APROFUNDAMENTO MATEMÁTICA - VESTIBULARES
Questão 01 - (UFG GO) Para estimular um estudante a se familiarizar com os números
atômicos de alguns elementos químicos, um professor cobriu as teclas numéricas de
uma calculadora com os símbolos dos elementos químicos de número atômico
correspondente, como mostra a figura a seguir.
Nessa calculadora, se o estudante adicionar o elemento de menor número atômico com
o de maior eletronegatividade, elevar a soma ao elemento cujo número atômico seja um
número primo par e, em seguida, calcular o logaritmo do resultado, acionando a tecla
log, o resultado final será um dígito, cuja tecla corresponde ao símbolo
a)
b)
c)
d)
e)
de um gás nobre.
do elemento mais eletronegativo.
do elemento de menor número atômico.
de um halogênio.
do elemento menos eletronegativo.
Gab: A
Questão 02 - (UEM PR) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. Dados A(2,6) e B(0,0), o ponto C sobre a reta y  3  3x , tal que a área do
triângulo ABC seja 3 u. a., é C(1,0).
02. A reta x  2  0 é tangente à circunferência x 2  y 2  4 no ponto P(2,0).
04. As retas tangentes à hipérbole x 2  y 2  1 que são paralelas à reta y  2x são dadas
por y  2x  3 e y  2x  3 .
08. A parábola y  2  4(x  3) 2 tem vértice V(3,2).
16. Se mx 2  y 2  4x  6y  k  0 é a equação de uma circunferência, então pode-se
concluir que m  1 e k  13 .
Gab: 15
Questão 03 - (UNIMONTES MG) O número 6 é o primeiro elemento de uma
seqüência. O próximo é obtido calculando-se o quadrado do número anterior e, a seguir,
somando-se seus algarismos e adicionando-se 1 à soma, isto é, 62  36  3  6  9  9  1  10 .
Repetimos esse processo e encontramos o terceiro número da seqüência e, assim,
sucessivamente. Qual o 1010º elemento dessa seqüência?
a) 2
b) 5
c) 8
d) 10
Gab: C
Questão 04 - (UNIMONTES MG) Se f:IRIR e g:IRIR são funções tais que
g(x)  xf (x)  1 , xIR e g(a  b)  g(a)  g(b) , a, bIR, então hIR{0}, o quociente
g( x  h )  g( x )
h
é igual a
a) g(x)f(h)
b) g(h)f(x)
c)
d)
g ( x )f ( h )
h
g ( h )f ( x )
h
Gab: A
Questão 05 - (UNIOESTE PR) Quais das afirmações abaixo estão corretas?
01. A expressão 3x 2  5x  7 é uma equação do segundo grau.
02. Para
1
 
2
x 3

1
8
04. A solução de
que 8.
08. A solução de
qualquer número real menor que 6 é solução.
log2 (x  6)  log2 x  4
1
2x

1
x 1 x  1
são os números reais maiores que 6 e menores
é o conjunto dos números reais menores que 2.
16. A soma das raízes da função f (x)  x 2  2x  2 é igual a 2.
32. O valor de x para que a soma x  i5278 resulte em zero é 1.
Gab: 54
Questão 06 - (UNIOESTE PR) Considere seis pontos distintos A, B, C, D, E e F no
plano. Então se pode afirmar:
01. A poligonal ABCDEFA formada pela ligação desses seis pontos entre si é
sempre um hexágono.
02. É possível formar 30 segmentos orientados com origem em um dos pontos e
extremidade em outro.
04. Se A = (1, 0), B = (2, 0) e C = (3/2, 3/2), então estes pontos formam um
triângulo eqüilátero.
08. Se os seis pontos estiverem em lugares distintos de uma circunferência, é
possível formar 20 triângulos diferentes, com vértices em tais pontos.
16. Se a ordenada do ponto D for o dobro da abscissa do ponto E e a abscissa do
ponto E for o triplo da ordenada do ponto F, então a ordenada de D será o
quíntuplo da ordenada de F.
32. Se estes seis pontos estiverem dispostos em ordem alfabética sobre o eixo x, de
forma que as distâncias entre eles formem uma progressão geométrica de razão
2, então, se A = (1, 0) e B = (2, 0), a distância entre A e F é de 31 unidades de
comprimento.
Gab: 42
Questão 07 - (PUC GO)
01. Sendo
z  3  4i ,
com
i 2  1 ,
então
z 1 
3
4
 i.
25 25
02. Sabendo que log2 x  log2 y  3 , para x, y  0 , podemos dizer que xy  8 .
03. o lucro de uma confecção de blusas de malha é dado por L(x)  x 2  7x 12 , em
que x é a quantidade vendida, em centenas. O lucro da confecção será positivo
se 2  x  4 .
04. Para que os pontos A(1,5) e B(2,1) pertençam ao gráfico da função
f (x)  ax  b , o valor de 2a  b deverá ser 4.
05. O domínio da função f (x)  2x  3  3  x é o intervalo [2,3].
06. seja
f : 
a função definida por
f ( x )  2x  5 .
Podemos dizer que
 1  11
f 1  .
2 4
Gab: VVFFFF
Questão 08 - (PUC GO)
01. Numa pesquisa com assinantes de jornais, foram consultadas 460 pessoas, com o
seguinte resultado:
230 pessoas assinam o jornal A.
260 pessoas assinam o jornal B.
40 pessoas não assinam nenhum jornal.
Podemos afirmar que 60 pessoas, das pesquisadas assinam os jornais A e B.
02. Sabendo que sec x  2 , então sen2 x  3cos2 x  1 .
03. A matriz
 5 4 3


