Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Probabilidades e Estatística
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Lista de exercícios propostos n.o 02: Teoria das
probabilidades
Exercício 1.
No departamento de controlo de qualidade de uma empresa existem vários
microscópios, dos quais, A, B e C têm as seguintes taxas de utilização diária:
A - 25%, B - 30%, C - 40%, A e B - 15%, A e C - 18%, B e C - 12%, A,
B e C - 10%. Calcule a probabilidade de num determinado dia:
(a) serem utilizados os microscópios B e C, mas não o microscópio A.
(b) serem utilizados todos os microscópios.
(d) ser utilizado pelo menos um dos microscópios.
(e) serem utilizados dois dos microscópios.
(b) pelo menos uma delas se curar.
(c) duas delas se curarem.
(a) Qual a probabilidade de um teste, realizado a um indivíduo escolhido
ao acaso, dar resultado positivo?
(f ) não ser utilizado nenhum destes microscópios.
(g) ser utilizado o microscópio A, sabendo que o microscópio C foi utilizado
nesse dia.
Exercício 2.
Um determinado colégio tem 250 alunos. Sabe-se que no final do ano lectivo
105 reprovaram a Matemática, 155 não reprovaram a Química e que 75 reprovaram a Matemática e Química. Um aluno é seleccionado aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de ele ter reprovado a Matemática dado que ele
reprovou a Química?
(b) Se ele reprovou a Matemática, qual é a probabilidade de ter reprovado
a Química?
(c) Qual é a probabilidade de ele ter reprovado em pelo menos uma das
disciplinas?
(d) Qual é a probabilidade de ele ter reprovado a Química mas não ter
reprovado a Matemática?
(e) Qual é a probabilidade de ele não ter reprovado a Matemática nem a
Química?
(f ) Sabe-se que ele não reprovou a Química. Qual é a probabilidade de ele
ter reprovado a Matemática?
C. Fernandes & P. Ramos
(a) nenhuma se curar.
Exercício 4.
A probabilidade de um indivíduo de uma determinada cidade ser diabético é
0, 02. O teste utilizado para detectar a doença dá resultado positivo em 90%
dos diabéticos e em 5% dos não diabéticos.
(c) ser utilizado só o microscópio B.
02 - Teoria das probabilidades
Exercício 3.
Sabendo que três pessoas sofrem da mesma doença e que têm probabilidades
de se curarem, respectivamente iguais a, 0, 25, 0, 15 e 0, 10, determine a
probabilidade de:
(b) Sabendo que um teste dá resultado negativo, qual a probabilidade do
indivíduo ser diabético?
(c) Qual é a probabilidade de um teste, realizado a um indivíduo escolhido
ao acaso, dar resultado negativo e o indivíduo não ser diabético?
Exercício 5.
Uma fábrica utiliza três máquinas para a produção de um mesmo produto. A
máquina M1 produz 40% da produção total. A percentagem de peças defeituosas produzidas por cada máquina são, 4%, 2% e 1%, para as máquinas M1 ,
M2 e M3 , respectivamente. Sabe-se que 97, 45% do total de peças produzidas
são não defeituosas.
(a) Escolhida uma peça ao acaso da produção total, qual a probabilidade de
ter sido produzida pela máquina M2 ?
(b) Qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso da produção total
ter sido produzida pela máquina M1 , observando-se que é defeituosa?
(c) Qual a probabilidade de em 10 peças escolhidas ao acaso da produção
total, encontrar pelo menos 8 peças não defeituosas?
(d) Os acontecimentos “peça ter sido produzida pela máquina M3 ” e “peça
não ser defeituosa” são independentes? Justifique.
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Exercício 6.
O clube náutico de uma cidade oferece aos seus sócios a possibilidade de praticarem as seguintes modalidades: vela, canoagem e windsurf. De acordo com
os dados disponíveis, 30% dos sócios praticam vela, 10% e 20% praticam, respectivamente, canoagem e windsurf. Por outro lado, 5% dos sócios praticam
vela e windsurf. É seleccionado um sócio ao acaso.
