Integral Definida
Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F
está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a
e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a
diferença:
Variação em F entre
x= a e x = b =
F(b) – F(a)
O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e
é denotado pelo símbolo:
b
∫
f ( x) dx
a
b
O símbolo
∫
f ( x) dx é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os
a
números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as
integrais definidas, é freqüentemente conveniente usar o símbolo:
F ( x) ba para a diferença F(b) – F(a).
Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo
a uma taxa de 2 + 6 x pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os
próximos 4 meses?
Solução:
P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao
tempo dP/dx = 2 + 6 x e a quantidade pela qual a população crescerá durante os
próximos 4 meses será a integral definida:
4
P(4) – P(0) = ∫ (2 + 6 x )dx
0
4
= 2∫
0
4
dx + 6 ∫ ( x 1/2 dx
0
3/ 2
6x
+ C
3/ 2
= 2x + 4x 3 / 2 + C
= 2x +
4
0
4
0
= (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C)
= 40 pessoas
Exercícios:
1. Calcular as integrais.
0
2
a)
∫
x (1 + x 3 )dx
2
dx
x6
b)
∫
1
d)
1
dy
∫ senx cos dx
π
4
∫
0
3π
4
e)
2
− 4 x + 7) dx
−3
−1
c)
∫ (x
1
f)
∫
−1
3y + 1
x 2 dx
x3 + 9
3
g) ∫ ( x 1 + x )dx
0
2. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 +1 e y = 2x – 2 entre
x = -1 e x = 2.
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 .
4. Encontre a área da região limitada pela curva y = -x2 + 4x – 3 e pelo eixo x.
5. Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva
y = 1/x e é limitado por esta curva e pelas retas y = x, x=0 e x =2.
6. Encontre a área da região S, limitada pela curva y = senx e pelo eixo dos x de 0
até 2π.
7. Encontre a área limitada por y = x2 e y = x+2.
8. Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x +1. As curvas
interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2.