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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Números Complexos
Kellen Cristina de Morais
Anápolis
2011
1
Kellen Cristina de Morais
Números complexos
Trabalho
de
Curso
apresentado
a
Coordenação Adjunta de TC, como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Graduado no Curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Estadual de
Goiás sob a orientação da Professora
MSc. Selma Marques de Paiva.
Anápolis
2011
2
3
DEDICATÓRIA
Aos professores, que com dedicação e competência ministraram
conteúdos ao longo deste curso.
Aos colegas e familiares que, nesta jornada, nos apoiaram em todos os
momentos.
4
“Não há nenhum ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa
um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.”
Lovachevsky
5
RESUMO
Utilizando a definição dos números complexos busca-se relacionar os conhecimentos matemáticos já
existentes com outros conceitos, como a associação de um número complexo z a um ponto P do
plano de coordenadas e à trigonometria. Tem-se como objetivo mostrar que por meio do
desenvolvimento da história dos números complexos chegou-se a conceitos mais abrangentes e
profundos à cerca dos conjuntos numéricos. A pesquisa descritiva aqui exposta visa apresentar as
características e a modelagem dos números complexos. A metodologia aplicada é a bibliográfica,
destacada na explicação detalhada, minuciosa e exata da parte do conteúdo acerca dos números
complexos. As sugestões de exercícios se aplicam à geometria por meio da rotação de coordenadas
no plano e à física por meio de conceitos de corrente. Com isso, este trabalho visa também promover
a relação dos números complexos com outras áreas afins, como é o caso da geometria e da física.
Palavras-chave: Números Complexos; Geometria; Aplicação.
6
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 7
CAPÍTULO 1: HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ......................................... 8
CAPITULO 2: NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................. 11
2.1 Forma algébrica .................................................................................................. 13
2.2 Representação geométrica dos números complexos .......................................... 15
2.3 Conjugado de um número complexo ................................................................... 18
2.4 Divisão de números complexos........................................................................... 19
2.5 Módulo de um número complexo ........................................................................ 19
2.6 Forma trigonométrica dos números complexos................................................... 21
CAPÍTULO 3: ALGUMAS APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS ................ 29
CONCLUSÃO............................................................................................................ 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 34
7
INTRODUÇÃO
O presente trabalho pretende fazer uma análise sobre os números
complexos: histórico, definição, propriedades e aplicações por meio de resolução de
problemas. Busca-se, através do histórico sobre o assunto, relacionar os números
complexos com a evolução do pensamento matemático.
A monografia em questão vem mostrar o verdadeiro significado do
conjunto dos números complexos. Estes números vieram para solucionar um antigo
problema da matemática, pois passam a dar importância a números que
anteriormente não tinham significado algum, como é o caso da solução de raízes de
índice par de números negativos, e também para resolver equações quadráticas que
muitas vezes pensava-se não ter solução. Logo, o estudo dos números complexos
abre novos horizontes dando abertura a conceitos matemáticos antigamente
inexistentes. Um desses conceitos importantes é a representação geométrica dos
números complexos, sendo que passou a se associar um número complexo z a um
ponto P do plano cartesiano.
Como em muitos livros didáticos do Ensino Médio, números complexos
são uma das ultimas matérias abordadas no 3º ano do Ensino Médio, sendo que
muitos alunos concluem essa etapa sem terem visto essa matéria, acarretando
prejuízos em seu futuro como acadêmico. Então, este trabalho procura ressaltar a
importância de se lecionar e aprimorar o estudo dos números complexos, tendo em
mente que ele faz parte dos conjuntos numéricos, que são o alicerce para
compreensão da matemática.
No capítulo 1, damos ênfase a um pouco do histórico dos números
complexos, onde citamos Cardano, Tartaglia, Rafael Bombelli, Euler, Gauss,
Wessel, Argand e Hamilton que foram alguns dos matemáticos que desenvolveram
a teoria dos números complexos, chegando a estrutura que conhecemos hoje.
O capítulo 2 mostra os principais conceitos os números complexos que
são: forma algébrica, representação geométrica, conjugado, divisão, módulo, forma
trigonométrica, potenciação e radiciação.
