Resolução de Equações Algébricas
por Radicais
Gervasio G. Bastos
Resumo
Visão histórica do problema da resolução de equações algébricas, desde os antigos egípcios até Galois. A “completação de
quadrados” e os artifícios de cálculo para resolver as equações
cúbicas e quárticas. Discussão das equações com coeficientes
reais. Comentários sobre a impossibilidade de resolução de equações com grau superior a quatro e o surgimento da teoria dos
grupos.
1
Introdução
Nesta exposição apresentamos os métodos clássicos para resolver as equações algébricas com grau 2 ≤ n ≤ 4, em que se procura determinar
expressões para as raízes de um dado polinômio f (x) com grau n, em
função de seus coeficientes, envolvendo somente as operações algébricas fundamentais e mais a extração de raízes quadradas, cúbicas, etc.
A isso chamamos a resolução por radicais da equação f (x) = 0. Para
simplificar a questão, mas sem perder a essência do método de solução,
consideraremos somente equações com coeficientes reais.
A equação quadrática, apesar de já manuseada no Antigo Egito cerca
de l700 anos A. C., somente no século XII foi posta na forma como hoje
conhecemos, graças à contribuição de Baskhara (matemático hindu) que
a escrevera em versos. As equações do terceiro e quarto graus tiveram
suas fórmulas estabelecidas no século XVI pela escola italiana representada por S. del Ferro (1465?-1526), N. Tartaglia (1500?-57), G. Cardano
(1501-76) e L. Ferrari (1522-65), entre outros. Deve-se a del Ferro a resolução da equação cúbica (ele manteve o seu método em segredo), mais
tarde também resolvida independentemente por N. Tartaglia. Tudo isso
se deu até 1545, ano em que G. Cardano a publicou, com as devidas
1
referências a del Ferro e Tartaglia, em seu livro "Ars Magna", juntamente com a fórmula da equação quártica, esta última estabelecida "a
seu pedido"por seu discípulo L. Ferrari. No final do século XVIII, o
matemático italiano P. Ruffini deu uma prova (com algumas lacunas
em sua argumentação) da impossibilidade de se resolver por radicais a
equação do 5.o grau. A primeira prova convincente da impossibilidade de
resolução da equação quíntica foi estabelecida, no início do século XIX,
pelo matemático norueguês N. H. Abel (1802-29). O trabalho de Abel foi
completado pelo gênio francês E. Galois (1811-32), que caracterizou as
equações f (x) = 0, com grau arbitrário n, que são solúveis por radicais,
por meio de uma propriedade de certo grupo Gf de permutações de suas
raízes, atualmente denominado o grupo de Galois de f . Pode-se dizer
que exatamente aí nasce a teoria dos grupos. A partir desse resultado,
conclui-se que a equação geral de grau n ≥ 5 não pode ser resolvida por
radicais. Uma boa referência em língua portuguesa para essa parte da
história da matemática se encontra em [M].
Chamaremos equação algébrica de grau n ≥ 2 à uma igualdade
a0 + a1 x + ... + an xn = 0 (n)
onde ai ∈ R (i = 0, 1, ..., n), an 6= 0. Procura-se determinar os números
x, a “incógnita”, de modo que a igualdade seja satisfeita. Como conseqüênciaPdo teorema fundamental da álgebra, sabemos que o polinômio
f (t) = ni=0 ai ti ∈ R[t], de grau n, fatora-se como
f (t) = an (t − z1 )...(z − zn ) (∗)
onde z1 , ..., zn ∈ C (= corpo dos números complexos) não necesariamente
distintos, univocamente determinados. Nesse sentido, dizemos que toda
equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes complexas, podendo haver repetições, i. e. contando suas multiplicidades. As raízes,
coeficientes, grau, etc. da equação (n) são, por definição, as raízes, coeficientes, grau, etc. do polinômio f . Desenvolvendo o segundo membro de
(∗), e comparando os coeficientes de mesmo grau, obtêm-se as relações
entre coeficientes e raízes de um polinômio:
z1 + ... + zn = −an−1 /an
z1 z2 + ... + zn−1 zn = an−2 /an
..
∗
.P
( )
k
i1 <i2 <...<ik zi1 zi2 ...zik = (−1) an−k /an ∗
..
.
z1 ...zn = (−1)n a0 /an
2
Para encontrar as raízes de f (x) = 0, podemos dividir todos os coeficientes de f por an 6= 0, e assim supor, sem perda de generalidade, que
an = 1.
