O problema dos aniversários e a negação da intuição A Matemática, por si mesma ou em suas aplicações, por vezes apresenta resultados irrefutáveis cuja aceitação intuitiva é muito difícil. No campo das aplicações, por exemplo, as ferramentas matemáticas não deixam quaisquer dúvidas sobre a Teoria da Relatividade, como já comprovaram há décadas os físicos, mas que ainda parece estranha a idéia de relatividade do tempo: é muito difícil imaginar que um ano para alguém seja equivalente a cinco anos para outro, e ter que pensar que alguém possa envelhecer mais rápido que outras pessoas. Alguns campos da Matemática são ricos em problemas que ‘atentam’ contra a intuição, sendo provavelmente o campo da Teoria das Probabilidades o de maior número de questões com esta dificuldade. Aqui vou apresentar um problema que há tempos me chamou a atenção, o problema os aniversários. A questão geral é a seguinte: em um grupo de n pessoas, qual a probabilidade de ao menos duas fazer aniversário no mesmo dia? Logicamente, tudo depende do tamanho de n. Em um primeiro momento, é certo que se n=366 (em um ano de 365 dias), ao menos duas nasceram na mesma data. Também parece certo que se n for um número pequeno, como algo em torno de 50 pessoas, a probabilidade é quase nula, afinal, poucos conhecemos pessoas que faz aniversário no mesmo dia que nós. É justamente aí que reside o problema, pois já é fácil a demonstração de que com 23 pessoas já há uma probabilidade de 50%. Os cálculos eu faço adiante. Em verdade desde quando tomei contato com este problema vivo às voltas com sua aceitação, e até já o coloquei para pessoas mais próximas, tendo me certificado que também a maioria se surpreende com o que descobre. Alguns dizem, inclusive, que jamais conheceram alguém que tenha a mesma data de aniversário, e eu mesmo me achava com sorte de ter descoberto que um de meus amigos também nasceu em 20 de junho (este, por outro lado, nasceu na mesma data do mesmo ano). Vamos ao problema com o que a Matemática oferece: A solução do problema vem da análise de complementaridade das probabilidades. Assim, iniciamos com a probabilidade de que n pessoas nasçam em dias distintos, e encontramos o complemento desta probabilidade como sendo a probabilidade de que ao menos duas pessoas nasçam no mesmo dia, ou seja, P(duas ou mais no mesmo dia)=1-P(n pessoas nasçam em dias diferentes) Considerando diferentes possibilidades de n, temos Para n=2, temos duas pessoas, a primeira com 365 dias disponíveis em 365 possíveis, e a segunda com 364 em 365. Logo, pelo princípio multiplicativo, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354 365.365 O resultado é 0,274%, o que não deixa dúvidas: é praticamente impossível que duas pessoas reunidas façam aniversário no mesmo dia. Considerando em ordem sucessiva, a utilizando somente o referencial analítico, temos: Para n=3, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363 365.365.365 Para n=4, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363.362 365.365.365.365 Para n=5, P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – 365.354.363.362.361 365.365.365.365.365 Já é possível verificar que, o termo fracionário do segundo membro segue um padrão combinatório, no qual o numerador indica a permutação de 365, e denominador retrata uma potência do mesmo número, ambos na base do número de pessoas reunidas. De um modo genérico, no numerador temos a permutação (365)n, e no denominador temos a potência (365)n, e, portanto, temos a fórmula geral para o cálculo abaixo. P(duas ou mais no mesmo dia) = 1 – (365)n (365)n A fração do segundo membro é um produto que diminui rapidamente, uma vez que a potência do denominador cresce muito rapidamente, ao passo que o produto do numerador cresce muito lentamente. Vejamos os resultados gerados no excel para conjuntos de 1 a 90 pessoas: n P1 P2 n P1 P2 n P1 1 1,000000 0,000000 31 0,269545 0,730455 61 0,004911 2 0,997260 0,002740 32 0,246652 0,753348 62 0,004090 3 0,991796 0,008204 33 0,225028 0,774972 63 0,003396 4 0,983644 0,016356 34 0,204683 0,795317 64 0,002810 5 0,972864 