Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Universidade Aberta do Brasil
Fernando Haddad
Ministro da Educação
Carlos Eduardo Bielschowsky
Secretário SEED/MEC
Celso Costa
Maria Lúcia Cavalli Neder
Francisco José Dutra Souto
Valéria Calmon Cerisara
Elizabete Furtado de Mendonça
Luis Fabrício Cirillo de Carvalho
Pró-Reitor de Cultura, Extensão e Vivência
Myrian Thereza de Moura Serra
Pró-Reitora de Ensino e Graduação
Leny Caselli Anzai
Adnauer Tarquínio Daltro
Carlos Rinaldi
Ozerina Victor Oliveira
Diretor da UAB
Reitora UFMT
Vice-Reitor
Pró-Reitora Administrativa
Pró-Reitora de Planejamento
Pró-Reitora de Pós-Graduação
Pró-Reitor de Pesquisa
Coordenador UAB/UFMT
Diretora do Instituto de Educação
Matem@tica
na Pr@tica
Curso de Especialização para
professores do Ensino Médio de Matemática
Ministério da Educação – MEC
Plano de Desenvolvimento da Educação – PDE
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Capes
Matem@tica
na Pr@tica
Curso de Especialização para
professores do Ensino Médio de Matemática
Módulo I
Jogo dos Discos
Paulo Antonio Silvani Caetano
Roberto Ribeiro Paterlini
Curso de Especialização para Professores do Ensino Médio de Matemática
Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática
Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)
Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar),
Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar),
Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM- UFRJ)
Desenvolvimento Instrucional
Coordenação: Cristine Costa Barreto
Designers instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff
Responsáveis por este fascículo
Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini.
Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo.
Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff
Revisão: Paulo Alves
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Caetano, Paulo Antonio Silvani
Jogo dos discos : módulo I. -- Cuiabá, MT :
Central de Texto, 2010. -- (Matem@tica na
pr@tica. Curso de especialização para
professores do ensino médio de matemática)
Bibliografia.
ISBN 978-85-88696-90-7
1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática Formação de professores 3. Prática de ensino
I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título.
III. Série.
10-11743
CDD-370.71
Índices para catálogo sistemático:
1. Professores de matemática : Formação :
Educação 370.71
Produção Editorial - Central de Texto
Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo
Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo
Projeto gráfico: Helton Bastos
Paginação: Ronaldo Guarim Taques
Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini
Apresentação
O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização para Professores do Ensino Médio de Matemática na modalidade de Educação à Distância, que está inserido no Plano de
Ações Articuladas do Ministério da Educação. Esse plano tem como um de seus objetivos
promover uma importante atividade de formação continuada dirigida a você, professor
do ensino básico, incentivando a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para que você possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus
estudantes e colegas de trabalho.
O primeiro módulo de nosso curso consiste em três atividades práticas sobre temas
que trazem importantes significados para a Matemática do ensino básico. Em seguida, você
terá a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se à aplicação
de uma delas em sua sala de aula.
Neste fascículo, apresentamos a atividade prática denominada “jogo dos discos”, que é
um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lançamento aleatório de
discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geométrica
e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade,
obtenção de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados
através de uma função.
Seja bem-vindo ao jogo dos discos!
Equipe do Matem@tica na Pr@tica
Abril, 2010
Sumário
Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos
9
1. Um dia de cão... É possível prever ou não?
2. A probabilidade em nosso cotidiano
3. E o improviso virou Matemática
4. Estudo do jogo dos discos
14
16
17
5. Da cartolina para o chão da escola
30
11
Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33
1. Recapitulando 35
2. O que há de novo neste Ciclo? 37
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
4. Probabilidade geométrica 42
5. Probabilidade experimental
versus probabilidade teórica 46
6. Nem tudo são parábolas 52
7. Lucrando com o jogo dos discos 54
8. Abordando outras situações
específicas no jogo dos discos 56
Conclusão 59
Resumo 59
Orientações sobre avaliação 60
Encerramento 60
Referências 61
Ciclo I
Experimentando
o Jogo dos Discos
▹▹ Como utilizar jogos para estudar
probabilidade?
▹▹ Qual a influência das regras no
favorecimento de um jogador?
Svilen Milev / SXC
▹▹ Como o modelo matemático do
jogo ajuda a fazer previsões?
?oãn uo reverp levíssop É ...oãc ed aid mU .1
1. Um dia de cão... É possível prever ou não?
ABRO OS OLHOS ASSUSTADA E ME DOU CONTA DE
QUE PERDI A HORA. TENHO MENOS DE 10 MINUTOS
PARA SAIR DE CASA. PULO DA CAMA, PENSANDO NA
REUNIÃO MARCADA HÁ SEMANAS POR MEU CHEFE,
QUE NÃO VAI COM A MINHA CARA. SE ME ATRASAR,
PERCO MEU EMPREGO! OLHO PELA JANELA E NUVENS
CINZAS NO CÉU SUGEREM FRIO E CHUVA.
MEIAS... PRECISO DE MINHAS MEIAS DE LÃ. MORRO DE FRIO NAQUELA
SALA DE REUNIÕES, SEMPRE COM O AR-CONDICIONADO NO MÁXIMO.
MEIAS NA GAVETA DE MEIAS, CONFORME ESPERADO. VISTO A PRIMEIRA
ROUPA QUE VEJO, CORRO PARA A SALA, PEGO MINHA BOLSA E
PENDURO NO PESCOÇO O PEN-DRIVE (NÃO POSSO ESQUECER
A APRESENTAÇÃO EM SLIDES QUE PASSEI A MADRUGADA
PREPARANDO PARA ABRIR A REUNIÃO). BUSCO,
FRENETICAMENTE, MEU GUARDA-CHUVA! ONDE DEIXEI
MESMO? NOSSA, PODE ESTAR EM QUALQUER
LUGAR DA CASA! POR QUE DEIXO O GUARDACHUVA CADA DIA EM UM LUGAR DIFERENTE?
DEIXA PRA LÁ, VOU ARRISCAR SAIR ASSIM MESMO.
TOMARA QUE NÃO CHOVA LOGO... ABRO A PORTA DE
CASA E TROPEÇO NO JORNAL. MESMO ATRASADA, LEIO
A MANCHETE E FICO CHOCADA COM A NOTÍCIA SOBRE
UM AVIÃO QUE CAIU, NO MEIO DO ATLÂNTICO, COM MAIS
DE 200 PASSAGEIROS A BORDO. QUE TRAGÉDIA! AINDA
ATORDOADA COM O DESASTRE, OLHO O RELÓGIO E ME
DOU CONTA DE QUE TENHO QUE CORRER PARA O PONTO
DE ÔNIBUS E QUE, SE O DANADO ATRASAR MAIS DE
CINCO MINUTOS, EU NÃO CHEGO NO TRABALHO A TEMPO.
COM A CHUVA COMEÇANDO A CAIR, AGORA MESMO É QUE
A CONDUÇÃO NÃO TEM HORA PRA PASSAR...
1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11
MIRACULOSAMENTE, O ÔNIBUS CHEGA. SUBO OS
DEGRAUS VOANDO E SENTO NO ÚLTIMO LUGAR
VAGO. NO MEIO DO CAMINHO, CEDO MEU LUGAR
PARA UMA MULHER GRÁVIDA, IMAGINANDO SE O
BEBÊ QUE ELA CARREGA É MENINO OU MENINA. VOU
PARA O CORREDOR DO ÔNIBUS. QUE CONFUSÃO!
CHEGO NO TRABALHO E A CHUVA APERTA. PERCEBO QUE PERDI
O PEN-DRIVE NO EMPURRA-EMPURRA DO ÔNIBUS E, COM ELE, A
APRESENTAÇÃO DA REUNIÃO, O EMPREGO, O ALUGUEL, AS FÉRIAS,
TUDO... QUE DIA DE CÃO! ENSOPADA, ATRASADA E DESOLADA.
SUBO AS ESCADAS APRESSADA E LOGO ENCONTRO
UM COLEGA, SAINDO DA SALA DE REUNIÕES, COM UMA
EXPRESSÃO DE INCREDULIDADE NO ROSTO. PENSO: FUI
DEMITIDA! MEU COLEGA OLHA PRA MIM E DIZ, COM A VOZ
FALHA: VOCÊ NÃO VAI ACREDITAR... O CHEFE GANHOU
SOZINHO NA LOTERIA... DESCOBRIU HOJE, ASSIM QUE
ENTROU NA SALA... SUBIU NA MESA DE REUNIÃO, DANÇOU
UM TANGO COM O VENTILADOR DE PÉ, E PEDIU DEMISSÃO!
FOI DIRETO PRO AEROPORTO, PEGAR O PRÓXIMO VOO PARA
O EGITO. DISSE QUE QUERIA CONVERSAR COM A ESFINGE, E
QUE VOCÊ SERIA A NOVA CHEFE...
12 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Atividade 1 O que é e o que não pode ser
Na história em quadrinhos, diversos acontecimentos
dão-se ao longo de uma tumultuada manhã. Do ponto de
vista da personagem, selecione um acontecimento que você
considera ser previsível e um acontecimento que você considera ser não previsível ou aleatório. Justifique sua resposta.
１
Resposta comentada
Acontecimento previsível
Dentre os possíveis acontecimentos que a personagem
poderia prever, você pode ter identificado:
� A perda do emprego devido à sua chegada atrasada
na reunião, justificada pelo conhecimento das políJustificativa
ticas da empresa e da personalidade de seu chefe;
� O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens
cinzentas;
� Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade
para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver
um lugar específico onde ela guarda suas meias.
Dentre os acontecimentos aleatórios que a personagem
não poderia prever, você pode ter identificado:
� O sexo do bebê, pois as chances são iguais para
menino ou menina;
� A manchete do jornal sobre a queda do avião, por se
tratar de um evento raro, não esperado.
２
� O ônibus ter chegado rápido, por se tratar de um dia
Acontecimento não previsível ou aleatório
chuvoso e horário de tráfego intenso;
� O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de
um acontecimento extremamente raro, de natureza
imprevisível.
Justificativa
� A promoção para o cargo de chefia, pois dependeu
do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria.
O significado dos termos previsível e aleatório tem a ver com a noção de incerteza.
Quanto maior a chance de ocorrência de um evento, maior nossa certeza em relação a
ele. É o caso de chover em um dia nublado, de o ônibus atrasar em dias de chuva, com
tráfego intenso, ...
1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 13
ocorridos em uma conturbada manhã. Esperamos que você tenha entendido melhor o
que é um evento aleatório.
Saiba Mais
O que é evento aleatório?
É um acontecimento com resultado imprevisível. Por exemplo, se lançamos para cima uma
moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, não temos como prever qual a posição
em que ela vai ficar, após cessar seu movimento. É quase certo que ela fique sobre uma de suas
Fotos: Ricardo Miguel Carrión Carracedo
Eva Schuster / SXC
Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatório, relacionado com eventos
faces, mas não temos como prever qual.
