Gabarito Extensivo – MATEMÁTICA
volume 1 – Frente B
30°
45°
60°
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
sen
3
2
3
3
cos
tan
1
3
01) E
x2
42
x2
25 16
x2
9
x
52
sen30
1
2
y
3
cateto oposto
hipotenusa
4
y
8
x+y=3+8=11
02) 2 3
2 m
Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura x da colina.
Importante observar que o triângulo AOC é isósceles com as medidas AO
cateto oposto
cateto adjacente
tg30
3
3
x
4
x
4 3
x 3
3x
x 3
3x
4 3
3
4 3
x
x
3
4 3
3
3
x
3
4 3
x
4 3
3
3
3
3
3
3
.
3
12 3 12
6
2 3
12 3 12
9 3
2 m
12 3 12
9 3
OC
4
x.
03) 22m
Seja x a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da
entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada.
x
20
cos 60
1
x
2 20
2x 20
x
2
2
2y
10
y
y
Distância entre os prédios = 10+12=22m
04) A
Seja QR
x
a b
x 10
tg30
3
3
a b
x 10
x 3
10 3
10 3
3
x 3
x 3
10 3
3x 3
3x 3
x 3
10 3
3x
x
x
a b
x
a b
3
x
x 3 a b
tg60
a b
3
x 3
10
5
x 3
a b
a b
x 3
a b
5 3
Mas o cateto a b multiplicado por
5 3. 3
5.3
y
cos 45
15 unidades
3 fica:
12 2
y
12 2
12 4
12.2
2
12
12
05) B
Seja x a altura da parte do prédio (Cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo.
Com o valor do seno de α podemos encontrar o cosseno e tangente de α utilizando a relação fundamental
sen 2
cos2
1 e a fórmula da tangente em função de seno e cosseno. Para sen
4
, inicialmente
5
calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo.
sen 2
cos2
1
2
4
cos 2
1
5
16
cos 2
1
25
9
cos 2
25
3
cos
5
tg
tg
tg
sen
cos
4
5 4.5
3 5 3
5
4
3
Tangente de α em função dos
catetos:
tg
4
3
4
3
x
x
8, 4
x
8, 4
11, 2
Logo, x + altura da casa = altura do prédio = 11,2+4,8 = 16
06) A
Seja x a altura da montanha.
cat.oposto
cat.adjacente
x
tg30
600
3
x
3
600
3x 600 3
600 3
x
3
tg30
x
200 3 m
07) A
Altura da rampa = 15cm + 15cm = 30cm = 0,3m= cateto oposto ao ângulo de 30°.
x = comprimento da rampa.
0,3
x
0,3
0,05
x
0,3
x
0,05
x 6m
sen3
08) E
x
tg30
80
3
3
y
x
80
x
y
tg60
x
y
3
y
x
3
3
x
80
3
3
x
y
y 3
80 y
y 3
80
y
3y y
y 40
x
x
y 3
40 3
69,2
3y 3
3
80
Altura do prédio é igual a x mais a altura da pessoa que é 1,73m. Logo,
x+1,73 = 69,2+1,73≈71m
09) C
1000
x
2 1000
2
x
x 1000 2 1414m
cos 45
10) A
10
L2
cos 60
1
2
L2
11) C
10
L2
20
tg60
3
H
H
10
H
10
10 3
sen30
1
2
H
L1
10 3
L1
L1
20 3
L1
34,6
L1+L2=20+34,6
L1+L2≈54,6m
tg60
x
1,8
3
x
x
x
1,8
1,8 3
3,1
12) D
Conforme os dados do exercício, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distância
AC = x, basta aplicar o teorema de Pitágoras.