O capítulo 3 é destinado à aplicação de números complexos, por meio de
três exercícios, no qual dois deles se aplica à geometria utilizando rotação de
coordenadas no plano, e um se aplica à física por meio de circuitos de corrente
alternada.
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CAPÍTULO 1
HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Desde a Antiguidade, alguns autores já faziam menções à raiz quadrada
de número negativo, como por exemplo, na expressão
, que se encontra
em obra de Heron de Alexandria (século I), ou em 1849 − 2016 , que aparece em
uma obra de Diofanto (século III); na tentativa de resolver a equação
336 x 2 + 24 = 172 x . Mas, foi apenas no século XVI, com os matemáticos italianos, que
as raízes negativas começaram a aparecer sistematicamente.
Em 1539, Cardano (Girolamo Cardano, 1501-1576) convenceu Tartaglia
(Niccolo Fontana Tartaglia, 1499-1557) a revelar seu método de resolver equações
cúbicas, sob o juramento de que não o publicaria antes que Tartaglia o fizesse. Mas,
Cardano, ao começar a estudar a fórmula de Tartaglia que relatou suas dificuldades
com tais raízes, e então recusou-se a ajudá-lo.
Em 1543, Cardano descobriu, ao tomar conhecimento do trabalho de Del
Ferro (Scipone Del Ferro, 1465-1526), que Tartaglia não havia sido o único a
descobrir a fórmula. Sendo assim, em 1545 publicou sua obra Ars Magna, na qual
revelava a solução de equação cúbica e quártica, e então, Cardano e Del Ferro
foram creditados pela descoberta, deixando Tartaglia furioso.
O significado do trabalho de Cardano foi apresentar raízes de números
negativos nas aplicações da fórmula para resolver equações cúbicas. Em uma
passagem de Ars Magna, Cardano estuda a divisão do número 10 em duas partes
cujo produto seja 40. Esse problema equivale a
x 2 − 10 x + 40 = 0 , que resulta em 5 + − 15 e
x.(10 − x ) = 40 , ou seja,
5 − − 15 . Mas, nem mesmo Cardano
havia entendido exatamente o seu próprio trabalho com essas raízes e, durante
muitas décadas, todos os que trabalharam com raízes quadradas de números
negativos não o fizeram com muita confiança.
Por meio do estudo profundo do trabalho de Cardano, Bombelli (Rafael
Bombelli, 1526-1572) definiu as regras de adição e multiplicação para raízes de
números negativos, escrevendo que
.
= -n. Com suas raízes, a fórmula de
Cardano - Tartaglia funcionava em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus
resultados. Bombelli foi o primeiro a dar alguma importância aos números
9
complexos, mostrando que estes poderiam ser usados para resolver equações
quadráticas, que muitas vezes pensava-se que não possuir solução.
Cardano não trabalhava com a notação
− 15 nem Bombelli com
−n .
Ao longo dos anos, cada matemático que tratava a questão, a fazia de um modo
diferente. Coube ao suíço Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), em um trabalho de
1777, mas só publicado em 1794 definir
− 1 como sendo i , de forma que i 2 = −1 ,
essa mesma notação foi usada pelo alemão Gauss (Carl Friedrich Gauss, 17771855) em 1801 e, dada a sua autoridade, essa notação acabou tornando-se padrão.
Em 1749, Euler, que já havia usado i para uma quantidade imaginária,
mas
sem
definir
seu
significado,
mostrou
que,
se
a + b − 1 for raiz de uma equação, então a − b − 1 também seria. Mesmo assim,
como a maioria, até então, Euler ainda era reticente ao trabalhar com os números
complexos.
Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês,
Wessel (1798), e um matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os
primeiros a compreender que os complexos não tem nada de “irreal”. São apenas os
pontos (ou vetores) do plano, que se somam através da composição de translações,
e que se multiplicam através da composição de rotação e dilatações. Mas essas
iniciativas não tiveram repercussão.
A grande obra a favor dos números complexos apareceu em 1831, na
qual Gauss inventou o termo “números complexos”. Nesse trabalho, ele apresentou
uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser
desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses
números no plano cartesiano. Gauss já visualizava os números complexos dessa
forma desde 1811. Foi com a ajuda dos complexos que Gauss decidiu quais eram
os polígonos regulares construtíveis com régua e compasso, ou que números
inteiros podiam ser escritos como soma de dois quadrados. Foi utilizando o plano
complexo que Gauss deu sua demonstração geométrica de que todo polinômio de
coeficientes reais pode ser decomposto em fatores de grau máximo dois, o que
equivale ao Teorema Fundamental da Álgebra.
Em 1837, Hamilton (Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865) galgou o
último degrau dessas descobertas, reconhecendo os números complexos como um
10
par ordenado de números reais (a, b) e reescrevendo as definições geométricas de
Gauss na forma algébrica.
Embora não pudesse responder todas as perguntas sobre o uso desses
números, sua habilidade para resolver certos problemas proporcionou à Matemática
a primeira grande mudança em termos de novos conceitos. Conceitos esses que, no
futuro, mostrariam o importante papel que esses números representariam. Não é
surpresa que muitos anos ainda passariam antes que esses novos números e suas
regras fossem completamente aceitos. Lembrando que, nesta época, nem os
números negativos, e muito menos os irracionais, tinham adquirido dignidade
numérica.
Para o homem moderno é fácil aceitar essas novas definições, pois os
alicerces deixados pela evolução neste campo são bastante sólidos, mas, para os
algebristas do século XVI, a história era bem diferente, pois não aceitavam o
excesso de artifícios. Esses artifícios, na opinião deles, colocavam todos os
argumentos fora das possibilidades numéricas. Essa forma de pensar difundiu-se de
tal maneira entre os algebristas do século XVII, que René Descartes usou o nome
imaginário para designar esses novos números. Bombelli, que foi o responsável pelo
lançamento das bases para o futuro desenvolvimento da Teoria dos números
complexos, também foi o último grande algebrista italiano da Renascença, tendo seu
livro Álgebra lido amplamente em outras partes da Europa.
Muitos matemáticos, depois de Bombelli, deram continuidade ao estudo
dos números complexos, mas para que eles tomassem forma e a teoria fosse
reconhecida como importante, seriam necessários mais de cem anos, e isso
somente iria acontecer nas mãos de De Moivre e Leonhard Euler, no século XVIII.
Desta forma, foi criado o conjunto dos números complexos, que amplia o conjunto
dos números reais.
11
CAPITULO 2
NÚMEROS COMPLEXOS
Em 1831, Gauss definiu o conjunto dos números complexos como um
conjunto de pares ordenados de números reais, sujeitos as regras de R em que
valem as leis de operação e:
− Igualdades:
(a, b) = (c, d) a = c e b = d
− Adição:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
− Multiplicação:
(a, b). (c, d) = (a. c – bd, ad + bc)
Os números reais pertencem ao conjunto dos números complexos e são
identificados com os pares ordenados que têm o segundo elemento igual a zero.
Assim o par (n,0) = n para todo n ∈ R.
Já os pares que têm o segundo elemento diferente de zero correspondem
aos complexos que não são reais. Assim:
− O par (0, 1) corresponde a um número complexo que não é real;
− O mesmo ocorre com os pares (2, -3), (1,
) e outros.
As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem as
seguintes propriedades (para quaisquer z, v e w pertencem a C ):
Adição:
− Comutativa:
z+v=v+z
I: z + v= (a, b) + (c, d) = (a +c, b + d)
II: v + z= (c, d) + (a, b) = (a +c, b + d)
Logo, z + v = v + z
− Associativa
(z+v) +w= z + (v + w)
I: (z + v) + w = [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c +e, b + d+ f)
II: z + (v + w) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a + b) + (c + e, d + f) = (a + c +e, b + d+ f)
12
Assim,
(z+v) +w= z + (v + w)
− Elemento neutro
Existe z 0 ∈ C ,
z 0 = (0,0) tal que: z + z 0 = z 0 + z= z
I: z + z 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, + 0, b + 0) = (a, b)
II: z 0 + z = (0, 0) = (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b)
III: Z = (a, b)
Logo, z + z 0 = z 0 + z= z
− Inverso aditivo ou oposto
Para z
C tal que: z + z’= z’ + z= z 0 = (0, 0)
e z’ = (-a, -b)
z + z’ = (a, b) + (-a, -b) = (a - a, b - b) = (0,0)
II: z’ + z = (a, b) + (-a, -b) = (-a + a, -b + b) = (0,0)
III: z 0 = (0, 0)
Logo,
z + z’= z’ + z= z 0 = (0, 0)
Multiplicação:
− Comutativa
z.v = v.z
I: z.v = (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
II: v.z = (c, d) * (a, b) = (ca – db, cb + da) = (ac – bd, ad + bc)
Logo, z.v = v.z
− Associativa
(z.v). w= z.(v.w)
Elemento neutro, Inverso Multiplicativo
Para z
z’=
(0, 0) existe z’ ∈ C tal que z . z’= z’ . z= z1 = (1, 0)
e
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I: z.z’ = (a, b).