Exercício 9.
Considere os acontecimentos A, B e C. Os acontecimentos A e B têm
probabilidade de ocorrência p, enquanto o acontecimento C tem probabilidade
de ocorrência 2p .
(a) Sabendo que esse sócio pratica vela, qual a probabilidade de ele praticar
windsurf ?
(b) Qual a probabilidade de esse sócio não praticar nem windsurf nem vela?
(c) Os acontecimentos “um sócio, seleccionado ao acaso, praticar vela” e
“um sócio, seleccionado ao acaso, praticar windsurf ” são acontecimentos independentes? Justifique.
Exercício 7.
Sejam A, B e C, três acontecimentos de um mesmo espaço de probabilidade,
independentes, tais que
1
P rAs “ ;
5
2
P rBs “ ;
5
(a) Suponha que A e B são independentes. Escreva P rA Y B Y Cs em
função de p, admitindo que:
pa1 q C é disjunto de B e independente de A;
pa2 q A, B e C são mutuamente independentes.
(b) Suponha agora que os acontecimentos A, B e C são mutuamente exclusivos. Sabendo que P rA Y B Y Cs “ 0, 9, calcule o valor de p.
Exercício 10.
Considere os acontecimentos A, B e C“ tais que: P‰ rAs “ 0, 45, P rCs “ 0, 5,
P rA Y Cs “ 0, 8, P rA X Bs “ 0, 2, P A X B X C “ 0, 25, P rA X B X Cs “
“
‰
“ 0, 05 e P A X B X C “ 0, 02. Determine a probabilidade de:
(a) ocorrer B e C e não ocorrer A.
3
P rCs “ .
5
(b) ocorrer B e C.
(a) Qual é a probabilidade de não ocorrer nenhum destes acontecimentos?
(c) só ocorrer A.
(b) Qual é a probabilidade de ocorrer C sabendo que não ocorreu A nem
B?
(d) ocorrer A e B e não ocorrer C.
Exercício 8.
Numa faculdade os anfiteatros A e B têm como saída comum o átrio C. Sabese que o anfiteatro B comporta 3 vezes mais alunos do que o anfiteatro A e
que as percentagens de alunos do sexo feminino nos anfiteatros A e B são,
respectivamente, 70% e 60%. Após a saída dos alunos dos dois anfiteatros
para o átrio C, escolheu-se aleatoriamente um estudante.
(a) Calcule a probabilidade de ter sido escolhida uma aluna.
(b) Tendo-se constatado que o estudante escolhido era do sexo masculino,
qual a probabilidade de ter saído do anfiteatro A?
(e) só ocorrer B.
(f ) ocorrerem só dois acontecimentos.
Exercício 11.
Num laboratório existem três balanças analíticas A, B e C. A taxa de utilização da balança A é de 50%, enquanto que a da balança C é de 20%. As
probabilidades destas fornecerem um resultado errado são de 0, 0002, 0, 0005
e 0, 0007, respectivamente.
(a) Qual a probabilidade de uma determinada pesagem não ter dado um
resultado errado?
(b) Sabendo que um dado resultado está errado, qual é a probabilidade da
pesagem ter sido efectuada na balança A?
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Exercício 12.
Os trabalhadores da Companhia MLO, Lda. foram classificados em três níveis
de acordo com o grau de instrução: formação mínima, formação média e
formação superior. Sabe-se que:
Exercício 14.
A classificação das soluções aquosas, existentes num laboratório, de acordo
com o seu pH e o respectivo comprimento de onda de absorção conduziu aos
seguintes resultados:
• desses trabalhadores 55% tem salário superior a 500e;
• 40% dos trabalhadores com formação média têm salário superior a
500e;
• 70% dos trabalhadores com formação superior têm salário superior a
500e;
• nenhum dos trabalhadores com formação mínima tem salário superior
a 500e;
• a percentagem de trabalhadores com formação mínima é de 10%.
