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UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE PZFLEX COMO FERRAMENTA DE AUXÍLIO PARA
ENSAIOS NÃO-DESTRUTIVOS POR ULTRASSOM DE ESTRUTURAS TIPO PLACA
Vander Teixeira Prado 1, Ricardo Tokio Higuti 2, Cláudio Kitano
1, 2, 3
3
Laboratório de Ultrassom, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista – UNESP. Ilha Solteira - SP,
Brasil
e-mail: 1 [email protected], 2 [email protected], 3 [email protected]
Resumo: Com o PZFlex, software baseado em técnicas de
modelagem por elementos finitos, simularam-se casos de
propagação de ondas de Lamb em uma placa de alumínio e
cerâmicas piezelétricas, levantando as curvas de dispersão,
resposta em frequência e campo acústico, comparando os
resultados com a teoria e utilizando-os como ponto de
partida para os ensaios experimentais.
Palavras-Chave: PZFlex, ondas de Lamb, Aplicações de
Engenharia.
1. INTRODUÇÃO
Em um ensaio não-destrutivo por ultrassom (ENDUS),
quando uma das dimensões da peça é bem menor que as
demais, em estruturas delgadas como em placas, por
exemplo, podem-se propagar ondas guiadas do tipo Lamb
(Lamb waves), que se tornam possíveis devido a
interferências e/ou superposições de ondas longitudinais e
de cisalhamento, considerando também as condições de
contorno nas superfícies [1].
Descobertas por Horace Lamb em 1917, as ondas de
Lamb são ondas guiadas que se propagam entre duas
superfícies paralelas livres, como em placas cujos esforços
são nulos nas superfícies superior e inferior. Propagam-se
com comprimento de onda da mesma ordem de grandeza
que a espessura da placa e devido à baixa atenuação, se
propagam longas distâncias, podendo acoplar vários modos
de propagação com diferentes características de dispersão
[2].
Os modos podem ser simétricos ou antissimétricos, de
acordo com o movimento das partículas na placa com
relação ao plano médio, como pode ser observado na Figura
1, onde é considerada uma placa com espessura 2d (direção
y) e um sistema de ondas planas se propagando na direção x.
Os possíveis modos de propagação são apresentados,
geralmente, por meio das curvas de dispersão: gráficos de
velocidade de fase (c) em função do produto frequênciasemi-espessura (f.d). As respectivas velocidades são obtidas
a partir das soluções da equação [3]:
(1)
Figura 1 – Deformação da placa para os modos de Lamb simétrico e
antissimétrico.
onde +1 corresponde aos modos simétricos e -1 aos modos
antissimétricos. As variáveis α e β são definidas como:
(2)
sendo ω a frequência angular (2πf), cl a velocidade
longitudinal e ct a velocidade de cisalhamento e k o número
de onda dado pela relação k = ω/c.
Cada modo apresenta um valor para a velocidade de
propagação, assim como uma determinada característica de
dispersão própria, complicando a análise dos sinais. Por esse
motivo, é preferível a utilização de um modo em particular.
Na prática, em geral, escolhem-se os modos fundamentais
simétrico (S0) e/ou antissimétrico (A0) em regiões com
baixa dispersão. Isto significa, na maioria dos casos, que se
opera em baixas frequências e com banda estreita. Por outro
lado, isso pode limitar a resolução axial do sistema, devido à
duração do pulso [4]. Para minimizar a questão da
dispersão, utilizam-se sinais de banda estreita ou compensase a dispersão, quando se conhecem as curvas de dispersão e
a natureza do sinal que se propaga [5].
Por meio de simulações podem-se estudar casos de
propagação em estruturas complexas, seja pela composição
do material ou pela geometria [6]. A partir dos resultados
das simulações podem-se obter informações como: quais
modos de propagação são excitados, quais modos são mais
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sensíveis a cada tipo de defeito (superficial, passante), como
será a distribuição do campo acústico, como será a interação
com os defeitos, qual a melhor forma de analisar o sinal
recebido para caracterização do defeito.
