L7 DE GEOMETRIA II
MTM 7112
DR. CELSO M. DORIA
? - o problema está resolvido no livro.
* - o problema está numa lista de exercı́cio no livro.
Problema 1 ?: Justifique geometricamente a identidade
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
Problema 2 ?: As dimensões x, y e z de um paralelepı́pedo retângulo
são proporcionais à a, b e c. Se a área do paralelepı́pedo é S,
calcule x, y e z em função de a, b e c.
Problema 3 ?: Um prisma hexagonal é cortado por um plano
perpendicular
√a uma aresta de uma base, segundo um quadrado
de diagonal 6 m. Calcular a área da base, a área lateral, a
área total e o volume do prisma.
Problema 4 ?: Determine o volume de um prisma triangular
cuja base tem lados medindo a, b e c cm (a > b > c) e uma
das aresta na lateral mede k cm com a propriedade que a sua
projeção ortogonal sobre o plano da base é igual ao maior lado
da base.
Problema 5 ∗: Sabendo que a base de um prisma de altura h é
um polı́gono regular de n lados de comprimento l, determine
a área total, o volume, a distância entre as faces laterais e a
distância entre uma aresta lateral e a face oposta mais distante.
Problema 6 ∗: Determine a diagonal, a área e o volume de um
paralelepı́pedo retângulo, sabendo que suas dimensões são 3 cm,
4 cm e 5 cm.
Date: 10/06/2011.
Key words and phrases. Capı́tulo 2.
1
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Problema 7 ∗: Marque as opções corretas: a soma dos quadrados das diagonais de um paralelepı́pedo é igual a:
( ) a soma dos produtos das arestas tomadas duas a duas,
( ) a área lateral do paralelepı́pedo,
( ) a área total do paralelepı́pedo,
( ) a soma das áreas das seções diagonais,
( ) a soma dos quadrados das arestas.
Problema 8 ∗: Nos exercı́cios abaixo desenhe uma esfera e determine o seu raio de maneira que:
(1) ela seja circunscrita a um cubo de lado l e inscrita a um
octaedro.
(2) seja inscrita a um cubo e circusncrita a um octaedro de
lado l.
(3) seja inscrita a um cubo de lado l e tangente as arestas de
um tetraedro.
Problema 9 ∗: Determine o raio das esferas inscritas e circunscritas a um prisma e a um anti-prisma cuja altura é h e a base
um hexágono regular de lado l.
Problema 10 ∗: Determine o raio de uma esfera inscrita a um
cone reto cuja base tem raio a e a geratriz mede b.
Problema 11 ∗: Qual deve ser a a altura de um prisma reto cuja
base é um triângulo equilátero de lado a para que seu volume
seja igual ao volume de um cubo de aresta a ?
Problema 12 ∗: Determine o volume e a área lateral de um
prisma reto de 10 cm
√ de altura e cuja base é um hexágono
regular de apótema 3 3.
Problema 13 ∗: Determine o volume de um prisma triangular
cuja base é um triângulo equilátero de lado 2 m, uma aresta
lateral mede 39 m e sua projeção ortogonal sobre o plano da
base mede 15 m.
Problema 14 ?: Prove que o volume de uma pirâmide com base
triangular é dado por
1
V = (área da base)×(altura).
3
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Problema 15 ?: Uma pirâmide regular hexagonal
de h = 4 cm
√
de altura tem arestas da base medindo l = 2 3 cm. Determine
o ápotema da pirâmide, a aresta lateral, a área total e o volume.
Problema 16 ?: Calcule a área total e o volume de um tetraedro
regular de aresta a.
Problema 17 ?: Um tetraedro regular a ABCD de aresta a é
cortado por um plano que passa pelo vértice D e pelos pontos
E e F situados sobre as arestas AB e AC. Sabendo que
1
AD = AE = AC
4
encontre o volume da pirâmide DAEF .
Problema 18 ?: Calcular o volume de um tetraedro tri-retângulo,
conhecendo-se os lados a, b e c da face oposta ao triedro triretângulo
Problema 19 ?: Se as bases de um tronco de pirâmide são paralelas e tem área B1 e B2 , mostre que o volume deste tronco
é
V =
p
h
B1 + B1 B2 + B2
3
Problema 20 ?: Conhecendo-se os raios r1 e r2 (r1 ≥ r2 ) de
duas seções paralelas feitas em uma esfera e a distância d dessas
seções, determinar o raio da esfera.
Problema 21 ?: Mostre que a superfı́cie de uma calota esférica
é igual a área do cı́rculo de raio igual à corda do arco gerador.
Problema 22 ?: Qual é a extensão da superfı́cie da Terra visı́vel
por um aviador que se acha a uma distância h do solo ?
Problema 23 ∗: Mostre que para uma esfera de raio R estar inscrita num tronco de cone, cujas bases tem raio r1 e r2 e a
geratriz mede g, é
g = r1 + r2
R=
√
r1 r2 .
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Problema 24 ∗: Calcular o volume da esfera inscrita num tronco
de cone circular reto de altura h e cujos raios das bases medem
1 m e 4 m respectivamente.
Problema 25 ∗: Sejam S e V a área e o volume de um poliedro
circunscrito a uma esfera de raio R. Mostre que
1
V = R.S
3
Problema 26 ∗: Em torno de que lado devemos girar um triângulo
de lados a > b > c de maneira a obter um volume máximo ?
Departamento de Matemática - UFSC