(a) Calcule a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso ter formação média.
(b) Calcule a probabilidade de ter formação superior, sabendo que ganha
mais de 500e.
Exercício 13.
Do conjunto das empresas que actuam num dado sector industrial, 30% possuem departamento de investigação, 65% realizam lucros e 25% possuem departamento de investigação e realizam lucros. Pretende-se calcular a probabilidade de uma empresa, escolhida ao acaso, estar nas seguintes condições:
(a) possuir departamento de investigação ou realizar lucros.
(b) não realizar lucros.
• 40% das soluções são ácidas, 20% são alcalinas e as restantes são neutras;
• 25% das soluções ácidas absorvem na zona de comprimentos de onda
vermelho;
• 35% das soluções são neutras e não absorvem na zona de comprimentos
de onda do vermelho;
• a probabilidade de uma solução alcalina absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho é 0, 15.
(a) Seleccionando, ao acaso, uma solução das existentes no laboratório,
determine a probabilidade da solução não absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho.
(b) Seleccionando, ao acaso, uma solução das existentes no laboratório,
determine a probabilidade da solução ser ácida e absorver na zona de
comprimentos de onda do vermelho.
(c) Foi seleccionanda, ao acaso, uma solução das existentes no laboratório
e verificou-se que não absorve na zona de comprimentos de onda do
vermelho. Qual é a probabilidade da solução ser neutra?
(d) Qual é a probabilidade de uma solução, seleccionada ao acaso, ser alcalina ou não absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho?
(e) Seleccionando, ao acaso, uma solução das existentes no laboratório,
determine a probabilidade da solução ser alcalina dado que absorve na
zona de comprimentos de onda do vermelho.
(c) não possuir departamento de investigação nem realizar lucros.
(d) não possuir departamento de investigação e realizar lucros.
(f ) Foram escolhidas aleatoriamente 6 soluções das existentes no laboratório. Qual é a probabilidade de no máximo 2 delas absorverem na zona
de comprimentos de onda do vermelho?
(e) possuir departamento de investigação sabendo que realiza lucros.
(g) Os acontecimentos “solução ser neutra” e “solução absorve na zona de
comprimentos de onda do vermelho” são independentes? Justifique.
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“
‰
(d) P Q X M “ P rQs ´ P rQ X Ms “ 0, 08 .
“
‰
“
‰
(e) P M X Q “ P M Y Q “ 1 ´ P rM Y Qs “ 0, 5.
Soluções:
Exercício 1.
(a) Considerando os acontecimentos:
‰ P rM XQs
“
(f ) P M | Q “ P Q “
r s
‚ A - “ser utilizado o microscópio A”;
(b) P rA X B X Cs “ 0, 1.
‰
“
‰
“
(c) Como P rA X Bs “ P A X
“ B X C `P‰ rA X
“ B X Cs ô‰P A“ X B X C “
‰
“ 0, 05 tem-se P rBs ““P A X B X‰ C `P A X B X C `P A X B X C `
`P rA X B X Cs ô P A X B X C “ 0, 13.
(d) P rA Y B Y Cs “ P rAs ` P rBs ` P rCs ´ P rA X Bs ´ P rA X Cs `
´P rB X Cs ` P rA X B X Cs ô P rA Y B Y Cs “ 0, 6.
‰
“
‰
“
(e) Como P rA X Cs ““ P A X B X
‰ C `P
“ rA X B X ‰Cs ô “P A X B X‰C “
“ 0, 08 tem-se P A X B X C ` P A X B X C ` P A X B X C “
“ 0, 15.
