Tópicos adicionais sobre o
Reajustamento do Programa de Matemática do Ensino Básico
proposto para discussão pública
Existem em Matemática vários tipos de actividade com níveis de dificuldade muito diferentes e, regra
geral, só se conseguem abordar alguns deles quando se dominam profundamente aqueles que têm
níveis de dificuldade inferiores. Por exemplo, resolver exercícios de aplicação natural das matérias
aprendidas, mesmo que implicando a determinação de alguns valores intermédios, tem um nível
inferior ao da abordagem de um verdadeiro problema, em que, à partida, não são claras quais as
estratégias de ataque que podem ser aplicadas com êxito; resolver um verdadeiro problema, tem um
nível inferior ao de formular um problema que seja significativo. Formular um problema não exige
talvez tanta sofisticação como conjecturar um resultado geral, testá-lo e posteriormente demonstrá-lo.
O texto proposto parece-nos demasiado ambicioso naquilo que pretende propor à generalidade dos
estudantes, correndo o risco de constituir uma “fuga para a frente” relativamente às dificuldades que,
como é reconhecido, os nossos estudantes têm revelado.
Pensamos que a proposta de actividades de nível muito elevado no quadro da generalidade dos alunos
duma turma pode ser frustrante e desmotivadora para uma grande parte deles e que as actividades de
nível intermédio devem ser doseadas com outras de nível mais acessível.
Certas actividades de nível mais alto poderão ser deixadas para espaços extra-curriculares, como por
exemplo os clubes de matemática, ou não fazem simplesmente sentido salvo em situações de
excepção. Como resultado (ou causa?) desta ambição, constata-se no documento uma certa obcessão
pelas situações de natureza problemática e pelas actividades de carácter investigativo. Se os
momentos de resolução de verdadeiros problemas podem ser muito ricos, eles não podem ser
multiplicados e, sobretudo, não se pode considerar que todos os novos conteúdos tenham de aparecer
a partir de “situações de natureza problemática”.
Por outro lado o número de horas lectivas dedicadas à Matemática ao longo dos diferentes anos do
Ensino Básico é unanimemente considerado como demasiado reduzido e tem vindo a ser
compartilhado com assuntos novos que vão sendo incluídos no curriculum (a organização e
tratamento de dados é um exemplo típico). Isso leva a que se deva ser muito criterioso com os
assuntos que se introduzem, em particular, não enunciando como tópicos do programa assuntos que
não deviam ser mais do que sugestões de exemplos de aplicação.
Como concretização das considerações anteriores, consideramos que:
1. No segundo item do último parágrafo da p. 3, é colocado ao mesmo nível a resolução de
problemas e a respectiva formulação. Se a resolução de problemas é, sem dúvida muito importante,
embora doseada, em proporções razoáveis, com a resolução de exercícios, já a formulação de
problemas não nos parece fazer sentido como actividade a ser proposta ao nível do ensino básico. A
insistência na formulação de problemas e de conjecturas é retomada no quarto item do parágrafo 6 da
p. 6 e no fim da p. 38.
2.O exagero que se dá à descoberta pelo aluno como forma de contacto com os resultados
matemáticos, torna-se evidente no que se diz no fim da p. 35, nos objectivos específicos: “Descobrir e
utilizar os critérios de divisibilidade de um número”. Alguém está convencido que um aluno vai
descobrir o critério de divisibilidade por 3 ou por 9 (para já não falar do da divisibilidade por 11, que
nos parece deslocado neste contexto)? E porque não se citam nas notas os critérios da divisibilidade
por 2, por 5 ou por 10? E já agora, se se fala do critério de divisibilidade por 9, porquê omitir a
“velha” prova dos noves do nosso ensino, mesmo que ela não possa ser justificada (como os critérios
de divisibilidade não podem...)?
3.
Relativamente ao quinto item no início da p. 6, não nos parece que a formulação e
investigação de conjecturas matemáticas seja uma actividade que se espera que um aluno
normal do ensino básico tenha que realizar (o que não significa que, se alguém o fizer, isso não
deva ser aproveitado).
