133
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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob
uma curva no plano cartesiano. Ela também surge naturalmente em dezenas de problemas de
Física, como por exemplo, na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for
conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.
Seja uma função f x  contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) conhecida. A
integral definida de f x  pode ser calculada pela fórmula de Newton-Leibniz:
b
 f x dx  f
b
a
 F (b)  F (a)
a
Porém, essa técnica não pode ser aplicada quando se conhece apenas alguns pontos
tabelados da função f x  ou, quando f x  não pode ser integrada. Portanto, os métodos de
integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma integral definida sem
conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva.
Integrar numericamente uma função y = f(x) num intervalo [a, b] pode ser o mesmo que
integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) em um determinado intervalo.
Fórmulas de Newton – Cotes
Considere uma função definida em x0, x1, ..., xn (n + 1) pontos distintos e equidistantes no
intervalo [a, b]. Para a determinação das fórmulas de Newton-Cotes utiliza-se o polinômio
interpolador de Newton-Gregory para pontos equidistantes:
2 f x0 
n f  x0 
Pn(s) = f(x0) + s f x0  + s(s – 1)
+ ...+ s(s – 1) ... (s – n+1)
.
n!
2!
x  x0
.
h
em que s 
Aproximando a função f(x) pelo polinômio de Newton-Gregory pn(s) e integrando-o,
obtém-se as fórmulas de Newton-Cotes.

xn
x0

f ( x)dx 
h
 f ( x0 )  f ( x1 )  h  f ( x1 )  f ( x2 )  ...  h  f ( x x1 )  f ( xn ) 
2
2
2
h
 f ( x0 )  2 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  2 f ( x x1 )  f ( xn )
2
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Erro Cometido na Integração Numérica
Teorema
Se f(x) possui (n+1) derivadas continuas no intervalo [x0, xn] e os pontos xj = x0 + jh, j = 0,
1, ..., n subdividem o intervalo de integração em um número ímpar de intervalos iguais, então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é dada por:
hn  2 f ( n 1) ( )
(u  1)...(u  n)du para algum ponto   [x0, xn]
(n  1)! 0
n
En =
Teorema
Se f(x) possui (n+2) derivadas continuas no intervalo [x0, xn] e os pontos xj = x0 + jh, j = 0,
1, ..., n subdividem o intervalo de integração em um número par de intervalos iguais, então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n par é dada por:
hn 3 f ( n 2) ( )
n
(u  )u (u  1)...(u  n)du para algum ponto   [x0, xn]

(n  2)! 0
2
n
En =
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Regra dos Trapézios
Considere uma função f(x) contínua e definida em dois pontos x0 e x1 no intervalo [a,b].
Para a determinação da Regra dos Trapézios utiliza-se o polinômio de Newton-Gregory do 1º
grau, que é dado por:
P1(x) = f(x0) + (x - x0)
f  x0 
h
e assim, para a = x0 e b = x1
x1

x0
x1
1
x0
0
f ( x)dx   p1 ( x)dx  h  P1 (s )ds
x  x0
e h = x1 - x0.
h
em que s 
f(x1)
y
f(x0)
x1
x0
x
Integrando P1(s), obtemos uma fórmula de integração da seguinte forma:

x1
x0
f ( x)dx  h   f ( x0 )  sf ( x0 )  ds  h  f ( x0 ) ds  h  f ( x0 )s ds 
1
1
1
0
0
0
s2
s2
ds  h f ( x0 ) s |10 h  f ( x1 )  f ( x0 )  ds 
0
0
2
2
h
1
h
 h f ( x0 )   f ( x1 )  f ( x0 )   (2hf ( x0 )  hf ( x1 )  hf ( x0 ))   f ( x1 )  f ( x0 ) 
2
2
2
 h  f ( x0 ) ds  h   f ( x1 )  f ( x0 ) 
1
Portanto:
1

x1
x0
f ( x)dx 
h
 f ( x1 )  f ( x0 )
2
Erro na regra dos trapézios
O intervalo n = 1 é ímpar e, portanto:
E1 
h3 f (2) ( ) 1
h3 f (2) ( )
u
(
u