Figura 1: Como avaliar uma
incerteza?
A chance de ocorrência de um evento aleatório é medida através de uma probabilidade. Um dos objetivos desta atividade é compreender ainda melhor este conceito e buscar
novas maneiras de apresentá-lo em sala de aula.
2. A probabilidade em nosso cotidiano
A probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por
exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de saúde e o valor da mensalidade
envolve cálculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de saúde recebe mensalidades de diferentes usuários, desde crianças recém-nascidas até pessoas idosas. Com
os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas,
Fotos: Fernando Audibert – Julie Elliott-Abshire –
Jeinny Solis S. / SXC
operações e procedimentos diversos solicitados por eles.
Figura 2: Alguns procedimentos
cobertos por planos de saúde
Além disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionários, prédios,
veículos, impostos, etc. Os donos da empresa também querem que, no final do mês, sobre
um lucro para eles mesmos.
14 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Vangelis Thomaidis / SXC
Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso
seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quantos clientes vão ter um determinado problema de saúde, quantas consultas vão solicitar,
exames clínicos, operações, etc?
Ao fazer esses cálculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a
ocorrência de problemas e necessidades de saúde na população. Calculando essas probabilidades, e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provável
despesa que terá em um determinado mês. Por exemplo, não faz sentido esperar que um
homem faça uma operação de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha câncer
de próstata. Também é pouco provável que uma criança utilize os serviços relacionados a
Figura 3: O valor da mensalidade
de um plano de saúde é
determinado pela probabilidade
de utilização de seus serviços,
variando de acordo com a
localidade, idade, sexo, etc. de
seus clientes.
doenças do coração e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse.
Como você já deve ter percebido, a probabilidade está presente em nossas vidas e
possui importância na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura
do primeiro módulo do curso Matem@tica na Pr@tica.
Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais são os recursos e
Fotos: Amr Safey – Jean Scheijen – Jeinny Solis
S. / SXC – Ricardo Miguel Carrión Carracedo
métodos que você mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula?
Figura 4: Estes objetos sempre
marcam presença nas aulas de
probabilidade
Diria que há uma grande chance de você ter respondido que usa dados, dominó ou
cartas. Estes instrumentos são muito importantes e bastante úteis. Mas será que podemos
ir mais além? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabilidade, polígonos regulares, funções quadráticas e gráficos?
A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a você, professor, uma oportunidade de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito
interessante.
Janela Pedagógica
Documentos de referência e probabilidade
A aprendizagem da probabilidade é fundamental para a compreensão de
desenvolvimento da temática probabilidade seja abordado através de situações
fenômenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referência para
de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar
o Enem-2009 indica que, ao término do Ensino Médio, o aluno deve ter
informações. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas
desenvolvido a seguinte competência: “Compreender o caráter aleatório e
24% dos estudantes conseguem compreender o cálculo da probabilidade de
não determinístico dos fenômenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos
um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais forte-
adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de proba-
mente essa habilidade, principalmente para atender às demandas da matriz
bilidade para interpretar informações de variáveis, apresentadas em uma
de referência para o Enem-2009.
distribuição estatística”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que o
2. A probabilidade em nosso cotidiano 15
Dora Pete / SXC
3. E o improviso virou Matemática
Na França, no século XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins.
As crianças não perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro.
Inventaram o jogo dos discos, lançando moedas aleatoriamente no piso e apostando na
parada da moeda no interior de um ladrilho.
Mas que fatores contribuíam para uma criança ganhar a aposta e ver sua moeda inteiramente dentro de um ladrilho, num lançamento aleatório, sem tocar nenhuma de suas
bordas? As crianças mais espertas logo perceberam que o diâmetro da moeda e o tamanho
Figura 5: O Jogo dos Discos –
ganha quem lançar o disco no
interior de um ladrilho, sem tocar
nenhuma de suas bordas.
Saiba Mais
Probabilidade e Geometria,
um casamento perfeito
A imagem é do naturalista e matemático Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon
(1707–1788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em
<http://evolucionismo.ning.com/photo
/2393347:Photo:32/prev?context=user>
dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo.
1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a História que este livro é o
primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geométrica.
As crianças gostam de jogos que envolvam lançamentos de objetos em pisos quadriculados.
O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianças e, ainda por cima, ajudar
nossos estudantes a aprender Matemática. Não acredita? Então, leia o texto a seguir, onde
é feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemática.
Formandos antenados!
Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino
Médio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realização da tão
sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces,
outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em
bolar um jogo de apostas. Só faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e
interessante.
Depois de muita discussão e nenhuma definição, a turma resolveu pedir
Conde de Buffon, levou a turma para o pátio da escola
e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos
quadrados de 30 cm de lado. Neste momento,
o professor fez a seguinte sugestão:
Que tal construir discos com um certo diâmetro para serem comprados pelos convidados e jogados “aleatoriamente” no piso? Se o disco, depois
16 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Fotos: Marcelo dos Santos –
Michaela Maslarska – Valber Cortez / SXC
ajuda ao professor de Matemática. O professor, lembrando-se do
de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de
separação do ladrilhamento, o convidado receberá um prêmio.
Figura 6: Regra básica para o jogo dos discos
Posições favoráveis ao jogador
Posições favoráveis aos formandos
Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, começaram a pensar qual seria o melhor
diâmetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram...
O professor completou:
Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, pois
os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm chance
de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual seria o diâmetro ideal? Vamos resolver este
problema em sala de aula?
Então, você gostou da sugestão do professor? Ele foi bem esperto, não acha? Conseguiu
motivar os estudantes para suas aulas e ainda propôs o ensino de probabilidade de forma
lúdica, agradável e significativa.
Você também pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa atividade dê certo, você precisa dominar todo o processo de construção do conhecimento
proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando.
E vamos começar agora!
4. Estudo do jogo dos discos
Nosso primeiro objetivo é determinar qual é a influência do diâmetro do disco e do
tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lançamentos
aleatórios no jogo dos discos.
Para estudar os conceitos matemáticos envolvidos, vamos fazer vários experimentos
considerando discos de diâmetros variados. Faremos muitos lançamentos aleatórios e
anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas.
Podemos sair por aí e procurar pisos ladrilhados para fazer os lançamentos. Mas fica
mais prático se adotarmos algumas simplificações, principalmente se quisermos executar
os lançamentos em sala de aula. Nossa sugestão é construir um quadriculado, com quadrados de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm
combina bem com moedas pequenas e botões de camisa.
4. Estudo do jogo dos discos 17
Material cartolina já recortada em 42 cm x 42 cm; régua; par de esquadros; fita adesiva e lápis
Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construção
１
Marque, com o auxílio da régua,
２
３
Com o auxílio da régua e um esquadro (ou
Após realizar os passos anteriores,
utilizando um par de esquadros), comece a construir o
está pronto o quadriculado formado por
longo de duas bordas da folha (uma
quadriculado, traçando segmentos de reta verticais e
quadrados de 3 cm de lado.
horizontal e outra vertical).
horizontais, partindo dos pontos marcados na folha.
Fotos: Paulo Vasques de Miranda
pontos distantes 3 cm um do outro, ao
Uma vez construído o quadriculado, vamos inicialmente lançar moedas de 10 centavos
como discos. O inconveniente das moedas é que, embora existam muitos tipos, elas não
têm grande variação no diâmetro. Por isto, mais adiante, será preciso lançar também botões de camisa com diâmetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos
lançamentos.
Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lançar, aleatoriamente, moedas de 10 centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2
Fotos: Afonso Lima / SXC
cm de diâmetro.
Você pode lançar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um
exemplo de lançamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com
quadrados de 3 cm de lado.
Como vimos nas regras do jogo, um lançamento (também denominado evento) é
favorável se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e não favorável se tocar
ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como você pode ver na figura a seguir, os
B
Figura 7: Quadriculado com
cinco lançamentos, sendo
dois favoráveis e três não
favoráveis
A
C
D
E
18 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Fotos: Afonso Lima / SXC
eventos C e D são favoráveis, e os eventos A, B e E são não favoráveis.
2ª família de moedas do Real. Em vez
do aço inoxidável, que reveste a 1ª
família, as moedas da 2ª família são
feitas de aço carbono, revestidas de
cobre ou latão, com exceção da moeda de 50 centavos, que é feita com
1ª Família de Moedas do Real
Em 1998, o Banco Central lançou a
Valor Facial
(R$)
Diâmetro
(mm)
Peso
(g)
Espessura
(mm)
Bordo
Material
0,01
20,00
2,96
1,20
Liso
Aço inoxidável
0,05
21,00
3,27
1,20
Liso
Aço inoxidável
0,10
22,00
3,59
1,20
Liso
Aço inoxidável
0,25
23,50
4,78
1,40
Liso
Aço inoxidável
0,50
23,00
3,92
1,20
Liso
Aço inoxidável
24,00
4,27
1,20
Liso
Aço inoxidável
0,01
17,00
2,43
1,65
Liso
Aço revestido de cobre
de moedas tem cores, formatos e
0,05
22,00
4,10
1,65
Liso
Aço revestido de cobre
0,10
20,00
4,80
2,23
Serrilhado
Aço revestido de bronze
tamanhos diferentes das moedas da
família anterior.
Veja, nas tabelas ao lado, as características técnicas que diferenciam
essas duas famílias de moedas.
Para obter mais informações, você
2ª Família de Moedas do Real
1,00
uma liga de cobre-níquel. A 2ª família
0,25
25,00
7,55
2,25
Serrilhado
Aço revestido de bronze
0,50
23,00
9,25
2,85
Legenda*
Cuproníquel
0,50
23,00
6,80
2,85
Legenda*
Aço inoxidável
Cuproníquel (núcleo)
e Alpaca (anel)
Aço inoxidável (núcleo)
e Aço revestido
de bronze (anel)
(1998 a 2001)
(2002 em diante)
1,00
27,00
7,84
1,95
Serrilha
intermitente
1,00
27,00
7,00
1,95
Serrilha
intermitente
(1998 a 2001)
pode acessar o site:
(2002 em diante)
<http//www.bcb.gov.br/?MOEDAREAL>
* ORDEM E PROGRESSO BRASIL
Fonte: Banco Central do Brasil
Antes de iniciarmos os lançamentos, é importante fazermos algumas reflexões. Faça a atividade a seguir e pense nas
questões propostas.
Fotos: Mohamed Aly – Julio Cezar – Zsuzsanna Kilian – Sanja Gjenero / SXC
Atividade 2
Algumas questões para pensar
４
Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um
５
Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200
pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda?
１
Como proceder com os lançamentos para
que sejam aleatórios?
lançamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte
ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguais
２
Um jogador, ao lançar uma moeda, chega bem perto e
mira no centro de um quadrado. Seu lançamento é aleatório?
lançamentos, mas contou 200. Isso pode?
