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Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Prof. Jaime E. Muñoz Rivera
Gabarito da Segunda Prova de Cálculo II
Rio de Janeiro 5 de outubro de 2007
Pergunta 1 Calcular a solução da equação
u00 + u = cos(at),
u(0) = 0,
u0 (0) = 5.
Calcule o limite lima→1 u(t).
Solução.- A solução geral do problema homogêneo é dado por
uh (t) = A cos(t) + B sen(t).
Uma solução particular do problema deve ser da forma u p = c1 cos(at) + c2 sen(at). Como
u00p = −a2 c1 cos(at) − a2 c2 sen(at).
Substituindo na equação encontramos
−c1 (a2 − 1) cos(at) − c2 (a2 − 1) sen(at) = cos(at)
⇒
c1 = −
Portanto a solução geral do problema é dado por
u = u p + uh ,
⇒
u(t) = −
a2
Aplicando a condição inicial temos que
u(0) = 0
⇒
−
a2
Portanto a solução neste caso é dada por
u(t) = −
Usando a fórmula
c2 = 0.
1
cos(at) + A cos(t) + B sen(t).
−1
1
+A=0
−1
u0 (0) = 5
1
,
a2 − 1
⇒
⇒
A=
a2
B = 5.
1
.
−1
1
{cos(at) − cos(t)} + 5 sen(t).
a2 − 1
1
1
cos(A) − cos(B) = −2 sen( (A + B)) sen( (A − B)),
2
2
a solução do problema anterior pode ser escrita como
Note que
2
u(t) = 2
a −1
2
lim u(t) = lim
a→1
a→1 (a − 1)(a + 1)
a−1
a+1
sen(
t) sen(
t) + 5 sen(t).
2
2
a−1
a+1
t
sen(
t) sen(
t) = sen(t) + 5 sen(t).
2
2
2
1
Pergunta 2 Se deseja construir um relógio de parede, baseado nos movimentos do pêndulo.
Encontre o comprimento da corda (de peso desprezı́vel) de tal forma que uma oscilação do
pêndulo, corresponda a 5 segundos. Considere que a massa está pulando de um lado para otro
fazendo um ângulo π/6 radianes. Considere desprezı́vel as forças de resistência (do atrito do ar
etc.) e assuma que o ângulo α é pequenho de tal forma que pode-se usar a relação sen(α) = α
solução.α
α α
l
s=αl
mg sen(α)
s=-αl
mg cos(α)
s=0
mg
Fazendo uma análise de forças, vemos que as forças normais são responsáveis pela trajetória circular, mas não alteram o módulo da velocidade enquanto que a força tangêncial produz o movimento
e é responsável pela variação da velocidade. Assim pela segunda Lei de Newton temos que
m
d2 s
= −mg sen(α),
dt2
O sinal no segundo membro da equação acima é negativo, porque a componente tangencial do peso é
contrario ao crescimento do ângulo α. Sendo α = s/l, podemos reescrever a equação anterior como
s
d2 s
= −gsen( ).
2
dt
l
Aplicando a aproximação sen( sl ) ≈ ( sl ) válida para valores pequenos de s, a equação pode ser reescrita
da seguinte forma
g
d2 s
= − s,
2
dt
l
cuja solução geral é dada por
s(t) = A cos(
r
g
t) + B sen(
l
r
g
t).
l
No instante t = 0 o péndulo está parado fazendo um ângulo igual a α com a vertical. Portanto
s0 (0) = 0 e s(0) = lα0 , de onde temos que
0
s (t) = −A
r
g
sen(
l
r
g
t) + B
l
r
g
cos(
l
Portanto
s(t) = A cos(
r
r
g
t)
l
⇒
t = 0,
g
t).
l
Aplicando a condição de que s(0) = lα 0 , temos
s(0) = A = lα0
⇒
s(t) = lα0 cos(
2
r
g
t).
l
B = 0.
A posição do pêndulo em cada instante de tempo é dada por
g
t)
l
Queremos que uma oscilação dure exatamente 5 segundos. O pêndulo fará uma oscilação quando a
masa saia de um extremos e chegue ao extremo oposto. Isto é partindo de s = −α 0 l queremos que a
massa em 5 segundos chegue ao extremo s = α 0 l. Em outras palabras queremos que para T = 5 se
verifique
r
r
g
g
T ) ⇒ cos(5
) = −1.
−α0 l = α0 l cos(
l
l
Portanto,
r
g
g
5
= π ⇒ l = 25 2
l
π
Assumingo que g = 9.8, encontramos que l ≈ 25 m
s = α0 l cos(
r
Pergunta 3 Uma mola massa de m = 0.1Kg e coeficiente de elásticidade k = 0.4 é deformado
em 1 cm de sua posição de equilibrio e depois liberada com velocidade inicial nula. Encontrar
a função que define a posição da massa em cada instante de tempo se a força f = cos(10t) +
2 sen(2t) é aplicada na mola. Verifique se existe ressonância neste sistema. Assuma que a
aceleração da gravidade é igual à 10.