=
= (1, 0)
. (a, b) =
II: z’.z =
= (1, 0)
III: z1 = (1, 0)
Logo, I = II = III.
− A multiplicação é distributiva em relação à adição
z.(v +w) = zv + zw
Demonstração: Sendo z = (a, b), v = (c, d), w = (e, f)
I: z.(v + w) = (a, b).[(c, d) + (e, f)] = (a, b).(c + e, d + f)
= (ac + ae – bd – bf, ad + af + bc + be)
II: zv + zw = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f) = (ac – bd, ad + bc) + (ae – bf, af + be)
= (ac + ae – bd – bf, ad + bc + af + be)
Logo, I = II.
2.1 Forma algébrica
− Unidade imaginária
Criou-se um nome e um símbolo para o número complexo (0, 1). Ele foi
chamado de unidade imaginária e indicado por
i , ou seja, o símbolo i
como o número complexo (0, 1). Observemos que:
= .
= (0, 1)(0, 1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1, 0)= -1
Portanto:
Que é a característica fundamental da unidade imaginária.
− Forma algébrica
Um número complexo qualquer z = (a, b), a, b,
z = (a, b) = (a + 0, b + 0) = (a, 0) + (0, b) I
(0, b) = (b, 0).(0, 1) II
pois, (a, 0) = a e (b, 0)= b III
R
identifica-se
14
Substituindo II e III em I, temos:
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0)
+ (b, 0).(0, 1)
z = a + bi
Essa é a forma algébrica ou forma binomial de escrever um número
complexo. Observemos que um número complexo escrito nessa forma tem duas
partes:
1) a = parte real de z e;
2) b = parte imaginária de z.
+
Devemos observar também que, se b = 0, temos z= a (número real); e, se
a=0 e b
0, temos z =
, que é um número imaginário puro.
Exemplos:
− 1. Em z= 2 +3 , temos Re (z) = 2 e Im(z) = 3
− 2. Em z= 3, temos Re (z) =3 e Im (z) = 0. Portanto, z é real
− 3. Em z= - 2 , temos Re (z) =0 e Im (z) = -2. Portanto, z é imaginário puro.
− Potências da unidade imaginária
As potências de , como
(0, 1), então, podemos definir:
= (0,1) definição
é denominado na forma de par ordenado como
15
Observe que as potências de
começam a se repetir depois de
. De
modo geral, temos:
Ou seja,
Logo, para calcularmos o resultado de
, n
, basta dividir os
expoentes por 4 e considerar o valor do resto dessa divisão dado pela tabela abaixo:
Resto
Resultado da potência
0
1
1
2
-1
3
-
Exemplo: Encontre o valor de
. Dividindo 1000 por 4 encontramos
resto igual a zero. Portanto,
2.2 Representação geométrica dos números complexos
Cada número complexo z = a + b
está associado ao par ordenado de
números reais (a, b) por outro lado, sabemos que a cada par de números reais (a, b)
está associado um único ponto do plano. Logo, podemos associar a cada número
complexo z = a + b o ponto P(a, b).
O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é
denominado plano complexo ou plano de Argand Gauss.
16
Por exemplo, vamos representar geometricamente os números complexos
(3, -2)
(5, 0)
(0, -2)
(2, 1)
(-2, 1)
17
Observando a representação geométrica dos números complexos, podemos
perceber alguns fatos importantes:
1) Os números complexos reais pertencem ao eixo
, mantendo a relação, a qual
cada número real corresponde um único ponto da reta.
2) Os números imaginários puros pertencem ao eixo
3) Os demais números complexos (a +
, com a
.
0eb
0) pertencem a um dos
quatro quadrantes, de acordo com os sinais a e b.
4) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os números
complexos.
5) Podemos associar a cada número complexo z = a +
um único vetor com
extremidades no ponto O, origem do sistema de coordenadas cartesianas até o
ponto P(a, b).
No plano complexo a seguir, alem do número complexo z = a +
representados outros dois números,
paralelogramo formado por
e
e
, e a soma deles
+
, estão
(diagonal do
).
6) A associação dos números complexos z = a +
aos vetores permite o uso dos
números complexos em diversos campos nos quais as grandezas são vetoriais. Um
exemplo disso é o estudo da eletricidade, onde o aluno descobrirá que corrente
elétrica, voltagem, impedância, etc. são todos números complexos.
18
2.3 Conjugado de um número complexo
O conjugado de um número complexo z = (a, b) = a +
complexo z = (a, -b) = a -
é o número
. Assim:
1) Se z = 2 + 3 i, então z = 2 - 3i
2) Se
z = 5, então z = 5
3) Se
z = i, então
z =-i
− Interpretação geométrica do conjugado
Geometricamente, o conjugado é representado pelo simétrico em relação
ao eixo
:
− Vejamos algumas propriedades importantes do conjugado
1º) Se z = a + bi, então:
z. z = a² +b², que é real, positivo ou nulo.
2º) Para o número complexo z, temos:
z= z
↔ z é número real.
3º) Se z1 e z2 são números complexos, então:
z1 + z2 = z1 + z2 (o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados)
19
4º) Se z1 e z2 são números complexos, então:
z1 . z2 = z1 . z2
2.4 Divisão de números complexos
O quociente entre dois números complexos com
Exemplo:
vamos
efetuar
o
quociente,
0, é dado por:
sabendo
que
.
2.5 Módulo de um número complexo
Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância da
origem do sistema de coordenadas (0, 0) ao afixo de z, e será indicada por |z|.
20
Aplicando o teorema de Pitágoras no triangulo 0AP, temos:
Então podemos dizer que, dado um número complexo Z= a +
se módulo de Z e indica-se por
, chama-
o número real positivo ou nulo dado por:
Exemplo: calcular os módulos de
=3+4 ,
= (-3, -4),
= (4, -3) e
= -4 + 3
Observemos graficamente:
Observe que os afixos de
centro 0 (0, 0) e raio r = 5.
,
,
e
estão todos na circunferência de
21
Note que a definição do módulo em C é compatível com a definição de
módulo (valor absoluto) em R.
Exemplo: z = -2, temos |z| = |- 2| = 2, assim para z = a, a
R, temos: z = a - 0 e
portanto:
|z| = |a|
2.6 Forma trigonométrica dos números complexos
é representado por um
Sabemos que um número complexo z = a + b
ponto do plano, de coordenadas (a, b). Essas são as coordenadas cartesianas do
ponto z. Veremos agora que esse mesmo ponto pode ser representado por suas
coordenadas polares, que são:
1º)
O módulo do vetor
ponto
2º)
, indicado por
à origem do plano (supondo
O ângulo
ângulo
, em que
ou
, representando a distância do
);
, que o vetor
forma com o eixo x. Esse
é chamado argumento de Z e indicado por arg (Z).
22
Olhando para o triângulo OPB, vemos que:
Essas igualdades levam a:
Substituindo esses valores em
, temos:
Portanto:
Que é chamada forma trigonométrica ou forma polar de Z.
Exemplo: vamos determinar a representação geométrica e a forma
trigonométrica do número complexo z = 1 + .