1)
du
,
x



x

E

0
1
1
0
2!
12
Limitante superior para o erro
| E1 | 
h3
max{| f (2) ( x) / x0  x  x1 |}
12
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Exemplo:
Dada a tabela
x
f(x)
0.5
-0.1931
1
1
1
Calcule o valor aproximado de
 (ln( x)  x)dx
usando a regra dos trapézios e um
0,5
Limitante Superior para o erro.
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Regra dos Trapézios generalizada
A regra dos trapézios generalizada consiste na subdivisão do intervalo de integração e n
x  x0
subintervalos iguais, cada qual de amplitude h  n
e a aplicação da Regra dos Trapézios
n
em cada subintervalo, isto é, a cada 2 pontos consecutivos.
y
x0
x2
x1
xn-1
xn
x
Assim, temos que:

xn
x0

f ( x)dx 
h
 f ( x0 )  f ( x1 )  h  f ( x1 )  f ( x2 )  ...  h  f ( xx 1 )  f ( xn ) 
2
2
2
h
 f ( x0 )  2 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  2 f ( xx 1 )  f ( xn )
2
Erro na regra dos trapézios generalizada
Et 
h2
( xn  x0 ) f ( 2) ( ),   [ x0, x1 ]
12
Limitante superior para o erro
h2
| Et | ( xn  x0 )max{| f ( 2) ( x) | / x0  x  xn }
12
Exemplo:
4
Calcule o valor aproximado da integral

x dx usando a regra dos trapézios generalizada
1
para 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro.
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Exercícios
1
1
Calcule o valor de
( x
3
 1 ) dx pela Regra dos Trapézios usando 5 divisões no intervalo
1
[a,b].
3
2
Usando a Regra dos Trapézios determine o valor de
 dxx
com 6 subintervalos. Compare o
1
resultado com o valor de ln(3).
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Regra 1/3 de Simpson
Considere uma função f(x) contínua no intervalo [a,b], definida em 3 pontos distintos x0,
x1, x2 equidistantes. Para determinar a Regra 1/3 de Simpson utiliza-se o polinômio de NewtonGregory de grau 2, que é dado por:
P2(x) = f(x0) + (x – x0) f x0  + (x – x0)( x – x1)
 2 f  x0 
2!h 2
Fazendo a = x0 e b = xn, temos:
x2
x2
x0
x0
2
 f ( x)dx   p ( x)dx  h P ds
2
em que s 
2
0
x  x0
x x
e h n 0 .
h
n
y
f(x)
P2(x)
x0
x1
x2
x
Integrando P2(s), obtemos uma fórmula de integração da seguinte forma:
2
s ( s  1) 2

f ( x)dx  h   f ( x0 )  s1 f ( x0 ) 
 f ( x0 ) ds 
x0
0
2!


2
2
2 s ( s  1)
 h  f ( x0 )ds  h  s1 f ( x0 )ds  
 2 f ( x0 )ds 
0
0
0
2!

x2
2
2
 s3 s 2 
s2
h
 h f ( x0 ) s |  h( f ( x1 )  f ( x0 ))
 ( f ( x2 )  2 f ( x1 )  f ( x0 ))    
2 0 2
 3 2 0
h 2
 2h f ( x0 )  2h f ( x1 )  2h f ( x0 )  . ( f ( x2 )  2 f ( x1 )  f ( x0 )) 
2 3
h
h
 2h f ( x1 )   f ( x3 )  2 f ( x1 )  f ( x0 )   6 f ( x1 )  f ( x2 )  2 f ( x1 )  f ( x0 )  
3
3
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 ) 
3
2
0
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Portanto:

x2
x0
f ( x)dx 
h
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
Erro na regra 1/3 de Simpson
O intervalo de integração foi subdividido em um número n = 2 (par de intervalos) e,
portanto:
E2 
h5 f (4) ( ) 2
h5 f (4) ( )
(
u

