MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
(FICHA DE FIXAÇÃO C.2)
RESOLUÇÕES
1)
C.2
22
@2
2
A expressão maneira que haja pelo menos um daltônico entre....,
significa:
um ou dois daltônicos.
É o caso de permutação com elemento repetido. Um total de 6 times,
em que as chaves a serem alocadas a cada time estão repetidas, cada
uma, duas vezes. Assim, o total de possibilidades é 6!( 2! * 2! * 2!) =
(6 * 5 * 4 * 3 * 2)/(8) = 90.
Outra forma de raciocinar é a seguinte:
Na chave A, vc tem inicialmente C(6,2) = (6¨* 5)/(2!) = 15 possibilidades
de alocação. Feito isto, para alocar na chave B, restam 4 times, logo
C(4,2) = (4 *3)/2 = 6 possibilidades. E finalmente, para a chave C,
restam 2 times, logo apenas 1 possibilidade de alocação. Assim, pelo
princípio da contagem, você tem 6 * 15 * 1 = 90 possibilidades.
6)
Total de grupos:
C10,4 = 210
Você precisa da combinação de 10 elementos tomados 3 a 3.
Grupos sem nenhum daltônico:
C8,4 = 70
𝑪𝟏𝟎, 𝟑 = 𝟏𝟎𝒙𝟗𝒙𝟖/𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟐𝟎
Portanto:
210 - 70 = 140, letra a.
2)
7)
temos:
3 azulejistas
8 serventes
Nessas 4 posições temos que ter 1 quadro da Anita e 3 de Di
Cavalcante.
Então para os quadros de Anita será a combinação de 3 tomados 1 a
1, que são 3 possiblidades, e para os quadros de Di Cavalcanti será a
combinação de 8 tomados 3 a 3 que são 56 possibilidades. Agora
combinando com as três possibilidades dos quadros de Anita temos
N = 3C1 · 8C3 = 3 · 56 = 168 exposições diferentes.
3)
Combinação de 8 tomado 3 a 3 Sem restrições C8,3 = 56
4)
Se tinham 13 opções e ele já escolheu uma opção, restam 12 opções
para a segunda casa.
5)
Há duas formas que eu vejo de analisar esta alocação.
Na 1ª, sejam A, B e C as 3 chaves. Você tem 6 times e 3 já foram
definidos. Então, você tem que considerar todas as possibilidades para
o diagrama abaixo:
123456
AABBCC
AABCBC
. etc.
equipes: 1 azulejista e 3 serventes
1
azulejista - C = 3
3
3
serventes - C = 56
8
número de equipes -> 3 . 56 = 168
8)
Isso é uma combinação de 3 tomados 1 a 1 vezes uma de 12 tomados
4 a 4.
C3,1 x C12,4
C = n!/(n-p)! p!
C = 3!/ (3-1)! 1!
C=3
C = n!/(n-p)! p!
C = 12!/ (12-4)! 4!
C = 12.11.10.9.8!/8! 4!
C = 495
Total = 3 x 495 = 1485
1
9)
Com 1 sal mineral:
C 4,2 = 6 . C 3,1 = 3 ==> 6 . 3 = 18
Com dois sais minerais:
C 4,1 = 4 . C 3,2 = 3 ==> 4 . 3 = 12
Agora é só somar:
18 + 12 = 30 modos
C.2
22
@2
2
10)
Primeiramente, se tem 4 ADVOGADOS e 10 PESSOAS, ele para fazer
um grupo de 7 PESSOAS, pelo menos 1 tem que ser ADVOGADO, pois
só tem 6 pessoas que não são.
Então essa é uma combinação normal de 10 em 7.Sendo a fórmula
para calcular combinação:
Ou seja, nas condições propostas, existem 1225 possibilidades
diferentes de os alunos ocuparem as cadeiras.
*Um truque para resolver combinação e arranjo mais fácil, explicado
por exemplos aqui abaixo:
Sabendo que:
Cx,y = x! / y! (x-y)! e
Ax,y = x! / (x-y)!
C10,2 = [10 . (10 -1) . (10 - 2)! ] / 2!
C10,2 = 10 . 9 / 2!