Assim, a forma trigonométrica de Z é dada por:
23
− Analisemos agora, a multiplicação de números complexos na forma trigonométrica,
consideremos os números complexos
O produto
.
e
, dados abaixo:
é dado por:
Portanto:
Assim, o produto de dois números complexos escritos na forma
trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao produto do módulo dos
fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida à 1ª
volta
Exemplo: vamos calcular o produto
.
com:
Substituindo os dados do problema na fórmula, temos:
Fazendo a interpretação geométrica desse problema, obtemos:
24
Em
de
.
, houve uma rotação positiva a
de um ângulo igual ao ângulo
. Ou seja, nesse caso, houve uma rotação de
era , e
recebeu uma rotação de
o produto
a
.
. Como o argumento de
passa a ter argumento igual a
,
.
Já
o
módulo
de
.
é
6,
que
corresponde
a
2.3
ou
− Analisemos agora, a divisão de números complexos na forma trigonométrica:
Dados os números complexos
O quociente
, para
e
na forma trigonométrica.
é dado por:
Assim, o quociente de dois números complexos na forma trigonométrica,
com o segundo número diferente de zero, é o número complexo cujo módulo é o
quociente dos módulos e cujo argumento é a diferença dos argumentos dos dois
números na ordem dada, reduzida à 1ª volta
Exemplo: vamos calcular o quociente
Substituindo
para:
na fórmula dada, temos:
25
− Potenciação de números complexos na forma trigonométrica – a fórmula de
DeMoivre
A potência
Assim, se um número complexo z está escrito na forma trigonométrica
, temos:
(fórmula de DeMoivre)
Assim, podemos dizer que a potência de ordem n de um número
complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual
ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do
número multiplicado por n, reduzido à primeira volta
Exemplo: vamos calcular a potência
onde
;
a = 1; |Z| =
e b = -1
Assim,
Mas:
26
corresponde
a
oito
voltas
mais
,
isto
é:
Portanto:
Na forma algébrica, temos:
Logo,
− Radiciação de números complexos
Um número complexo w é raiz
- ésima
de um número
complexo z se, e somente se, w n = z.
Seja
uma
raiz
-
ésima
de
, não nulo.
Então:
Da última igualdade, vem:
⇒
Logo,
Essa relação é conhecida como segunda fórmula de DeMoivre.
Admitindo que
valores de
seja o argumento principal de z, vamos determinar os
, indicando-os por
, de acordo com o valor articulado a k
27
Todos esses argumentos pertencem ao intervalo [0,
entre si, logo,
] e são distintos
são distintos entre si.
Continuando a atribuir valores a K, notamos que:
Assim, temos:
Teorema: Todo número complexo
raízes
não-nulo tem
- ésimas distintas entre si, que são dadas por:
Para determinar as n raízes de z, ou seja,
, podemos atribuir a K
valores diferentes dos citados, mas desde que sejam n valores inteiros consecutivos.
Exemplo: vamos calcular as raízes quartas de
Temos:
e o argumento principal é 240°
Logo,
Aplicando a segunda fórmula de DeMoivre, vem:
28
Portanto, as raízes quartas de
são:
Notamos que |W o| = |W1| = |W 2| = |W 3|. Geometricamente, isso significa
que os afixos de W o, W1, W 2 e W 3 pertencem à circunferência centrada na origem do
plano complexo de raio 2. Os afixos das raízes são vértices de um quadrado inscrito
na circunferência centrada na origem, já que n = 4.
29
CAPÍTULO 3
ALGUMAS APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS
Do ponto de vista geométrico, uma aplicação importante da multiplicação
de números complexos na forma trigonométrica é possibilitar a rotação de
coordenadas no plano. Esse papel pode ser desempenhado pelos números
complexos, pois na multiplicação de dois complexos na forma trigonométrica
multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Portanto, se um ponto (a, b)
deve ser rotacionado, em relação à origem, em
graus no sentido anti-horário,
basta multiplicarmos o número complexo a + b pelo complexo
Exemplos:
1. Vamos encontrar as novas coordenadas do ponto A (3, 4) após uma
rotação de 90° no sentindo anti-horário em relação à origem.
O ponto A (3, 4) representa geometricamente o complexo
Para
haver uma rotação de 90° no sentindo anti-horário p recisamos multiplicar
. Como
multiplicar
por
, então basta
por .