３
O que acontece se fizermos 1.000
６
e lançava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20
Se for válido o lançamento de várias moedas de
lançamentos com uma moeda cujo diâ-
uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em
metro é maior do que o lado do quadrado
um determinado lançamento, duas moedas ficarem so-
do quadriculado?
brepostas?
4. Estudo do jogo dos discos 19
Fotos: Ricardo Miguel Carrión Carracedo – http://www.bcb.gov.br/?RECOLHEMOEDA
Multimídia
Multimíd
Resposta comentada
uma moeda ou um disco com diâmetro maior do que o lado
dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocará algum
Sentiu alguma dificuldade para responder às questões
anteriores? Então preste atenção nas explicações a seguir.
lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha.
É importante que a espessura das linhas do quadriculado
Perceba que, se a moeda for lançada horizontalmente e a
seja a mais fina possível, caso contrário o tamanho dessa
certa distância do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar
espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do
que o lançamento é aleatório. A distância não precisa ser
jogador. No Ciclo 2, esta questão será tratada com maior
muito grande. Deve-se evitar “mirar” em um quadrado, ou
profundidade.
“deixar cair” verticalmente a moeda. É preferível que não se-
Para acelerar a contagem, você pode lançar várias moe-
jam colocados obstáculos nos lados
das ou discos idênticos de uma só vez, desde que haja um
do quadriculado e nem colocar o
razoável espalhamento. Se dois discos caírem sobrepostos,
quadriculado junto a paredes.
pode-se retirar o de cima e fazer novo lançamento apenas
Observe também que, ao lançar
com ele.
As questões que você acabou de responder têm a ver com aspectos comumente levantados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e é sempre bom refletir sobre
elas antes de iniciar o desenvolvimento deste conteúdo. Além destes aspectos, há ainda
alguns pontos que desejamos relembrar com você, antes de iniciarmos nosso experimento
propriamente dito. Vamos lá?
Você sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favoráveis e
dividir esse número por todos os casos possíveis.
No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um determinado disco, devemos realizar um grande número de lançamentos com este disco, contar
quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lançamento favorável)
e dividir esse número de lançamentos favoráveis pelo número total de lançamentos realizados. O resultado dessa divisão é uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho
com o disco em questão.
Por exemplo, a figura ilustra um lançamento aleatório de 5 moedas idênticas de 10 cen-
Fotos: Afonso Lima / SXC
tavos num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situação, podemos estimar
a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos,
B
calculando a razão entre os lançamentos favoráveis (C e D)
e o total de lançamentos (A, B, C, D e E).
A
Na situação da figura acima, a probabilidade aproximaC
D
E
da de ganho com a moeda de 10 centavos é:
p=
lançamentos favoráveis 2
= = 0, 4% ou 40%
total de lançamentos
5
A probabilidade de ganho com um disco depende do
seu diâmetro. Indicando o diâmetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p será uma
função de d, e, assim, escrevemos p( d ).
20 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, na situação da
Figura 7 temos p ( 2 ) ≈ 40%.
Mas será que essa informação corresponde à realidade? Em breve, você irá descobrir.
Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de p( d ) para
outros valores de d. Deste modo, você pode fazer outros lançamentos com moedas de 25
centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2,5 cm de diâmetro,
com botões idênticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de diâmetro, e com botões
idênticos de roupinhas de bebê, com cerca de 0,8 cm de diâmetro.
Wagner Meira Beff
Agora sim! Na atividade a seguir, você vai fazer o experimento por completo. Faça
a atividade com cuidado e atenção. Não se esqueça que tudo deve ser registrado.
A atividade experimental de lançamentos de moedas e botões em uma cartolina
quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, também foi realizada pela equipe
Atividade 3
Costurando conhecimento
Deste modo, siga as instruções passo a passo:
Com o quadriculado sugerido anteriormente (com qua-
1º passo Realize um lançamento com dez moedas de 10
drados de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42
centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de diâmetro).
cm x 42 cm), faça 200 lançamentos com cada um dos quatro
Repita esse procedimento 20 vezes.
tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas
Sugerimos, para esse início do experimento, organizar
de 10 centavos, botões idênticos de camisa e botões idênticos
os dados na tabela a seguir. Após registrar os dados obtidos,
de roupinhas de bebê).
calcule a probabilidade de ganho com essa moeda.
Tabela 1: Dados obtidos no lançamento das moedas de 10 centavos
L
Q
L
Q
1
10
F
11
10
2
10
12
10
3
10
13
10
4
10
14
10
5
10
15
10
Com isso, você irá estabelecer a relação existente entre
6
10
16
10
o diâmetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar,
7
10
17
10
lançando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm
8
10
18
10
de lado.
9
10
19
10
Lembre-se de que, ao lançarmos 200 vezes um disco de
10
10
20
10
diâmetro d, a probabilidade estimada p( d ) de ganho com o
T
100
T
100
disco é:
L = número do lançamento
Q = quantidade de moedas lançadas
p (d ) ≈
F
F = quantidade de lançamentos favoráveis
T = totalização das colunas
número de lançamentos favoráveis
200
4. Estudo do jogo dos discos 21
Fotos: Daniel Wildman – John Nettleship – Slavomir Ulicny – Troy Newell – Fausto Giliberti – Pam Roth / SXC – Paulo Vasques de Miranda – Wagner Meira Beff – Ricardo Miguel Carrión Carracedo
do Matem@tica na Pr@tica.
2º passo Prossiga a experiência, fazendo lançamentos
3º passo Faça agora lançamentos simultâneos, utilizando
simultâneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5
dez botões de camisa idênticos (discos com cerca de 1,1 cm
cm de diâmetros).
de diâmetro).
Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir
e não se esqueça de calcular a probabilidade de ganho com
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de
ganho com esse botão.
essa moeda.
Tabela 2: Dados obtidos no lançamento das moedas de 25 centavos
L
Q
F
L
Q
F
Tabela 3: Dados obtidos no lançamento dos botões de camisa
L
Q
F
L
Q
1
10
11
10
1
10
11
10
2
10
12
10
2
10
12
10
3
10
13
10
3
10
13
10
4
10
14
10
4
10
14
10
5
10
15
10
5
10
15
10
6
10
16
10
6
10
16
10
7
10
17
10
7
10
17
10
8
10
18
10
8
10
18
10
9
10
19
10
9
10
19
10
10
10
20
10
10
10
20
10
T
100
T
100
T
100
T
100
L = número do lançamento
Q = quantidade de moedas lançadas
22 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
F = quantidade de lançamentos favoráveis
T = totalização das colunas
L = número do lançamento
Q = quantidade de moedas lançadas
F
F = quantidade de lançamentos favoráveis
T = totalização das colunas
4º passo Finalmente, faça lançamentos simultâneos, utili-
indicados anteriormente. Sugerimos, então, organizar os
zando dez botões de roupinha de bebê idênticos (discos com
dados em outra tabela, como a que está a seguir:
cerca de 0,8 cm de diâmetro).
Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lançamentos
experimentais de discos com diâmetros variados
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo
de disco
Diâmetro Quant. de
Eventos
(cm)
lançamentos favoráveis
Probabilidade
de ganho
Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de
ganho com esse botão.
Agora, responda:
Tabela 4: Dados obtidos no lançamento dos
botões de roupinhas de bebê
１
Qual foi a probabilidade encontrada no lançamento de
200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor
L
Q
1
F
L
Q
10
11
10
2
10
12
10
3
10
13
10
4
10
14
10
5
10
15
10
6
10
16
10
7
10
17
10
8
10
18
10
9
10
19
10
10
10
20
10
T
100
T
100
L = número do lançamento
Q = quantidade de moedas lançadas
F
F = quantidade de lançamentos favoráveis
T = totalização das colunas
encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados estão
muito diferentes? Por que isso aconteceu?
２
Como você pode decidir se 200 lançamentos são su-
ficientes para obter uma precisão de uma casa decimal no
valor de p( d )? Não seriam necessários mais lançamentos?
Será que 100 lançamentos não seriam suficientes?
Imaginamos que você, professor, realizou todos os passos
4. Estudo do jogo dos discos 23
３
Imagine que você está realizando esse experimento
Uma conjectura é
uma ideia baseada
em suposições, com
fundamento não verificado, ou seja, não
foi provada como
verdadeira.
５
Você deve ter observado que o texto dá a entender
em sala de aula. Um dos seus estudantes, ao
que, ao lançar discos em um quadriculado com quadrados
lançar os discos no tabuleiro, conjecturou que
de 3 cm de lado, é melhor escolher discos com diâmetros
essa probabilidade seria a razão entre a área
espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso?
da superfície do disco pela área do quadrado.
Com os conhecimentos obtidos até o momento,
como será possível ver se o estudante fez uma
boa conjectura?
６
Considerando que a probabilidade é um quociente,
qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor?
４
Que dificuldades podemos encontrar para medir o
diâmetro de uma moeda ou de botões, usando uma régua?
Resposta comentada
Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Você
pode fazer uma estimativa para o erro em seu método de
Agora, vamos responder às questões propostas:
medição?
1▹ O valor encontrado com o lançamento de 200 moedas provavelmente foi diferente daquele encontrado
na situação da Figura 7, com apenas 5 moedas. Dificilmente, com 5 lançamentos, você obtém uma boa
estimativa da probabilidade em questão.
2▹ Como não conhecemos o valor exato da probabilidade, não temos como precisar quantas casas decimais
24 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
exatas encontramos com 200 lançamentos. Quanto
isto se a régua foi bem fabricada. Uma
mais lançamentos fizermos com discos de um de-
forma de melhorar essa precisão é en-
terminado diâmetro d , maiores serão as chances
fileirar dez discos, colocando-os bem
de obtermos uma estimativa melhor de p( d ). Esta
alinhados, medir o total dos diâmetros
experiência, com grupos de estudantes que realiza-
e dividir por 10. Isto dá uma precisão
ram essa atividade, sugere que 200 lançamentos é
de 0,1 mm.
5▹ Geralmente, o conhecimento dos va-
uma quantidade adequada. Você, professor, também
pode investigar isto.
lores assumidos por uma função em
3▹ Os experimentos não confirmam essa conjectura. Por
Paquímetro é um
instrumento de precisão para medição
de espessuras, diâmetros e pequenas
distâncias.
pontos bem espalhados em seu domínio
exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio
fornece uma boa ideia da função.
r = 1 cm e quadrados de lado = 3 cm, pela conjec-
6▹ Revendo a definição de probabilidade dada nesse
π r2 π
= ≈ 0,349,
2
9
texto, vemos que ela é um quociente em que o nume-
tura do estudante teríamos
p (2) =
rador é sempre menor que ou igual ao denominador.
mas nos experimentos obtivemos p(2) ≈ 0,135.
Portanto, o maior valor possível da probabilidade é 1.
