Edézio Cálculo II 1 Cálculo II - Aplicações da Integral Dupla Área de uma região plana A área de uma região plana D fechada e limitada é: Z Z dA A= D Aplicações Fı́sicas usando as Integrais Duplas Muitas estruturas e sistemas mecânicos se comportam como se sua massa estivesse concentrada em um único ponto, chamado centro de massa. É importante saber como localizar esse ponto. Os primeiros momentos (Mx e My ) de um corpo nos informam sobre o equilı́brio e sobre o torque que o corpo exerce em torno de diferentes eixos em um campo gravitacional. Se, entretanto, o corpo for uma haste que gira, estaremos mais interessados na quantidade de energia que estará armazenada na haste ou na quantidade de energia que será necessária para acelerar a haste até uma determinada velocidade angular. É aqui que entra o segundo momento ou momento de inércia. O raio de rotação Rx nos diz a que distância do eixo x a massa total da placa pode estar concentrada pra resultar no mesmo Ix . Quando ρ é constante, a localiza’ ao do centro de massa se torna uma caracterı́stica da forma do objeto e não mais do material do qual o objeto é feito. Em tais casos o centro de massa é chamado de centróide. Considere uma lâmina não homogênea, com a forma de uma região D e com densidade de área em um ponto (x, y) de D dada pela função contı́nua ρ = ρ(x, y). • A massa total da lâmina M é dada pela integral Z Z M= ρ(x, y)dA D • O momento de massa em relação ao eixo x é dado por: Z Z Mx = yρ(x, y)dA D • O momento de massa em relação ao eixo y é dado por: Z Z My = xρ(x, y)dA D • O centro de massa, denotado por (x, y) é definido por: x= My M e y= Mx M • O momento de inércia em relação ao eixo x Z Z Ix = y 2 ρ(x, y)dA D Edézio Cálculo II 2 • O momento de inércia em relação ao eixo y Z Z Iy = x2 ρ(x, y)dA D • O momento de inércia polar Z Z (x2 + y 2 )ρ(x, y)dA Io = D Z Z r2 (x, y)δ(x, y)dA onde r(x, y) =distância • O momento de inércia em relação a uma reta L: IL = D de (x, y) até L. • Raios de Rotação: p Em relação ao eixo x: Rx = Ix /M p Em relação ao eixo y: Ry = Iy /M p Em relação à origem: Ro = Io /M Área por integração dupla: Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral. (1) a parábola x = −y 2 e a reta y = x + 2. (2) a parábola x = y − y 2 e a reta y = −x. (3) a curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2. (4) as curvas y = ln x e y = 2 ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante. (5) as parábolas x = y 2 e x = 2y − y 2 . (6) as parábolas x = y 2 − 1 e x = 2y 2 − 2. Densidade Constante: (7) Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 limitada pelas retas x = 0, y = x e pela parábola y = 2 − x2 no primeiro quadrante. (8) Encontre os momentos de inércia e os raios de rotação em relação aos eixos coordenados de uma placa retangular fina de densidade constante δ limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro quadrante. (9) Encontre o centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela parábola y 2 = 2x e pela reta x + y = 4. (10) Encontre o centróide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta x + y = 3. √ (11) Encontre o centróide da região semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y = 1 − x2 . (12) A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = 6x − x2 e pela reta y = x é 125/6 unidades quadradas. Encontre o centróide. Edézio Cálculo II 3 (13) Encontre o centróide da região cortada do primeiro quadrante pela circunferência x2 + y 2 = a2 . (14) Encontre o centróide da região entre o eixo x e o arco y = sen x, 0 ≤ x ≤ π. Densidade Variável: (15) Encontre o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo x de uma placa fina limitada pela parábola x = y − y 2 e pela reta x + y = 0 se delta(x, y) = x + y. (16) Encontre a massa de uma placa fina que ocupa a região menor cortada da elipse x2 + 4y 2 = 12 pela parábola x = 4y 2 se δ(x, y) = 5x. (17) Encontre o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas y = x e y = 2 se δ(x, y) = 6x + 3y + 3. (18) Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa fina limitada pelas curvas x = y 2 e x = 2y − y 2 se a densidade no ponto (x,y) for δ(x, y) = y + 1. (19) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de uma placa fina retangular cortada do primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se δ(x, y) = x + y + 1. (20) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de uma placa fina limitada pela reta y = 1 e pela parábola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = y+1. (21) Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pela parábola y = x2 se a densidade for δ(x, y) = 7y + 1. (22) Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ. (a) D = {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = x2 ; (b) D é uma região triangular com vértices (0, 0), (1, 1), (4, 0) : ρ(x, y) = x; (c) D é uma região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = 1; ρ(x, y) = xy; (d) D é limitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x − 2; ρ(x, y) = 3. (23) Determine os momentos de inércia Ix , Iy , Io para a lâmina do exercı́cio (22)(c); (24) Determine os momentos de inércia Ix , Iy , Io para a lâmina do exercı́cio (22)(d). Volume sob uma superfı́cie z = f (x, y) (25) Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide z = x2 +y 2 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy. (26) Encontre o volume do sólido que é limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 − x2 e pela reta y = x no plano xy. Edézio Cálculo II 4 (27) Encontre o volume do sólido cuja base é a região no plano xy que é limitada pela parábola y = 4 − x2 e pela reta y = 3x, enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano z = x + 4. (28) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 − y 2 . (29) Encontre o volume do sólido cortado do primeiro octante pela superfı́cie z = 4 − x2 − y. (30) Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 − 3y 2 e pelo plano x + y = 2. Invertendo a Ordem de Integração: Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. Depois calcule ambas as integrais. Z 1 Z 4−2y dydx (31) 0 Z 2 4Z (32) √ − 4−y 0 Z (y−4)/2 1 x2 Z (33) 0 Z √ x dydx x Z √9−y2 3/2 (34) − 0 Z dxdy 1 Z √ y dydx 9−y 2 4−2y dydx (35) 0 2