x2
62
(8
x) 2
x 2 36 64 16x
16x 100
x
x2
25
4
13)
Observe que a h (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo:
Logo, com relação:
cat.oposto
hipotenusa
h
sen30
200
1
h
2 200
h 100m
sen
14)
Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no segmento DE . Observe ainda que o ângulo DFA
mede 30° fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja x = DF = AE :
x
50
tg30
3
3
x
cos30
x
50
3
2
50 3
3
50 3
DF
3
x
50 3
3
FA
x
50 3
3
50 3. 3
3
50.3
3
50
2x
2x
2x
x
Portanto, AB
50
25
50 3
3
25
75
15)
Seja x a distância entre o ponto B e o pinheiro.
tg( )
h
tg( )
d x
h
tg( )
d
x
x
h
tg( )
x
h
x
h
tg( )
d
h
h
d
tg( )
tg( )
h
h
d
tg( ) tg( )
h
1
tg( )
1
tg( )
d
tg( ) tg( )
d
tg( ).tg( )
d
h
tg( ) tg( )
tg( ).tg( )
d.tg( ).tg( )
h
tg( ) tg( )
h
16) C
Observe que a hipotenusa do triângulo destacado é 2,5m
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y.
Seja z = y+x
2,52 1,52 y 2
y 2 6, 25
y 2m
2, 25
4,00
3,92
z2
z
1,52
z2
12,96
3,6
x+y=3,6
x+2=3,6
x=1,6
17) D
3tg
tg
tg
h
PT
tg
18)
4tg
4tg
3
h
PT
4tg
3
3h
4PT
h 10
PT
h 10
3h
PT
4PT
3h
h 10
4
4h 40 3h
h 40m
tg
x
8
sen60
3
2
x
1
2
y
x
8
4 3
102
y
8
cos 60
82
z2
z 2 36
z 6
y
8
4
Y+4=4+4=8
Altura do poste: x
z
4 3
6
6
4 3 m
19) C
Seja h a altura da torre e x a distância entre a torre e o ponto de observação em no qual formou-se um
ângulo β tal que tg
3
60
tg
h
tg60
3
rad
3 3:
4
h
4
x 3
x
x
4 3
x 3
x 3
h
h
4 3
h
x
h
3
x 3
x 3
h
h
3
h 4 3
h
h
3
4 3
2h
4 3
3
h 6 3
4 3
h
3
20)
a)
Seja x a distância entre P e Q:
x2
12
x2
49 1
x2
48
x
4 3
PQ
72
4 3dm
Seno do ângulo BPQ (α):
No triângulo BPQ, a distância PB = hipotenusa = y
y2
22
y2
4
y
2
(4 3) 2
48
52
y
2 13dm
Cateto oposto
sen
hipotenusa
sen
2
2 13
sen
13
13
1
13
.
13 13
13
13
b)
O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60°. Dessa forma a distância percorrida pela bicicleta
numa volta completa da roda maior (360°) é,
60
D
360
60
2 r
360
dm
Comprimento da circunferência menor C2=2πr  C2=2π2  C2=4π dm
Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor, e observe a relação envolvendo o comprimento da
circunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:
D
360
C2
360
4
90
Comprimento da circunferência maior C1=2πr= C1=6π,
A relação entre os comprimentos C1 e C2 é
C1
C2
6
4
3
2
1,5
Isso significa que a quando a volta maior dá uma volta completa, a roda menor dá 1,5 volta. Nessas
condições, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará 1,5x80=120 voltas
21)
Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:
10 1
30 3
h 1,5
tg
x
1 h 1,5
3
x
x 3h 4,5 i
tg
10 1
20 2
h 1,5
tg
x 10
1 h 1,5
2 x 10
x 10 2h 3
tg
x
Juntando i e ii, temos:
3h
3h
4,5 2h 7
2h 7 4,5
h
11,5m
2h
7
ii
22) D
x = OA0
sen30
1
2
x
Ângulo Â0=60°
y=A0A2
1
x
1
x
2
cos 60
y
1
1
2
0,5
y
OA2=2-0,5=1,5
z=A2A3
sen30
1
2
z
z
1,5
z
1,5
1,5
2
3
2
2
3
4
23) C
Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.
