da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
ÍNDICE:
Relações Métricas num Triângulo Retângulo
página: 2
Triângulo Retângulo
página: 4
Áreas de Polígonos
página: 5
Área do Círculo e suas partes
página: 11
Razão entre áreas de figuras planas semelhantes
página: 14
Introdução à geometria analítica; Sist. Cartesiano; Pnt. Médio página: 15
Distância entre dois pontos
página: 17
Respostas dos EXERCÍCIOS EM CASA
página: 19
Edição 2009
Volume 2 de 4
Marcelo Maki Hosoido – Cursinho da Poli – Grêmio Politécnico
Avenida Professor Almeida Prado, 128 – Travessa 2 – Prédio Biênio – 1º andar.
Cidade Universitária – São Paulo
[email protected]
Tel: 3091-5372
1
da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
9ª Aula
EXERCÍCIOS DE AULA:
Relações Métricas num Triângulo Retângulo
Triângulo Retângulo:
Elementos do triângulo retângulo:
A
c
h
1- determine o valor de X e Y no triângulo retângulo a
seguir:
a) X=20 e Y=12
b) X=12 e Y=20
c) X=18 e Y=10
d) X=10 e Y=18
e) X=20 e Y=10
b
15
B
D n C
m
X
Y
a
25
Partes principais:
 AB e AC – catetos;
 BC – hipotenusa;
 AD – altura relativa à hipotenusa do triângulo
ABC.
Outras partes:
 BC – a = medida da hipotenusa BC;
 AC – b = medida do cateto AC;
 AB – c = medida do cateto AB;
 BD – m = medida da projeção ortogonal do cateto
 AB sobre a hipotenusa BC;
 CD – n = medida da projeção ortogonal do cateto
AC sobre a hipotenusa BC;
 AD – h = medida da altura relativa à hipotenusa
BC.
Pitágoras:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos. Sempre.
2- No trapézio retângulo ABCD da figura, os ângulos
assinalados são retos. AB = 2cm, BC = 5cm e CD = 6cm.
Então, a medida do segmento AD, em cm, é:
a) 2,5cm
b) 3,0cm
c) 3,5cm
d) 4,0cm
e) 4,5cm
A
C
Traduzindo...
b = hipotenusa
c = cateto
a = outro cateto
portanto...
b² = a² + c²
esta é a “fórmula” mais importante do curso.
2
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO
B
D
da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
EXERCÍCIOS EM CASA:
4)
1)
2)
5)
3)
6)
3
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO
da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
7)
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- Na figura, a reta t é uma tangente exterior às
circunferências de centros A e B e raios 17cm e 7cm,
respectivamente. Sendo 26cm a medida de AB, calcular a
distância entre os pontos de tangência C e D.
A
B
D
C
10ª Aula
Triângulo Retângulo
Reta tangente à uma circuferência:
Na figura, a reta t é tangente à circunferência de
centro O e raio r no ponto T. Então:
2- Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base BC =
8cm e está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo
que a altura relativa do vértice A mede 8cm, o raio dessa
circunferência mede:
T
r
O
t
A
a) 4cm
b) 5cm
c) 4√2cm
d) 5√2cm
e) √6cm
O
B
O segmento OT é perpendicular à reta t.
OT = r e OT
t
O – centro da circunferência
r – raio
t – reta tangente
T – ponto de tangência
4
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C
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GEOMETRIA
do grêmio politécnico
EXERCÍCIOS EM CASA:
4)
1)
5)
2)
11ª e 12ª Aula
Áreas de Polígonos
1- Região ou Superfície Poligonal:
É a superfície interior delimitada pelo contorno
poligonal:
Exemplo (em cm):
3)
2- Introdução
Em Geometria, utilizamos a palavra área quando
nos referimos a um número real positivo que mede uma
superfície numa determinada unidade.
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5
da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
Nos casos mais simples, “quadricula-se a figura”,
ou seja, divide-se a figura do quadrado de lado unitário e
faz-se a contagem desses quadrados para obter a sua área.
Assim, a área da superfície quadrada de lado 3cm acima
representado é 9cm². Observe que a área é 9 e que cm² é a
unidade de medida da superfície.
Daqui para frente será omitida a palavra superfície
ou seja, a expressão “área de um quadrado” será entendida
como “área da superfície que esse quadrado limita”.
Um exemplo de aplicação desse assunto diz
respeito às duas barras de chocolate representadas nas
figuras seguintes. As duas barras são retangulares, têm a
mesma espessura, têm o mesmo perímetro e custam o
mesmo preço.
Medidas em cm...
3- Expressões para o cálculo de algumas áreas:
a) Quadrado (b=h, base igual a altura)
O quadrado é uma figura de quatro lados e
ângulos iguais, ou seja, uma figura regular de ângulos
internos iguais a 90º.
A=b.h
b = medida da base.
h = medida da altura.
A = área do quadrado.
b) Retângulo
O retângulo é uma figura de quatro lados. E
ângulos internos iguais, portanto eles devem valer 90º.
Por essa razão temos os lados iguais aos pares. Veja
no exemplo abaixo, temos o lado de cima igual ao
lado de baixo e o lado da direita igual ao lado da
esquerda.
A=b.h
Como decidir qual das duas barras tem mais
chocolate?
Basta verificar qual delas tem maior área. Em
outras palavras, mais quadradinhos de chocolate, ou seja,
uma boa idéia é “dividir” cada retângulo em quadrados
congruentes e verificar qual delas contém o maior número
de quadrados.
Podemos observar que a barra de cima contém 24
quadrados menores no seu interior, enquanto o de baixo
tem 16. Portanto a barra de cima contém mais chocolate.
Claro que devemos considerar que cada
quadradinho de ambos os chocolates têm a mesma área
(mesmo tamanho).
b = medida da base.
h = medida da altura.
A = área do retângulo.
Obs 1: todo quadrado é um retângulo? SIM!
Obs 2: todo retângulo pode ser um quadrado? NÃO!
6
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da
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do grêmio politécnico
Obs 3: Entendeu? Não? Assiste a aula ou pergunta para o
professor.
b = medida da base.
h = medida da altura.
c) Paralelogramo
A = área do triângulo.
Paralelogramo é uma figura que tem lados
paralelos iguais dois a dois. Veja na figura que o lado
de cima é paralelo e mesma medida do lado baixo, e o
lado da direita é paralelo e mesma medida ao lado da
esquerda. Parecido com o retângulo, porém os ângulos
internos apenas possuem a mesma inclinação e podem
não ser todos iguais.
Obs: repare que, basicamente, área de quadriláteros é a
base que multiplica a altura. Note que a figura do
triângulo pode ser interpretada como metade de um
quadrilátero, como na figura anterior, e por essa razão a
área de um triângulo é “sobre dois”. Entre outras razões, a
área do triângulo é o mais importante, pois as áreas de
outras figuras é o conjunto de triângulos.
Outros exemplos de áreas de triângulos:
A=b.h
b = medida da base.
h = medida da altura.
𝟏
A = área do paralelogramo.
Obs 4: todo quadrado é um paralelogramo? SIM!
Obs 5: todo retângulo é um paralelogramo? SIM!
A=𝟐b.h
A área do triângulo pode ser calculado como sendo:
Obs 6: todo paralelogramo pode ser um quadrado? NÃO!
𝟏
Obs 7: todo paralelogramo pode ser um retângulo? NÃO!
A = 𝟐.a.b.sen
Obs 8: Não entendeu? Já sabe o que fazer e quem
procurar.
d) Triângulo
Já discutimos muito sobre o triângulo. A figura
mais importante do nosso curso. Triângulo é uma
figura de três lados. Basicamente qualquer figura pode
ser decomposto em triângulos e a área de qualquer
figura pode ser composta por triângulos. Em outros
termos, a área do triângulo é o mais importante para
se saber.