A   4 1 6
 x y 2


é simétrica, então,
x6
e
y3.
04. No desenvolvimento de (2x  1)8 , o coeficiente do termo de grau 2 é igual a 112.
05. No lançamento de dois dados não viciados, a probabilidade de sair soma maior
que 8 é de 5 .
18
06. A solução geral do sistema
x  y  5

y  z  3
x  z  8

é
S  {( t  8, t  3, t ), t  } .
Gab: FFFVVV
Questão 09 - (PUC GO)
01. O conjunto S  {( x, y)  2 : x 2  y 2  4} representa um círculo de centro na origem do
sistema de eixos e raio igual a 2.
02. As equações 3x  2y  5  0 e 2x  3y  2  0 representam duas retas perpendiculares.
03. A soma dos quadrados das raízes da equação x 3  2x 2  x  2  0 é igual a 6.
04. Dividindo-se o polinômio P(x)  3x 3  5x  2 por Q(x)  x  1 , encontra-se 4 como
resto.

n
05. Se     64 , então
p
p0 

n 6.
06. O valor da expressão
a 2 ab 2
3a 2b
a  2
para
e
b
1
2
e
1
2
.
Gab: VVFVVV
Questão 10 - (ITA SP) Seja A um conjunto não-vazio.
a) Se n  A  m , calcule n P  A  em termos de m.
b) Denotando P 1  A  P  A e
P
determine o menor k , tal que
P  A , para todo número natural
n P  A   65000 , sabendo que n  A  2 .
k 1
 A  P
k
k 1,
k
Gab:
m
2...
a) n(P(A))  2.
2  2
mvezes
b) k = 3
Questão 11 - (ITA SP) Sendo z  1  i , calcule
2
60
 zn
n 1
 z  z 2  z 3  ...  z 60 .
Gab: 4  2 2
Questão 12 - (UEM PR) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. A função f:  definida por f (x)  2  (x  1)3 é crescente apenas para x > 1.
02. No desenvolvimento de
(x 2 
1 4
) ,
x
o termo independente de x é igual a 6.
04. No desenvolvimento de (x  y)n , a soma dos coeficientes é igual a 2n.
08. A altura relativa à base de um triângulo isósceles divide esse triângulo em dois
triângulos congruentes.
16. As circunferências de equações x 2  y2  30 e (x  3)2  y2  9 são secantes.
32. Se 3  k  3 , então a parábola y  (| k | 3)x 2  5x  6 é côncava para baixo.
64. Sabendo-se que a>0, b>0 e c>0, então
Gab: 63
 a 2 c3 
  2 log10 a  3 log10 c  log10 b .
log10
 b 