4▹ Uma boa forma de medir diâmetros de discos é usar
A probabilidade pode ser zero se não houver eventos
um paquímetro. Se usarmos uma régua numerada
favoráveis, pois nesse caso o numerador é zero.
com centímetros, a precisão obtida será de 1 mm,
Os dados obtidos pela equipe estão organizados nas tabelas a seguir.
Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos
L
Q
F
L
Q
F
1
10
4
11
10
3
2
10
1
12
10
1
3
10
2
13
10
2
4
10
1
14
10
0
5
10
1
15
10
1
6
10
1
16
10
2
7
10
0
17
10
2
8
10
0
18
10
0
9
10
3
19
10
2
10
10
1
20
10
0
T
100
14
T
100
13
L = número do lançamento
Q = quantidade de moedas lançadas
F = quantidade de lançamentos favoráveis
T = totalização das colunas
4. Estudo do jogo dos discos 25
Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lançamentos com moedas de
10 centavos, dos quais 14 + 13 = 27 foram favoráveis, obtendo uma estimativa para a probabilidade de ganho com esta moeda de:
número de eventos favoráveis 27
=
= 0,135 = 13,5%
número total de eventos
200
Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, a equipe do
Matem@tica na Pr@tica obteve
p(2) ≈ 0,135
O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que têm 2,5 cm de diâmetro,
com botões de camisa de 1,1 cm de diâmetro e com botões de roupinha de bebê de 0,8
cm de diâmetro. Foram feitos 200 lançamentos para cada tipo de disco, e os resultados
obtidos estão dispostos na tabela a seguir.
Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica.
Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm
Tipo
de disco
Diâmetro Quant. de
Eventos
(cm)
lançamentos favoráveis
Probabilidade
de ganho
Botãozinho
0,8
200
117
0,585 = 58,5%
Botão
1,1
200
78
0,39 = 39%
Moeda
R$ 0,10
2,0
200
27
0,135 = 13,5%
Moeda
R$ 0,25
2,5
200
10
0, 05 = 5%
Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Matem@tica na Pr@tica obteve as seguintes estimativas:
p(0,8) ≈ 0,585
p(1,1) ≈ 0,39
p(2) ≈ 0,135
p(2,5) ≈ 0, 05
Retomando nosso estudo...
Agora que você já percebeu que existe uma relação entre o diâmetro do disco e a probabilidade de ganho com este disco, podemos caminhar na direção da questão levantada
pelo professor de Matemática para os formandos da escola:
“Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos,
pois os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm
chance de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual será o diâmetro ideal? Vamos resolver
este problema em sala de aula?”
26 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I
Adam Ciesielski / SXC
Nesta direção, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a
probabilidade de ganho é de 50%, num quadriculado com quadrados de
3 cm de lado. Qual deve ser o diâmetro do disco ?
Já sabemos que devem ser considerados apenas diâmetros entre 0 cm e 3 cm, correspondentes a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. Já que 50% é ponto médio entre
0% e 100%, a primeira ideia para o cálculo desse diâmetro é considerar o ponto médio de
0 cm e 3 cm, não acha professor? Sendo assim, o diâmetro do disco que ofereceria uma
probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Será que esta consideração está correta?
Os experimentos feitos até agora são suficientes para decidir isto?
Examinando a Tabela 7, é fácil perceber que não. Os valores tabelados indicam que
o diâmetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informação
mais precisa, você pode fazer lançamentos com discos de diâmetros intermediários, por
exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento.
Plotar significa desenhar, especialmente
um gráfico, baseando-se em informações fornecidas.
Existe outra forma de obter essa informação. Que tal fazer um gráfico? É isso mesmo,
podemos plotar os pontos ( d ; p( d )) que já temos em um gráfico. Supondo que o gráfico da
função p( d ) seja uma curva contínua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste
aos pontos plotados. Vamos fazer?
Atividade 4
Visualizando probabilidades
Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que você
obteve na Tabela 5.
Resposta comentada
Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Matem@tica na Pr@tica, conforme Tabela 7.
p(d)
p(d)
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
Observe que o eixo horizontal deste gráfico refere-se ao
diâmetro d dos discos. Como nosso quadriculado é feito de
quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3.
O eixo vertical deste gráfico refere-se à probabilidade p( d ),
4. Estudo do jogo dos discos 27
que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for
mos o ponto (3, 0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admi-
expresso em porcentagem).
tindo que se o disco tem diâmetro 0, então a probabilidade
O gráfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimen-
de ganho é total (é igual a 1). Portanto, no gráfico mostrado
tos (ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no grá-
anteriormente foram marcados os pontos:
fico que não foram obtidos no experimento? A explicação é
(0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0, 05) (3;0)
simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de diâmetro, a
probabilidade de ganho do jogador é 0. Por isto. acrescenta-
O próximo passo é desenhar a curva contínua que melhor se ajusta a esses pontos.
Depois de traçar a curva, e isso nós vamos deixar por sua conta, você vai observar que ela
não é uma reta, parecendo ser parte de uma parábola com vértice em (3;0). A partir daí,
fica fácil descobrir o diâmetro ideal dos discos para que o jogo seja justo.
２
Atividade 5
Você se lembra de que as funções p( d ) = ad 2 + bd + c
são as que possuem gráfico na forma de uma parábola?
Utilize os eixos a seguir para fazer um esboço da curva
Vamos supor que o gráfico seja, de fato, uma parábola, com
p( d ) que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe
vértice no ponto (3;0). Nestas circunstâncias, encontre os
do Matem@tica na Pr@tica.
valores dos coeficientes a, b e c.
p(d)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
Agora, responda:
１
Qual deve ser o diâmetro aproximado do disco, para
Resposta comentada
uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%?
A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica
é apresentada a seguir:
28 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
p(d)
1
1
p(d)
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
A
0.5
0.4
0.2
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
7▹ Usando o gráfico, podemos resolver o problema,
0
0
-0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
0.9
3
d
pensando de forma inversa, isto é, qual deve ser a
Portanto, será preciso um disco com 0,9 cm de diâmetro
abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5.
para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta
Observe que podemos traçar uma linha horizontal
é uma solução aproximada.
com ordenada 0,5 (essa é a probabilidade de ganho
que desejamos). Ela toca o gráfico em um ponto A.
8▹ Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun-
Deste ponto, traçamos uma linha vertical, que inter-
ção p( d ) = ad 2 + bd + c. Assumindo que (0;3) é o
cepta o eixo das abscissas no ponto 0,9.
vértice da parábola, segue que d = 3 é uma raiz dupla
Veja:
e a expressão de p( d ) se simplifica na forma
p( d ) = a ( d − 3)2 = a d 2 − 6a d + 9a . Como o gráfico
1
p(d)
passa pelo ponto (0;1), segue que 9a = 1 e, conse-
1
9
quentemente, a = , b = −
0.8
2
e c = 1.
3
0.6
A
0.5
0.4
SERÁ QUE ESSE JOGO PODE
SERVIR DE TRANSIÇÃO ENTRE
0.2
O ESTUDO DE FUNÇÕES
0
0
-0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
LINEARES E FUNÇÕES
QUADRÁTICAS?
4. Estudo do jogo dos discos 29
5. Da cartolina para o chão da escola
Fotos: Miguel Ugalde – Hazel Moore / SXC
Paulo Vasques de Miranda
Professor, vamos agora variar nosso experimento?
Figura 8: CDs ou argolas também são boas opções de discos para tabuleiros de grandes dimensões
Os lançamentos no jogo dos discos também podem ser realizados no chão da escola,
em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em áreas públicas são aqueles
Figura 9: Os anéis de vedação de
canos de esgoto são ótimos discos
para o nosso jogo
feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experiência com esses pisos, podem ser
construídos discos de vários diâmetros. Uma forma cômoda é comprar anéis de vedação
de canos de esgoto, disponíveis em lojas de material de construção em vários diâmetros.
Saiba Mais
Suponha que o jogo dos discos aconteça em um quadriculado com os
quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura à direita. Você
acha que essa disposição acarreta resultados diferentes dos anteriores?
Como se pode verificar isso?
Uma forma de verificar é fazer experimentos com esse novo quadriculado
e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os
quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado.
Mas, vamos pensar...
Imagine que a posição do disco, depois de lançado, depende apenas de seu centro. Isso é bem razoável, pois é
bastante provável que o disco caia “deitado”. Assim, quando o disco é lançado, podemos imaginar que seu centro
“escolhe” um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado).
Então não importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relação ao que está abaixo ou acima.
No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro.
30 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo I
Você gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso?
Entendemos que o jogo dos discos é uma atividade prática que aproxima os conteúdos
acadêmicos do “chão da escola”. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os
estudantes, facilmente aplicável pelo professor em sala de aula.
Paulo Vasques de Miranda
Conclusão
Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geométrica. O jogo dos discos,
que acabamos de experimentar, é apenas um exemplo. Você pode pesquisar outros problemas interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplicá-las com os
seus alunos.
No decorrer deste módulo, você também poderá fazer uma interação do jogo dos
discos com o desafio dos polígonos regulares.
Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentação do jogo dos discos.
Esperamos que você tenha gostado da nossa proposta.
Até a próxima!
Figura 10: Imagine só como ficaria
interessante o jogo dos discos em
um ladrilhamento hexagonal.
Resumo
Durante este Ciclo:
▹▹ Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lançar aleatoriamente discos
em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado;
▹▹ Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um
quadrado depende do lado do quadrado e do diâmetro do disco;
▹▹ Construímos um gráfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um
traço que indica ser um pedaço de parábola.
▹▹ Por fim, através do gráfico que representa a probabilidade em função do diâmetro
do disco, vimos que é possível determinar a chance de o jogador realizar uma jogada
favorável.
Informações para o próximo ciclo
Professor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abordagem mais teórica e obteremos uma expressão exata para a função p(d).
5. Da cartolina para o chão da escola 31
Ciclo II
Explorando
o Jogo dos Discos
Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos.
No Ciclo 1 você experimentou o jogo dos discos e percebeu
como ele pode ajudá-lo a pensar sobre probabilidade e a
trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo
vamos desenvolver uma abordagem mais teórica para o jogo
dos discos, explorando questões ligadas à probabilidade
geométrica.
Para começar, reflita sobre as seguintes questões:
▹▹ Como podemos construir uma análise matemática mais
elaborada para o jogo dos discos?
▹▹ De que forma a articulação entre uma abordagem
experimental e uma abordagem teórica pode enriquecer
suas aulas de probabilidade?
Svilen Milev / SXC
▹▹ Como podemos obter uma expressão algébrica para a
probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da
geometria de seus elementos?
1. Recapitulando
OI, MEU NOME É JOSÉ
O QUE VOCÊ ACHOU DO
E EU TAMBÉM ESTOU
CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS?
FAZENDO MATEM@TICA
EU ADOREI ESSA PROPOSTA
NA PR@TICA.
DE ENSINAR MATEMÁTICA
ATRAVÉS DE
EXPERIEMENTOS.