𝟏
Demonstração: Área do triângulo é igual a A= 𝟐 b . h
então tracemos uma altura no triângulo acima:
sen
=
ℎ
𝑎
h = a sen
1
A= 2 b . h
𝟏
A=𝟐b.h
𝟏
Portanto A= 𝟐.a.b.sen
Sendo: a e b = medidas dos lados; = medida do ângulo
compreendido; A= área do triângulo.
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7
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do grêmio politécnico
O triângulo eqüilátero ainda pode ser calculado como:
A=A1+A2=
𝑏.𝑎 2
2
+
𝑏.𝑎 2
2
Portanto...
𝟏
A=
... A = 𝟐 a.b
𝒂² 𝟑
𝟒
a = medida da diagonal menor.
Demonstração em aula!!!!
b = medida da diagonal maior.
e) Trapézio
A = área do losango.
O trapézio pode ser decomposto em dois triângulos,
observe:
A=A1+A2=
𝑎.ℎ
2
+
𝑏.ℎ
2
Portanto...
... A =
g) Hexágono Regular
Note que o hexágono regular é uma composição de
seis triângulos
equiláteros:
Portanto a área do
hexágono regular
pode ser calculada
como A = 6 vezes
área de um
triângulo
eqüilátero.
𝒂+𝒃 𝒉
𝟐
A=6
b = medida da base maior.
a = medida da base menor
𝒂² 𝟑
𝟒
O = centro do hexágono regular.
h = medida da altura.
a = medida dos lados.
A = área do trapézio.
A = área do hexágono regular.
A área do trapézio é a soma dos triângulos A1 e A2.
f) Losango
Como no trapézio, o losango pode ser decomposto em
dois triângulos.
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- Na figura, o retângulo ABCD tem área 64cm².
Sabendo que os pontos E, F e G dividem o lado AB em
quatro partes com medidas iguais, a área do triângulo
CEF, em cm², é:
a)
b)
c)
d)
e)
32
16
8
4
2
8
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2- A área do triângulo ABC da figura, em cm², é:
a)
b)
c)
d)
e)
15
15 3
30
30 3
60
5- (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa
circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são
extremidades de um diâmetro e que BC=6cm.
Então, a área do triângulo ABC em cm², vale:
a) 24
b) 12
c)
5 3
2
d) 6 2
e) 2 3
EXERCÍCIOS EM CASA (11ª aula):
3- Na figura, calcular a área do quadrilátero APRB
1)
2)
3)
4- A área de um hexágono regular de lado l é igual a:
a) 2 3 l ²
b) 3 3 l ²
c) 6 3 l ²
d)
e)
3
2
2
3
4)
3l²
3l²
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do grêmio politécnico
5)
2)
6)
3)
7)
8)
4)
EXERCÍCIOS EM CASA (12ª aula):
1)
5)
10
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13ª Aula
4- Área de um segmento circular:
Área do Círculo e suas partes
1- Área de um círculo:
A = πr²
Asegmento circular = Asetor
-
AtriânguloAOB
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- (Carlos Chagas-SP) A área do circulo de centro O
cuja circunferência circunscreve o quadrado
ABCD de lado 4cm, em cm² é:
A= área do circulo.
Demonstração na aula!!!
2- Área de uma coroa circular:
a)
b)
c)
d)
e)
6π
7π
8π
9π
10π
A = π.(R² - r²)
A = área da coroa circular.
A área da coroa é equivalente à área do círculo maior
externo menos o círculo menor interno
2- Nas figuras seguintes calcule a área dos setores
circulares assinalados.
a)
3- Área de um setor circular:
Calculamos a área do setor
circular fazendo regra de três:
Área
πR²
A setor
medida da abertura
- 2π (em radianos) ou 360º (em graus)
-
b)
Obs: na regra de três, a medida da abertura do círculo
inteiro deve ser em radianos quando for em radianos, e
em graus quando for em graus.
11
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3- Calcule a área do segmento circular indicado na
figura.
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
12
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5)
2)
3)
6)
4)
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14ª Aula
maior. Se a razão linear de semelhança era igual a 2 então
a razão superficial será 2² ou k².
