Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I - EEL420
Módulo 1
Ampère
Volta
Kirchhoff
Coulomb
Joule
Watt
Conteúdo
1 – Circuitos de parâmetros concentrados e leis de Kirchhoff.............................................................1
1.1 – Conceitos................................................................................................................................1
1.1.1 – Cargas elétricas...............................................................................................................1
1.1.2 – Corrente elétrica..............................................................................................................1
1.1.3 – Tensão elétrica................................................................................................................3
1.1.4 – Potencia e energia:..........................................................................................................3
1.1.5 – Modelos...........................................................................................................................3
1.1.6 – Elementos concentrados..................................................................................................4
1.1.7 – Circuitos concentrados....................................................................................................4
1.1.8 – Circuitos distribuídos......................................................................................................4
1.1.9 – Leis de Kirchhoff............................................................................................................4
1.2 – Representação de circuitos concentrados................................................................................4
1.3 – Sentidos de referência para elementos de circuito..................................................................5
1.4 – Leis de Kirchhoff....................................................................................................................6
1.5 – Absorção e Fornecimento de Energia.....................................................................................7
1.6 – Exercícios................................................................................................................................8
1.7 – Soluções................................................................................................................................11
1 Circuitos de parâmetros concentrados e leis de Kirchhoff
1.1 Conceitos
1.1.1 Cargas elétricas
Qualquer matéria é formada por átomos. O átomo de hidrogênio é o mais simples, o
qual é constituído por duas partículas (as cargas positivas chamadas de prótons e as cargas
negativas chamadas de elétrons), conforme figura abaixo.
A unidade da carga elétrica é o Coulomb (C). Normalmente o átomo é eletricamente
neutros o que significa que apresentam elétrons e prótons em igual número. Retirando elétrons
deste átomo ela apresentará carga positiva, ao passo que adicionando elétrons ao átomo ele
passa a ter carga negativa. Os materiais fáceis retirar ou adicionar elétrons são chamadas de
condutores (cobre, alumínio, etc...) ao passo que os materiais onde é difícil retirar ou adicionar
elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...).
1.1.2 Corrente elétrica
A corrente elétrica corresponde ao movimento de cargas por unidade de tempo que
atravessam uma determinada superfície, conforme indicado na figura abaixo.
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A corrente elétrica é medida em Ampère (A) e definida, matematicamente como
i≈
q
t
Em engenharia o  significa variação e no caso da corrente ela é obtida pela razão
entre a variação de carga e a variação de tempo. Na verdade a corrente é dada pela variação de
carga por unidade de tempo. Se esta razão for avaliada para uma variação temporal muito
pequena (tendendo a zero) esta razão entre duas variações pode se expressa pelo conceito de
derivada de forma que
i=
dq
, onde q é a carga (Coulomb – C) e i é corrente (Ampères – A)
dt
assim, a corrente é a derivada da carga com relação ao tempo, ou seja, a variação
infinitesimal da carga com relação ao tempo. Graficamente a operação de derivada é
equivalente ao cálculo da inclinação de uma curva.
Na equação acima, a carga pode ser obtida pela operação inversa da derivada, a
integral. A integral é representada pelo símbolo
∫.
dq=i⋅dt
∫ dq=∫ i⋅dt
q=∫ i⋅dt
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Graficamente a operação de integral corresponde ao cálculo da área abaixo de uma
curva.
1.1.3 Tensão elétrica
A tensão elétrica corresponde a diferença de potencial (ddp) necessária para mover
uma unidade de carga através de um elemento. A tensão é medida em Volt (V), e definida
como
v≈
w
q
ou, em termos de derivada
v=
dw
, onde w é energia, (Joule – J) e v é tensão (Volts – V)
dq
onde w é energia (Joule – J), v é tensão e q é carga.
1.1.4 Potencia e energia:
Potência corresponde ao trabalho ou energia por unidade de tempo.
p=
dw
, onde p é potência (Watts – W).
dt
p=
dw dw dq
= ⋅ =v⋅i
dt dq dt
1.1.5 Modelos
Conjunto de elementos ideais que representam ou aproximam propriedades de
elementos ou fenômenos físicos (análogo das partículas e corpos rígidos da física).
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1.1.6 Elementos concentrados
Elementos que apresentam comprimento muito menor do que o comprimento de onda
da máxima frequência que atua no circuito (análogo dos sistemas mecânicos puntuais).
1.1.7 Circuitos concentrados
Interligação de elementos concentrados
1.1.8 Circuitos distribuídos
Circuitos formados por um conjunto de circuitos concentrados.