Um dos softwares de simulação é o PZFlex. Projetado
pela Weidlinger Associates e baseado em técnicas de
modelagem por elementos finitos (FEM - Finite Element
Modelling), é capaz de resolver problemas de propagação de
ondas, piezeletricidade e aplicações com ultrassom,
simulando a resposta de um objeto a determinadas
condições de carregamento (força, pressão), seja este
estático ou dinâmico. Comparado aos demais softwares
disponíveis no mercado, este trabalha no domínio do tempo,
tendo assim como vantagens a velocidade e o tamanho
reduzido do modelo, permitindo modelos mais complexos e
precisos.
O princípio básico do FEM é a divisão de um domínio
de integração (uma estrutura, um sistema) em um conjunto
de pequenas regiões, chamadas de elementos finitos,
transformando o domínio contínuo em discreto. Calculam-se
força/pressão, deformação, entre outras variáveis de um
único elemento, transferindo os valores proporcionalmente
aos elementos vizinhos. A acurácia da aproximação é
diretamente proporcional à quantidade de elementos usados.
O custo computacional também está relacionado ao número
de elementos. A escolha do número de elementos deve ser
pautada no tipo de solução (aproximação) desejada e
capacidade computacional disponível.
A simulação é um importante recurso quando utilizada
como suporte à teoria de propagação de ondas para o
conhecimento prévio do sistema e as interações transdutorestrutura-propagação-defeitos.
2. PROPÓSITOS
Este trabalho tem como objetivo a validação dos
resultados da simulação com o PZFlex mediante
comparação com os valores teóricos, e sua utilização como
ponto de partida para os ensaios não-destrutivos por
ultrassom em estruturas tipo placa.
3. MÉTODOS
O trabalho foi realizado em duas etapas: levantamento
das curvas de dispersão teóricas e simuladas para validação
da simulação, e levantamento da resposta em frequência e
campo acústico de um sistema placa-transdutores para
suporte aos ensaios experimentais e comparação com os
resultados práticos.
direção de propagação [7]. Considerando u(x,t) o
deslocamento da partícula em função do tempo e do espaço,
a transformada de Fourier bidimensional está ilustrada na
Figura 2 e é dada pela equação:
(3)
Figura 2 – Aplicação do método da transformada de Fourier
bidimensional.
Dada uma matriz, em que cada coluna contenha o sinal
temporal para uma dada posição no espaço, aplica-se a
transformada de Fourier temporal (TF 1) aos sinais em cada
posição (cada coluna). Têm-se então o espectro de
frequências de cada posição em cada coluna da matriz
resultante. A transformada de Fourier espacial (TF 2) das
linhas dessa matriz (formadas pelas componentes de mesma
frequência) resulta na matriz que relaciona amplitude,
número de onda e frequência.
Na prática o sinal é amostrado no tempo e no espaço. A
frequência de amostragem temporal deve ser maior que o
dobro da maior componente espectral significativa do sinal
(teorema da amostragem de Nyquist). De forma análoga, a
distância entre dois pontos de aquisição ao longo da direção
de propagação deve ser menor que metade do menor
comprimento de onda do sinal.
A Figura 3 ilustra o resultado da aplicação do método
para um sinal de excitação de 300 kHz e aquisição de 100
pontos equidistantes ao longo de uma linha de 0,1 m de
comprimento na direção de propagação. Observam-se os
modos fundamentais simétrico (S0) e antissimétrico (A0).
3.1. Curvas de Dispersão
As curvas de dispersão só dependem da geometria da
estrutura e das propriedades do material: espessura da placa
e velocidades de propagação longitudinal e de cisalhamento.
Por meio de métodos numéricos, implementados em
MATLAB, obtiveram-se as curvas de dispersão teóricas
para uma placa de alumínio de 1 mm de espessura e
velocidades longitudinal de 6400 m/s e de cisalhamento de
3100 m/s, a partir da equação (1).