20
x
3 20
3
x
x 20 3cm
tg30
Cada degrau mede 20 3cm de comprimento. Como o comprimento horizontal da escada é de
280 3cm , então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo
comprimento do degrau.
280 3cm
20 3cm
14 degraus
24) D
Considere x
BE :
3,84
x
3,84
0,96
x
3,84
x
4m
0,96
cos16
Como o comprimento do telhado é de 4m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelhas com
2,20m cada uma, portanto 2,2+2,2=4,4m. Logo, o transpasse será de 40cm
25) D
Seja x
AD e y
DO :
3
2
2
x
r
sen60
3r
2
x
r
3r
2
x
y2
y
AD
3r
2
AD
DB
BE
CE
AD
DB
BE
CE
AD
DB
BE
CE
y2
3r
4
r2
r2
2
r
2
3r r
2
2
2r
r
2
2r
r
2
r
DB
r
BE
DO
CE
r
r
2
r
2
r
2
3r
2
3r
2
26) B
B
180
75
45
60
x = Distância do pontos A ao ponto C
8
sen45
8
2
2
x 2
2
x 2
2
x
x
x
sen60
x
3
2
8 3
2
2.8 3
2 2
8 3 2
.
2 2
8 3
2
4 6
27)
42 22 32 2.2.3cos B
16 4 9 12cos B
12cos B 13 16
32 22 42 2.2.4cos A
9 4 16 16cos A
16cos A 20 9
1
4
01 correto
11
16
02 correto
cos B
cos A
22 32 42 2.3.4cos C
4 9 16 24cos C
24cos C 25 4
cos C
7
8
sen 2C
cos 2 C
sen 2C
1 cos 2 C
sen 2C
1
sen 2C
15
64
7
8
sen 2 B
1
cos 2 B
sen 2 B
1 cos 2 B
sen 2 B
1
sen 2 B
15
16
2
15
8
04 correto
1
1
4
2
15
4
08 correto
senC
senC
O triângulo ABC é obtusângulo, pois cos B
1
4
90
B 180 . (16 – correto)
Logo, a resposta correta é 01+02+04+08+16=31
28) A
Com os dados o triângulo fica. Observe ainda que o ângulo 75° = 45°+30°
Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, necessitaremos calcular o valor do seno de 75°.
Utilizaremos o seno de arco duplo:
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
2
a
sen75°=sen(45°+30°)
sen a
b
sen a cos b
sen 45
30
sen 45
30
sen 45
30
sen 45
30
sen 75
cos a sen b
sen45 cos30
2 3
2 1
.
.
2 2
2 2
6
2
4
4
6
2
4
2
6
4
cos 45 sen30
sen45
2
2
2
3
2.
2
a 2
a
sen60
a
3
2
a 2
2
2 3
6
2
sen45
2
2
2
b
sen75
b
6
2
4
b 2
2
2
b 2
4
b 2
6
2
4
6
2
4
6
2
6
b
2
2
b
6
2
b
3
2
2
1
Perímetro:
P=a+b+c
P
2
P
3
3
1
3
6
6 cm
29) C
O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a Lei dos cossenos podemos calcular o
cosseno de A:
82
42
62
2.4.6.cos A
48cos A
52
64
cosA
1
4
sen 2 A
cos 2 A
1
2
sen 2 A
sen 2 A
sen 2 A
senA
1
4
1
1
16
15
16
15
4
1
30)
C
180 60 75
30
x
sen45
sen60
30
x
2
3
2
2
3
2
30.
x
2
2
30 3 2
x
.
