Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2005/2006
Problema 5 – Os três círculos
Considera três círculos, A, B e C.
1. O círculo A é o grande e tem 40 cm de diâmetro.
2. O círculo B é o médio e o seu diâmetro é igual ao raio do círculo A.
3. O círculo C é o pequeno e o seu diâmetro é igual ao raio do círculo B.
Quantas vezes é a área do círculo A maior do que a área do círculo B? E
quantas vezes é a área do círculo A maior do que a área do círculo C?
RESOLUÇÃO
São referidos três círculos, A, B e C, cujos diâmetros verificam determinadas relações. O
diâmetro do círculo B mede o mesmo que o raio do círculo A; o diâmetro do círculo C mede o
mesmo que o raio do círculo B. Conhece-se o diâmetro do círculo maior, que é 40 cm.
A fim de conhecermos a razão entre a área do círculo maior e a área de cada um dos dois
outros círculos, procedemos ao cálculo das respectivas áreas. Foi isto que fez a grande maioria
dos "atletas", usando a fórmula que nos permite obter a área do círculo conhecendo o seu raio:
2
A = πr . A maior parte dos alunos que responderam ao problema tomou como valor
aproximado de π , o número 3,14.
A título de exemplo, apresentamos o raciocínio exposto pelas alunas Sofia dos Santos,
Catarina Lopes e Andreia Matos, da EB 2,3 Frei André da Veiga (Santiago do Cacém).
Começaram por determinar os raios dos três círculos, tendo em conta as informações dadas.
Diâmetro do círculo A: 40
Raio do círculo A: 20
Diâmetro do círculo B: 20
Raio do círculo B: 10
Diâmetro do círculo C: 10
Raio do círculo C: 5
De seguida, calcularam as áreas dos círculos:
Área do círculo A:
3,14 × 20 × 20 = 1256 cm2
Área do círculo B: 3,14 × 10 × 10 = 314 cm2
Área do círculo C:
3,14 × 5 × 5 = 78,5 cm2
Por último, acharam o quociente entre a área do círculo A e a área de cada um dos outros dois
círculos e concluíram que a área do círculo A é 4 vezes maior do que a área do círculo B e é 16
vezes maior do que a área do círculo C.
Houve ainda alguns alunos que não realizaram todos os cálculos anteriores, uma vez que
perceberam que fazer o quociente entre as áreas dos círculos equivale a fazer o quociente
entre os quadrados dos respectivos raios.
Foi o que explicaram o Adriano Correia, a Miriam Amaral e a Ana Moutinho, da EB 2,3
Jacinto Correia (Lagoa): a área do círculo A é 4 vezes maior do que a do círculo B porque
400π
400π
= 4 ; a área do círculo A é 16 vezes maior do que a do círculo C porque
= 16 . De
100π
25π
facto, podemos dividir ambos os termos da fracção por π e temos os quocientes entre os
quadrados dos raios dos círculos. Também a Laura Risch, da EBI/JI de Aljezur, raciocinou de
forma parecida, ao dizer que se soubermos a razão entre os diâmetros dos círculos – que é
igual à razão entre os raios – basta elevá-la ao quadrado para conhecermos a razão entre as
Campeonato de Matemática SUB14 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub14
áreas. Ora, o diâmetro de A é 2 vezes o diâmetro de B e é 4 vezes o diâmetro de C. Portanto, a
área de A será 4 vezes a área de B e 16 vezes a área de C. O Tiago Mcdonald, da EB 2,3 de
São Roque dá uma resposta do mesmo tipo, alegando que "para não fazer muitas contas",
simplifica-se a fracção e utiliza-se a regra da divisão de potências com expoentes iguais. O
⎛r
resultado será o quadrado do quociente entre os raios: ⎜⎜ A
⎝ rB
2
⎞
⎟⎟ .
⎠
Outro processo de resolução, que foi proposto pelos alunos Diogo Horta, António Horta e
Paulo Horta da EB/S Cardeal Costa Nunes (Madalena, Pico), tem por base a noção de
semelhança de figuras. Os círculos A, B e C são figuras semelhantes (quaisquer dois círculos
são semelhantes), ou seja, é possível transformar o círculo A no B por meio de uma redução
de razão 1/2 e transformar o círculo A no C por meio de uma redução de razão 1/4. Assim,
teremos: RA = 2RB e RA = 4RC. Sabemos ainda que a razão entre as áreas de figuras
semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Temos, portanto, AA = 4AB e AA = 16AC.
Campeonato de Matemática SUB14 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub14