Sobre Raízes Reais da Cúbica Real
G. G. Bastos
Junho, 2011
Resumo
São dadas duas demonstrações para o fato de serem reais as três raízes
distintas da equação do terceiro grau com coeficientes reais cujo discriminante é positivo.
1. As Fórmulas de Cardano
No ano de 1545 foram publicadas pela primeira vez as fórmulas de resolução por
radicais da equação do 3.o grau:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (C)
com a(6= 0), b, c, d números reais. O processo de "completamento do cubo"reduz
1
(C) à sua forma reduzida
z 3 + pz + q = 0 (CR)
onde p e q são expressões polinomiais em função dos coeficientes originais. A
mudança de variável se expressa por z = x + b/3a. O célebre truque x = u + v,
com u e v não nulos, leva à determinação das fórmulas de Cardano (G. Cardano,
1501-1576). A saber:
x1 =
s
3
q
−
s 2
q
3
x3 = w −
2
x2 = w
3
s
r
−δ
−δ
q
3
+ − −
108
2
108
s
r
r
−δ
−δ (F C)
q
3
+
+w − −
108
s 2 r 108
r
−δ
−δ
q
3
+
+w − −
108
2
108
q
− +
s2
r
√
2π
i sen 2π/3 = −1/2s
+ i 3/2 e os radonde δ = −4p3 − 27q 2 , w = e 3 i = cos 2π/3 +s
r
r
−δ
−δ
q
q
3
3
icais complexos devem ser tomados tais que ( − +
)·( − −
)=
2
108
2
108
r
−δ
q
q
−p/3. Os números (não necessariamente reais) u3 = − +
e v3 = − −
2
108
2
r
−δ
são as raízes da equação quadrática resolvente y 2 + qx − p3 /27 = 0 As108
sim, para (u, v) temos nove pares correpondentes à extração das raízes cúbicas
complexas de u3 e v3 dos quais só interessam aqueles três satisfazendo à condição
2
uv = −p/3.
2. O Caso δ > 0
A partir de x1 = u + v, x2 = wu + wv e x3 = wu + wv encontramos (x1 − x2 )2 (x1 −
x3 )2 (x2 −x3 )2 = δ. Essa formulação do discriminante em termos das raízes permite
uma discussão sobre as raízes de (CR). Assim, por exemplo, quando δ = 0 temse três raízes distintas (raízes simples). Quando δ > 0 tem-se três raízes reais
distintas.
Primeira demonstração: Supondo que uma das raízes fosse não real, digamos x1 = a+bi, com a, b reais, b 6= 0, teríamos que x1 também seria raiz de (CR),
digamos x2 = x1 . Pelas relações de Girard (A. Girardi, 1590-1633), temos 0 =
x1 + x2 + x3 = x1 + x1 + x3 e portanto x3 = −2a é um número real. Logo, teríamos
(x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 = (2bi)2 (x1 − x3 )2 (x1 − x3 )2 = −4b2 |x1 − x3 |4 < 0,
contradição. Olhando s
de novo para as (FsC), temos um aparente paradoxo. De
r
r
δ
δ
q
q
3
3
fato, na fórmula x1 = − + i
+ − −i
, o lado esquerdo é real,
2
108
2
108
mas no lado direito aparece uma soma de raízes cúbicas de números complexos
não reais. Para decifrar esse mistério, provemos inicialmente o seguinte
Teorema 1. Se z1 e z2 são números complexos com mesmo módulo e cujo produto
3
é um número real c > 0, então z2 = z1 .
Prova. Sejam θ = Arg z1 e ϕ = Arg z2 . Então, temos θ + ϕ ≡ Arg c, i. e. θ + ϕ =
2π. portanto, z2 = |z2 | (cos(−θ) + i sen(−θ)) = |z2 | (cos(−θ) + i sen(−θ)) = z1 .
Segunda demonstração: Voltando ao discriminante δ, agora com sua definição
3
pelos
coeficientessda cúbica, notemos que as condições 0 < δ = −4p
− 27q 2 e
s
s
r
r
r
δ 3 q
δ
δ
q
q
3
3
− +i
· − −i
= −p/3 implicam, pelo teorema 1, − − i
=
2
108
2
108
2
108
s
r
q
δ
3
. Logo, as raízes de (CR) dadas pelas fórmulas de Cardano,
− +i
2
108
s
s
s
r
r
r
δ
δ
δ
q
q
q
3
3
3
a saber: x1 =
− +i
+ − −i
, x2 = w − + i
+
2
108
2
108
2
108
s
s
s
r
r
r
δ
δ
δ
q
q
q
3
3
3
e x3 = w − + i
+w − − i
, são números reais.
w − −i
2
108
2
108
2
108
Observação 1. Convém salientar que nos casos δ ≤ 0, que inclui o clássico exemplo do Casus Irreducibilis (coeficientes inteiros, sem raiz racional), podemos tomar
os radicais cúbicos reais nas (F C).
***
Gervasio Gurgel Bastos
Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, CE (Brasil)
E-mail: [email protected]
4