“
‰
“
‰
“
‰
(f ) Como P rCs “ P A X B X C ` P A X B X C ` P A X B X C `
“
‰
“
‰
`P rA X B X Cs“ ô P A X‰ B X“C “ 0, 2 tem-se
‰
“ P A X B ‰X C “
“ 1´P rAs´P A X B X C ´P A X B X C ´P A X B X C “ 0, 4.
(g) P rA | Cs “
Exercício 2.
e assumindo que os acontecimentos
C‰1 , C2 “e C‰3 são “mutuamente
‰
“ ‰in“
dependentes tem-se, P C 1 X C 2 X C 3 “ P C 1 ˆ P C 2 ˆ P C 3 “
“ 0, 57375.
‰
“
‰
“
(b) P rC1 Y C2 Y C3 s “ 1 ´ P C1 Y C2 Y C3 “ 1 ´ P C 1 X C 2 X C 3 “
“ 0, 42625.
‰
“
‰
“
“
‰
(b) P C1 X C2 X“ C 3‰ ` P C1 X C
“ 2 X‰ C3 ` P C 1“X C‰2 X C3 “ P rC1 s ˆ
ˆP rC2 sˆP C 3 `P rC1 sˆP C 2 ˆP rC3 s`P C 1 ˆP rC2 sˆP rC3 s “
“ 0, 06625.
Exercício 4.
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ D - “o indivíduo ser diabético”;
‚ T - “o teste dar resultado positivo”;
P rDXT s
P rT s
“
P rDsˆP rT |D s
1´P rT s
“
“ 0, 0021.
“
‰
“
‰
“ ‰
“
‰
(c) P T X D “ P D X T “ P D ˆ P T |D “ 0, 931.
‚ M - “ter reprovado a Matemática”;
P rQXM s
P rM s
‚ Ci - “a pessoa i cura-se”, com i “ 1, 2, 3;
“
‰
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se P D|T “
(a) Considerando os acontecimentos:
(b) P rQ | Ms “
(a) Considerando os acontecimentos:
tem-se,
“ pelo‰ teorema da probabilidade total que, P rT s “ P rD X T s `
`P D X T “ 0, 067.
“ 0, 45.
‚ Q - “ter reprovado a Química”;
“ ‰
e como P rQs “ 1 ´ P Q “ 0, 38 tem-se P rM | Qs “
“ 0, 7895.
“ 0, 1935.
Exercício 3.
‚ B - “ser utilizado o microscópio B”;
‚ C - “ser utilizado o microscópio C”;
“
‰
“
‰
tem-se P rB X Cs “ P A X B X C `P rA X B X Cs ô P A X B X C “
“ 0, 02.
P rAXCs
P rCs
P rM s´P rM XQs
P rQs
P rM XQs
P rQs
“
“ 0, 7143.
(c) P rM Y Qs “ P rMs ` P rQs ´ P rM X Qs “ 0, 5.
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Exercício 5.
Exercício 7.
“
‰
“ ‰
“ ‰
“ ‰
“ ‰
“ ‰
“ ‰
(a) P A X B X C “ P A ˆ P B ˆ P C “ P A ˆ P B ˆ P C “
24
“ p1 ´ P rAsq ˆ p1 ´ P rBsq ˆ p1 ´ P rCsq “ 125 .
‰
“
(b) P C | A X B “ P rCs “ 35 .
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ Mi - “peça ser produzida pela máquina i”, com i “ 1, 2, 3;
‚ D - “peça ser defeituosa”;
tem-se P rM1 s ` P rM2 s ` P rM3 s “ 1 ô
“ P‰ rM2 s ` P rM3 s “
“ 0, 6 e pelo
‰
teorema da probabilidade total tem-se P D “ 0, 9745 ô P M1 X D `
“
‰
“
‰
`P M2 X D ` P M3 X D ô 0, 98P rM2 s ` 0, 99P rM3 s “ 0, 5905.
Resolvendo um sistema com as equações anteriores tem-se P rM2 s “
“ 0, 35 e P rM3 s “ 0, 25.