Para o levantamento das curvas de dispersão simuladas
utilizou-se o método da transformada de Fourier
bidimensional ao longo de diversos pontos equidistantes na
Figura 3 – Aplicação do método da transformada de Fourier
bidimensional para excitação de 300 kHz.
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Como resposta tem-se uma projeção isométrica que
apresenta uma vista tridimensional das curvas de dispersão
com relação ao número de onda para a faixa de frequências
correspondente à banda do sinal de excitação. Assim, para o
levantamento das curvas de dispersão utilizou-se a função
impulso como sinal de excitação.
Para cada valor de f.d encontram-se os máximos valores
de k’s (para cada modo). As velocidades de fase são obtidas
com a relação c = ω/k.
3.2. Resposta em frequência e campo acústico
Na Figura 4 observa-se o arranjo experimental: uma
placa de alumínio de 1 mm de espessura com dois
transdutores piezelétricos PZ-26 com 0,5x7,0x6,0 mm3
(espessura x largura x comprimento) operando em modo
transmissão-recepção, um gerador de sinais (Tektronix AFG
3101) e um osciloscópio digital (Agilent MSO7014B)
conectados a um computador.
Figura 5 - Curvas de dispersão de uma placa de alumínio. Valores
calculados para os modos simétricos (linha cheia), antissimétricos
(linha tracejada) e valores obtidos na simulação (*).
sistema da Figura 4 para os casos experimental e simulado.
Figura 4– Arranjo experimental.
Em MATLAB geraram-se pulsos ultrassônicos com
frequências centrais de 20 a 800 kHz, os quais foram
transferidos ao gerador de sinais. No PZFlex modelou-se o
sistema da Figura 4 utilizando-se os mesmos sinais gerados
em MATLAB como função de excitação para o transdutor
transmissor. Para cada caso mediu-se o valor pico-a-pico do
sinal no receptor, obtendo-se a resposta em frequência do
sistema.
Para o levantamento do campo acústico utilizou-se o
mesmo modelo de simulação da resposta em frequência
considerando-se apenas um transdutor. Mediram-se os
deslocamentos nas direções x, y e z na superfície da placa e
encontraram-se os deslocamentos máximos (absolutos) para
cada ponto da área analisada.
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1. Curvas de Dispersão
As curvas de dispersão teóricas, e simuladas, para uma
placa de alumínio de 1 mm de espessura e velocidades
longitudinal de 6400 m/s e de cisalhamento de 3100 m/s
estão ilustradas na Figura 5.
Comparando os resultados da simulação com a teoria
observa-se que estes ficaram bem próximos, validando
qualquer simulação a ser realizada nesta faixa de
frequências.
4.2. Resposta em frequência e campo acústico
Na figura 6 observa-se a resposta em frequência do
Figura 6 – Resposta em frequência do sistema da Figura 3 simulada (□)
e prática (■). Modos fundamentais simétrico (S0) e antissimétrico (A0).
Nota-se que apesar de possuírem o mesmo
comportamento, as respostas prática e simulada apresentam
algumas diferenças, como o deslocamento da frequência
cujo modo em questão apresenta ganho máximo (pico) e a
resposta do ganho para o modo antissimétrico em
frequências mais elevadas. Entretanto, alguns fatores como a
colagem do transdutor à placa e a solda do cabo ao
transdutor, não considerados no modelo simulado,
influenciam diretamente no acoplamento/propagação das
ondas e na leitura e interpretação dos sinais mensurados.
Assim, mesmo não sendo idênticos, os resultados simulado
e prático apresentam grande semelhança.
Com a simulação, podem-se estudar casos de interesse
como a mudança das dimensões e geometrias dos
transdutores, buscando-se respostas cujo pico se dê para
frequências mais elevadas, melhorando assim a resolução
axial do sistema, ou regiões em que a amplitude de um
modo seja desprezível com relação ao outro, podendo-se
considerar operação monomodo, reduzindo tempo e custos
financeiros da aquisição de novos transdutores ou corte das
cerâmicas disponíveis.