4. O tema "Organização e Tratamento de Dados” ocupa um lugar exagerado nos diferentes
ciclos, tendo em conta a pouca profundidade dos instrumentos matemáticos envolvidos (com
excepção da média e do desvio padrão) e a pouco estruturação das actividades que são propostas. Se
o seu tratamento se justifica, pela importância que apresenta na interpretação dos dados a que temos
acesso no dia a dia, não parece necessário fazer aparecer este assunto em todos os ciclos, muitas
vezes com a introdução de poucos conceitos novos.
5. O desvio padrão é um conceito estatístico cuja interpretação não está ao alcance do estudante
do ensino básico (e talvez até do ensino secundário) pelo que não me parece ser justificável a sua
abordagem.
6. Parece dificilmente justificável o que se pede no tópico “sequências” (deveria dizer-se
“sucessões”, que é o termo usado há muito no nosso país) nos dois primeiros anos do primeiro ciclo
(p. 18). Pedir que se escrevam termos de sucessões definidas por certas regras, até pode estimular o
cálculo mental mas pedir a investigação de regularidades em sucessões e tabelas é pouco natural nesta
idade, salvo casos muito especiais, e de utilidade duvidosa.
O papel dado às regularidades e sucessões na segunda metade do primeiro ciclo continua a ser
exagerado (cf. o início da p. 20). Não faz sentido dar o estatuto de objectivo específico a algumas
regularidades que são descobertas naturalmente, como na “tabuada dos noves” e que teriam melhor o
papel de mnemónicas e parece exagerado promover como objectivo declarado de estudo a
investigação de regularidades numéricas ou de padrões nas sucessões dos múltiplos de um dado
número. É a filosofia experimentalista do “observar e registar”, mesmo onde não há lugar para uma
explicação de carácter matemático.
7. A importância exagerada atribuída às regularidades e padrões em sucessões continua no
segundo ciclo. Na p. 34, último parágrafo, temos, por exemplo: “A resolução de problemas que
incluam a exploração de padrões numéricos e a investigação de regularidades numéricas constitui um
aspecto central da didáctica dos números”. “O trabalho com sequências numéricas, em que se pede ao
aluno que continue ou invente sequências de números estabelece uma ponte conceptual importante
entre os três ciclos do ensino básico”. O exagero torna-se ainda mais claro na enumeração dos
objectivos específicos no fim da p. 46 (cf. também o que é dito no início e no fim da p. 61). Esquecese, além disso, que a continuação de uma sucessão finita é um problema que tem sempre infinitas
soluções e que dizer quando uma regra é mais simples que outra pode ser intutivo mas é uma
condição muito dificilmente matematizável.
8. No fim da p. 25, o estudo das pavimentações não parece ser justificável como objectivo
específico. O que se aprende com elas e que problemas elas contribuem para resolver? É só porque é
bonito ou porque é novo no ensino? Como se descobrem as figuras geométricas que pavimentam um
plano? Vão-se classificar todas ou dão-se exemplos? Análogas observações se podem fazer a
propósito dos frisos (primeiro parágrafo da p. 38) e, mais tarde, das rosáceas (fim da p. 40). Por
exemplo: Que problemas se resolvem com os frisos? Para que é que eles servem na utilização da
matemática? Como é que eles nos ajudam a perceber e dominar o real?
Estes assuntos podem, no entanto, aparecer nas notas, como sugestão de exemplos de ilustração do
comportamento de figuras relativamente a certas simetrias, dando-lhes assim a importância que eles
merecem neste grau de ensino.
Problemas na redacção do documento
Nesta secção fazemos alguns reparos sobre o modo como o documento está redigido e sobre algumas
formulações que nos parecem menos correctas do ponto de vista matemático.
Um documento desta natureza é escrito por matemáticos e o seu público alvo inclui matemáticos,
outros professores, pais e políticos, estes últimos os que têm que tomar decisões. Espera-se assim que
a sua redacção seja, tanto quanto possível, adaptada aos leitores a que se destina e seja exemplo da
concisão e da estruturação cuidada que se espera de uma exposição feita por matemáticos. No nosso
entender, o documento afasta-se, em muitos pontos, daquilo que se esperaria dele.
1. A confusão sobre o que é o raciocínio matemático pode ser exemplificada com o que aparece
na p. 33, na coluna das notas: “sugerir aos alunos que investiguem se os múltiplos de 4 também são
múltiplos de 2 e testem essa conjectura usando as tabuadas do 2 e do 4”. O uso das tabuadas pode
levar a conjecturar o facto mas não a justificá-lo matematicamente! E neste caso até é possível
descobrir muito facilmente uma justificação matemática: Um múltiplo de 4 é igual a 4 vezes
qualquer coisa, portanto, 2 vezes 2 vezes qualquer coisa, portanto é múltiplo de 4 !
2. A noção de pensamento algébrico que os autores utilizam não clara. O que significa “Álgebra
como forma de pensamento matemático” desde o primeiro ciclo, no segundo parágrafo da p. 8? Na p.
32, parágrafo 3, o que quer dizer “o pensamento proporcional desenvolve-se através da resolução de
problemas envolvendo estruturas multiplicativas e o pensamento algébrico desenvolve-se pela
exploração de regularidades e padrões”? Na p. 45, a expressão “pensamento algébrico” é utilizada
várias vezes, sem que me pareça claro o respectivo significado. O propósito principal do ensino da
Álgebra está explicado, nessa página, de uma maneira vaga.
3. Mesmo não sendo claro o que os autores do documento classificam como Álgebra, pareceme que não faz estruturalmente sentido a ordem de indicação dos tópicos feita neste documento:
“Números e Operações”, “Geometria e Medida”, “Análise e tratamento de dados”, “Álgebra”.
4. O capítulo sobre a avaliação, nas p. 12 e 13 do documento, desloca demasiadamente o centro
de gravidade desta para a avaliação do resultado do ensino em detrimento da responsabilidade do
aluno na aprendizagem. Há frases que sublinham esse exagero:
a) Ter predominantemente um propósito formativo, uma vez que a sua função é a de melhorar a
aprendizagem, função que se sobrepõe a todas as outras.
b) Centrar a sua ênfase no que os alunos sabem, o que são capazes de fazer e como o fazem, em vez
de focar-se no que não sabem.
c) Os alunos devem também ter uma participação activa no processo de avaliação, participando da
análise de resultados e tomando decisões com vista a melhorar a sua aprendizagem.
Existe aqui uma confusão entre duas avaliações diferentes, ambas necessárias, e talvez uma certa
manifestação da cultura de dizer que, se uma avaliação é negativa, a culpa é da avaliação.
5. O documento utiliza a palavra “sequência” inúmeras vezes, num sentido em que, pelo menos
desde há dezenas de anos, se usa em Portugal a palavra “sucessão”. Não se muda uma designação em
uso sem razões muito fortes e não se traduz à letra palavras estrangeiras sem verificar se essa tradução
já corresponde a algo que está em uso. É como se alguém, acabado de fazer estudos num país de
língua inglês, começasse a usar na nossa língua “rapidez” em vez de “velocidade” (speed).
6. Na Gestão curricular, no penúltimo parágrafo da p. 11, defende-se que o professor possa
variar a distribuição dos assuntos pelos anos de cada ciclo. Será que se pesou o facto de, com alguma
frequência, existirem mudanças de escola, ou de turma, e a meio de um ciclo?
7. Na p. 14, terceiro parágrafo, o que significa “ compor e decompor números” ?
8. Na p. 36, nos objectivos específicos associados aos números racionais não negativos, é
referido “representar sob a forma de fracção um número racional não negativo dado na sua forma
decimal e vice-versa ”. Esta frase omite o facto de a passagem nos dois sentidos não se fazer da
mesma maneira, a menos que se passe pelas dízimas infinitas periódicas.
9. Na p. 36 são introduzidos os inteiros relativos. Nos contextos, além da temperatura, não será
de abordar também, por exemplo, a altitude, o tempo, ou a dinheiro que alguém possui? Depois de
serem introduzidos os inteiros relativos porque é que ao voltar aos racionais volta-se a exigir que
sejam não negativos? O que é que há de conceptualmente novo nos racionais negativos que justifique
que sejam relegado para o terceiro ciclo? Será que o aluno que percebeu, por exemplo, a interpretação
das temperaturas, aceitará naturalmente que não se pode falar de —15,5°?
