CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis
Professor: Roberto Thomé
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LISTA DE EXERCÍCIOS 02
1) Resolva as integrais duplas:
Z 1Z 3
xy 2 dy dx
(a)
0
Z
(b)
2
π
2
Z
0
0
Z 1Z 1
(c)
0
π
2
sen(x)cos(y) dy dx
(4 − x + y 2 ) dy dx
0
Z 1 Z x2
(d)
(x + 2y) dy dx
0
0
Z Z
(e)
(x2 + y 2 )dA, onde D = {(x, y) ∈ <2 | x2 + y 2 ≤ 1}
D
Z Z
2
p
(f)
dA, onde D = {(x, y) ∈ <2 | x2 + y 2 ≤ 9}
2
x + y2 + 1
D
* Respostas : (a)
19
6
; (b) 1 ; (c)
23
6
; (d)
9
20
; (e)
π
2
√
; (f ) 4π( 10 − 1)
2) Resolva a integral dupla abaixo, onde D é região delimitada pelo triângulo formado pelos
pontos A = (−1, 0), B = (1, 0) e C = (0, 1):
Z Z
(x + y) dA
D
* Resposta :
1
3
3) Resolva a integral dupla abaixo, onde D é região delimitada pelo triângulo formado pelos
pontos A = (0, −1), B = (1, 0) e C = (0, 1):
Z Z
6x2 dA
D
* Resposta : 1
4) Inverta a ordem de integração e resolva as integrais:
Z 1Z 1
2
(a)
ex dx dy
Z0 1 Zy 1
sen(y)
(b)
dy dx
y
Z 01 Z x1
2
yex
(c)
dx dy
3
√
0
y x
* Respostas : (a)
e−1
2
; (b) 1 − cos(1) ; (c)
e−1
4
5) Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a parte do conjunto {(x, y) ∈ <2 | x2 + y 2 ≤ 4}
que está no primeiro quadrante:
Z Z
x dA
D
8
3
* Resposta :
6) Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região formada pelas duas circunferências
x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 = 16
Z Z
2
2
e−(x +y ) dA
D
* Resposta :
e15 −1
e16
·π
7) Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região do primeiro quadrante formada pelas duas
circunferências x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 = 4
Z Z p
x2 + y 2 dA
D
* Resposta :
7π
6
8) Resolva as integrais triplas:
Z 1Z 3Z 2
a)
xy 2 z dz dy dx
0
2
−1
Z 1Z zZ y
2
b)
ze−y dx dy dz
Z 01 Z0 2 Z0 1
c)
(x2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz
Z−1π Z0 1 Z0 x2
4
d)
xcos(y) dz dx dy
0
0
0
* Respostas : (a)
19
4
; (b)
1
4e
√
; (c) 8 ; (d)
2
8
9) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro x2 + y 2 = 1 limitado pelos planos z = 0
e z = 2:Z Z Z
(x + y 2 − z) dV
E
* Resposta : − 3π
2
10) Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x2 + y 2 = 9 e
limitado pelos planos z = 1 e y + z = 5.
* Resposta : 36π
11) Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
z = 5x2 + 5y 2 e z = 6 − x2 − y 2 .
* Resposta : 3π
12) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
x = 0, y = 0, z = 0 e 6x + 2y + z = 6.
Z Z Z
z
dV
(3
−
3x
− y)2
E
* Resposta : 3
13) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + y + z = 3.
Z Z Z
6z 5 dV
E
* Resposta :
2.187
56
14) Calcule a integral tripla
Z Z Z
xyz dV,
E
onde E = {(x, y, z) ∈ <3 | 3x2 + 3y 2 ≤ z ≤ 36 − x2 − y 2 }.
* Resposta : 0 (zero)
→
−
15) O divergente de um campo vetorial F = ( P , Q , R ) é um campo escalar definido por
→
−
→
−
−
∂Q
∂R
~ ·→
= (3x + y + z , x + 4y + 3z , 2x − 2y − z) é um
div( F ) = ∇
F = ∂P
∂x + ∂y + ∂z . Se F (x, y, z) Z
Z Z
→
−
campo vetorial, então calcule a integral tripla
div( F )dV , onde E é o sólido definido
E
por E = {(x, y, z) ∈ IR3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
* Resposta : π
p
2
2
16) Seja
p E a parte do sólido delimitado pelo cone circular z = 3x + 3y e pela semiesfera
1
2
2
z = 3 1 − 9x − 9y que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante k de tal
forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Z Z Z
kxyz
p
dV = 1
2
x + y2 + z2
E
* Resposta : 155.520
17) Calcule a integral
tripla abaixo, onde E é o sólido delimitado pelo plano z = 0 e pela
p
semiesfera z = 4 − x2 − y 2 .
Z Z Z
z dV
E
* Resposta : 4π
18) Calcule:
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
Z
∞
p
x2 + y 2 + z 2 e−(x
2 +y 2 +z 2 )
dx dy dz.
−∞
• Dica: A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma
esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.
* Resposta : 2π