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se P rM1 |Ds “
P rM1 XDs
P rDs
‚ E - “pelo menos 8 peças serem não defeituosas, em 10 peças”;
` “ ‰˘8
` “ ‰˘9
tem-se P rEs “ 10C8 P D
ˆ pP rDsq2 ` 10C9 P D
ˆ P rDs `
` “ ‰˘10
“ 0, 9983.
` P D
“
‰
“ ‰
(d) Dado que P M3 X D “ 0, 2475 ‰ 0, 243625 “ P rM3 s ˆ P D , podemos concluir que os acontecimentos M3 e D não são independentes.
‚ A - “estudante sair do anfiteatro A”;
‚ B - “estudante sair do anfiteatro B”;
e sabendo que P rBs “ 3P rAs e P rAs ` P rBs “ 1 tem-se P rAs “ 41 e
P rBs “ 43 . Assim, pelo teorema da probabilidade total tem-se P rF s “
“ P rAs ˆ P rF |As ` P rBs ˆ P rF |Bs “ 0, 625.
‰
“
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se, P A|F “
“ 0, 2.
P rAXF s
P rF s
“
P rAsˆP rF |As
1´P rF s
“
Exercício 9.
(a) pa1 q Sabendo que A e B são independentes, A e C são independentes e
que B e C são mutuamente exclusivos, tem-se P rA Y B Y Cs “
“ P rAs ` P rBs ` P rCs ´ P rA X Bs ´ P rA X Cs “ 25 p ´ 23 p2 .
Exercício 6.
(a) Considerando os acontecimentos:
pa2 q Sabendo que A, B e C são mutuamente independentes, tem-se
P rA Y B Y Cs “ P rAs`P rBs`P rCs´P rA X Bs´P rA X Cs`
´P rB X Cs ` P rA X B X Cs “ 25 p ´ 2p2 ` 12 p3 .
‚ A - “um sócio, seleccionado ao acaso, praticar vela”;
‚ B - “um sócio, seleccionado ao acaso, praticar canoagem”;
‚ C - “um sócio, seleccionado ao acaso, praticar windsurf ”;
(b) Sabendo que A, B e C são mutuamente exclusivos, tem-se
tem-se P rC|As “ P PrAXCs
“ 0, 1667.
rAs
“
‰
“
‰
(b) P A X C “ P A Y C “ 1 ´ P rA Y Cs “ 0, 55.
P rA Y B Y Cs “ 0, 9 ô P rAs ` P rBs ` P rCs “ 0, 9 ô p “ 0, 36.
Exercício 10.
(c) Dado que P rA X Cs “ 0, 05 ‰ 0, 06 “ P rAs ˆ P rCs, podemos concluir
que os acontecimentos não são independentes.
C. Fernandes & P. Ramos
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ F - “estudante ser do sexo feminino”;
“ 0, 6275.
(c) Considerando o acontecimento:
02 - Teoria das probabilidades
Exercício 8.
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(a) Como P rA Y Bs
“ “ P rAs `‰P rBs ´ P rA X Bs ô P
“ rA X Bs “‰0, 15 e
P rA X Bs “ P A X
“ B X C `P‰ rA X“B X Cs ô P‰ A X B X C “ 0, 1
tem-se P rCs “ P A X B X C ` P A X B X C ` P rA X B X Cs `
‰
“
‰
“
`P A X B X C ô P A X B X C “ 0, 1.
“
‰
(b) P rB X Cs “ P rA X B X Cs ` P A X B X C “ 0, 15.
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“
‰
“
‰
“
‰
(c) P rAs “ P A X B X C `P A X B X C `P rA X Bs ô P A X B X C “
“ 0, 15.
‰
“
‰
“
(d) P rA X Bs “ P A X B X C ` P rA X B X Cs ô P A X B X C “
“ 0, 15.