C10,2 = 5 . 9 = 45
Ou seja, na combinação, você irá multiplicar
X . (x-1) . (x-2) . (x-[y-1]) e irá dividir por y!
Por quê? Porque você viu na conta feita que o valor de (x-y)! será
cancelado em qualquer circunstância.
Do mesmo jeito, no arranjo Ax,y = x! / (x-y)!
o valor de (x-y)! será cancelado e a resposta será:
C s,n = s! / (s-n)! . n!
x . (x-1) . (x-2) . (x-[y-1])
Temos:
Exemplo de arranjo:
C10,7=10! / (10-7)! . 7!
A10,2 = 10 . 9 = 90
C10,7 = 10! / 3! . 7!
ou, usando a fórmula convencional:
C10,7 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2
C10,7 = 10 . 3 . 4 = 120
10! / (10-2)!
10 . 9 . 8! / 8!
11)
cancela-se o 8!
Primeiro, responda a seguinte pergunta: AB = BA? Se for verdade é
combinação, se for falso é arranjo.
10 . 9 = 90.
12)
Já sabemos que é uma combinação de ocupar 2 cadeiras diferentes
num universo de 50 cadeiras, então: C50,2 (lê-se: combinação de 50,
dois a dois. A fórmula de combinação é: Cx,y= x! / y!(x-y)!
x! = fatorial de X (1*2*3*4*5....* X)
então:
C50,2 = 50! / 2! (50-2)!
C50,2 = 50! / 2! * 48!
Como 50! = 50*49*48! e
como 2! = 1x2 = 2
C50,2 = 50*49*48! / 2 * 48!
cancela-se os 48!
Ax,2 = 30
x! / (x – 2 )! = 30
x . (x – 1 ) . (x - 2)! / ( x – 2 ) ! = 30
x . (x-1) = 30
x² - x - 30 = 0
∆ = 1 + 120
∆ = 121
x = (1 + √𝟏𝟐𝟏) / 2
x =(1 ∓ 11) / 2
x' =(1 + 11) / 2
x' = 12 / 2 --> x' = 6
x" = (1 - 11) / 2 --> não convém
C50,2 = 50 * 49 / 2
C50,2 = 25 * 49 = 1225
2
13)
C.2
22
@2
2
Consideremos o primer vigilante no posto da entrada principal. Ficam
3 vigilantes para 6 postos. E o número possível de distribuições são
arranjos dos 6 postos tomados de 3 em 3:
A(6,3) = 6 . 5 . 4 = 120
E como isto é para cada vigilante no posto de entrada, o total de
distribuições são 4 . 120 = 480
14)
Telefone da farmácia:
_ _ _ _ - 0000
Os algarismos que temos são: 2,4,5,6
Para o primeiro dígito, tenho 4 possibilidades de números (2,4,5,6)
Para o segundo dígito, terei apenas 3 porque já usei um na primeira
casa.
16)
O menor número ímpar de B é 135 (1 + 3 + 5 = 9) e o maior número
par de B é 810 (8 + 1 + 0 = 9). Portanto, a soma pedida é:
135 + 810 = 945.
17)
A24,3 = 24! / 21! = 12.144
18)
1º Passo:
Formar um número de três algarismos pode ser considerada uma
ação constituída de três etapas sucessivas , a saber:
2º Passo:
Para a terceira casa, terei 2 opções, pois ja usei duas delas nas casas
anteriores.
Para a quarta casa, terei uma opção: a que sobrou.
O total vai ficar, portanto,
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Você também poderia ter pensado que vai organizar 4 números em 4
espaços, portanto tem-se 4! combinações possíveis.
4! = 24
Também poderia ter sido usada a formula do Arranjo Matemático.
Trata-se de agrupar 4 números em 4 espaços, importando a ordem,
uma vez que o telefone 2456 é diferente do telefone 2564.
se são múltiplos de 5 , termina com 0 ou 5, então:
1°algarismo: {1,2,3,4,5,6,7,8 e 9} - 9 possibilidades
2° algarismo: {1,2,3,4,5,6,7,8 e 9} - Menos o que eu escolher para
centena então 8 possibilidades
3° algarismo: {0 e 5} - 2 possibilidades
Logo, 9 x 8 x 2 = 148 números.