2
A Equação de 2.o Grau
Para n = 2, temos a equação quadrátrica
x2 + bx + c = 0 (2)
Para resolvê-la, basta “completar o quadrado”: x2 +2(b/2)+(b/2)2 +
¶2
µ 2
¶1/2
µ
b − 4c
b
b
2
2
c−(b/2) = 0 ⇔ x +
= c−(b/2) ⇔ x+ =
⇔x=
2
2
4
√
−b ± ∆
, onde ∆ = b2 − 4c é chamado o discriminante (2). Define-se
2
√
√
para r < 0 : r = i −r, onde i é a unidade imaginária no corpo C dos
números complexos. Obtém-se, assim, a conhecida fórmula de Baskhara
√
−b ± ∆
x=
2
3
A Equação do 3.o Grau
O processo de “completamento do cubo” para a equação x3 + ax2 + bx +
c = 0 apenas retira o seu coeficiente de 2.o grau. De fato, podemos
a3
a
a
a
a
a2
escrever x3 + 3( )x2 + 3( )2 x + ( )3 + (b − )x + c −
= (x + )3 +
3
3
3
3
27
3
a2
2a3
ab
a
eq =
−
+ c. Agora, basta
p(x + ) + q = 0, onde p = b −
3
3
27
3
resolver a equação reduzida
x3 + px + q = 0 (3)
cujas raízes xi fornecem as três raízes xi − a/3 da equação original completa.
Para resolver (3), usa-se um artifício de cálculo: x = u + v, com
u 6= 0 e v 6= 0, a determinar. Note-se que podemos supor x 6= 0, i.
e. q 6= 0; caso contrário recaímos em uma equação quadrática. Assim,
(u+v)3 +p(u+v)+q = 0 ⇔ u3 +v3 +q+(3uv+p)(u+v) = 0. Obviamente,
obtém-se uma raiz x = u+v, se pudermos resolver o sistema de equações
em u e v:
½ 3
u + v3 = −q
(A)
3uv = −p
As soluções de (A) são necessariamente soluções (u, v) do seguinte
sistema, o qual pode ser resolvido facilmente em u3 e v 3 :
3
⎧
⎨ u3 + v3 = −q
(B)
p3
⎩ u3 v 3 = −
27
No entanto, (B) tem a desvantagem de introduzir “soluções estranhas”,
já que nem todos os u e v encontrados em (B) servem para (A). De
fato, devemos reter apenas os valores de u e v (dados por raízes cúbicas)
∗
tais que uv = −p/3. Pelas relações ( ), vemos que u3 e v3 são as raízes
∗
3
p
= 0, chamada a equação quadrática resolvente
da equação y 2 + qy −
27
de (3). Uma vez encontradas as raízes α, β ∈ C da resolvente, podemos
tomar u = α1/3 e v = β 1/3 .
Nota: Sabemos se z é uma das raízes cúbicas complexas de γ ∈ C,
então as três raízes cúbicas de γ√são z, wz e wz, onde w = ei(2π/3) =
cos 2π/3 + i sen 2π/3 = −1/2 + i 3/2 é uma raiz cúbica da unidade.
w2 p
p wp
ou −
. Devemos
Em (B) os possíveis valores para uv são − , −
3
3
3
p
eliminar as soluções "estranhas"(u, v) tais que uv 6= − . Pela fórmula
3
de Baskhara, aplicada à resolvente
quadrática, obtemos u3 = −q/2 +
p
p
q2 /4 + p3 /27 e v3 = −q/2 − q 2 /4 + p3 /27.
Temos, então nove soluções (u, v) para o sistema (B), onde u e v representam,
respectivamente,
p uma das raízes cúbicas complexas de −q/2+
p
2
3
q /4 + p /27 e −q/2 − q 2 /4 + p3 /27.
Escolhamos para u qualquer uma das raízesqcúbicas complexas de
p
p
−q/2+ q 2 /4 + p3 /27, que indicaremos por u = 3 −q/2 + q 2 /4 + p3 /27.
p
Tomemos v = − . Então,
3u
p3
p3
=
−
p
q
27u3
27(− + q 2 /4 + p3 /27)
2
p
3
p (−q/2 − q 2 /4 + p3 /27)
=
q p
q p
27(− + q2 /4 + p3 /27)(− − q 2 /4 + p3 /27)
2
2
p
3
2
3
p (−q/2 − q /4 + p /27)
=−
3 3
p 27u v
= −q/2 − q 2 /4 + p3 /27
p
q2 /4 + p3 /27
Logo, v é uma das raízes cúbicas complexas de
−q/2
−
q
p
com 3uv = −p, a qual denotaremos por v = 3 −q/2 − q2 /4 + p3 /27.