1.1.9 Leis de Kirchhoff
Leis que relacionam correntes e tensões em circuitos concentrados (um caso particular
das equações de Maxwell).
Para elementos de 2 terminais, a corrente de entrada é igual à corrente de saída e a
diferença de potencial entre seus terminais é bem determinado e só varia no centro do
elemento.
1.2 Representação de circuitos concentrados
Circuitos concentrados são representados por elementos de 2 terminais interligados por
fios em pontos chamados NÓS. Os fios não apresentam queda de tensão, portanto todos os
pontos interligados por fios apresentam a mesma tensão elétrica com relação a um ponto de
referência qualquer. Entre dois nós estão os elementos de dois terminais também chamados de
ramos, braços ou bipolos. No centro destes elementos se concentra a diferença de potencial
entre seus terminais. A figura abaixo representa um circuito concentrado. Os retângulos
representam os elementos e as linhas os fios.
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Para o circuito acima, alguns autores definem uma série de conceitos:
NÓ – O ponto ao qual estão ligados dois ou mais elementos;
NÓ ESSENCIAL – O ponto ao qual estão ligados três ou mais elementos;
CAMINHO – Sequência de elementos (não repetidos) ligados entre si;
RAMO – Caminho que liga dois Nós;
RAMO ESSENCIAL – Caminho que interliga dois Nós Essenciais;
LAÇO – Caminho cujo último Nó coincide com o primeiro;
MALHA – Laço que não inclui nenhum outro Laço.
1.3 Sentidos de referência para elementos de circuito
Para equacionar corretamente o comportamento de cada elemento de uma rede
vamos arbitrar sentidos de referência para tensão e corrente neste elemento. Por convenção
consideraremos que uma vez determinado o sentido para a tensão, o sentido para a corrente
também estará determinado e vice-versa. Os sentidos que adotaremos são apresentados na
próxima figura.
CUIDADO: Os métodos de análise de circuitos que serão estudados costumam arbitrar
sentidos para as correntes ou para as tensões. Sendo assim, a variável não determinada
diretamente fica indiretamente determinada pelos sentidos de referência adotados aqui. Os
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circuitos não devem ser equacionados em função dos sentidos de referência, mas os sentidos
de referência devem ser utilizados como parte dos métodos de análise de circuitos.
v t =v A t−v B t 
Considerar tensão e correntes positivas sempre que elas possuírem os sentidos de
referência apresentados. Durante os cálculos, se alguma grandeza apresentar resultado
negativo significa que o sentido adotado para esta grandeza está trocado.
1.4 Leis de Kirchhoff
A Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) diz que para qualquer circuito de elementos
concentrados, para qualquer dos seus nós e para qualquer instante de tempo, a soma algébrica
de todas as correntes de braço saindo de um nó é zero. Adotaremos como convenção que
correntes saindo do nó são positivas e correntes chegando ao nó são negativas.
Como consequências da LCK, que se aplica a qualquer circuito concentrado, temos: 1)
existe uma dependência linear entre as correntes de braço; 2) existe uma conservação de
cargas em todos os nós do circuito;
A Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) diz que para qualquer circuito elétrico
concentrado, para qualquer de seus percursos fechados e para qualquer instante de tempo a
soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer percurso fechado é zero.
Adotaremos como convenção que os braços cujos sentidos de referência concordam com o
sentido em que percorremos um caminho fechado são positivos e os que não concordam são
negativos.
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Como consequência da LTC, que se aplica a qualquer circuito concentrado, temos: 1)
existe uma dependência linear entre as tensões de braço de um percurso fechado.
1.5 Absorção e Fornecimento de Energia
Supondo que exista uma corrente circulando pelo circuito da figura abaixo é de se
esperar que corrente em cada elemento do circuito seja igual em módulo (LCK). Desta forma
não haverá acumulo de cargas nos nós A e B.
Também é de se esperar que a diferença de tensão sobre cada elemento do circuito seja
a mesma, assim, o somatório das tensões na malha é zero (LTK).
Esta situação está bem representada na figura. Observe que, desta forma, um elemento
de circuito apresenta os sentidos de referência adotados e o outro elemento não. O elemento
que apresenta os sentidos de referência estabelecidos tem corrente e tensão positivas,
resultando em potência positiva (p>0). Isto significa que este elemento está absorvendo
(dissipando ou armazenando) energia.
