0(F), onde F é a freqüência.
As freqüências naturais da estrutura para as direções X, Y e Z são obtidas através da
inspeção dos gráficos de magnitude ou de potência de Fourier.
5. TESTES
Os testes foram realizados utilizando seqüências de imagens geradas artificialmente com
o software Pov-Ray v3.6® (Pov-Ray, 2005). A Figura 7 mostra uma seqüência típica com 6
quadros capturados pela câmera hipotética.
Figura 7: Seqüência de imagens típicas geradas com o software Pov-Ray v3.6®.
Duas seqüências de imagens foram geradas. Em ambas as seqüências o centro do alvo
descreve uma circunferência no plano XZ, enquanto oscila de maneira senoidal na direção Y.
Na seqüência 1 o centro do alvo descreve uma trajetória com o seguinte modelo:
⎛ 2πt ⎞
X 0 (t ) = cos⎜
⎟
⎝ 10 ⎠
Y0 (t ) = 0.4 sin (2πt )
⎛ 2πt ⎞
Z 0 (t ) = sin ⎜
⎟
⎝ 10 ⎠
(26)
(27)
(28)
Na seqüência 2 o centro do alvo descreve a seguinte trajetória:
⎛ 2πt ⎞
X 0 (t ) = cos⎜
⎟
⎝ 10 ⎠
Y0 (t ) = 0.4 sin (4πt )e (− t ) + 0.2 sin (10πt )e (− t )
⎛ 2πt ⎞
Z 0 (t ) = sin⎜
⎟
⎝ 10 ⎠
(29)
(30)
(31)
6. RESULTADOS
A Figura 8 mostra nos três gráficos superiores as séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e nos
três gráficos inferiores seus respectivos espectros de magnitude de Fourier para a seqüência 1.
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Xo
Zo
Yo
0.4
0.3
4.5
0
-0.5
Deslocamento
0.2
Deslocamento
Deslocamento
0.5
0.1
0
-0.1
4
3.5
-0.2
-0.3
-1
0
2
4
6
tempo
-0.4
8
0
2
4
6
tempo
|Xo(F)|
3
8
0
2
4
6
tempo
|Yo(F)|
8
|Zo(F)|
60
140
Magnitude
Magnitude
100
80
60
50
1000
40
800
Magnitude
120
30
20
600
400
40
10
20
0
5
10
200
0
5
Hertz
10
0
5
Hertz
10
Hertz
Figura 8 - Séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e seus respectivos espectros de magnitude de
Fourier para a seqüência 1.
Analisando os gráficos de espectros de magnitude de Fourier observa-se que os picos
estão localizados nas componentes espectrais 0.1 Hz, 1 Hz e 0.1 Hz, para os gráficos |X0(F)|,
|Y0(F)| e |Z0(F)|, respectivamente, estando de acordo com o modelo utilizado para gerar a
seqüência 1.
A Figura 9 mostra a trajetória descrita pelo centro do alvo para a seqüência 1.
Trajetória
Yo
0.5
0
-0.5
5
4.5
1
4
0.5
3.5
0
-0.5
3
Zo
-1
2.5
-1.5
Xo
Figura 9 - Trajetória para a seqüência 1.
A figura 9 mostra nos três gráficos superiores as séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e nos
três gráficos inferiores seus respectivos espectros de magnitude de Fourier para a seqüência 1.
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Xo
Yo
1
Zo
6
0.5
0
Deslocamento
5.5
Deslocamento
Deslocamento
0.5
0
4.5
-0.5
-1
-0.5
0
2
4
6
tempo
8
0
2
4
6
tempo
|Xo(F)|
4
8
120
30
1200
100
25
1000
80
60
Magnitude
1400
20
15
4
6
tempo
600
10
400
20
5
200
10
0
5
Hertz
8
800
40
5
2
|Zo(F)|
35
0
0
|Yo(F)|
140
Magnitude
Magnitude
5
10
0
5
Hertz
10
Hertz
Figura 10 - Séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e seus respectivos espectros de magnitude de
Fourier para a seqüência 2.
Analisando os gráficos de espectros de magnitude de Fourier observa-se que os picos
estão localizados nas componentes espectrais 0.1 Hz para os gráficos |X0(F)| e |Z0(F)|. Já para
o gráfico |Y0(F)| existem dois picos localizados nas componentes espectrais 2 Hz e 5 Hz,
estando de acordo com o modelo utilizado para gerar a seqüência 2.
A Figura 11 mostra a trajetória descrita pelo centro do alvo para a seqüência 2.
Trajetória
1
Yo
0.5
0
-0.5
-1
6.5
6
1.5
5.5
1
5
0.5
0
4.5
-0.5
4
Zo
-1
3.5
-1.5
Xo
Figura 11 - Trajetória para a seqüência 2.
Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional
Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006
7. CONCLUSÕES
Um método de baixo custo para identificação de freqüências naturais de estruturas via
processamento de imagens foi apresentado neste trabalho. Os resultados foram obtidos através
de simulações numéricas e mostraram que a abordagem apresentada pode ser aplicada em
problemas de identificação dinâmica estrutural, validando a metodologia proposta. Entretanto,
testes em modelos reais são necessários para se analisar influências de fatores inerentes aos
ensaios experimentais tais como reverberação, distorções do sistema de lentes, entre outros.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico) e à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais) pelo apoio
financeiro.
REFERÊNCIAS
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