2
2
x
45
15 6
Seja y a altura do edifício CD .
tg30
3
3
y
y
y
15 6
y
15 6
15 6 3
3
5 18m
Agora, dividindo o resultado por
5 18
2
5 9
2:
15m
31) B
6
8
sen30
senB
6
8
1 senB
2
8
6senB
2
6senB 4
2
senB
3
32) C
Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo
12 22 22 2.2.2cos
8cos
8 1
7
8
cos
Logo, os cossenos desses ângulos são:
22 22 12 2.2.1cos
4cos
5 4
cos
1 1 7
,
e .
4 4 8
33) 12
3
5
2
sen B cos 2 B
cos B
3
5
2
sen B
2
1
9
25
sen 2 B
1
sen 2 B
16
25
4
5
senB
1
Pela lei dos cossenos:
x2
(x
1) 2
(x
x2
x2
2x
1
x2
0
6x
30x
25
x2
12x
13
x2
(2x 2
5
5x 2
2) 2
6x 2
5
0
2(x
4x
4x
12x
1)(x
4
2x
2) cos B
2(x 2
4)
6x 12
2x
x
2)
3
5
3
5
0
ou
x2
12x 13
0
x1
x2
13
1 Não serve
Logo, os lados do triângulo são 13, 14 e 15. Agora basta calcular a altura y
senB
4
5
y
15
y
13
2
1
4
15.4
5
y 12
y
34) D
Errata: Considere CBD=90° .
Observe que ABD
x2
32
42
x2
9
x2
15 12 3
x
15 12 3
16
60
90
150 . Com a lei dos cossenos para cos150
cos30 e x=AD:
2.3.4( cos30 )
24.
3
2
35) A
Com o ângulo ABC
cos150°=-cos30°
2
x2
300 3
x2
90000.3
40000 120000 3.
x2
270000
40000
2
490000
700m
x
x
2002
150 , podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância x=AC e
2.300 3.200cosB
3
2
60000.3
36) E
PSQ
60
PQS
30
Seja PQ=x:
x
tg30
3
3
x
3
3
x 1
PQ
1
RS
RS
12
11
x
QS
y2
y
12
y2 1
y 2
QS
QR
2
3
3
2
z
2
z2
122
z2
144
z
147
QR
3
3
147
Aplicando a lei dos senos com sen(120°)=sen(60°) no triângulo QRS
11
sen
11
sen
147
sen60
147
3
2
147 2
.
1
3
11
sen
11
sen
11
sen
11
sen
147
3
2
2 49
2.7
11
14
sen
37)
OAP
120
BAP
60
APB
45
AP
y
AB x
3
3
sen120
3
3
3
2
y 3 3
2
y 3 3
y
1
2
3
3
y
y
y
sen30
x
2
2
2
3
1
.
3 1
sen75
Pelo exercício 28, sen75°= sen75
3
3
3
x
sen45
x
3
3
3 3 3
3
x
3 1
6
2
4
2 3 1
4
.
.
2
1
6
2
6
2
4
.
2
6
2
x 2
AB 2km
6
2
4
38)
MB
BN
1
2
1
2
No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no
ângulo B :
2
14
4
1
2
7
8
1
4
1
4
7
8
2
4
cos B
2
2
1
2
2
2
1
2
1
cos B
2
2
cos B
4
cos B
2
cos B
2
cos B
A 180 B
cos A cos(180º B)
3
2
Com a Lei dos cossenos em DAM :
Seja, x
DM ¨
2
x2
x2
x2
x2
x
1
2
1
1
4
1 4
4
2
4
2
2
12 2
3
4
3
1
.1cos A
2
1
2
7
8
3
8
3
2
39) B
Errata, considere o ângulo 105° no lugar de 150°:
Considere primeiramente o triângulo ABC, com B
45 e x
BC :
x
50
sen30 sen45º
x 50
1
2
2
2
2
50
x
2
2
x 25 2
Agora, basta calcular a altura h do triângulo retângulo BDC.