O elemento que não apresenta a tensão ou a corrente com os sentidos de referência terá
uma destas grandezas negativas e, portanto, potência negativa (p<0). Isto significa que este
elemento está fornecendo energia.
Este exemplo pode ser generalizado: Toda vez que um elemento de circuito apresentar
potência positiva ele está absorvendo energia e toda vez que um elemento de circuito
apresentar potência negativa ele está fornecendo energia.
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Também ocorre que o somatório algébrico das potências de todos os elementos de um
circuito resulta em valor nulo, ou seja, toda energia gerada no circuito é absorvida pelo
próprio circuito. Isto significa que não é possível criar energia.
Observa-se que estes valores de potência positiva ou negativa dependem dos sentidos
de referência adotados. Os sentidos adotados neste texto correspondem a convenção passiva
para corrente no sentido convencional. Livros que adotam corrente no sentido eletrônico ou
outros sentidos de referência para corrente e tensão podem utilizar sinais opostos na potência
para representar absorção e fornecimento de energia.
1.6 Exercícios
1) Uma antena de rádio, com 3 m de comprimento está sendo irradiada por uma onda
eletromagnética com frequência de 100 MHz. Podemos estudar esta antena utilizando as leis
de Kirchhoff?
2) Utilizando a LCK equacione as correntes para os nós 1, 2, 3 e 4 da figura abaixo.
Determine a relação entre I X e I Y . Sugestão: considere corrente positiva aquela que sai do
nó e negativa aquela que chega no nó.
3) Utilizando a LTK determine as equações para os diferentes laços e malhas da figura
abaixo. Sugestão: adote um sentido para percorrer os laços ou malhas e some as tensões cujo
primeiro sinal encontrado é positivo e subtraia aqueles cujo sinal for negativo.
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4) Para o circuito abaixo, sabendo que I 1=2 , I 3 =1 , I 7 =2 e I 8=3 , determine as
demais correntes. A partir dos sentidos de referência adotados e considerando
V 1=V 3=V 6=V 9=1 determine as demais tensões.
5) Para a figura abaixo, determinar as tensões v 3 , v 5 , v 8 , v 9 , v 10 e v 11 .
6) Assumindo os sentidos associados para correntes e tensões, e sabendo que v 1=1V ,
v 2=2V , v 3=3V , i 1=i 3=1mA : a) Identifique os ramos que fornecem energia e os que
absorvem energia; b) Calcule a potência total absorvida e a potência total fornecida;
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7) Dado o gráfico da potência entregue a um elemento, desenhe a curva da energia.
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potência (W)
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-5
-10
-15
tempo (s)
8) Para o mesmo elemento do problema 7, considerando que a tensão sobre o elemento
é dada pelo gráfico abaixo, determine a forma de onda da corrente i(t) sobre este elemento.
4,5
4
3,5
tensão (V)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
tempo (s)
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9) A figura abaixo apresenta as formas de onda de tensão e corrente sobre um
elemento. Determinar se este elemento absorve ou fornece energia.
1.7 Soluções
1) Uma antena de rádio, com 3 m de comprimento está sendo irradiada por uma onda
eletromagnética com frequência de 100 MHz. Podemos estudar esta antena utilizando as leis
de Kirchhoff?
Uma onda de 100 MHz apresenta comprimento de onda de
=
v
3⋅108
=
=3m .
f 100⋅106
Como o comprimento da antena é de 3 m este circuito não pode ser analisado pelas leis
de Kirchhoff. Observe que para um mesmo instante de tempo mas em dois pontos da antena,
distantes 2 m um do outro, temos tensões diferentes para cada ponto. Isto leva a uma
circulação de corrente pela antena que não pode ser explicada pelas leis de Kirchhoff.
8
v A=v0⋅sen 2⋅⋅10 ⋅t 

v B=v0⋅sen 2⋅⋅108⋅t

4⋅
.
3
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2) Utilizando a LCK equacione as correntes para os nós 1, 2, 3 e 4 da figura abaixo.
Determine a relação entre I X e I Y . Sugestão: considere corrente positiva aquela que sai do
nó e negativa aquela que chega no nó.
Nó 1: I1-I4+IX=0
Nó 2: -I1-I2+I3=0
Nó 3: -I3+I4+I5=0
No4: I2-I5+IY=0
Como IX=I6-I7 e IY=-I6+I7 então IX=-IY
3) Utilizando a LTK determine as equações para os diferentes laços e malhas da figura
abaixo. Sugestão: adote um sentido para percorrer os laços ou malhas e some as tensões cujo
primeiro sinal encontrado é positivo e subtraia aqueles cujo sinal for negativo.
