Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios TAD0022 Estatística Aplicada Probabilidade Rafael Beserra Gomes Universidade Federal do Rio Grande do Norte Material compilado em 9 de setembro de 2014. Licença desta apresentação: http://creativecommons.org/licenses/ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Experimento de probabilidade Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Experimento de probabilidade Ação com a finalidade de obter resultados específicos através de contagem, medições e ou respostas Resultado: uma única tentativa Espaço amostral: todos os resultados possíveis Evento: subgrupo do espaço amostral (um ou mais resultados) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios A probabilidade de um evento E é denotada por P(E) 0 ≤ P(E) ≤ 1 X P(E) = 1 P(E 0 ) é a probabilidade do complemento do evento E P(E) = 1 − P(E 0 ) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Princípio fundamental da contagem Seja um primeiro evento com m resultados possíveis e um segundo evento com n resultados possíveis. O número de resultados possíveis da sequência primeiro e segundo eventos é de m × n. Exemplo, o lançamento de uma moeda seguido do sorteio de uma carta de copas :) $ ... A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ ... K♥ A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada K♥ Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Tipos de probabilidade Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números probabilidade clássica probabilidade empírica probabilidade subjetiva Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Tipos de probabilidade Probabilidade clássica Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Probabilidade clássica (ou probabilidade teórica) É obtida através de análise teórica: P(E) = número de resultados de E número total de resultados no espaço amostral Exemplos (seja o lançamento de um dado): Evento A: lançar um 3 Evento B: lançar um 7 Evento C: lançar um número menor que 3 Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Tipos de probabilidade Probabilidade empírica Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Probabilidade empírica (ou probabilidade estatística) É obtida através de observações em experimentos de probabilidade. P(E) = frequência do evento E frequência total Exemplos (seja um experimento de 60 lançamentos de um dado): 1: 15 vezes 2: 8 vezes 3: 12 vezes 4: 9 vezes 5: 11 vezes 6: 5 vezes Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Tipos de probabilidade Probabilidade subjetiva Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Probabilidade subjetiva É obtida através de suposições fundamentadas e intuição. Exemplos: Um médico pode afirmar que seu paciente tem 70% de chances de se curar Pelo que vem jogando, o Vasco tem uns 90% de chances de voltar para a série A Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Probabilidade clássica Probabilidade empírica Probabilidade subjetiva Lei dos grandes números Lei dos grandes números Conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica. Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Probabilidade condicional Definição Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Probabilidade condicional Probabilidade de um evento B ocorrer dado que outro evento A já tenha ocorrido. P(B|A) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes P(A) P(B) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes P(B|A) P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) P(A|B) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥. Qual a probabilidade de sortear 3♥? 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥. Qual a probabilidade de sortear 3♥ de copas depois de já ter sorteado 4♥? (com reposição) 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥. Qual a probabilidade de sortear 3♥ de copas depois de já ter sorteado 4♥? (sem reposição) 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 2♥ 3♥ 5♥ 6♥ Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Regra do produto P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Pelo diagrama de Venn: Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 1 Na população em geral, uma mulher de cada oito irá desenvolver câncer de mama. Uma pesquisa mostrou que uma entre cada 600 mulheres carrega uma mutação do gene BRCA. Oito de cada 10 mulheres com essa mutação desenvolvem câncer. I (a) Encontre a probabilidade de que uma mulher selecionada aleatoriamente desenvolverá câncer de mama dado que ela tenha a mutação do gene BRCA I (b) Encontre a probabilidade de que uma mulher selecionada aleatoriamente carregará a mutação do gene BRCA e desenvolverá câncer de mama I (c) Os eventos de carregar a mutação e desenvolver o câncer são dependentes ou independentes? Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Regra da adição P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Pelo diagrama de Venn: Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Teorema da probabilidade total P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + ... + P(B ∩ An ), desde que: I A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = S (espaço amostral) I Ai ∩ Aj = ∅, para i 6= j útil em situações em que particionamos o espaço amostral Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exemplo: Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 2 Uma empresa produz diariamente inúmeros produtos em 3 fábricas distintas. A probabilidade de um produto sair defeituoso na fábrica 1 é de 0.8%, na fábrica 2 é de 0.3% e na fábrica 3 de é de 0.9%. As fábricas 2 e 3 produzem o mesmo número de produtos por dia e a fábrica 1 produz o dobro das outras duas fábricas juntas. Qual a probabilidade de um produto advindo de uma dessas três fábricas vir com defeito? Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 3 Você joga um dado de 6 lados. Caso você obtenha 3 ou menos, você joga novamente o dado. Qual a probabilidade da soma dos dados (ou o valor do dado no caso de apenas um lançamento) ser pelo menos 6? Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Probabilidade condicional Teorema de Bayes Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Teorema de Bayes P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) Interpretação utilizado para rever probabilidades previamente calculadas (probabilidade a priori) quando novas informações aparecem P(A) e P(B): probabilidades a priori P(A|B) e P(B|A): probabilidades a posteriori Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 4 Um homem te disse ter tido uma boa conversa no trem com uma pessoa. Seja o evento A ter tido a conversa com uma mulher e o evento H ter tido a conversa com um homem. Supondo que o número de mulheres é igual ao número de homens, então P(A) = 0.5. Depois, o homem disse que a pessoa tinha cabelos compridos (evento C). Supondo, por exemplo, que 90% das mulheres possuem cabelos compridos e apenas 20% possuem dos homens possuem cabelos compridos, qual a probabilidade de ele ter conversado com uma mulher, dado que essa pessoa tinha cabelos compridos? Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 5 Você está escrevendo um programa servidor de emails. Infelizmente, você ainda não providenciou um filtro para realizar a filtragem de spam. Para isso, você decidiu fazer uma análise estatística como forma de bloquear as mensagens indesejáveis. Durante os 5 primeiros meses de funcionamento do servidor, você permitiu que o usuário marcasse uma dada mensagem como spam. Terminado esse prazo você verificou que: I 100 das 1000 mensagens eram spam I 200 das 1000 mensagens tinham a palavra grátis I 90 das 100 mensagens de spam tinham a palavra grátis Qual a probabilidade de uma dessas mensagens ser spam dado que tem a palavra grátis? Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Definição Regra do produto Regra da adição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercício 6 Estudos sobre uma determinada doença mostraram que ela acomete 1 em cada 500 pessoas e, devido aos efeitos danosos que esta doença apresenta aos pacientes, um teste de diagnóstico foi desenvolvido. O teste funciona de tal forma que, se o indivíduo tiver a doença, o resultado do teste será positivo em 95% dos casos e, se não a tiver, será positivo em apenas 5% das vezes. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente fizer o teste e este der positivo, qual a probabilidade dele ter a doença. Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Relações entre eventos Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Relações entre eventos Eventos dependentes e independentes Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Eventos dependentes e independentes Dois eventos A e B são independentes se P(B|A) = P(B), logo nesse caso temos: P(A ∩ B) = P(A)P(B) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Relações entre eventos Eventos mutuamente exclusivos Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Nesse caso, teremos P(A ∩ B) = 0 e, portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Eventos dependentes e independentes Eventos mutuamente exclusivos Pelo diagrama de Venn: Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Exercício 7 Em um programa de auditório, o convidade deve escolher uma dentre três portas. Atrás de uma das portas há um carro e atrás de cada uma das outras duas há um bode. O convidade ganhará como prêmio o que estiver atrás da porta; devemos supor neste problema que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para escolha da porta é o seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do programa, que sabe o que há atrás de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. O convidado agora tem a opção de ficar com a primeira porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Que estratégia deve o convidado adotar? Com uma boa estratégia, que probabilidade tem o convidado de ganhar o carro? (Nicolau C. Saldanha, 1998) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada Experimento de probabilidade Tipos de probabilidade Probabilidade condicional Relações entre eventos Exercícios Exercício 8 Um móvel tem três gavetas iguais. Em uma gaveta há duas bolas brancas, em outra há duas bolas pretas e na terceira há uma bola branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso sem olhar a segunda bola que está na gaveta. A bola que tiramos é branca. Qual é a probabilidade de que a segunda bola que ficou sozinha na gaveta seja também branca? (Nicolau C. Saldanha, 1998) Rafael Beserra Gomes TAD0022 Estatística Aplicada
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