h
25 2
sen30
1
2
h
25 2
2h
25 2
h 12,5 2m
40) E
O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo
ao lado x+2:
x 2
(2x
2
2
x2
2x) cos
(2x 2 2x) cos
x 1
x
2
2
2x x 1 cos
x
2
2x 1 x 2 4x 4
x 2 2x 3
x 2 2x 3
(2x 2 2x)
(x 1)(x 3)
2x(x 1)
(x 3)
2x
cos
cos
cos
41) B
É necessário calcular os lados x e y do triângulo:
Com perímetro medindo 20m,
x y 8 20
x y 12
y 12 x
y2
Lei dos cossenos com lado y:
y2
x 2 82 16x cos 60
1
x 2 64 16x.
2
2
x 64 8x
(2)
y2
y2
Utilizando a equação (1) em (2):
x 2 64 8x
12 x
2
x 2 64 8x 144 24x x 2
8x 24x 144 64
16x 80
x
5m
x y 12
5 y 12
y 7m
42) A
Seja x
AB BC e pela lei dos cossenos em 30°,
2
x2
3 1
3
2
3
2x 2 2x 2 .
2
3 3 2 3 1
2
2x 2 2x 2 .
3 1
2
3 1
2x 2
x 2 2x 2 cos 30
x2
x2 2
3
4 2 3
x2 2
3
2 2
3
12 x
2
(1)
2 2
x2
3
2
x2
3
2
x
2
Altura do triângulo ABC:
2
x
2
h
3 1
2
2
2
2
2
h
2
3 2 3 1
4
Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula:
Área
Área
AB.BC.sen30
2
1
2. 2.
2
2
1
2
2
2.
Área
Área
1
2
43) B
O Triangulo AOC é retângulo com hipotenusa AC = 5. Nessas condições
OA 2 OC2
OC2
AC2
52 32
OC 4
Seja α o ângulo OCD que é igual ao ângulo ODC . Então, o DOC 180 2
sen
sen 2
1
3
1
2
cos 2
cos
1
3
cos 2
cos 2
1
1
9
2 2
3
1
Agora, para calcular a área do triângulo OCD, basta utilizar a mesma fórmula do exercício anterior,
considerando que sen(180°-2α)= sen(2α). Devemos utilizar a fórmula:
sen(2α)=2 sen(α).cos(α).
4.4.sen(2 )
2
4.4.2sen( ).cos( )
Área
2
Área 16.sen( ).cos( )
Área
1 2 2
Área 16. .
3 3
Área
32 2
9
44) B
Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo)
AC.AB
A
.2Cos
2
AC AB
BISSETRIZ(A)
Seja x=AB
3x
90o
.2Cos
3 x
2
2
45
2
2
OBS : cos45
3x
2
.2
3 x
2
3x
1
.1
3 x
3x 3 x
2
x
3
2
Agora, basta utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa BC:
BC
BC
BC
BC
2
2
2
2
BC
BC
AC
2
3
2
32
9
AB
2
2
9
4
45
4
45
4
3 5
2
45) C
(a b c)(a b c) 3ab
a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2
a 2 2ab b2 c2 3ab
Isolando c:
3ab
a 2 2ab b 2 c2
3ab
c2
a 2 2ab b 2 3ab
c2
a 2 b 2 ab
(A)
Mas pela lei dos cossenos em C :
c2
a2
b2
2ab cos C
(B)
Fazendo (A) = (B):
a 2 b2 2ab cos C a 2 ab b 2
2ab cos C a 2 ab b 2 a 2 b 2
2ab cos C
ab
ab
cos C
2ab
1
cos C
2
Logo, C 60
46) A
Seja x=AB AC=3x
2
x 2 (3x) 2 2.x.3x.cos
32
32 x 2 9x 6x 2 .
32
1
3
x 2 9x 2 2x 2
32 8x 2
x 2
Então, AB é um inteiro par!
Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto ao lado x:
22
2
62
32
2.6. 32.cos
4 36 32 12.4. 2.cos
48 2.cos
64
64
cos
48 2
cos
4
3 2
cos
4 2
3.2
cos
2 2
3
.