Solução.- A função que define a posição da massa é dada pela solução da equação
m
d2 u
+ ku = f.
dt2
onde m = .1, u(0) = 0.01, u0 (0) = 0 e f (t) = cos(10t) + 2 sen(2t) e k = .4. Portanto temos que calcular
a solução de
.1
d2 u
+ .4u = cos(10t) + 2 sen(2t)
dt2
⇒
d2 u
+ 4u = 10 cos(10t) + 20 sen(2t).
dt2
sujeito as condições iniciais
u(0) = 0.01,
u0 (0) = 0
De onde obtemos que a solução do problema homogêneo é dada por
uh (t) = c1 cos(2t) + c2 sen(2t)
Note que uma componente da força externa tem a mesma freqüência que o sistema. Portanto existe
a resonância. Para encontrar a solução geral do problema, temos apenas que encontrar uma solução
particular. Como vimos nas seções anteriores esta solução deve ser da forma
up (t) = tA cos(2t) + B cos(10t)
Derivando encontramos
u0p (t) = A cos(2t) − 2tA sen(2t) − 10B sen(10t)
u00p (t) = −4A sen(2t) − 4tA cos(2t) − 100B cos(10t)
3
Substituindo na equação obtemos
4[tA cos(2t) + B cos(10t)] − 4A sen(2t) − 4tA cos(2t) − 100B cos(10t) = 10 cos(10t) + 20 sen(2t).
De onde temos que
−4A sen(2t) + 96B cos(10t) = 10 cos(10t) + 20 sen(2t).
Logo A = −5, B = 10/96. Portanto, a solução geral do problema é
u(t) = c1 cos(2t) + c2 sen(2t) − 5t cos(2t) +
10
cos(10t).
96
Das condições iniciais u(0) = 0.01, u 0 (0) = 0 temos que c1 = −.094167. Derivando obtemos
u0 (t) = −2c1 sen(2t) + 2c2 cos(2t) + 10t sen(2t) − 5 cos(2t) −
100
sen(10t).
96
De onde temos que c2 = 5/2. Portanto a solução é dada por
u(t) = −.094167 cos(2t) +
5
10
sen(2t) − 5t cos(2t) +
cos(10t).
2
96
Note que se t aumenta, as amplitudes também aumentam indefinidamente chegando ao colapso.
Pergunta 4 Calcule as seguintes distâncias:
1. Do ponto (−1, 1, 1) ao plano x + 2y + z = 8.
2. Entre as retas x − 1 = y =
3. Entre a reta x − 3 = y =
z−2
, ~x = (2, 1, 2) + t(1, 2, 1)
−2
z−2
e o plano −3x + 2y + 2z = 0.
2
Solução.(1) A distância do ponto P1 a um plano com normal n que passa pelo ponto P 0 é dada por
d=
−−−→
P0 P1 · n
knk
Então
P1 = (−1, 1, 1),
P0 = (0, 0, 8),
n = (1, 2, 1)
(−1, 1, −7) · (1, 2, 1) √
= 6
√
1+4+1
d = (2) Para encontrar a distância entre as retas, primeiro construiremos um plano que contenha uma das
retas e que seja paralela a outra reta. Assim a distância entre as retas será igual à distância entre o
plano e a reta que não está contida no plano.
4
Z
6
d
~n
6
Pr0 )
···
(
···
d
···
···
···
·
·
PP·r···
P
P 1 PPP
-
X
Y
Este plano tem como normal o produto vetorial das direções das retas. Isto é, denotando por
v = (1, 1, −2),
w = (1, 2, 1)
os vetores direção das retas respectivamente, então a normal ao plano n é dada pelo produto vetoria
de v com w
i j k n = v × w = 1 1 −2 = (5, −3, 1)
1 2 1 Então a equação do plano que contem a reta r(t) = (2, 1, 2) + t(1, 2, 1) é dada por
(x − 2, y − 1, z − 2) · (5, −3, 1) = 0
⇒
5x − 3y + z = 9
Finalmente, a distância entre as retas será igual à distancia de um ponto qualquer da reta x − 1 =
y = z−2
−2 , por exemplo P0 = (1, 0, 2) ao plano 5x − 3y + z = 9. Denotemos por P 1 = (0, 0, 9) um ponto
do plano, então a distância estará dada por
d=
Como
−−−→
P0 P1 · n
knk
−−−→
P0 P1 = P1 − P0 = (−1, 0, 7)
De onde teremos que
(−1, 0, 7) · (5, −3, 1) = √2
d=
k(5, −3, 1)k
35
(3) Finalmente a distância de um plano a uma reta será não nula somente quando o vetor direção da
reta seja ortogonal a normal do plano. Caso contrario existirá um ponto de interseção entre a reta e
o plano, que significa que a distância deve ser nula. Sejam
(1, 1, 2),
(−3, 2, 2)
a direção da reta e a normal do plano respectivamente. Então temos que
(1, 1, 2) · (−3, 2, 2) = 3 6= 0
Isto é a reta não é paralela ao plano, portanto d = 0.
5