19)
Número de comissões com zero mulheres:
Logo:
C(5,5) = 5!/5!*0! = 1 comissão.
A 4,4 = 4! / (4-4)!
Número de comissões com apenas 1 mulher.
A 4,4 = 4! / 0!
A 4,4 = 4!
A 4,4 = 24
Calcula-se o número de combinações com 5 pessoas das quais 4 são
homens, porque a um dos membros tem que ser mulher, e o resultado
destas combinações deve ser multiplicado por 6, já que uma vez
escolhidos os homens parte-se para escolha da mulher que pode ser
feito de 6 modos.
15)
Fazendo arranjo simples dos 6 tipos de salgadinhos tomados 3 a 3
temos: 6!/(6-3)! = 120. E fazendo dos doces temos: 3!/(3-2)!=6.
Logo é: 120 . 6 = 720 maneiras
C(5,4) = 5! / 4! . 1! = 5 . 4! / 4! . 1! = 5. Como existem 6 modos de
escolher a mulher para a comissão, temos que:
5*6 = 30 comissões.
30 + 1 = 31
Total: 31 comissões.
3
20)
O número de placas em formato XXX-XXXX será:
(nº de alternativas ao primeiro símbolo) VEZES
(nº de alternativas ao segundo símbolo) VEZES
(...)
(nº de alternativas ao último símbolo).
C.2
22
@2
2
Os três primeiros símbolos já estão definidos: H,U,I.
O quarto pode ser qualquer algarismo de 0 a 9 (10 alternativas).
O quinto, igual ao quarto.
O sexto, idem ao quarto e ao quinto.
O sétimo só pode ser cinco alternativas, 1 3 5 7 9, pois são ímpares.
23)
Usando a fórmula 2∩ n , temos : 2∩ 3 = 8 , no entanto o enunciado
diz " Em geral, um portador desta moléstia apresenta apenas um
subconjunto não vazio de S." E ao usarmos a fórmula estamos
contando com, subconjunto vazio , então para a resposta ficar
correta devemos subtrair uma unidade de 2∩ 8 , isto é ,
2∩ 8 - 1 = 8 - 1 = 7
24)
Considere "x" o nº total de empregados da firma toda. então 30%
deles optaram pelo plano:
Isso dá 1 . 1 . 1 . 10 . 10 . 10 . 5 = 5000 placas distintas.
30% = 30/100 = 0,3
21)
logo
Sempre comece pela intersecção central depois as outras até chegar
as conjuntos A B C.
Esta faltando uma informação. Quantas pessoas compram o produto
C?
Intersecção central A ∩ B ∩ C = 20
A ∩ B = 60 – 20 = 40
A ∩ C = 70 – 20 = 50
B ∩ C = 50 – 20 = 30
A = 210 – 40 – 50 – 20 = 100
B = 210 – 40 – 20 – 30 = 120
C = 250 – 50 – 20 – 30 = 150
depois soma todas inclusive os 100 de quem não compraram nada.
0,3x é o total de empregados que optou pelo plano. A divisão de dos
empregados nas filiais é:
0,45x em São Paulo
0,20x em Santos
0,35x em Campinas (100-45-20=35)
O número de empregados que optou pelo plano em São Paulo é:
20% de 0,45x empregados, ou seja 0,2 * 0,45x
em Santos é 0,35 * 0,20x
A porcentagem dos que optaram pelo plano em campinas é "y", logo
o número de empregados é y * 0,35x
20 + 30 + 40 + 50 + 100 + 120 + 150 + 100 = 610
22)
A soma dos empregados de cada filial que optou pelo plano é igual
total de empregados que optaram
Visualizando o diagrama:
0,2*0,45x + 0,35*0,20x + y*0,35x = 0,3x
F = 80
B = 90
Q = 55
F ∩ B = 32
B ∩ F = 16
Q ∩ F = 23
F∩B∩Q=8
colocando o x em evidência, pode ser cortado
a) 80 - (24+8+15) = 80 - 47 = 33 estudam Física
b) 90 - (24+8+8) = 90 - 40 = 50 estudam Biologia
c) 55 - (8+8+15) = 55 - 31 = 24 estudam Química
0,20 * 0,45 + 0,35 * 0,20 + y * 0,35 = 0,3
0,09 + 0,07 + 0,35y = 0,3
0,35y = 0,3 - 0,09 - 0,07
0,35y = 0,14
y = 0,14/0,35
y = 0,4
Portanto 40% é a porcentagem dos empregados de campinas que
optaram pelo plano.