2
2
0,942809
O Cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante, e como 0,94
ângulo
30 .
1
, podemos concluir que o
2
47) B
No triângulo BAD com a lei dos cossenos:
DB2
132
DB2
169 2116 1196 cos120
1
2285 1196.
2
2285 598
2883
2883
DB2
DB2
DB2
DB
DB
462 2.13.46.cos120
961.3
DB 31 3
BD
AC
sen120
31 3
AC
3
2
31 3 2
AC
.
1
3
AC 62
48) D
Pela lei dos senos, temos que
a
sen
diferente,
sen
sen
a
1
c
sen
a 3
sen
b 5
a b c 44
5c
c
c 44
3
5c
2c
44
3
44
c 3.
11
c 12
Como a=c, a
12
a
c
b
5a
ou b
3
5c
3
b
sen
c
, ou ainda escrevendo a mesma lei de forma
sen
a b c 44
12 b 12 44
b
20
Maior lado, b=20.
49) D
Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos:
42
b 2 12 2.b.1cos x
16
b 2 1 2b cos x
b 2 2b cos x 15 0
Com a fórmula de Báscara:
b
4 cos 2 x 60
2
2 cos x
b
b
( 2 cos x) 2 4.1.( 15)
2.1
( 2 cos x)
b
4(cos 2 x 15)
2
2 cos x
2 cos x 2 cos 2 x 15
2
b cos x
cos 2 x 15
Interessante que até aqui já dispomos de um resultado válido, no entanto aplicando a igualdade
fundamental da trigonometria:
cos 2 x sen 2 x 1
cos 2 x 1 sen 2 x
b cos x
1 sen 2 x 15
b cos x
16 sen 2 x
50) B
51) E
O é o centro da circunferência de raio AO=OB
Como o comprimento de arco menor AB é 1cm, o perímetro em cm é igual:
2 .1 1 1 1
2
1
52) C
12
13
2
sen x cos 2 x 1
sen(x)
12
13
2
cos 2 x 1
144
169
25
169
cos 2 x 1
cos 2 x
cos x
5
13
5
, pois está no segundo quadrante.
3
Resposta:
53) A
4
,
5
sen(x)
3
2
x
2
tg x = ?
sen 2 x cos 2 x 1
4
5
16
cos 2 x 1
25
2
cos 2 x 1
cos x
3
5
tg(x)
sen(x)
cos(x)
tg(x)
4
3
4 5
.
5 3
4
3
54)
3
5
cos
sen 2 x cos 2 x 1
2
3
5
2
sen x
1
9
25
sen 2 x 1
sen 2 x
16
25
senx
4
5
tgx
sen(x)
cos(x)
tgx
4
3
4 5
.
5 3
4
3
55) E
Dividimos 4555° por 360°, e analisamos o resto da divisão = 235°. Este é o ângulo equivalente e está no
terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é 4555°-360° = 4195°.
56) A
sen(x)
0 2m
3 2m
3 2m
3
2
2m 3
3 1
1 3
4
m 2
57)
sen(x)
y
1
37 2sen(x)
3
y 13
58) C
2
cos
,
3m 1
4
37 2( 1)
3
37 2
13
3
3m 1
0
4
4 3m 1 0
4 1 3m 1
3 3m 1
1
1
3
1 m
59) C
1 2k 1 0
1 1 2k 1
0 2k 1
0 k
1
2
60) A
sen
cos
sen
0
0 e cos
0 e tg 0
0 e cot g 0
3Q
2Q
1Q
61) C
I. sen 1 < sen 3 (falso)
II. cos 1 < cos 3 (falso)
III. cós 1< sem 1 (verdadeiro)
62)
sen40
sen320 .log13
7
23
243 15
Temos que:
sen 320° = -sen 40°
Então,
sen40
7
sen40 .log13
243 15
23
7
0.log13
243 15
23
7
0
243 15
23
023
0
63)
(V) sen 2 x cos2 x 1
Relação fundamental
(F) senx 2 sen 2 x
sen(x.x) ≠ senx.senx
(V) senx 2 (senx) 2
(V) cos3 0
(V) sen17°=cos73°
sen(x)=cos(90°-x)
(V) sen220°+ sen270°=1
sen70°=cos20°
Relação fundamental
(V)tg40°.tg50°=1
Considere :
sen40
cos 50
cos 40
sen50
,
sen40 sen50 cos 50 sen50
.