Obtemos então uma raiz de (3) dada por
v3 = −
4
q
q
p
p
3
2
3
x = u + v = −q/2 + q /4 + p /27 + 3 −q/2 − q 2 /4 + p3 /27
Uma vez obtida essa raiz, x = u + v, observemos que
[x − (u + v)][x − (wu + wv)][x − (wu + wv)] =
[x − (u + v)][x − (wu + w2 v)][x − (w2 u + wv)] =
[x − (u + v)][x2 − (wu + w2 v + w2 u + wv)x + (u2 + w2 uv + wuv + v2 )] =
[x − (u + v)][x2 − (u + v)(w + w2 )x + u2 − uv + v2 ] =
x3 − [(u + v) + (u + v)(−1)]x2 +
[(u+v)2 (−1)+u2 −uv+v2 ]x−(u+v)(u2 −uv+v2 ) = x3 −3uv+(u3 +v3 ) =
x3 + px + q.
Logo, as raízes de (3) são dadas por
q
q
p
p
3
2
3
x1 = −q/2 + q /4 + p /27 + 3 −q/2 − q 2 /4 + p3 /27
q
q
p
p
3
2
3
x2 = w −q/2 + q /4 + p /27 + w 3 −q/2 − q2 /4 + p3 /27
q
q
p
p
3
2
3
x3 = w −q/2 + q /4 + p /27 + w 3 −q/2 − q2 /4 + p3 /27
q
q
p
p
onde os radicais 3 −q/2 + q2 /4 + p3 /27 e 3 −q/2 − q2 /4 + p3 /27
são escolhidos sob a condição uv = −p/3. Portanto, as raízes x de (3)
se expressam pela chamada fórmula de Cardano:
q
q
p
p
k 3
k 3
2
3
x = w −q/2 + q /4 + p /27+w −q/2 − q2 /4 + p3 /27, k = 0, 1, 2.
Example 1 x3 − x + 1 = 0. Temos p = −1 e q = 1. Portanto, temos
q
q
p
p
3
x1 = −1/2 + 1/4 − 1/27 + 3 −1/2 − 1/4 − 1/27
q
q
p
p
3
= −1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108
q
q
p
p
3
x2 = w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
q
q
p
p
3
x3 = w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
√
1
3
onde w = − + i
e os dois radicais podem ser tomados como os rad2
2
q
q
p
p
3
icais cúbicos reais, pois ( −1/2 + 23/108)( 3 −1/2 − 23/108) =
1/3 = −p/3.
Example 2 Tomemos agora um exemplo de equação com raízes prescritas: (x−5)(x+1)(x+4)
= x3 −21x−20 = 0. Escolhendo inicialmente
p
√
3
qualquer raiz
cúbica
u
=
10
+
i
243, vimos que existe uma única raiz
p
√
3
cúbica v = 10 − i 243 tal que 5 = u + v. Agora, tudo o que podemos
acrescentar é que {−1, −4} = {wu+wv, wu+wv}. Poderíamos, é claro,
ter partido de −1 ou de −4.
5
Example
3 √
A equação x3 − 3x + 2 = 0 tem como raízes
√
3
x1 = √
−1 + 3 −1
= −2
√
3
3
x2 = w √
−1 + w √
−1 = 1
x3 = w 3 −1 + w 3 −1 = 1.
3.1
O Discriminante
O discriminante da equação (3) é definido por
δ = (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 , onde xi ∈ C (i = 1, 2, 3) são as raízes
da equação.
Proposition 4 O discriminante da equação x2 + px + q é dado, em
termos dos seus coeficientes, por
δ = −4p3 − 27q2 .
Proof. Sabemos que as raízes da equação são dadas por x1 = u+v, x2 =
wu + w2 v e x3 = w2 u +
pwv, onde u (resp. v) é uma das
p raízes cúbicas
complexas de −q/2 + q 2 /4 + p3 /27 (resp. −q/2 − q 2 /4 + p3 /27) e
uv = −p/3. Logo,
x1 − x2 = (1 − w)u + (1 − w2 )v = (1 − w)(u − w2 v)
x1 − x3 = (1 − w2 )u + (1 − w)v = (1 − w)(−w2 u + v)
x2 − x3 = (w − w2 )u + (w2 − w)v = w(1 − w)(u − v)
3 2 3
3
∴ (x1 − x2 )(x
p1 − x3 )(x2 − x3 ) = w(1 − w) w (v − u ) =
3
(1 − w) (−2 q2 /4 + p3 /27).