ACHO QUE VOU
APROVEITAR ESSA
IDEIA E CRIAR UM
PROJETO SOBRE O
DESAFIO DO JOGO
DOS DISCOS LÁ NA
ESCOLA
lEMBRA QUE CONSTRUÍMOS
MAS, QUE TAL
RELEMBRARMOS
RAPIDAMENTE O
UM QUADRICULADO COM 3 CM DE
LADO? DEPOIS FIZEMOS VÁRIOS
LANÇAMENTOS COM MOEDAS E
BOTÕES DE DIVERSOS
QUE FIZEMOS NO
DIÂMETROS?
CICLO 1?
ESSA ATIVIDADE
FOI BEM LEGAL!
DETERMINAMOS A
PROBABILIDADE APROXIMADA DAS
MOEDAS E BOTÕES FICAREM DENTRO
DE UM QUADRADO EM LANÇAMENTOS
ALEATÓRIOS NO QUADRICULADO.
DEPOIS, COM OS
DADOS OBTIDOS,
CONSTRUÍMOS O GRÁFICO
DA PROBABILIDADE EM
FUNÇÃO DO DIÂMETRO
DO DISCO.
MAS... E AGORA?
O QUE SERÁ QUE
NOS ESPERA
PARA O CICLO 2?
COM ESSE GRÁFICO
CONSEGUIMOS
DETERMINAR O DIÂMETRO
APROXIMADO DO DISCO
PARA UMA
PROBABILIDADE
DE 50%.
1. Recapitulando 35
A história em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentação do
jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questões
específicas que foram trabalhadas?
Estas questões nos ajudarão a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste
Ciclo 2.
No Ciclo 1 vimos a história de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino
Médio que precisava arrecadar fundos para a realização da sua festa de formatura e pediu
ajuda ao professor de Matemática da escola... Você lembra qual foi a sugestão do professor
para a turma de formandos?
Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa
da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lançamentos de discos e receberiam
prêmios pelos lançamentos favoráveis.
Mas você lembra o que é um lançamento favorável?
No jogo dos discos, um lançamento é considerado favorável quando o disco, lançado
aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem
Miguel Ugalde / SXC – Equipe do Matem@tica na Pr@tica
tocar ou ficar sobreposto às linhas do quadriculado.
Figura 1: A imagem do lançamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favoráveis
(indicadas por setas), onde os discos estão inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e
jogadas não favoráveis, onde os CDs estão sobrepostos à borda do ladrilhamento
Assim, na história dos formandos, se o participante fizesse um lançamento favorável,
ele lucraria. Se, ao contrário, não conseguisse fazer este tipo de lançamento, os formandos
lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura.
O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o
pátio e mostrou que o chão era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse
modo, a turma só precisaria construir os discos.
Mas qual o diâmetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes
teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que você resolvesse essa mesma questão dos
estudantes formandos...
36 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Wagner Meira Beff
... e para resolver você fez vários experimentos lançando discos de diâmetros variados em um plano quadriculado. Ao comparar esses lançamentos, foi possível entender,
experimentalmente, como o diâmetro do disco influencia na probabilidade de ele cair
inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado.
No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos
quadrados de um quadriculado depende não só do diâmetro do disco, mas também do
lado do quadrado.
Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 será de grande importância na nova abordagem que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso começamos com esta recapitulação!
Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algébrico ao jogo dos discos,
resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente.
Agora que nossa memória foi atiçada, vamos pensar sobre a nova abordagem que
iremos desenvolver no Ciclo 2?
Deniz Ongar / SXC
2. O que há de novo neste Ciclo?
Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lançamento ser
favorável no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geométrica.
No Ciclo 1 você obteve, através de experimentos, estimativas para a probabilidade de
lançamento favorável no jogo dos discos em função do diâmetro. Neste Ciclo iremos fazer
uma abordagem teórica para obter uma fórmula algébrica exata para essa função ( p( d )).
Você deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem teórica se já resolvemos o problema experimentalmente?
A abordagem teórica irá fornecer uma expressão exata para a função probabilidade, e
ETAPA １
Para resolução do problema
não estimada, como no método experimental. Além disso, a teoria pode evitar a necessidade da construção do experimento. Não é o nosso caso, mas um experimento pode ser
muito custoso. Lembramos que a expressão exata pode conter parâmetros (como o lado
variável do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do
jogo dos discos em qualquer quadriculado.
Mas como faremos isso?
Já que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratégia de resolução, que você também pode adotar com seus estudantes.
2. O que há de novo neste Ciclo? 37
Deniz Ongar / SXC
Estratégia para resolução de problemas
Guillermo Alvarez / SXC
Identificar o problema e formular o que desejamos saber.
Ove Tøpfer / SXC
Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.
Miguel Ugalde / SXC
Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas.
Aplicar a teoria e interpretar o problema através de linguagem
adequada (funções, fórmulas, gráficos, tabelas, etc.)
P1
Validar a interpretação recorrendo a informações conhecidas.
p(d)
1
08
06
0
0 10 20 30
04
02
0
L
Harrison Keely / SXC
Utilizar o modelo construído para explicar, fazer previsões, etc.
38 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
d
Essa foi a estratégia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebricamente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que você se identifique com ela!
Ao longo desse desafio, você encontrará as imagens acima nas margens de algumas
páginas. Essas imagens indicarão as etapas da resolução do problema pela qual você estará
passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificação e formulação do
problema, já apareceu... Volte algumas páginas e a encontre. Ela está mostrando exatamente qual o problema que iremos resolver!
Então, vamos começar a pensar sobre este problema?
3. Posicionamento dos discos no quadriculado
Você deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que nós mesmos construímos. No entanto,
na sugestão do professor de Matemática para a turma de formandos, o quadriculado era
Fotos: Paulo Vasques Miranda
o próprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado.
Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por
quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos
quadrados do quadriculado? Isto é, como podemos generalizar a probabilidade do jogo
dos discos?
A generalização em Matemática é fundamental quando pretendemos validar os dados
obtidos a partir de um determinado experimento. Este é um aspecto muito importante da
Matemática que merece ser trabalhado com os alunos da Educação Básica, você não acha?
Neste Ciclo buscaremos essa generalização. Ou seja, mais uma novidade desta abordagem! Esperamos que você consiga aproveitá-la em sua sala de aula.
Mas vamos por partes...
Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrerá em um plano quadriculado com
quadrados, todos de mesmo lado L.
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39
Figura 2: Ao generalizar nosso
estudo, L pode ter qualquer valor
L
L
Para entendermos a probabilidade de lançamentos favoráveis em um quadriculado
qualquer, precisamos pensar no diâmetro do disco que será lançado. A probabilidade p
de um lançamento aleatório ser favorável é uma função do diâmetro d do disco que está
sendo lançado e depende também do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indicaremos esta função probabilidade por p( d ).
Vamos refletir sobre a relação entre o tamanho do lado
do quadrado L e o diâmetro do disco lançado d ?
Uma informação obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com
diâmetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa
Figura 3: Impossível fazer
uma cesta com uma bola
maior do que o aro
característica nunca proporcionarão jogadas favoráveis em lançamentos aleatórios, pois
Michael Faes / SXC
sempre tocarão as linhas do quadriculado. Na lógica matemática, esse fato é representado
pela seguinte sentença:
se d ≥ L, então p( d ) = 0
Fica claro, então, que os valores interessantes para o diâmetro d estão no intervalo
0 ≤ d < L. Lembre-se de que, quando d = L, a jogada nunca é favorável, e, portanto, p( L) = 0.
Então, professor, qual é a condição geométrica para que um disco de diâmetro d esteja
contido num quadrado de lado L?
Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema,
sem nos preocuparmos se o lançamento é ou não favorável.
Imagine a figura de um disco que foi lançado e está parando sobre um dos quadrados
40 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Maarten Uilenbroek / SXC
O tamanho L, neste caso, funciona como um parâmetro da função p( d ).
do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posições possíveis, tocando ou não as bordas do quadrado.
Figura 4: Exemplos de discos de
diâmetro d confinados em um
quadrado de lado L.
d/2
L
Observando a Figura 4, você consegue visualizar que a localização do centro de um
Guillermo Alvarez / SXC
disco confinado no quadrado determina a posição desse disco no quadrado?
Em nossa abordagem teórica, podemos considerar que lançar um disco em um quadriculado é o mesmo que lançar um ponto (que é o centro do disco) em qualquer um dos
quadrados do quadriculado.
Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande número desses discos lançados no interior do quadrado do quadriculado, você consegue observar que seus centros
geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor?
Você saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em função do lado L do
quadrado do quadriculado e do diâmetro d do disco?
ETAPA ２
Para resolução do problema
3. Posicionamento dos discos no quadriculado 41
Atividade 1 Que quadrado menor é esse?
Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado
do quadrado menor formado pelos centros dos discos de
diâmetro d confinados no quadrado de lado L.
d/2
d
—
2
d
—
2
L-d
L
d/2
Note que a distância entre o lado do quadrado menor e
o lado paralelo mais próximo do quadrado maior tem a
L
d
2
mesma medida do raio do disco, que é , e, portanto, o lado
Resposta comentada
do quadrado menor é L −
d d
− = L − d.
2 2
A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos
discos de diâmetro d confinados em um quadrado de lado
L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado
é menor do que L.
Você já conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior
pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos
pensar sobre isso...
Fotos: Henry Hingst – Lars Sundstrom / SXC
4. Probabilidade geométrica
Para discutirmos a relação entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de
probabilidade geométrica. Você o conhece?
Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge
a superfície S do planeta em um ponto aleatório.
42 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Ove Tøpfer / SXC
Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfície terrestre é formada pelos
oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme é:
1
S
superfície terrestre formada por terra firme 4
1
≈
=
superfície total da Terra
S
4
Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geométrica.
ETAPA ３
Como você pode ver na figura ao lado, se tivermos uma região B do plano contida em
Para resolução do problema
uma região A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse
ponto pertença a B é:
p=
área de B
área de A
A
Este conceito de probabilidade geométrica se aplica mesmo quando a área de região
B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc.
Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de-
B
pende apenas da área da superfície do planeta coberta por terra e da área total do planeta.
O conceito de Probabilidade Geométrica é pouco trabalhado no Ensino Médio. Na
escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas à contagem de
casos favoráveis e casos possíveis. Porém, o trabalho com Probabilidade Geométrica pode
ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conheci-
Considerando este conceito, você consegue deduzir qual seria a
Probabilidade Geométrica de um lançamento favorável?
Maarten Uilenbroek / SXC
mentos geométricos.
Aplicando o conceito de probabilidade geométrica ao jogo dos discos para 0 ≤ d < L , a
região A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a região B corresponde ao interior do quadrado de lado L − d, ou seja, à região dos lançamentos favoráveis.
Quando d = 0, o disco é um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L , que nesse
caso corresponde à região B.