33 + 50 + 24 + 24 + 15 +8 + 8 = 162 total de alunos
4
C.2
22
@2
2
Resolução 2
25)
80% adm emp.
70% sexo masculino
50% adm pub. sexo masculino
500 mulheres adm pub
Nesse enunciado podemos analisar que 50% dos candidatos de adm
pub. eram do sexo masculino logo os outros 50% seriam do sexo
feminino. Como afirma que 500 mulheres é o numero de candidatas
de adm pub. logo o total de candidatos é de 1000 para adm pub.
Como 80% do total de candidatos escolheram adm. emp.
20%
80%
1000
X
20X = 80000
X = 4000 candidatos para adm de emp.
44% tem idade superior a 30 anos
68% são homens
37% homens com mais de 30 anos
25% homens solteiros
4% homens solteiros com mais de 30 anos
45% solteiros
6% solteiros com mais de 30 anos
45% - 6% = 39% esta é a pop solteira com menos de 30 anos
25% - 4% = 21% pop de homens solteiros com menos de 30 anos
100% - 44% = 56% pop com menos de 30 anos
68% - 37% = 31% pop homens com menos de 30 anos
56% - 31% = 25% mulheres com menos de 30 anos
39% - 21% = 18% mulheres solteiras com menos de 30 anos
25% - 18% = 7% mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos
27)
Pois bem, a primeira coisa a fazer, é colocar o número 6 no espaço em
que se encontra todos os círculos. O que isso quer dizer? Quer dizer
que já vou excluir 6 alunos que gostam somente de uma matéria, pois
estes 6 alunos gostam de todas as matérias.
sabemos que temos um total de 5000 candidatos, e que só 70% São do
sexo masculino, logo isso vale 5000 * 0,7 = 3500 candidatos do sexo
masculino nos dois cursos, mas como 500 já estão no curso de adm
pub. restam apenas 3000 para adm de empresa.
Em segundo, coloca-sei os alunos que gostam de humanas e exatas.
Como os 6 alunos já estão contidos, vamos retira-los. Portanto, 30
gostam apenas de humanas e exatas.
Então o número de candidatos do sexo masculino para administração
de empresas e de 3000 pessoas.
Dos que gostam da área da saúde e de humanas, faz-se a mesma coisa,
retira-se os 6 alunos que já gostam de todas. Portanto, 27 gostam
apenas das duas.
26)
Depois, a vez de saúde e exatas, excluindo 6 alunos, 8 gostam apenas
destas duas áreas.
Resolução 1
____________________________________
Tendo por base 100 pessoas, para manter a porcentagem, temos q 68
são homens, logo, 32 são mulheres.
Agora é hora de ir vendo quem gosta apenas de uma matéria. Quem
que gosta apenas da área da saúde?
Desses homens, 37 têm mais de 30 anos. Se 44 pessoas têm mais de
30, então 7 delas são mulheres.
Se no total 221 gostam, podemos excluir os 8 que gostam também de
exatas, os 6 que gostam de todas e os 27 que também gostam de
humanas. Portanto:
Se há 45 pessoas solteiras e 25 são homens, então há 20 mulheres
solteiras.
221 - 8 - 6 - 27 = 180 gostam apenas de matemática.
Se temos 32 mulheres e 20 são solteiras, então resta 12 casadas.
Se há 6 pessoas solteiras com mais de 30 e 4 são homens, então há 2
mulheres solteiras com mais de 30.
244 gostam de exatas. Mas queremos só quem gosta
exclusivamente desta área. Então excluimos os 8 que
gostam também da saúde, os 6 que gostam de todas
e os 30 que também gostam de humanas. Portanto:
Se há 7 mulheres com mais de 30, então temos 5 casadas.