Questão 13 - (ACAFE SC) Considere as proposições abaixo:
I. Uma equação polinomial de coeficientes reais, que tem 2 e – i como raízes
simples e 3i como raiz dupla, é do 40 grau.
II. O número de raízes complexas, não reais, de uma equação algébrica de
coeficientes reais é sempre ímpar.
III. Se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, então ela
admite pelo menos uma raiz real.
lV. Se x4 – x3 – 11x2 – x – 12 = 0 tem – i como uma de suas raízes, então as
outras raízes são i, –3 e 4.
A alternativa que contém todas as afirmações corretas, enunciadas acima, é:
a) ll – lll – lV
b) l – lll – lV
c) l – ll – lll
d) lll – lV
e) l – ll – lV
Gab: D
Questão 14 - (UEPB) Dadas as sentenças:
( 2  2)2  2  2
I.
x2 1
 x 1
x 1
II.
para todo x real
III. |x – 1| = x – 1 para todo x  1 real
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a II é falsa.
b) Todas são verdadeiras.
c) Somente a III é verdadeira.
d) Todas são falsas.
e) Somente a I é verdadeira.
Gab: C
Questão 15 - (ITA SP) Considere os contradomínios das funções arco-seno e arcocosseno como sendo

  3 
 2 , 2  ,


a)
b)
c)
d)
e)
  
 2 , 2 


e [0, ], respectivamente. Com respeito à função f : [–1, 1]
f(x) = arcsen x + arccos x, temos que:
f é não-crescente e ímpar.
f não é par nem ímpar.
f é sobrejetora.
f é injetora.
f é constante.
Gab: E
Questão 16 - (ITA SP) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do
segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m(BC)  m(CF)  m(AF) . Prove
que cos  = cos 2, sendo os ângulos  = BÂF e  = EÂD.
Gab:
Sejam  a medida do lado do quadrado e x a medida de
CF .
Então
DE 

2
, BC + CF
= AF  AF =  + x e DF =  – x.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ADF, temos AF2 = DF2 + AD2  ( + x)2 =
( – x)2 + 2   = 4x. Como AB// CD , m(D F̂ A) = m(BÂF) =  e assim
DF   x 3x 3
cos  


 .
AF
No ADE,
x
5x 5
AD
cos  

AE

 2  ( / 2) 2

2
5
e portanto cos(2) = 2 cos2  – 1 =
3
5
.
Logo cos  = cos (2).
Questão 17 - (UFC CE) Um cone circular reto e uma pirâmide de base quadrada têm a
mesma altura e o mesmo volume. Se r é a medida do raio da base do cone, e b é a
medida do lado da base da pirâmide, então o quociente b/r é igual a:
a) 1/3
b) 1
c) 
d) 
e) 2 
Gab: C
Questão 18 - (UEPI) A derivada segunda da função f(x) = x3 + sen x + ex é a função:
a) f(x) = 3x2 + cos x + ex
b) f(x) = 6x – cos x + ex
c) f(x) = 6x + sen x – ex
d) f(x) = 6x – sen x + ex
e) f(x) = 6x + sen x + ex
Gab: D
Questão 19 - (IME RJ) Sobre uma reta r são marcados os pontos A, B, C e D. São
construídos os triângulos eqüiláteros ABE, BCF e CDG, de forma que os pontos E e G
encontram-se do mesmo lado da reta r, enquanto que o ponto F encontra-se do lado
oposto, conforme mostra a figura. Calcule a área do triângulo formado pelos baricentros
de ABE, BCF e CDG, em função dos comprimentos dos segmentos AB, BC e CD.
Gab:
S PQR 
3
(BC  CD)  (AB  BC)
12
Questão 20 - (IME RJ) Considere um hexágono regular de 6cm de lado. Determine o
valor máximo da área de um triângulo XYZ, sabendo-se que:
a) os pontos X, Y e Z estão situados sobre lados do hexágono;
b) a reta que une os pontos X e Y é paralela a um dos lados do hexágono.
Gab:
Na figura abaixo tomemos o lado XY paralelo às retas r e s e mais próximo de r.
Para um triângulo XYZ de área máxima o vértice Z deve estar sobre o lado AB do
hexágono (maior altura).
Tomemos h como a medida da altura relativa à base XY do triângulo XYZ e S sua
área.
No trapézio isósceles XDEY
Do exposto vem
Questão 21 - (IME RJ) Sejam A e B dois subconjuntos de IN. Por definição, uma
função f: AB é crescente se a1 > a2  f(a1)  f(a2), para quaisquer a1 e a2  A.
a) Para A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, quantas funções de A para B são crescentes?
b) Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, …, n}, quantas funções de A para B são
crescentes, onde n é um número inteiro maior que zero?
Gab:
a) CR4,2 = C4 + 2 – 1,2 = C5,2 = 10
b) CRn,3 = Cn + 3 – 1,3 = Cn + 2,3 =
(n  2)( n  1)n
6