“
‰
“
‰
“
‰
(e) P rBs “ P A X B X C `P rA X Bs`P A X B X C ô P A X B X C “
“ 0, 18.
‰
“
‰
“
‰
“
(f ) P A X B X C ` P A X B X C ` P A X B X C “ 0, 35.
Exercício 11.
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ A - “a pesagem ser efectuada na balança A”;
‚ A - “a empresa possuir departamento de investigação”;
‚ B - “a empresa realizar lucros”
tem-se P rA Y Bs “ P rAs ` P rBs ´ P rA X Bs “ 0, 7.
“ ‰
(b) P B “ 1 ´ P rBs “ 0, 35.
“
‰
“
‰
(c) P A X B “ P A Y B “ 1 ´ P rA Y Bs “ 0, 3.
‰
“
(d) P A X B “ P rBs ´ P rA X Bs “ 0, 4.
P rAXBs
P rBs
“ 0, 3846.
Exercício 14.
‚ C - “a pesagem ser efectuada na balança C”;
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ D - “o resultado da pesagem estar errado”;
“ ‰
“
‰
tem-se,
total que, P D “ P A X D `
“ pelo‰ teorema
“ da probabilidade
‰
`P B X D ` P C X D “ 0, 99961.
P rAXDs
P rDs
“ 0, 25641.
(a) Considerando os acontecimentos:
(e) P rA|Bs “
‚ B - “a pesagem ser efectuada na balança B”;
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se P rA|Ds “
Exercício 13.
“
P rAsˆP rD|As
1´P rD s
“
Exercício 12.
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ A - “a solução aquosa é ácida”;
‚ B - “a solução aquosa é neutra”;
‚ C - “a solução aquosa é alcalina”;
‚ D - “a solução absorve na zona de comprimentos de onda do vermelho”.
“ ‰
“
‰
tem-se, pelo teorema da probabilidade total, P D “ P A X D `
“
‰
“
‰
`P B X D ` P C X D “ 0, 82.
‚ A - “o trabalhador ter formação mínima”;
(b) P rA X Ds “ P rAs ˆ P rD | As “ 0, 1.
‚ B - “o trabalhador ter formação média”;
“
‰ P rBXD s
(c) Pelo teorema de Bayes tem-se P B | D “ P D “ 0, 427.
r s
“
‰
“ ‰
“
‰
(d) P C Y D “ P rCs ` P D ´ P C X D “ 0, 85.
‚ C - “o trabalhador ter formação superior”;
‚ D - “o trabalhador receber um salário superior a 500e”;
tem-se P rAs ` P rBs ` P rCs “ 1 ô P rBs ` P rCs “ 0, 9 e pelo
teorema da probabilidade total tem-se P rDs “ P rA X Ds`P rB X Ds`
`P rC X Ds ô 0, 4P rBs ` 0, 7P rCs “ 0, 55. Resolvendo um sistema
com as equações anteriores tem-se P rBs “ 0, 2667 e P rCs “ 0, 6333.
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se P rC|Ds “
02 - Teoria das probabilidades
C. Fernandes & P. Ramos
P rCXDs
P rDs
“ 0, 806.
(e) Pelo teorema de Bayes tem-se P rC | Ds “
“ 0, 167.
P rCXDs
P rDs
“
P rCsˆP rD|Cs
1´P rD s
“
(f ) Considerando o acontecimento:
‚ E - “no máximo 2 soluções absorvem na zona de comprimentos de
onda do vermelho, em 6 soluções”;
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` “ ‰˘5 6
` “ ‰˘4
tem-se P rEs “ 6C1 pP rDsq1 ˆ P D
` C2 pP rDsq2 ˆ P D
`
` “ ‰˘6
“ 0, 924.
` P D
(g) Dado que P rB X Ds “ 0, 05 ‰ 0, 072 “ P rBs ˆ P rDs, podemos concluir que os acontecimentos não são independentes.
02 - Teoria das probabilidades
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