Observando que a área de um quadrado é igual à área de seu interior, vemos que a
probabilidade de um lançamento ser favorável é:
4. Probabilidade geométrica 43
p( d ) =
área do quadrado de lado L − d
área do quadrado de lado L
Nessa fórmula, L é um parâmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadriculado, e d é uma variável que corresponde ao diâmetro do disco lançado, como explicamos.
Quer ver mais claramente que tipo de função é p( d )?
Atividade 2 Descobrindo a expressão
Resposta comentada
polinomial da função p (d)
Desenvolvendo p( d ), temos:
Você acabou de descobrir que os centros dos discos de
diâmetro d , no interior de um quadrado de lado L, onde
d < L, geram outro quadrado de lado L − d.
( L − d )2 L2 − 2 L d + d 2 L2 2 L
1
2
1
=
= 2 − 2 d + 2 d2 = 1− d + 2 d2
2
2
L
L
L L
L
L
L
daí,
de geométrica, obtemos:
p( d ) =
área do quadrado de lado L − d ( L − d )
=
área do quadrado de lado L
L2
Miguel Ugalde / SXC
Utilizando essa informação e o conceito de probabilida-
2
p(d) =
1 2 2
d - d +1
L2
L
Agora desenvolva ao máximo essa fórmula e tente descobrir a expressão polinomial da função p( d ).
ETAPA ４
Para resolução do problema
Portanto, p( d ) é uma função quadrática da forma
Adam Ciesielski / SXC
p( d ) = ad 2 + bd + c, com a = 1 , b = − 2 e c = 1.
L2
L
44 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Com essa atividade, pudemos perceber que p( d ) é uma função quadrática. Esse tipo de
função é trabalhado com frequência no Ensino Médio. O jogo dos discos é uma ferramenta interessante para você desenvolver esse tipo de função com seus estudantes de forma
contextualizada e significativa.
No jogo dos discos, temos uma função quadrática na variável d:
p( d ) =
1 2 2
1
d − d + 1 = 2 ( L − d )2
L2
L
L
com p(0) = 1 e p( L) = 0.
Note que d = L é uma raiz dupla dessa função. Assim, o gráfico de p( d ) é parte de uma
parábola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa
d = L.
1.2
p
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
L
d
Figura 5: Gráfico de p( d ).
Já vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando você construiu um gráfico como este
a partir do lançamento de discos com diâmetros variados, lembra? Repetimos na figura
anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado.
Agora que você conhece a expressão polinomial da função p( d ), que nesse caso é uma
função quadrática, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos
de vários diâmetros e comparar com os valores assumidos pela função p( d ) para esses
mesmos diâmetros.
4. Probabilidade geométrica 45
Atividade 3 Valores exatos
Resposta comentada
para a probabilidade
Utilizando a expressão polinomial que deduzimos anteVamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi-
riormente e considerando L = 3, obtemos:
mentos com um quadriculado com quadrados de
3 cm de lado ( L = 3). Nossos primeiros lançamentos foram feitos com uma moeda de dez centavos,
p( d ) =
1 2 2
1
2
d − d +1 = d2 − d +1
2
L
L
9
3
com diâmetro de 2 cm ( d = 2).
Expresse a função p( d ) nesse caso e calcule o valor exato
da probabilidade de uma jogada favorável para d = 2.
Calculando o valor assumido por p( d ) quando d = 2,
obtemos:
1
2
1
p(2) = ⋅ 4 − ⋅ 2 + 1 = ≈ 0,111
9
3
9
Portanto, para um disco com diâmetro de 2 cm e um
quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabilidade de uma jogada favorável é exatamente
1
(a cada 9
9
lançamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorável), ou,
aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade
Adam Ciesielski - Afonso Lima / SXC
é de aproximadamente 11%.
Agora que já encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorável a partir de
uma abordagem teórica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade experimental obtida no Ciclo 1.
5. Probabilidade experimental versus probabilidade
teórica
A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos experimentalmente a probabilidade de um lançamento favorável de uma moeda de 2 cm de
diâmetro lançada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado.
46 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Fotos: Afonso Lima / SXC
Figura 6: Alguns lançamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1.
Você lembra que a probabilidade experimental é:
p( d ) =
quantidade de lançamentos favoráveis
quantidade total de lançamentos
Lá fizemos 200 lançamentos com a moeda e obtivemos 27 lançamentos favoráveis,
resultando numa probabilidade estimada de
p(2) ≈
27
= 0,135.
200
Neste Ciclo, através da probabilidade teórica ou geométrica, obtivemos, por meio da
função quadrática, o valor exato:
p(2) = 1/ 9 ≈ 0,111
Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser
considerado. Este erro pode ser calculado pela diferença positiva entre o valor exato e o
Ilker / SXC
experimental, ou seja:
E = p( d )experimental − p( d )exato
Nesse caso:
E = 135 −
1
≈ 0, 0238
9
5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 47
Ou seja, temos um erro menor do que 3%.
Professor, por que existe essa diferença?
O método experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois
leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que é dada pelo número de lançamentos que fizemos. Já o conceito de probabilidade geométrica considera como possibilidades um conjunto infinito de pontos, que é medido pela sua área, servindo como
referência para o valor exato da probabilidade em questão.
Agora você já é capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorável com
a probabilidade experimental encontrada usando como referência a expressão polino-
P1
mial de p( d ). Com isto, você pode validar ou não a abordagem teórica, utilizando os
resultados já conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens.
p(d)
1
08
06
0
0 10 20 30
A atividade a seguir é bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus
04
02
alunos. Nela, você pode calcular a probabilidade exata para lançamentos de discos de di-
0
L
d
ferentes diâmetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( L = 3). E ainda pode comparar
ETAPA ５
com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental
Para resolução do problema
Atividade 4
e a probabilidade exata.
Calculando erros
Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental
com a probabilidade exata e estimando o erro
no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em seguida, assumindo L = 3 na expressão exata de p( d ) , preencha
a próxima coluna com os valores exatos da probabilidade.
Fotos: Terri-Ann Hanlon – David Siqueira / SXC
Compare os resultados e preencha a coluna dos erros.
Tipo
de disco
Botão de
roupinha de
bebê
Botão camisa
Moeda
R$ 0,10
Moeda
R$ 0,25
48 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Diâmetro
cm
Probabilidade
exata
dados que você obteve no Ciclo 1 ao lançar moedas e botões
Probabilidade
experimental
Ａ Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os
Erro
Ｂ Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi aplicado em seu piso, formado por peças quadradas de 30
cm de lado. Os estudantes lançaram discos de borracha
de vários diâmetros e obtiveram as probabilidades dis-
Damion Morgan / SXC
postas na tabela (ii).
Resposta comentada
Ａ Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar
descobrir qual é o valor da probabilidade exata para
cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que:
1
2
p( d ) = 2 d 2 − d + 1. Como o lado do quadriculado é
L
L
igual a 3 cm ( L = 3), a expressão da probabilidade exata
é:
p( d ) =
1 2 2
1
2
d −
d +1 = d2 − d +1
(3)2
(3)
9
3
Imaginando um botão de roupinha de bebê de
Sua tarefa é completar essa tabela, comparando a
probabilidade exata com a experimental e calculando
o erro.
Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula
0,8 cm de diâmetro, o valor exato é determinado da
seguinte forma:
1
2
1
2
p( d ) = d 2 − d + 1 = (0,8)2 − (0,8) + 1 = 0,53777...
9
3
9
3
Para esse mesmo botão, a equipe do Matem@tica
Probabilidade
experimental
4
0, 755 = 75,5%
6
0,685 = 68,5%
8
0,62 = 62%
10
0,5 = 50%
12
0,38 = 38%
14
0,32 = 32%
Probabilidade
exata
Erro
na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma
probabilidade de 0,585. Repare que o valor que você
obteve pode ter sido um pouco diferente!
Agora já podemos comparar as duas probabilidades
para o botão de 0,8 cm, calculando o valor do erro.
Neste caso, o erro aproximado é:
E = p( d )experimental − p( d )exato ≈ 0,585 − 0,538 = 0, 047 ≈ 0, 05
Novamente, repare que a sua probabilidade experimental pode ter sido diferente e, então, seu erro será
5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 49
Adam Ciesielski / SXC
Diâmetro
(cm)
também um pouco diferente, já que ele depende da
probabilidade experimental!
Considerando um disco de 4 cm de diâmetro, o valor
exato da probabilidade pode ser calculado de forma
Seguindo esse mesmo raciocínio, preenchemos a
análoga ao anterior:
tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do
p (4) =
Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma:
Tipo de
disco
Diâmetro
cm
Probabilidade
experimental
Probabilidade
exata
Erro
Botão de
roupinha
de bebê
0,8
0,585
0,538
0,05
Botão de
camisa
1,1
0,39
0,401
0,01
Moeda de
R$ 0,10
2,0
0,135
0,111
0,02
Moeda de
R$ 0,25
2,5
0,05
0,027
0,02
1
1
169
(4)2 − (4) + 1 =
= 0, 75111...
900
15
225
Para esse disco obtivemos em nossos experimentos
uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos
comparar as probabilidades calculando o valor do erro:
E ≈ 0, 755 − 0, 751 = 0, 004
Seguindo esse mesmo raciocínio, você deve ter preenchido a tabela (ii) da seguinte forma:
Diâmetro
(cm)
Probabilidade
experimental
Probabilidade
exata
Erro
4
0, 755 = 75,5%
0,751
0,004
6
0,685 = 68,5%
0,640
0,045
8
0,62 = 62%
0,540
0,082
lado. Logo, se L = 30, a expressão exata da probabilidade
10
0,5 = 50%
0,450
0,050
é diferente da que foi encontrada no item (a), pois:
12
0,38 = 38%
0,360
0,020
14
0,32 = 32%
0,284
0,036
Ｂ O raciocínio desta resposta é bem parecido com o
anterior. O que muda em relação ao item (a) é que o
piso da escola é formado por quadrados de 30 cm de
p( d ) =
1
2
1 2 1
d2 −
d +1 =
d − d +1
2
(30)
(30)
900
15
Agora que já aprendemos a calcular a probabilidade de um lançamento favorável p( d )
a partir do diâmetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questão trazida
pelo professor de Matemática aos formandos da escola lá do Ciclo 1.
Você lembra que, na situação-problema de uso do jogo dos discos como forma de arrecadar fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o diâmetro do disco
em função de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um
certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores.
Ao retomar esta questão estaremos avançando em nossos estudos. Vamos utilizar todo
o conhecimento desenvolvido até agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem teórica
a esta situação-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Probabilidade Geométrica e sobre a fórmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade
exata de lançamentos no jogo dos discos...
... e vamos relacionar este conhecimento à situação-problema levantada pelo professor
de Matemática.
50 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Parece muita coisa de uma vez? Então, vamos devagar...
Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o diâmetro d a partir de uma
dada probabilidade p. Note que a situação-problema levantada pelo professor da turma
de formandos inverte o que vínhamos fazendo, pois até agora sempre calculamos p a
partir de d.
Para resolvermos uma situação-problema como esta, temos que olhar a expressão
obtida para p( d ):
p( d ) =
1 2 2
d − d +1
L2
L
Harrison Keely / SXC
Isolando d nessa expressão, podemos encontrar o diâmetro do disco a partir de uma
dada probabilidade p. Esta conta fica mais fácil se partimos da definição de probabilidade
geométrica dada pelo quociente de áreas:
p=
( L − d )2
L2
ETAPA ６
Para resolução do problema
Manipulando esta equação temos p L2 = ( L − d )2. Extraindo a raiz quadrada em ambos
os lados, vamos encontrar L p = L − d. Finalmente, isolando o diâmetro d obtemos:
(
d = L ⋅ 1− p
)
Esta é a fórmula do diâmetro do disco em função da probabilidade requerida, tendo
como parâmetro o lado L do quadriculado.
Por exemplo, fixado L = 3, se quisermos uma probabilidade de 50%, isto é, p = 0,5, o
diâmetro precisa ser:
(
)
d = 3 1 − 0,5 ≈ 0,88
Note que esse valor teórico e exato é muito próximo do valor experimental d ≈ 0,9
obtido para esta mesma situação, no Ciclo 1.
Usando este procedimento, você pode descobrir a medida ideal do diâmetro do disco
para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%,
80%... Enfim, é você quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a
situação-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade
deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje
os jogadores a participar do jogo dos discos!
Com as informações e expressões encontradas até aqui, os formandos já poderiam
decidir o valor do diâmetro dos discos que utilizarão no jogo do pátio da escola.
5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 51
Um estudante esperto...
Pam Roth / SXC
Atividade 5
Resposta comentada
Imagine que, em uma aula de Matemática, na qual o
professor já vinha usando o jogo dos discos para explicar
o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual
seria o diâmetro do disco correspondente a uma probabilidade de 40% para um lançamento favorável, em um piso com
quadrados de 30 centímetros de lado.
Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estudante respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse diâmetro está entre 10 cm e 12 cm. Se você fosse esse professor,
como verificaria se essa resposta está correta?
Considere, em sua resposta, que na aula passada os
alunos construíram e copiaram em seu caderno a tabela a
Provavelmente, o estudante que respondeu de bate-
seguir, após jogarem discos de diferentes diâmetros no piso
-pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno,
da sala.
a tabela feita na aula passada. E viu que o diâmetro estaria
entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectiva-
Diâmetro (cm)
Probabilidade experimental
4
0, 755 = 75,5%
6
0,685 = 68,5%
8
0,62 = 62%
10
0,5 = 50%
12
0,38 = 38%
14
0,32 = 32%
mente às probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, não?
Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula
têm lados iguais a 30 cm, então o diâmetro d que resulta em
uma probabilidade de 40% é determinado por:
(
)
d = L 1 − p . Substituindo os valores da probabilidade e do
(
)
lado, temos: d = 30 1 − 0, 4 ≈ 11, 03. Esta é uma outra forma de verificar que a resposta que o estudante deu está
correta.
Com o auxílio do conceito de Probabilidade Geométrica, podemos abordar outras
situações em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos quadrados do quadriculado.
Veremos isso na próxima seção.
6. Nem tudo são parábolas
Imagine a seguinte situação:
Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns
de 12 cm de diâmetro. Decidiram, depois de muita discussão, que o jogo deve ter uma
52 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
probabilidade de 40% para um lançamento favorável ao jogador. Depois disso, alguns
estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo.
Qual será a medida do lado dos
quadrados desse quadriculado para
resultar em uma probabilidade de
ganho de 40% favorável ao jogador?
Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado?
Para responder isso, precisamos calcular a função que fornece a probabilidade de uma
jogada favorável tendo como variável o lado do quadrado do quadriculado.
A função que estamos procurando é obtida substituindo o valor d = 12 dos diâmetros
dos CDs na definição de probabilidade geométrica dada pelo quociente de áreas:
p=
( L − d )2
L2
Com isso, temos:
p( L ) =
( L − 12)2 L2 − 24 L + 144
1
1
=
= 1 − 24 ⋅ + 144 ⋅ 2
2
2
L
L
L
L
Note que essa função é bem definida para qualquer L ≠ 0. Porém, não interessa o caso
em que o lado dos quadrados do quadriculado é menor do que o diâmetro dos CDs, certo?
Logo, não faz sentido para o problema valores L ≤ 12.
Diferentemente de p( d ), a expressão p( L) não é polinomial, e sim o quociente de duas
funções quadráticas. Você observou que, quanto maior for L, mais próximo de 1 estará
p? O gráfico a seguir, da função p( L), nos mostra esse fato. Note que esse gráfico não é
parte de uma parábola.
6. Nem tudo são parábolas 53
p
1
L
0
0
10 20
30
40
50 60
70
80
90
100 110 120 130 140
Figura 7: Gráfico da probabilidade de uma jogada favorável em função do lado dos quadrados do quadriculado.
Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade
de 40% favorável ao jogador, basta resolver a equação
p ( L ) = 0, 4 =
2 , ou seja, 2
1
1.
= 1 − 24 ⋅ + 144 ⋅ 2
5
5
L
L
Multiplicando esta equação por 5L2 e cancelando os denominadores, obtemos a se-
guinte equação de segundo grau: 2 L = 5 L − 120 L + 720.
2
2
Ou, equivalentemente,
L2 − 40 L + 240 = 0
Esta equação apresenta as seguintes soluções:
L = 20 − 4 10 ≈ 7,35 e L = 20 + 4 10 ≈ 32,65
Descartamos a primeira solução por ela ser menor do que 12.
Afonso Lima / SXC
Assim, a partir desses cálculos, os alunos descobrem que poderiam utilizar um quadriculado com quadrados de 32,6 cm de lado.
7. Lucrando com o jogo dos discos
Vamos retomar a situação do jogo dos discos apresentada no Ciclo 1, onde os estudantes de uma turma decidiram montar uma barraquinha na festa da escola. O objetivo dessa
barraquinha era arrecadar fundos para a formatura da turma, a partir do jogo dos discos.
Já trabalhamos neste Ciclo com esta situação-problema para calcularmos o diâmetro do
disco a partir de uma determinada probabilidade. Agora vamos trabalhar com esta mesma
54 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
situação-problema, refletindo sobre o lucro dos estudantes.
Vamos imaginar que, no dia da festa na escola, na barraquinha dos formandos o jogador pagaria R$ 1,00 para cada lançamento de disco, com 40% de chance de realizar uma
jogada favorável. Se sua jogada não fosse favorável, os formandos lucrariam R$ 1,00. Caso
Nesse caso, qual será o provável lucro da classe de formandos se 500
discos forem vendidos na festa?
Adam Ciesielski / SXC
contrário, os formandos pagariam ao jogador R$ 2,00 de prêmio.
Se a classe conseguisse vender 500 discos a R$ 1,00 cada, ela arrecadaria, a princípio,
R$ 500,00. Dessas 500 jogadas, é provável que 40% delas sejam favoráveis ao jogador, ou
40
seja,
⋅ 500 = 200 jogadas. Com isso a classe vai ter que pagar R$ 400,00 de volta, já que,
100
quando o jogador ganha, ele recebe R$ 2,00. Assim, a turma de formandos ficaria com R$
100,00 de lucro.
Não podemos esquecer que o objetivo dos estudantes é arrecadar fundos para a festa
de formatura. Será que pagar R$ 2,00 de prêmio pelo lançamento favorável é um bom
negócio?
Atividade 6
Contabilizando...
ção que o objetivo dos formandos é arrecadar fundos para
a festa de formatura.
Os estudantes resolveram encontrar uma função para
determinar qual seria o melhor prêmio a ser pago aos joga-
Resposta comentada
dores, considerando a probabilidade de 40% de acerto e a
venda de 500 discos por R$ 1,00. Para isso eles resolveram
calcular alguns valores e montaram a seguinte tabela:
A classe conseguiu arrecadar, a princípio, R$ 500,00 com
a venda dos discos. Sabendo que os jogadores têm 40% de
chance de vencer em cada jogada, o total de chances de
Prêmio
Arrecadação
R$ 3,00
R$ 500,00
R$ 2,50
R$ 500,00
R$ 2,00
R$ 500,00
R$ 1,50
R$ 500,00
Devolução
provável
Lucro provável
vencer em 500 jogadas é igual a 40% de 500, ou seja,
40
× 500 = 200
100
R$ 400,00
R$ 100,00
Assumindo que o valor do prêmio seja x, então a devolução provável será 200 x. Esta é a expressão que deve ser usada para completar a coluna “Devolução provável” da tabela.
Complete a tabela e encontre uma fórmula para o lucro
O lucro dos formandos será a diferença entre o valor
provável em função do prêmio pago, levando em considera-
arrecadado com a venda dos discos e a devolução feita.
7. Lucrando com o jogo dos discos 55
Sendo assim, o lucro provável será dado por 500 − 200 x. Esta
A tabela indica que um prêmio maior do que R$ 2,50 não
é a expressão que deve ser usada para completar a coluna
é lucrativo. A fórmula 500 − 200 x pode ser utilizada para cal-
“Lucro provável” da tabela.
cular o lucro provável para outros valores de prêmio que não
constam na tabela, por exemplo R$ 1,25. A decisão do valor
Prêmio
Arrecadação
Devolução
provável
Lucro
provável
R$ 3,00
R$ 500,00
R$ 600,00
- R$ 100,00
(prejuízo)
R$ 2,50
R$ 500,00
R$ 500,00
R$ 0,00
R$ 2,00
R$ 500,00
R$ 400,00
R$ 100,00
R$ 1,50
R$ 500,00
R$ 300,00
R$ 200,00
do prêmio deve considerar, além do lucro, o interesse do
jogador, não podendo ser menor do que ou igual a R$ 1,00.
Maria Matos / SXC
Professor, e se o piso da escola utilizado pelos formandos tiver um rejunte com uma
espessura significativa? Ou se os ladrilhos estiverem deslocados? Como lidar com estas
situações?
Rejunte é um material de construção específico para
preenchimento das
juntas resultantes
da colocação, na parede ou no piso, das
peças de cerâmica,
conhecidas como
azulejos. O rejunte tem a função de
impermeabilizar as
laterais destas peças e permitir sua
dilatação.
8. Abordando outras situações
específicas no jogo dos discos
Até o momento, ao longo de nossos cálculos, desprezamos a espessura das linhas do
quadriculado ou do rejunte dos ladrilhos, supondo que essa espessura era muito fina.
Porém, podemos considerar outras situações...
Vamos considerar, por exemplo, o jogo dos discos em um ladrilhamento em que os
ladrilhos são quadrados de 30 cm e estejam separados por 2 cm de rejunte.