0,027136 35 0,185617 0,814383 65 0,002317 6 0,959538 0,040462 36 0,167818 0,832182 66 0,001904 7 0,943764 0,056236 37 0,151266 0,848734 67 0,001560 8 0,925665 0,074335 38 0,135932 0,864068 68 0,001274 9 0,905376 0,094624 39 0,121780 0,878220 69 0,001036 10 0,883052 0,116948 40 0,108768 0,891232 70 0,000840 11 0,858859 0,141141 41 0,096848 0,903152 71 0,000679 12 0,832975 0,167025 42 0,085970 0,914031 72 0,000547 13 0,805590 0,194410 43 0,076077 0,923923 73 0,000439 14 0,776897 0,223103 44 0,067115 0,932885 74 0,000351 15 0,747099 0,252901 45 0,059024 0,940976 75 0,000280 16 0,716396 0,283604 46 0,051747 0,948253 76 0,000223 17 0,684992 0,315008 47 0,045226 0,954774 77 0,000176 18 0,653089 0,346911 48 0,039402 0,960598 78 0,000139 19 0,620881 0,379119 49 0,034220 0,965780 79 0,000109 20 0,588562 0,411438 50 0,029626 0,970374 80 0,000086 21 0,556312 0,443688 51 0,025568 0,974432 81 0,000067 22 0,524305 0,475695 52 0,021995 0,978005 82 0,000052 23 0,492703 0,507297 53 0,018862 0,981138 83 0,000040 24 0,461656 0,538344 54 0,016123 0,983877 84 0,000031 25 0,431300 0,568700 55 0,013738 0,986262 85 0,000024 26 0,401759 0,598241 56 0,011668 0,988332 86 0,000018 27 0,373141 0,626859 57 0,009878 0,990123 87 0,000014 28 0,345539 0,654462 58 0,008335 0,991665 88 0,000011 29 0,319031 0,680969 59 0,007011 0,992989 89 0,000008 30 0,293684 0,706316 60 0,005877 0,994123 90 0,000006 n - Número de pessoas P1 - Probabilidade de aniversários em datas distintas P2 - Probabilidade de pelo menos duas pessoas com aniversário no mesmo dia P2 0,995089 0,995910 0,996604 0,997191 0,997683 0,998096 0,998440 0,998726 0,998964 0,999160 0,999321 0,999453 0,999561 0,999649 0,999720 0,999777 0,999824 0,999861 0,999891 0,999914 0,999933 0,999948 0,999960 0,999969 0,999976 0,999982 0,999986 0,999989 0,999992 0,999994 Para interpretar estes valores de probabilidades, deve-se entender que, em um grupo de tamanho n de pessoas, espera-se que haja pelo menos duas com a mesma data de aniversário, dentre as 365 possíveis, não sendo necessário que hajam nascido no mesmo dia de um mesmo ano. O valor da probabilidade tem mais sentido não em um grupo em si, mas quando analisamos conjuntos de grupos. Assim, tomando, por exemplo, um grupo de 23 pessoas, na qual há 50,7% de probabilidades de que pelo menos duas pessoas tenham nascido no mesmo dia do ano, indica que em um número suficientemente grande de grupos com 23 pessoas, por exemplo, 100 grupos, em aproximadamente metade (no nosso caso 50) teremos tal observação. Pensando assim, torna-se aceitável, afinal, tivemos várias experiências, mas não foram o bastante para configurar um grande número de grupos. Por outro lado, quando pensamos em grupos de 60 pessoas, por exemplo, a probabilidade já passa a ser de 99,4%, ou seja, nos nossos 100 grupos do exemplo anterior, em pelo menos 99 já teríamos tal ocorrência. Agora parece que tudo novamente se complica. Estes resultados são verdadeiramente surpreendentes, e, apesar de exatos em termos matemáticos, realmente são difíceis de serem aceitos. Em verdade, a maioria das pessoas já conviveu com grandes grupos de pessoas. Eu mesmo convivi com diversas turmas como aluno e como professor, mas não lembro de qualquer delas nas quais houvesse esta coincidência. Para ficarmos não muito entristecidos com este fato, apresento algumas outras informações sobre nossa importante data de aniversário, considerando diversos contextos distintos. Contexto País Brasil Estado do Ceará Cidade de Fortaleza Estádio em dia de clássico N. de pessoas 180000000 6000000 2500000 40000 Pessoas com iguais datas de aniversário 493151 16438 6849 110 O quadro indica que, no Brasil, aproximadamente 500 mil pessoas fazem aniversário no mesmo dia. No Estado do Ceará, mais de 16 mil pessoas tem a mesma data de aniversário, e somente em Fortaleza, quase 7 mil pessoas comemoram aniversário na mesma data. Finalizando, em um dia de clássico, como Fortaleza versus Ceará, tem-se cerca de 110 pessoas com a mesma data de aniversário, inclusive naquele dia do jogo, cada um querendo a vitória como presente.