Razão entre áreas de figuras planas
semelhantes
Considere os triângulos semelhantes ABC e SRT da
figura.
Obs: Observe que todos os polígonos regulares de mesmo
número de lados são semelhantes entre si. Logo, esse
conceito pode ser aplicado no cálculo de áreas.
EXERCÍCIOS DE AULA:
1) A razão entre as áreas de dois decágonos
1
regulares é . Sendo 15cm a medida de um lado
9
do decágono maior, então o lado do menor, em
cm, é:
a)
b)
c)
d)
e)
A1 = Área do triângulo ABC =
9𝑋6
2
= 27
A2 = Área do triângulo SRT =
3𝑋2
2
=3
3
4
5
6
7
Sendo a razão linear de semelhança entre eles igual a k,
6
2
9
3
temos k = = = 3.
𝐴1
Podemos observar que 𝐴2 =
27
3
= 9 = 3²
2) No triângulo ABC da figura, os pontos M e N são
os pontos médios dos lados AB e AC,
respectivamente.
𝐴1
Portanto 𝐴2 = k²
Então pressupõe-se que :
Se duas figuras planas são semelhantes entre si, então
a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão
de semelhança entre elas.
Veja um outro exemplo:
Sabendo que a área do triângulo ABC é 96m², a área do
quadrilátero BMNC, em m², é:
Repare que o triângulo menor de altura B e o triângulo
maior de altura 2B possuem razão linear de semelhança k
igual a 2. Note também que cabem exatamente 4
triângulos, iguais ao triângulo menor, dentro do triângulo
14
a)
b)
c)
d)
e)
24
36
60
72
86
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EXERCÍCIOS EM CASA:
5)
1)
2)
6)
3)
15ª Aula
Introdução à geometria analítica; Sistema
Cartesiano; Ponto Médio
4)
1- Sistema Cartesiano Ortogonal:
Podemos dividir o plano com dois eixos. O eixo X e eixo
Y, e com isso temos o plano fica dividido em quatro
quadrantes. Veja:
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15
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do grêmio politécnico
Os eixos eles são ortogonais entre si, ou seja, formam um
ângulo de 90 graus. Dizemos que 0 é a origem do sistema,
a é a abscissa e b a ordenada do ponto P.
Ox – eixo das abscissas.
Ou – eixo das ordenadas.
2- Pontos em posições notáveis:
 Observe alguns pontos a seguir:
a) Todo ponto do 1ºQ tem abscissa positiva e
ordenada positiva e reciprocamente.
Exemplo: A (3,5)
b) Todo ponto do 2ºQ tem abscissa negativa e
ordenada positiva e reciprocamente.
Exemplo: B (-2,3)
c) Todo ponto do 3ºQ tem abscissa negativa e
ordenada negativa reciprocamente.
Exemplo: C (-3,-4)
d) Todo ponto do 4ºQ tem abscissa positiva e
ordenada negativa reciprocamente.
Exemplo: D (4,-2)

Considere a situação a seguir:
a) Todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada
nula e reciprocamente.
Exemplos: A (4,0) ; B(-6,0) ; O (0,0)
b) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa
nula e reciprocamente.
Exemplos: C (0,3) ; D (0,-5) ; O (0,0)

Considere a figura seguinte:
a) A reta suporte das bissetrizes do 1º e 3º
quadrantes é chamada bissetriz dos quadrantes
ímpares e indica-se
. A reta passa pelo
primeiro e terceiro quadrantes.
b) A reta suporte das bissetrizes do 2º e 4º
quadrantes é chamada bissetriz dos quadrantes
pares e indica-se
. A reta passa pelo segundo e
quarto quadrantes.
c) Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares
(
) tem abscissa e ordena iguais e
reciprocamente.
Exemplos: A (5,5) ; B (-4,-4) ; O (0,0)
d) Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares
(
) tem abscissa e ordenada opostas (iguais em
módulo) e reciprocamente.
Exemplos: C (6,-6) ; D (3,-3) ; O (0,0)
3- Ponto médio:
Na figura, considere os pontos A (Xa,Ya) ;
B (Xb,Yb) e M (Xm,Ym).
