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As abelhas constróem colméias para reservar o mel e para o desenvolvimento e
reprodução da sua própria espécie. Cada alvéolo tem a forma de um prisma reto hexagonal
fechado numa das extremidades por uma cobertura de três losângos de forma que o volume é
máximo enquanto a área lateral total (incluindo a cobertura) é fixada. Com isso as abelhas
fazem o menor gasto de cera na construção das paredes peliculares que o constituem. Nesta
construção econômica cada parede serve para dois alvéolos contíguos, o que motiva a escolha
de prismas retos com seção transversal poligonal regular, como nas figuras abaixo:
É fácil ver que as formas prismáticas com seção transversal um polígono regular de n
360°
lados que podem ser usadas para cobrir o espaçõ determinadas pela condição de que
é
In
um número inteiro positivo, onde In é o ângulo interno de um polígono regular.
360°
360°
2n
2n − 4 + 4
4
que é um inteiro
=
=
=
=2+
In
(n − 2)
( n − 2)
 (n − 2 )180°  n − 2


n


positivo se e só se n – 2 é um divisor de 4, logo devemos ter n = 3, n = 4 ou n = 6 como
mostra a figura acima.
Podemos escrever
Por um cálculo volumétrico simples das três posibilidades acima observando o
mesmo volume, ou escolhendo a forma mais convexa, das três acima indicadas a escolha das
abelhas pela forma hexagonal é de fato a mais econômica (dentre um triângulo, um quadrado
e um hexágono regulares de mesmo perímetro o hexágono tem a maior área.)
Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior
economia de material , são fechados por três losangos iguais. O valor constante do melhor
ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas e
matemáticos.
φ
O problema que as abelhas resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com
os recursos da Matemática elementar.
Como mostra a figura acima, as abelhas fecham uma das bases do prisma com três
losangos congruentes cujo ângulo agudo do losango, φ, mede aproximadamente 70°32', o que
dá origem ao problema do ângulo de fechamento da cobertura rômbica, que é o seguinte:
De todas as coberturas rômbicas de um prisma reto hexagonal, a que faz volume
máximo para área lateral total fixada é formada por três losangos congruentes com
ângulo agudo φ ≅ 70°32'.
Para uma solução deste problema observe primeiro a comparação do prisma
hexagonal com a cobertura rômbica:
E
D A
C
B
B
E
____
BB ' = h
B
B'
r
r
φ
D
r
r
C
A
A figura também ajuda a obtermos as relações métricas necessárias para deduzir o
volume V e a área lateral total S em função do raio r da base hexagonal e do ângulo φ, com
vértice no ponto D, e os itens seguintes são facilmente comprovados:
____
1)
____
O trapézio ACDE é retângulo com bases CD e AE perpendiculares ao plano que
____
contém o triângulo equilátero ABC, de lado AB medindo r .
____
2)
____
EA = 2 DC
____ 2
____ 2
3)
4)
____ 2
EA
4
____ 2
____ 2


φ
BE ___ 2
EA  2 φ

2
2
sen
= BD sen
= r +
4
2 
4 
2


BD = DE = r +
2
___ 2
φ ___ 2 2
φ


BE = EA + r ⇒ (4r + EA ) sen
= EA + r ⇒ EA = r  3tg 2 − 1
2
2 

A área lateral total S do prisma é dada por:
____ 2
5)
6)
___ 2
2
2
___ 2
1/ 2
2
1/ 2
3 2 φ r2  2 φ


S = 6  r tg +
− 1 + rh 
 3tg
2 4 
2 
 4

BD ⋅ DE ⋅ senφ
Usamos aqui que a área de BDE é
=
2
___ 2
φ
φ
1
EA
3
3
)senφ = r 2 (1 + tg 2 )senφ = r 2 tg (pois senφ =
= (r 2 +
2
4
8
2
4
2
7)
φ
2 ).
φ
1 + tg 2
2
2tg
O volume V do prisma é dado por:
1/ 2
r  2 φ


3
tg
1
−
 
 + h
2 
 2 

Fixe V, e obtemos a seguinte expressão para S em função de φ.
V=
3 3 2
r
2
1/ 2
3 2 φ  2 φ
  4V
S = r 3tg −  3tg
− 1  +
2 
2 
2  
3r
Observando a expressão
acima,
vemos
que
ela
torna-se
mínima
se
1/ 2
 φ  2φ

φ
3

− 1  for mínimo para valores de φ com a condição tg ≥
. A
3tg −  3tg
2 
2  
2
3

seguinte desigualdade trigonométrica, que provaremos a seguir, garante o resultado do
problema do ângulo (agudo) de fechamento da cobertura do prisma:
φ 
φ
3
φ

Se S = tg ≥
então 3tg −  3tg 2 − 1
2
3
2 
2 
φ
2
tg =
.
2
2
1/ 2
≥ 2 , valendo a igualdade se e só se
FHG?IKJ$L$M?NPORQTS?U?J V Para todo φ vale:
φ
φ
φ


3 2 tg − 1 ≥ 0 ⇒ 6 tg 2 − 6 2tg + 3 ≥ 0
2 
2
2

φ
Somando-se 3tg 2 − 1 aos dois membros da desigualdade obtemos:
2
2
φ
φ
φ
φ
φ


9tg 2 − 6 2 tg + 2 ≥ 3tg 2 − 1 ⇒  3tg − 2  ≥ 3tg 2 − 1 ⇒
2
2
2
2
2


2
φ
φ
φ
3


3tg − 2 ≥  3tg 2 − 1 , e como tg ≥
,
2
2 
2
3

φ
3tg − 2 > 0, logo:
2
1/ 2
1/ 2
φ
φ
φ 
φ



3tg − 2 ≥  3tg 2 − 1 ⇒ 3tg −  3tg 2 − 1 ≥ 2
2
2 
2 
2 

1/ 2
Daí, é claro que, o menor valor de S é determinado pela igualdade:
φ 
φ

3tg −  3tg 2 − 1
2 
2 
tg
1/ 2
2
φ


= 2 ⇒  2 tg − 1 = 0 ⇒
2 

2
2
φ
=
⇒ φ = 2arc tg
≅ 70°32'
2
2
2
Finalizando estas notas, sugerimos que o leitor faça a prova de que, o ângulo φ é o
mesmo ângulo agudo entre diagonais internas de um cubo.
φ
W+X$YZX\[^]$_2`+a b+c
-
Malba Tahan, As Maravilhas da Matemática, Bloch Editores.