Então, as novas coordenadas do ponto A (3, 4) são A’ (-4, 3).
30
2. Vamos encontrar as novas coordenadas do segmento AB, com
A(1, 1), e B(3, 4) após uma rotação de 90° no senti ndo anti-horário em
relação ao ponto A.
O ponto A (1,1) e o ponto B (3, 4) representam geometricamente os
complexos
. Como a rotação é em torno do ponto A, devemos
rotacionar apenas o número complexo t que equivale à diferença
) e depois somá-lo novamente com
(no caso,
. Assim, para haver uma
rotação de 90° no sentido anti-horário, precisamos multiplicar por , e depois somar
, pois a rotação é em torno de
.
Assim, as novas coordenadas do ponto B são (-2, 3), ou seja, o ponto A
(1, 1) se mantém após a rotação B’(-2, 3).
− Aplicando à Física
Em circuitos de corrente alternada, como, por exemplo, as instalações
elétricas residenciais, as grandezas elétricas são analisadas com o auxílio dos
números complexos, o que facilita muito os cálculos. A relação
, estudada na
Física, e que se utiliza de números reais, torna-se:
em que:
U é a tensão, z é a impedância e
é a corrente elétrica, e essas
grandezas passam a ser representadas através de números complexos. Para que
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não haja confusão entre , símbolo da corrente elétrica, e , unidade imaginária,
utiliza-se
j
como
unidade
imaginária
na
. Alem disso, usamos a notação
representação
algébrica
para a forma trigonométrica
dos números complexo
. Com base nesse texto, vamos
resolver o problema a seguir:
Uma fonte de tensão, de calor eficaz
impedância
, alimenta uma carga de
. Vamos obter a corrente elétrica fornecida pela
fonte.
Temos:
Para efetuarmos essa divisão é preferível ter
e
na forma
trigonométrica. Já temos:
,
a forma trigonométrica de :
Z = 10 + 10j ⇒ |Z| =
Então:
Como:
Assim:
⇒ |Z| = 10
e agora precisamos obter
32
Vale lembrar ao leitor, que para entender esse último exemplo, faz-se
necessário um certo conhecimento a respeito do assunto.
33
CONCLUSÃO
A teoria e a experiência descritas neste trabalho refletem a importância de
uma constante pesquisa, por parte dos matemáticos e estudiosos afins envolvidos,
quando se trata da aquisição e descobertas da aplicabilidade dos números
complexos.
Vemos que em muitos livros didáticos do Ensino Médio, números
complexos são uma das últimas matérias abordadas no 3º ano do Ensino Médio,
sendo que muitos alunos acabam por concluir o curso sem terem visto essa matéria,
acarretando prejuízos em seu futuro como acadêmico. Nesse sentido, este trabalho
procurou ressaltar a importância de se lecionar e aprimorar o estudo dos números
complexos, tendo em mente que ele faz parte dos conjuntos numéricos, que são o
alicerce para a compreensão da matemática.
Buscamos evidenciar os referenciais históricos e aplicativos acerca dos
Números Complexos, para promover e despertar interesse a respeito do tema. Ao
analisar a evolução da descoberta dos números complexos, constatou-se a
importância do contexto histórico na compreensão da origem, fases de pesquisas,
descobertas e aplicações destes números.
Fica evidente que o presente trabalho não esgota esse tema. A partir da
continuidade do estudo dos Números Complexos, novas descobertas e aplicações
surgirão, contribuindo assim para o desenvolvimento da matemática.
Termina-se este, na esperança que o mesmo tenha sido interessante,
bem como, de fácil leitura e compreensão e que leve o leitor a pesquisar mais ainda
sobre o assunto para ampliar seus conhecimentos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASILIA. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e
suas tecnologias. Orientações curriculares para o ensino médio. Volume 2. 2008.
CARNEIRO, José Paulo. A geometria e o ensino dos números complexos.
Revista do Professor de Matemática. São Paulo: Alciléia Augusto. Dez.2004. p. 1819.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: livro do professor, volume único. 1ª. Ed. São
Paulo: Ática. 2008.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria. Matemática volume 3, Ensino Médio.
4ªed. São Paulo: Saraiva. 2004.