10. Na p. 39, segundo parágrafo, confunde-se o fundamental, com o que pode ser útil ou
interessante, ao colocar ao mesmo nível, por um lado a régua, esquadro, transferidor, compasso ou
programa de Geometria Dinâmica e, por outro lado, os geoplanos, tangrans, puzzles, mosaicos...
armações e palhinhas, espelhos e applets.
11. Na p. 38, primeiro parágrafo, não faz qualquer sentido referir as simetrias axiais, horizontal
e vertical. A simetria axial é relativa a uma recta qualquer, que até pode ser oblíqua.... O que é
horizontal para um aluno, pode se vertical para o colega ao lado. No mesmo espírito, não faz qualquer
sentido distinguir o Teorema de Pitágoras no plano e no espaço, como é feito nos tópicos na p. 57. O
teorema de Pitágoras é sempre um teorema do plano: Um triângulo rectângulo está sempre contido
num plano que tem os mesmos direitos que os outros, mesmo quando estamos a estudar uma figura
colocada no espaço.
12. Na p. 39, terceiro parágrafo, parece-me enganador definir a simetria como sendo de
utilidade para classificar quadriláteros e triângulos. Se a simetria pode intervir como propriedades
destas figuras não me parece razoável utilizá-las nas definições. Só quem nunca fez uma
demonstração em Geometria pode achar que a boa definição de triângulo isósceles é a de que se trata
de um triângulo com um eixo de simetria. Referir que muitas propriedades dos paralelogramos podem
obter-se atendendo a que a rotação de 180° em torno do ponto de intersecção das diagonais é uma
simetria pode ser enganador: Não será que são as propriedades em questão que garantem a existência
dessas simetrias? Pensamos que a definição natural de paralelogramo é a de que se trata de um
quadrilátero cujos lados opostos são paralelos e que as restantes propriedades são supostas ser
consequências da definição. Veja-se, a propósito o que o documento diz no oitavo item das notas na p.
67: “no estudo dos quadriláteros salientar o papel das definições na dedução das propriedades” (o que
só peca por associar aos quadriláteros o que é válido em todas as situações).
13. Nos tópicos da p. 41, fala-se de cálculos de áreas por decomposição e por enquadramento.
O enquadramento não permite calcular áreas, mas apenas valores aproximados para estas, a partir de
majorantes e de minorantes. Já agora, não seria de aproveitar para dar um argumento heurístico que
explique porque é que o π que aparece no perímetro da circunferência é o mesmo que aparece na área
do círculo? (pensar num polígono com muitos lados cuja área se pode achar por decomposição em
triângulos e cujo apótema é próximo do raio da circunferência).
14. Qual o sentido da segunda nota na p. 53 ao limitar as dízimas periódicas ao período 3? O
que se passa com coisas tão simples como 1/7 ou 1/47? No mesmo âmbito, parece-nos incorrecto, no
segundo parágrafo da p. 52, dizer que os reais são introduzidos a partir das dízimas infintas não
periódicas. Mesmo que os alunos tenham compreendido que os racionais têm dízimas finitas ou
periódicas, eles não têm condições de saber que toda a dízima periódica corresponde a um racional
(isso incluiria somas de séries...). A maneira mais rica de introduzir a existência de números reais não
racionais é ainda o argumento dos gregos para
2
15. Nos tópicos e objectivos específicos, a partir da segunda metade da p. 52, não faz sentido
estudar em
propriedades que vão ser imediatamente a seguir estudadas em
ou
. Por exemplo,
para quê privilegiar o caso da base inteira no estudo da potência de potência, quando o caso da base
real tem exactamente a mesma explicação? Também não faz sentido, depois de se estudar as
potências apenas de base inteira, falar da definição de
 n que, em geral, não é inteiro.
16. Na última nota da p. 52 é aberrante, especialmente depois de tudo o que se disse sobre o
raciocínio matemático, dizer que é a partir da exploração de casos particulares que o estudantes
concluem que
 a 2 =a
(esquecendo aliás a hipótese a≥0 ) ou
 ab= a  b . Será só para os
melhores alunos concluir que o número cujo quadrado é a 2 é capaz de ser o próprio a ? Parece, além
disso, anti-educativo não tornar claro nesta fase que o exame de casos particulares nunca constitui
uma justificação matemática. Compare-se com o facto de, em breve, no secundário, o aluno que,
numa prova de exame, fizer uma demonstração usando exemplos, será classificado nessa questão com
0 valores!