=
.
cos 40 cos 50 sen50 cos 50
1
64) Alternativa falsa.
cos x 0 e tgx 0 , então
2
x
65)
2 ra
360
2 .60.a
CAB
360
a 120
CAB
cos120
124
cos 60º
1
2
2
x
3
2
66) D
Da letra A à R teremos 18 cadeiras
5
de uma volta
6
Move-se
18.
5
15
6
P
67)
I. cos(-x)=-cos(x)  Falso
II. cos
sen(x)  Verdadeiro
x
2
III. cos(
x) cos(x) 0
cos(x) cos(x) 0  Verdadeiro
68) A
sen(a) cos , então a
I. a
2k Verdadeiro
2
2k
2
2
2
II. sen a sen 2
sen(a) sen
1 Verdadeiro
2
cos 2
sen 2 1
III. sen( a) cos(
69) 12
01. Falso,
sen315
sen
7
4
sen45
sen
4
02. Falso
180
1
x
3,14x 180
x
2
57,32
04. Verdadeiro
1h20min
min = 4.30°=120°
horas = 30°+10° = 40°
120° - 40°=80°
08. Verdadeiro
cos
) Falso
2r = 28
L = 12cm
R=14cm
12 = 14.a
a
12
14
6
1
7
16. Falso
p.d.p
5
rad
4
Soma: 04 + 08 = 12
70) C
Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à hipotenusa:
2(b 2 c2 ) a 2
, como o triângulo é retângulo, e ‘a’ for a hipotenusa, logo:
4
2a 2 a 2
m2
4
2
a
2
m2
bc
 triângulo proposto m
4
a2
bc
4
a a
1
1
(cos )(cos )
b a
4
4
cos .
Mas , são ângulos complementares, pois o triângulo é retângulo. sen
1
1
1
(cos )(cos )
2(cos )(cos )
sen(2 )
4
2
2
2
2
sen (2 ) cos (2 ) 1
m2
1
cos 2 (2 ) 1
4
cos(2 )
3
2
A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante.
2
Usando a relação trigonométrica: cos ( )
3
2
1
cos 2 ( )
2
2
cos 2 ( )
3
2
2
1 cos(2 )
:
2
cos 2 ( )
2
3
4
2
cos( )
3
4
71) C
3,14
N 1 ?
2.3,14
N
0,8
7,85
Logo, o maior valor de N é 7.
Com isso,
7.0,8 a 2
5, 6 a 2.3,14
a
0, 68
72) B
5.2 R 5 R
12
6
Maria
4.2 R 4 R
Lanchonete
12
6
Restaurante 2R
Carmem
2 R 12R R R(12 )
Lanchonete 2R 1.
12
6
6
2 R 12R 2 R R(12 2 )
Restaurante 2R 2.
12
6
6
Sérgio
2 R 12R R R(12 )
Lanchonete 2R 1.
12
6
6
Restaurante
I. Correta
II. Correta
III. Correta
73) A
AB 60°
L
2 R
360
2.3.6400.60
360
6400km
2.3.6400.45
360
4800km
BC 45°
L
2 R
360
ABC = 6400 + 4800
ABC = 11.200km
74)
L
2 R
360
L 9600km
2 R 90
360
2.3.6400 R
4
9600