Por outro lado temos (1 − w)6 = [(1 − w)3 ]2 = (1 − 3w +3w2 − w3 )2 =
√
(3i 3)2 = −27.
∴ δ = [(x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 )]2 = −27(q 2 + 4p3 /27) = −4p3 − 27q 2 .
Como as raízes da equação do 3.o grau completa x3 +ax2 +bx+c = 0
são obtidas subtraindo-se a/3 das raízes xi da equação reduzida, então
o discriminante é o mesmo que o da equação reduzida. Fazendo as
substituições p = b − a2 /3 e q = −2a3 /27 + c, obtemos δ = −4a3 c +
a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 . Do mesmo modo, podemos obter expressões
para as raízes da equação completa em termos dos coeficientes a, b e c.
Em termos do discriminante, as raízes da cúbica reduzida são:
q
q
p
p
3
x1 = −q/2 + −δ/108 + 3 −q/2 − −δ/108
q
q
p
p
x2 = w 3 −q/2 + −δ/108 + w 3 −q/2 − −δ/108
q
q
p
p
3
x1 = w −q/2 + −δ/108 + w 3 −q/2 − −δ/108
6
onde
cúbicosqindicam raízes cúbicas tais que
q os radicais
p
p
3
( −q/2 + −δ/108)( 3 −q/2 − −δ/108) = −p/3, e w é a raiz cúbica
√
da unidade dada por w = e2πi/3 = cos 2π/3+i sen 2π/3 = −1/2+i 3/2.
3.2
Discussão da Equação do 3.o Grau
Consideremos o polinômio f (X) = X 3 + pX + q ∈ R[X], e a equação
cúbica f (x) = x3 + px + q = 0. Em primeiro lugar, observemos que
z ∈ C é raiz de f (X) se e somente se z é raiz de f (X). De fato, de
x3 + px + q = 0, tiramos (x)3 + px + q = x3 + px + q = 0 = 0.
1. A equação tem uma raiz tripla se e somente se p = q = 0. Com
efeito, se p = q = 0, é claro que x1 = x2 = x3 = 0. Reciprocamente,
se x1 = x2 = x3 = c, tem-se x3 + px + q = (x − c)3 = x3 − 3cx2 +
3c2 x + c3 , para todo x ∈ C. Logo, c = 0, i.e. p = q = 0.
2. A equação tem uma raiz dupla, x1 = x2 6= x3 ⇔ δ = 0 e (p, q) 6=
(0, 0). A implicação “⇒ ” decorre imediatamente da definição do
discriminante e de (1). Novamente por (1), se (p, q) 6= (0, 0), então
temos, pelo menos, duas raízes distintas. Se, além disso, δ = 0,
teremos somente uma raiz dupla.
3. As três raízes são simples (i.e. não há raiz repetida) se e somente
se δ 6= 0, como se vê a partir da definição do discriminante.
4. δ ≥ 0 se e somente se todas as raízes da equação são reais. A
condição é obviamente necessária, pois o quadrado de qualquer
número real é não negativo. Também é suficiente, pois se uma
das raízes é imaginária, tem-se duas imaginárias conjugadas, digamos x1 e x2 = x1 , e temos f (X) = (X − x1 )(X − x1 )(X − x3 ).
Comparando os termos constantes, obtemos −|x1 |2 x3 = q ∈ R;
logo, x3 = c ∈ R. Portanto, δ = [(x1 − x1 )(x1 − c)(x1 − c)]2 =
[2=(x1 )i |x1 − c|2 ]2 = −r2 < 0.
5. Se δ <q
0, podemos tomar
q
p
p
3
x1 = −q/2 + −δ/108 + 3 −q/2 − −δ/108, onde as raízes
cúbicas são as reais, pois o produto delas é −p/3. Ademais, temos
neste caso, duas raízes complexas não reais conjugadas. Pelas re∗
lações ( ), tem-se: q = −x1 |x2 |2 ≤ 0 ⇔ x1 ≥ 0.
∗
6. Se δ > 0, tem-se três raízes reais distintas. Neste caso, tem-se
−4p3 − 27q 2 > 0 e portanto p < 0.