Outra possibilidade da simulação é a análise do campo
acústico de transdutores sem a necessidade de dispositivos
de medição específicos (transdutores/hidrofones), lasers
(interferometria) e suportes móveis para a varredura destes
sensores sobre a placa.
Para o levantamento do campo acústico excitou-se o
transdutor com um pulso ultrassônico de 210 kHz, para que
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os modos simétrico e antissimétrico fossem acoplados com
iguais amplitudes (Figura 6). A Figura 7 ilustra a
distribuição do deslocamento na direção x para uma área de
0,2x0,2 m2 na superfície da placa.
modos, entre outros aspectos, que ficam como sugestão para
trabalhos futuros, a simulação traz ganhos significativos,
possibilitando o estudo de casos mais complexos reduzindo
tempo e custo financeiro como no caso de transdutores com
diferentes dimensões e geometrias e o levantamento do
campo acústico.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho contou com o apoio da agência de fomento
FAPESP (processos nº 2010/16400-0 e nº 2010/02240-0).
REFERÊNCIAS
[1]DOI P. Cawley, D.N. Alleyne. “The use of Lamb waves for
the long rage inspection of large structures.
Ultrasonics”, Ultrasonics, Vol. 34(2), pp. 287-290,
1996.
Figura 7 – Campo acústico: distribuição do deslocamento na direção x
com 210 kHz .
Observa-se um lóbulo principal na direção x (y=0) e
lóbulos laterais.
Com os resultados obtidos pode-se também observar a
evolução temporal da resposta, isto é, a propagação dos
modos na placa ao longo do tempo. A Figura 8 ilustra a
propagação no instante t = 40 µs.
[2]DOI J. L. Rose. “Guided wave nuances for ultrasonic
nondestructive evaluation”, IEEE Transactions on
Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control,
Vol. 47(3), pp. 575-583, 2000.
[3] I. Viktorov. “Rayleigh and Lamb Waves – Physical,
Theory and Applications”, Plenum Press, 1967.
[4]DOI Z. Su, L. Ye, Y. Lu. “Guided lamb waves for
identification of damage in composite structures: A
review”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 29(3-5),
pp. 753-780, 2006.
[5]DOI P. D. Wilcox, P. Cawley. “The effect of dispersion on
long-range inspection using ultrasonic guided waves”,
NDT & E International, Vol. 39(1), pp. 1-9, 2001.
[6]DOI Y. Gómez-Ullate, F. M. Espinosa. “Piezoelectric
modelling using a time domain finite element
program”, Journal of the European Ceramic Society,
Vol. 27(13-15), pp. 4153-4157, 2007.
Figura 8 – Propagação dos modos fundamentais simétrico (S0) e
antissimétrico (A0) com 210 kHz. Distribuição do deslocamento na
direção x em t = 40 µs.
Nota-se que o modo simétrico S0 apresenta maior
velocidade de propagação que o modo antissimétrico A0,
como já havia sido apresentado na curvas de dispersão
(Figura 5).
O campo acústico da distribuição do deslocamento na
direção x e a propagação dos modos simétrico e
antissimétricos ao longo do tempo (Figuras 7 e 8) poderão
ser utilizados em estudos futuros na formação de imagens e
análise da interação dos modos com os defeitos.
5. CONCLUSÕES
Observa-se grande concordância entre os resultados
simulados e a teoria, além da simulação passar uma ideia
muito próxima da realidade, podendo ser utilizada como
ponto de partida para os ensaios experimentais.
Sem a necessidade de analisar o caso teórico, o qual
deveria considerar não só o estudo da propagação de ondas
de Lamb, mas também o transdutor, a interação entre
transdutor-placa, geração dos sinais e acoplamento dos
[7]DOI D. Alleyne, P. Cawley. “A two-dimensional Fourier
transform method for the measurement of propagating
multimode signals”, Vol. 89(3), pp. 1159-1168, 1991.