Adotando sentido horário, começando dos nós inferiores a esquerda:
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Malha 1: +V1+V5-V4=0
Malha 2: -V6+V4+V3=0
Malha 3: -V3-V5+V2=0;
Outros caminhos fechados podem ser equacionados mas não trazem informação
adicional para a solução do problema.
+V1+V5+V3-V6=0 (combinação das equações das malhas 1 e 2)
-V6+V4-V5+V2=0 (combinação das equações das malhas 2 e 3)
+V1+V2-V3-V4=0 (combinação das equações das malhas 1 e 3)
-V6+V1+V2=0 (combinação das equações das malhas 1, 2 e 3)
4) Para o circuito abaixo, sabendo que I 1=2 , I 3 =1 , I 7 =2 e I 8=3 , determine as
demais correntes. A partir dos sentidos de referência adotados e considerando
V 1=V 3=V 6=V 9=1 determine as demais tensões.
Para as tensões
-V1+V2-V3=0, logo -1+V2-1=0, portanto V2=2
+V6+V7+V9=0, logo1+V7+1=0, portanto V7= -2
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+V5+V3-V6=0, logo V5+1-1=0, portanto V5=0
+V4-V5+V8=0, logo V4+V8=0 mas os valores individuais de V4 e V8 não podem ser
determinados.
Para as correntes
I1+I2=0, logo I2= -2
-I2-I3-I6+I7=0, logo -(-2)-1-I6+2=0, portanto I6= 3
-I7+I9=0, logo I9=2
I4-I8=0, logo I4=3
-I1+I3-I4-I5=0, logo -2+1-3-I5=0, portanto I5= -4
5) Para a figura abaixo, determinar as tensões v 3 , v 5 , v 8 , v 9 , v 10 e v 11 .
+V7-V6-V5=0, logo +(-3)-2-V5=0, portanto V5= -5
-V1+V5+V2+V11=0, logo -10+(-5)+5+V11=0, portanto V11=10
-V2+V6-V12+V4-V10=0, logo -5+2-8+(-3)-V10=0, portanto V10= -14
V3, V8 e V9 não podem ser determinados individualmente pois não há três equações
independentes que envolvam esta três incógnitas.
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6) Assumindo os sentidos associados para correntes e tensões, e sabendo que v 1=1V ,
v 2=2V , v 3=3V , i 1=i 3=1mA : a) Identifique os ramos que fornecem energia e os que
absorvem energia; b) Calcule a potência total absorvida e a potência total fornecida;
-V1+V4+V2=0, logo -1+V4+2=0, portanto V4= -1V
-V2+V5+V3=0, logo -2+V5+3=0, portanto V5= -1V
I1+I2+I3=0, logo 1m+I2+1m=0, portanto I2= -2mA
p1=V1·I1=1·1m=1mW
p2=V2·I2=2·-2m= -4mW
p3=V3·I3=3·1m= 3mW
p4=V4·I4=V4·(-I1)= -1·(-1m)=1mW
p5=V5·I5=V5·I3= -1·1m= -1mW
ptot = p1+p2+p3+p4+p5 = (1-4+3+1-1)m = 0W
7) Dado o gráfico da potência entregue a um elemento, desenhe a curva da energia.
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15
potência (W)
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-5
-10
-15
tempo (s)
[0;1]: w=−5⋅t 2
[1;2]: w=−5−10⋅t −1
[2;3]: w=−1510t−2
[3;): w=−5
8) Para o mesmo elemento do problema 7, considerando que a tensão sobre o elemento
é dada pelo gráfico abaixo, determine a forma de onda da corrente i(t) sobre este elemento.
4,5
4
3,5
tensão (V)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
tempo (s)
[0;1]: i=−5t
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[1;2): i=−
5
t
(2;3): i=5
(3;): i=indeterminado
9) A figura abaixo apresenta as formas de onda de tensão e corrente sobre um
elemento. Determinar se este elemento absorve ou fornece energia.
Da esquerda para direita:
Enquanto i(c1)>0 e v(c1)<0 a potência e negativa (fornece energia)
Enquanto i(c1)>0 e v(c1)>0 potência positiva (absorve energia)
Enquanto i(c1)<0 e v(c1)>0 potência negativa (fornece energia)
Enquanto i(c1)<0 e v(c1)<0 potência positiva (absorve energia)
Um novo ciclo acontece e todos os eventos anteriores se repetem.
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