A espessura do rejunte constitui uma área de eventos possíveis, mas não favoráveis
ao jogador.
Nesta situação, dados dois quadrados lado a lado, repartimos a espessura do rejunte
meio a meio para cada quadrado. Então, os quadrados em que os eventos são possíveis
têm agora lado de 32 cm (1 cm adicional nas duas pontas de cada lado). Mas o quadrado
em que os eventos são favoráveis continua o mesmo que antes, isto é, tem lado 30 − d.
Assim, a função probabilidade tem agora a forma:
p( d ) =
(30 − d )2
322
Neste caso, a relação entre os eventos favoráveis sobre os eventos possíveis diminui.
Assim, a probabilidade de acerto também diminui em comparação com o caso em que a espessura entre os quadrados do quadriculado é desprezível! Na fórmula podemos verificar
isso pelo aumento do denominador, que causará uma diminuição no resultado da fração.
56 Módulo I – Jogo dos discos
▷
Ciclo II
Figura 8: Ladrilhamento cinza com rejunte significativo. Os quadrados com lados pontilhados demarcam
a área de eventos possíveis, e os quadrados com lados tracejados demarcam a área de eventos favoráveis
Observe, professor, que se você fizer lançamentos de discos em um
ladrilhamento desse tipo, é importante que os ladrilhos e o rejunte
Adam Ciesielski / SXC
estejam no mesmo plano. O rejunte não pode constituir um obstáculo
ao movimento dos discos.
Outra questão que agora podemos retomar com mais profundidade diz respeito ao
quadriculado em que os quadrados estão deslocados. Esse tipo de piso é bastante comum em pátios, calçadas e praças. Pode ser que este seja o caso do piso da escola dos
formandos...
Pensemos o seguinte: ao lançarmos um disco aleatoriamente, seu centro “escolhe”
um quadrado onde vai parar, e essa escolha independe se os quadrados estão deslocados
ou não. Logo a abordagem teórica realizada para o caso em que os quadrados não estão
deslocados também se aplica neste caso.
A possibilidade de pensarmos sobre diferentes tipos de ladrilhamentos pode ser
explorada no Ensino Médio, para que os alunos possam ter uma aprendizagem mais
significativa a partir de uma situação contextualizada de ensino. Refletir sobre diferentes
possibilidades ajuda a reforçar e entender o conceito de Probabilidade Geométrica e suas
várias aplicações.
8. Abordando outras situações específicas no jogo dos discos
57
Em nossas atividades consideramos o jogo dos discos somente em quadriculados com
quadrados de medidas variadas, jogando discos de diferentes diâmetros.
Mas não é só isso!!!
Se você quiser desenvolver ainda mais o conceito de Probabilidade Geométrica com
seus alunos, pode realizar atividades adicionais com o jogo dos discos em ladrilhamentos
que tenham formas geométricas variadas. Sua abordagem pode ser teórica ou experimental.
Veja a seguir alguns exemplos:
É claro que, com esses ladrilhamentos, as áreas envolvidas no cálculo da probabilidade
geométrica são diferentes das áreas de quadrados, gerando expressões mais complicadas
para p( d ). Mas esta já é uma outra história...
58 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Conclusão
Como você deve ter percebido, o desafio do jogo dos discos é uma atividade capaz de
estimular o estudante a realizar um trabalho investigativo muito interessante! Tal desafio
se diferencia de exercícios repetitivos e monótonos na medida em que valoriza a criatividade e a estratégia para a resolução do problema. Por isso acreditamos que pode enriquecer
seu trabalho, fazendo diferença em sua sala de aula.
Vimos que o método teórico fornece valores exatos e, talvez por isso, muitos professores de Matemática preferem trabalhar com uma abordagem teórica em suas aulas.
Porém, a abordagem experimental é muito significativa para os estudantes, pois permite
que eles coloquem a “mão na massa” e se sintam fazendo parte do processo de ensino-aprendizagem. Acreditamos que a abordagem teórica deve e precisa ser valorizada. Mas
também acreditamos que abordagens experimentais são importantes e devem ser trazidas
cada vez mais para as salas de aula das escolas.
Esperamos que após o estudo do jogo dos discos você se sinta estimulado a realizar
tanto a abordagem experimental quanto o aprofundamento teórico em suas aulas.
Resumo
Neste Ciclo desenvolvemos um tratamento algébrico para o problema do jogo dos
discos. Isto nos ajudou a:
▹▹ Descobrir que um disco de diâmetro d está inteiramente contido dentro do quadrado
de lado L se d < L e se o centro do disco estiver dentro do quadrado de lado L − d,
posicionado dentro do quadrado maior (quadrado de lado L);
▹▹ Conhecer o conceito de probabilidade geométrica: se existe uma região X do plano
contida em uma região Y , e se for escolhido ao acaso um ponto de Y , então a probabilidade de que esse ponto pertença a X é
p=
área de X ,
área de Y
▹▹ Desenvolver o conceito de probabilidade geométrica e obter uma expressão algébrica exata para a função quadrática de probabilidade do jogo dos discos em
quadriculados:
p( d ) =
área do quadrado de lado L − d ( L − d )2 1 2 2
=
= 2 d − d + 1;
área do quadrado de lado L
L2
L
L
▹▹ Comparar os valores exatos obtidos por meio desta função quadrática com os valores
aproximados obtidos experimentalmente no Ciclo anterior:
E = p( d )experimental − p( d )exato
▹▹ Responder com exatidão ao problema inverso, no qual o diâmetro do disco é calculado a partir de uma probabilidade desejada e do comprimento do lado dos quadra-
(
)
dos do quadriculado: d = L 1 − p ;
Resumo 59
▹▹ Entender como considerar a área do rejunte no cálculo da probabilidade envolvendo um ladrilhamento com rejunte significativo. Nesta situação, a área dos eventos
possíveis deve incluir a área do rejunte;
▹▹ Entender que a probabilidade de lançamentos favoráveis em pisos quadriculados
independe de os quadrados estarem ou não deslocados.
Orientações sobre avaliação
Lembramos que estão à sua disposição, nos recursos do Ambiente Virtual do Matem@
tica na Pr@tica, atividades por meio das quais você poderá desenvolver e complementar
seus estudos. Sua participação ali é imprescindível, pois nesse recurso interativo está inserido todo o registro de sua avaliação.
Com o propósito de orientar e fazer uma síntese, listamos os itens de conteúdo e habilidades que fazem parte dessa avaliação.
Após ter realizado o jogo dos discos, você deverá ser capaz de:
▹▹ Reconhecer qual problema matemático está presente no jogo e de que forma as
técnicas matemáticas ajudam a estudá-lo;
▹▹ Construir o material didático necessário para investigar o problema proposto;
▹▹ Identificar a função matemática que aparece no jogo dos discos, reconhecer como
foi construído seu gráfico e por que este ajuda a entender o jogo e fazer previsões;
▹▹ Aplicar o conceito de probabilidade geométrica na resolução do problema do jogo
dos discos;
▹▹ Identificar as técnicas algébricas utilizadas para obter a equação que fornece a probabilidade no jogo dos discos;
▹▹ Determinar por que interessa resolver o problema inverso no jogo dos discos;
▹▹ Comparar os resultados experimentais com os teóricos no jogo dos discos e reconhecer os motivos das diferenças eventualmente encontradas;
▹▹ Adaptar as atividades propostas para sua realidade escolar e propor estratégias
criativas para essa transposição.
Lembramos que a avaliação não se destina apenas a aferir conhecimentos e participação. Ela é importante para apontar novos caminhos e para a correção de rumos, tanto para
os próprios participantes como para as equipes aplicadoras e proponentes desse curso.
Encerramento
Chegamos ao final dos ciclos 1 e 2 do experimento “jogo dos discos”. Esperamos que
você tenha aproveitado todo o conhecimento desenvolvido para refletir sobre o ensino de
Matemática, bem como sobre seu trabalho cotidiano na sala de aula.
60 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Ao longo deste estudo, abordamos importantes conceitos da Matemática com o objetivo de mostrar que podemos contextualizar e repensar seu ensino na escola. Desejamos
que ele tenha sido apenas o início das suas reflexões e experimentações pedagógicas e
que você possa continuar o seu trabalho como professor criando e incorporando novas
propostas.
O “jogo dos discos” continua no Ciclo 3, em conjunto com os outros dois experimentos,
o modelo de despoluição e o desafio geométrico. Você está convidado a aplicar em sala
de aula um dos três experimentos. Para auxiliá-lo, disponibilizamos sugestões de aulas no
Portal do Professor do MEC. A apresentação do Portal do Professor será feita no Ciclo 3
e pode contribuir no seu trabalho de docência. Neste espaço do Portal do Professor, você
poderá buscar recursos e debater com outros professores, trocando e pensando constantemente sobre o ensino de Matemática e sobre a educação no Brasil.
Mas nossos trabalhos não param por aqui! Continuaremos caminhando juntos e refletindo sobre a melhoria do ensino de Matemática em nossas escolas.
Referências
Anézio Nucci Júnior; Djalma Simplício da Silva; Eliane Saliba Botta; Gracia Aparecida de Almeida
Sicheroli; Ione Aparecida Storti Rodrigues; Marco Antonio de Brito; Rosana de Fátima Prado; Vera
Lucia Camargo Nascimento, O Jogo dos Discos. Monografias apresentadas no Projeto Pró-Ciências –
Programa CAPES/FAPESP/ SEMTEC/SEE. São Carlos, SP: UFSCar, 2001.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999.
BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. V. 2. Brasília: Ministério da Educação, 2008.
BRASIL. Matriz de Referência para o Enem 2009. Disponível em: <http://www.mec.gov.br>.
COURANT, R.; ROBBINS, H., O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
HARUTA, M. E.; FLAHERTY; M., MCGIVNEY, J.; MCGIVNEY R. J. Coin Tossing. The Mathematics Teacher.
V. 89, no 8, nov. 1996, p. 642-645.
LIMA, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. V. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1996.
MORGADO, A. C. O. et alii. Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.
Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
PATERLINI, R. R., O problema do jogo dos discos. Revista do Professor de Matemática, no 48. São Paulo:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1o quadrimestre de 2002. P. 13-19.
Referências 61
_____. Aula sobre o problema do jogo dos discos. Disponível em: <http://www.dm.ufscar.br/hp/hp205/
hp2053/hp2053001/hp2053001.html>.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R., Cálculo numérico – Aspectos teóricos e computacionais. Rio de
Janeiro: Makron Books, 1988.
TUNALA, N., Determinação de Probabilidades por métodos geométricos. Revista do Professor de
Matemática, no 20. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1o quadrimestre de 1992. P. 16-22.
WAGNER, E. Probabilidade Geométrica. Revista do Professor de Matemática, no 34. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 2o quadrimestre de 1997. P. 28-35.
62 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II
Formação Continuada
de Professores
especialização UAB - PAR