7
Quando a equação do 3.o grau, com coeficientes racionais, f (x) = 0
tem uma raiz x1 ∈ Q, podemos escrever f (x) = (x − x1 )g(x). Portanto,
as raízes dessa equação são x1 e mais as raízes da equação quadrática
g(x) = 0, não havendo necessidade do uso da fórmula de Cardano. Caso
contrário, f (x) = x3 + px + q é um polinômio com coeficentes racionais,
irredutível sobre Q. Se ∆ = −4p3 − 27q 2 > 0, a equação f (x) = 0 tem
três raízes reais (irracionais), x1 , x2 , x3 , distintas
q
q
p
p
x1 = 3 −q/2 + i δ/108 + 3 −q/2 − i δ/108
q
q
p
p
3
2 3
x2 = w −q/2 + i δ/108 + w −q/2 − i δ/108
q
q
p
p
x3 = w2 3 −q/2 + i δ/108 + w 3 −q/2 − i δ/108
Notemos que não obstante serem reais, as raízes se expressam em
termos de radicais cúbicos de números complexos não reais. Esta situação é conhecida como o casus irreducibilis, o qual na época de Cardano
era envolto em mistério pois os números complexos não eram ainda bem
definidos; por exemplo, os radicais quadráticos de números negativos
eram chamados números imaginários. Hoje sabemos que os dois radicais na expressão de x1 são complexos conjugados.
Example 5 x3 − 4x − 1 = 0. Temos p = −4, q = −1,
δ = −4 · (−4)3 − 27 · (−1)2 = 229 > 0. Assim, a equação tem três raízes
reais q
distintas, dadas pela fórmula
de Cardano:
q
p
p
x1 = 3 1/2 + i 229/108 + 3 1/2 − i 229/108
q
q
p
p
3
x2 = w 1/2 + i 229/108 + w 3 1/2 − i 229/108,
q
q
p
p
x3 = w 3 1/2 + i 229/108 + w 3 1/2 + i 229/108. Usando o computador, encontramos essas raízes dadas numericamente:
{[x = −1. 860 8] , [x = −0.254 1] , [x = 2. 114 9]}; o gráfico da curva y =
x3 − 4x − 1 é o que se vê abaixo.
y
10
5
0
-2.5
-1.25
0
-5
-10
-15
8
1.25
2.5
x
4
Equação do 4.o Grau
A equação completa x4 + ax3 + bx2 + cx + d pode ser escrita na forma
(x+a/4)4 +p(x+a/4)2 +q(x+a/4)+r, pelo processo de completamento
da quarta potência. Assim basta considerar a equação do quarto grau
reduzida x4 + px2 + qx + r = 0 (4). Como no caso da equação cúbica,
façamos x = u + v + z, com u 6= 0, v 6= 0, z 6= 0. Temos: x2 − (u2 + v 2 +
z 2 ) = 2(uv + uz + vz)
∴ [x2 − (u2 + v2 + z 2 )]2 = 4(uv + uz + vz)2 ⇔ x4 − 2(u2 + v 2 + z 2 )x2 +
(u2 + v 2 + z 2 )2 = 4[u2 v 2 + u2 z 2 + v2 z 2 + 2(u2 vz + uv 2 z + uvz 2 )] =
4(u2 v2 + u2 z 2 + v 2 z 2 )+
8uvz(u + v + z) ⇔ x4 − 2(u2 + v 2 + z 2 )x2 − 8(uvz)x + [(u2 + v 2 + z 2 )2 −
2 2
2 2
2 2
4(u
= 0. Assim, se (u, v, z) é uma solução do sistema:
⎧ v + u 2z +2v z )]
u + v + z 2 = −p/2
⎨
uvz = −q/8
, então x = u + v + z é uma raiz de
⎩ 2 2
u v + u2 z 2 + v 2 z 2 = (p2 − 4r)/16
(4).
o sistema seguinte
⎧ É mais2 fácil2 resolver
2
u + v + z = −p/2
⎨
u2 v 2 z 2 = q 2 /64
em u2 , v 2 , z 2 . De fato, temos que
⎩ 2 2
u v + u2 z 2 + v 2 z 2 = (p2 − 4r)/16
u2 , v 2 e z 2 são as raízes da cúbica
y 3 + (p/2)y 2 + [(p2 − 4r)/16]y − q 2 /64 = 0
chamada a cúbica resolvente de (4). Encontramos então números com2
plexos√u2 = α, v√
= β, z 2 = γ. Escolhendo duas raízes quadradas
u = α e v = β, determinamos z = −q/8uv. Como γ = z 2 =
q2 /64u2 v2 = (−q/8uv)2 , temos
−q/8uv é uma das raízes
√ z =
√ que
√
quadradas de γ. Assim, x = α + β + γ é uma raiz de (4). Temos
então as quatro raízes de (4), dadas por:
√
√
√
x1 = √α + √β + γ
√
α− √
β− γ
x2 = √
√
x3 = −√α + √β − γ
√
x4 = − α − β + γ
Example 6 Na equação x4 + 8x + 4 = 0, temos p = 0, q = 8 e r = 4.