Sendo M (Xm,Ym) o ponto médio de segmento
AB e observando que Xm - Xa = Xb – Xm, temos
𝑋𝑎 +𝑋𝑏
𝑌𝑎 +𝑌𝑏
que Xm = 2 e analogamente, Ym = 2 .
16
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GEOMETRIA
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Observe:
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
2)
3)
4)
Logo, o ponto médio M é dado por
M
𝑿𝒂 + 𝑿𝒃 𝒀𝒂 + 𝒀𝒃
,
𝟐
𝟐
5)
.
Nestas condições, dizemos que os pontos A e B
são simétricos em relação ao ponto M, estão à
mesma distância.
EXERCÍCIOS DE AULA:
16ª Aula
1- O ponto médio do segmento AB, dados A(5,-2) e
B (7,6) é:
a)
b)
c)
d)
e)
6)
Distância entre dois pontos
Na figura, considere os pontos distintos A(Xa,Ya)
e B(Xb,Yb), de modo que o segmento AB não seja
paralelo ao eixo X nem ao eixo Y. podemos obter o
triângulo retângulo ABC, sendo C(Xb,Ya).
(2,6)
(5,3)
(6,2)
(3,5)
(5,4)
2- Obtenha as coordenadas do ponto R, simétrico do
ponto T(-1,2) em relação ao ponto S(3,6)
D - distância entre os pontos A e B.
Δx – diferença entre as abscissas dos pontos A e B.
Δy – diferença entre as ordenadas dos pontos A e B
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da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
Então, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos que
3)
d² = (Δx)² + (Δy)²
4)
daí, d = (Δx)² + (Δy)²
Observações:
1) Sendo (Xb – Xa)² = (Xa – Xb)², resulta que a
ordem escolhida para a diferença Δx não altera o
valor de d, e o mesmo vale para a diferença Δy.
Em resumo, é indiferente calcular o d por meio de
(Xa − Xb)² + (Ya − Yb)² ou por meio de
(Xb − Xa)² + (Yb − Ya)².
2) A medida de um segmento não pode ser negativa
pois trata-se de um módulo.
5)
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- Calcular a distância entre os pontos A(2,-1) e
B(-1,3).
6)
2- A distância entre os pontos A(2k,0) e B(k,k-1) é
igual a 5 se, e somente se:
a)
b)
c)
d)
e)
k = -1 ou k = 2
k = -2 ou k = 1
k = -1 ou k = -2
k = 2 ou k = 1
k = 0 ou k = 2
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
2)
18
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Respostas dos EXERCÍCIOS EM CASA:
9ª aula
1) a) 13 b) 6 c) 4 d) 9 e) 12 f) 4,8
2) a) 4 2 b) 3 c) 2 3 d) 2 e) 12 f) 3
3) a) 3 b)10
4) D
5) 13cm 6) D
7) C
10ª aula
1) E 2)E
11ª aula
1)A 2)C
7)A 8)21
12ª aula
1)B 2)B
13ª aula
2
1)a)3 𝜋 cm²
4
3)B
4)C
5)12cm
3)B
4)A
5)48 azulejos
3)34m²
b)
2
𝜋
3
4)E
5)2 13
− 3 cm² c)2
2
𝜋
3
− 3 cm²
d) π − 3 cm² e)π cm² f)(4-π) cm²
3
h) 2(π-2) cm² i) 2(4-π) cm²
2) E 3)D 4)D
5)C
6)E
14ª aula
1)C
2)C
3)18
4)A
6)D
16
65
5)
g)(π-2) cm²
6)D
15ª aula
1)
2)a)6 b)-6 c)-8 d)8
3)B 4)a) M(4,7) b)M(2,-3)
5)B
6)F(9,-3)
1
c)M(0,2) d)M(-3,2)
16ª aula
1)a)5 b)2 5 2)B 3)2(1+ 2)
4) a) a=3 ou a=-3 b) a=2 ou a=12
5)C
6)(0,4) ou (0,10)
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19