17. Na p. 55, nos objectivos específicos, é incorrecto dizer que os critérios de congruência de
triângulos são usados na construção destes. O que se passa é o contrário: Os métodos de construção
de triângulos podem tornar intuitiva a validade dos critérios de congruência destes. Relativamente às
notas, para além dos critérios ALA, LAL e LLL, conviria explicar porque não existe um critério LLA.
18. Na p. 55, no tópico “critérios de paralelismo e perpendicularidade entre planos e entre
rectas e planos”, conviria definir antes as definições destes conceitos. Não faz sentido falar de
critérios de paralelismo, sem saber o que é o paralelismo. Do mesmo modo, parece estar em falta a
noção de paralelismo de rectas no espaço, noção que tantas vezes levanta confusão.
19. Nos objectivos específicos, no fim da p. 55, é pouco correcto dizer que se deve relacionar a
amplitude de um ângulo ao centro com a do arco correspondente, quando a respectiva igualdade é
uma definição. No início da p. 56, já faz sentido referir a relação entre a amplitude dos ângulos
excêntricos e a dos arcos relacionados, mas conviria referir explicitamente o caso particular mais
importante dos ângulos inscritos.
20. Nos objectivos específicos, no segundo item da p. 56, é uma incorrecção lógica grave referir
“o conjunto dos pontos equidistantes de um e de dois pontos dados”. Se faz todo o sentido falar do
conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos dados (sabemos quando é que um ponto está ou não
equidistante daqueles) já não faz sentido falar do conjunto dos pontos equidistantes de um ponto dado
(o que significa um ponto estar equidistante de um ponto dado?); o que haveria de dizer é “a uma
distância dada de um ponto dado”.
21. O tópico sobre semelhança de polígonos (diriamos de figuras) que começa no meio da p. 56
parece-me pouco explicado e confuso. Por exemplo, o que é ampliar e reduzir um polígono? O que é
o Teorema de Tales, como é que ele é enunciado? É estranho falar nas notas do teorema de Tales
relacionado com a semelhança de triângulos quando não se referiu antes o teorema de Tales.
22.
Na p. 57, o tópico “teorema de Pitágoras” constitui uma aberração, ao incluir a
decomposição de polígonos a determinação da área dos trapézios, completamente fora do contexto.
Tudo isto porque os autores do documento estão a pensar numa demonstração particular, que não é
melhor nem pior que as outras, e que não é correcto que seja imposta aos professores. Além disso,
porquê sugerir especialmente a demonstração pela decomposição de quadrados, quando a nota
anterior parecia conduzir à demonstração que resulta da decomposição em triângulos a partir da altura
relativa à hipotenusa, a qual tem a vantagem suplementar de obrigar a reconhecer semelhanças de
triângulos com posições menos óbvias.
Assuntos importantes que parecem ter sido omitidos
1. Onde aparecem as “medidas complexas”, como o tempo e ângulos, entre as respectivas
formas de representação? O aluno já não é suposto, por exemplo, fazer somas ou diferenças de
ângulos em graus, minutos e segundos ou passar desta forma para a de graus e respectivos decimais?
2. Os algoritmos da adição e da subtração só começam no terceiro ano? Não é muito tarde? O
que se esteve a fazer nos dois primeiros anos?
3. Na p. 19, refere-se que só nos terceiro e quarto anos são abordadas as tabuadas do 7, do 8 e
do 9. Não será tarde? E, já agora, para quê as tabuadas dos 11 e 12? Não serão um luxo inútil? As
tabuadas são essencialmente usadas como apoio aos algoritmos das operações.
4. Na p. 25, a propósito da noção de ângulo, não seria definir antes os conceitos de semi-recta (e
de segmento de recta)?
5. Na p. 27 são referidas as áreas do quadrado e do rectângulo. Porque não também a do
triângulo e do paralelogramo, deixando-as para o segundo ciclo?
6. Não parece ser referido em nenhum ponto o estudo da conversão entre diferentes unidades de
medida, desde unidades simples, como metros e centímetros, a unidades um pouco mais compostas,
como m2 e cm2 , até, por exemplo, Km/h e m/s.