Logo, a cúbica resolvente é y 3 − (16/16)y − 64/64 q
= y 3 − y − 1 = 0, com
p
δ = −4(−1)3 − 27 · (−1)2 = −23 < 0. Logo, u2 = 3 −1/2 + 23/108 +
q
p
3
−1/2 − 23/108(radicais reais),
q
q
p
p
v2 = w 3 −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
q
q
p
p
3
2
z = w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108, onde w = −1/2 +
9
√
i 3/2.
p
3
3
Para f (x) =px4 + x + 4 ,ptemos f 0 (x)
=
4x
+
1
=
0
⇒
x
=
−
1/4.
p
3 23
3
3
3
4
Temos f (− 1/4) = (− 1/4) − 1/4 + 4 = 4 − 16 4 = 3. 527 5 ,
p
f 00 (x) = 12x2 e portanto f 00 (− 3 1/4) > 0. Assim, não há raiz real para
a nossa
equação; todas raízes são complexas não reais, dadas por
rq
q
p
p
2 3
x1 =
−1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108 +
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 +
r q
q
p
p
2
w 3 −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
rq
q
p
p
2 3
−1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108 −
x2 =
r q
q
p
p
2
w 3 −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 −
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
rq
q
p
p
2
x3 = − 3 −1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108 +
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 −
r q
q
p
p
2
w 3 −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108
rq
q
p
p
2 3
−1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108 −
x4 = −
r q
q
p
p
2
w 3 −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 +
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108.
Os três radicais quadráticos em cada raiz são tomados satisfazendo à
condição:
rq
q
p
p
2 3
−1/2 + 23/108 + 3 −1/2 − 23/108 ·
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 ·
r q
q
p
p
2
3
w −1/2 + 23/108 + w 3 −1/2 − 23/108 = −1/8.
Usando o computador, encontramos essas raízes numericamente:
[x = −1. 003 9 − 0.871 02i] , [x = −1. 003 9 + 0.871 02i] ,
[x = 1. 003 9 − 1. 121 1i] , [x = 1. 003 9 + 1. 121 1i].
10
5
A Equação de Grau n ≥ 5
A insolubilidade da equação geral de grau n ≥ 5 é provada nos cursos
de álgebra sobre a teoria dos corpos, podendo ser encontrada em
[E, §9]. Parte deles é dedicada às extensões algébricas de corpos, culminando com o chamado teorema fundamental da teoria de Galois para
uma extensão K ⊂ L de certo tipo, determinando uma correspodência
biunívoca entre os subcorpos intermediários K ⊆ F ⊆ L e os subgrupos
do grupo G(L|K) dos automorfismos de L sobre K. Resulta dessa teoria
que a equação f (x) = xn + t1 xn−1 + ... + tn = 0 pode ser resolvida por
radicais se e somente se Gf = G(L|K) é um grupo solúvel, onde L é
construído a partir do polinômio f . Prova-se que esse grupo pode ser
considerado como um subgrupo do grupo simétrico Sn , das permutações
das n raízes de f . Hoje em dia, a teoria dos grupos faz parte do programa do curso inicial de álgebra abstrata dos cursos de graduação em
matemática. Um dos resultados importantes da teoria dos grupos é o
que mostra que Sn somente é solúvel se n ≤ 4 (veja.[B], cap.2). Como a
equação geral de grau n tem Sn como o grupo Gf , então conclui-se que
f (x) = 0, para n ≥ 5 não admite uma fórmula para suas raízes como as
dos casos n ≤ 4.
6
Referências
[B] G. G. Bastos, Notas de Álgebra, Edições Livro Técnico, Fortaleza,
2002
[E] O. Endler, Teoria dos Corpos, Monog. de Matemática N.o 44, IMPA,
1987
[M] C. P. Milies, Breve Introdução à História da Teoria dos Grupos,
Notas da XII Escola de Álgebra, Diamantina (MG), 1992.
Gervasio Gurgel Bastos
UFC
[email protected]
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