244 - 8 - 6 - 30 = 200 gostam apenas de exatas
Se há 12 mulheres casadas e 5 têm mais de 30, então há 7 mulheres
casadas com menos de 30.
Ou seja, 7%.
5
C.2
22
@2
2
A mesma coisa foi feita com humanas. Excluímos os 27 que também
gostam da saúde, 30 que gostam de exatas, e 6 que gostam de todas.
Portanto:
Total que lêem algum jornal
7 + 5 + 8 +12 + 20 + 31 + 8 = 91%
Se 91% lêem jornal, então 9% não lêem nada!
176 - 27 - 6 - 30 = 113 gostam apenas de humanas
Como 135 pessoas não lêem nada então:
9% -- 135
100% -- x
Somando 180 que gostam apenas de matemática, mais 200 que
gostam apenas de exatas e mais 113 que gostam apenas de humanas:
180 + 200 + 113 = 493 gostam apenas de uma matéria.
9x = 135 * 100
x = 1500 pessoas
29)
(A ∪ C) ∩ (B) = A∩B ∪ C∩B
Logo a quantidade de elementos em (A ∪ C) ∩ (B) é igual a quantidade
de elementos em A∩B mais a quantidade de elementos em C ∩ B
menos a quantidade de elementos de A∩B∩C. Em simbolos:
n[(A ∪ C) ∩ B] = n[A∩B] + n[C∩B] - n[A∩B∩C]
n[(A ∪ C) ∩B] = 20 + 15 - 8 = 27
Portanto (A∪C) ∩ B tem 27 elementos.
30)
28)
Se 12% leem A e B, e 7% leem A, B e C então os que leem somente A e
B:
12 - 7 = 5%
Somente A e C:
15 - 7 = 8%
U= (A∪B)+45
320- 45= A∪B
275= A∪B
A∪B=n(A)+n(B)-n(A∩B)
275= 250+180-n(A∩B)
275- 250-180= -n(A∩B)
155 = (A∩B)
31)
Letra C
32)
19 - 7 = 12%
⊂ ==> contido e não contido só pode ser usada entre conjuntos
∈ ==> pertence e não pertence só pode ser usado quando falamos de
um elemento em relação a um conjunto
Ø ==> é chamado de conjunto vazio;
Para fazer os que leem somente o jornal A eu tenho que retirar os que
leem também os jornais B e C, então fica:
1) Ø é um conjunto vazio, logo não podemos usar relação de
pertinência entre conjuntos; Falso
40 - (5 + 8 + 7) = (lembrando 5% A e B; 8% A e C; 7% todos)
40 - 20 = 20% somente leem o jornal A
2) Ø é um conjunto vazio, logo podemos usar relação de contido (⊂) e
como o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos; Verdadeiro
Somente B
3) Verdadeiro, pois, 5(elemento) pertence a U, {5}
conjunto com elemento 5 está contido em U
Somente B e C:
55 - (5 + 12 + 7) =
55 - 24 = 31% leem só B
Somente C
35 - (8 + 12 + 7) =
35 - 27= 8% lêem só C
4) Perceba que o resultado da interseção é 5, que não está
com chaves { }, logo está errado pois o resultado de uma
interseção (que só pode ser entre conjuntos), deve ser
um conjunto de números, no caso, deveria está {0;1;2;5}
inter {5}={5} ==> 5 em chaves pois representaria um
conjunto interseção de dois conjuntos; Falso
6
33)
C.2
22
@2
2
Observe que há510 pessoas que não compram produtos; elas também
foram entrevistadas. O número total de entrevistados nesse caso será:
n(entrevistados)=n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(daqueles que não compram
produtos A e B)
n(entrevistados)= 310 + 220 - 110 + 510 = 420 + 510= 930
Como ele quer o resultado dividido por 10, então R= 93
34)
Letra E
35)
20% de homens jogam xadrez.
20% de 40 são homens e jogam xadrez.
20% de 40 é igual à 8.
Então, se 14 jogam xadrez, 8 são homens e 6 são mulheres.
80% das mulheres, não jogam xadrez, então apenas 6 jogam, que
correspondem à 20% das mulheres.
Então, se 6 mulheres é igual à 20%, 100% é igual à 30.
Somando tudo, K é igual à 70.
7