1).
u
(
u

1).(
u

2)
du

E

x0    x2
0
4!
90
Limitante superior para o erro
h5
| E2 | {max | f (4) |, x0  x  x2 }
90
Exemplo:
1, 5
Calcule o valor aproximado de
 cos xdx
usando a Regra 1/3 de Simpson e um Limitante
0,5
Superior para o erro.
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Regra 1/3 de Simpson generalizada
A regra 1/3 de Simpson generalizada consiste na subdivisão do intervalo de integração e
x  x0
n subintervalos iguais, cada qual de amplitude h  n
, em que n é um número par de
n
subintervalos, de forma que a = x0 e b = xn e a aplicação da Regra 1/3 de Simpson a cada 2
subintervalos consecutivos.
y
x0
x1
x2
x3
x4... xn-2,xn-1,xn
Aplicando a regra 1/3 de Simpson a cada 2 subintervalos, temos que:

x2
x0
f ( x)dx 
... 

h
h
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )    f ( x2 )  4 f ( x3 )  f ( x4 )  
3
3
h
 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn ) 
3
h
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  2 f ( x2 )  4 f ( x3 )  ...  2 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn ) 
3
Erro na regra 1/3 de Simpson generalizada
E
 h4
( xn  x0 ) f ( 4) ( ),x0    xn
180
Limitante superior para o erro
| E |
h4
( xn  x0 ) max{| f ( 4) ( x) |, x0  x  xn }
180
Exemplo:
3
Calcule o valor aproximado da integral
 ( xe
x
 1)dx usando a regra 1/3 de Simpson
0
generalizada para 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro.
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Exercícios
1
1
Calcule o valor de
 (x
3
 1) dx pela Regra 1/3 de Simpson usando 5 divisões no intervalo
1
[a,b].
3
2
Usando a Regra 1/3 de Simpson determine o valor de
 dxx
com 6 subintervalos. Compare o
1
resultado com o valor de ln(3).
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Regra 3/8 de Simpson
Considere uma função f(x) contínua no intervalo [a,b], definida em x0, x1, x2 , x3, 4 pontos
distintos e equidistantes. Para determinar a Regra 1/3 de Simpson utiliza-se o polinômio de
Newton-Gregory de grau 3, que é dado por:
P3(x) = f(x0) + (x – x0) f x0  + (x – x0)( x – x1)
 3 f  x0 
2 f x0 
+ (x – x0)( x – x1)( x – x2)
2
3!h3
Fazendo a = x0 e b = xn, temos:
x3

x0
x3
3
x0
0
f ( x)dx   p3 ( x)dx  h  P3ds
x  x0
x x
em que s 
e h n 0 .
h
n
y
f(x)
P3(x)
x0
x1
x2
x
x3
Integrando P3(s), obtemos uma fórmula de integração da seguinte forma:
 0
 2 f ( x0 )
 3 f ( x0 ) 
x0 f ( x)dx  h 0  f ( x0 )  uf ( x0 )  u (u  1) 2!  u (u  1)(u  2) 3! du 
3
3
h 3
h 3
 h   0 f ( x0 )du  h  u f ( x0 )du   u (u  1) 2 f ( x0 )du   u (u  1)(u  2) 3 f ( x0 )du 
0
0
2 0
6 0
x3
3
3
3
 u3 u 2 
u2
h
 h f ( x0 )u 0  h  f ( x1 )  f ( x0 ) 
  f ( x2 )  2 f ( x1 )  f ( x0 )    
2 0 2
 3 2 0
3
3
 u4

h
3h
  f ( x3 )  3 f ( x2 )  3 f ( x1 )  f ( x0 )    u 3  u 2    f ( x0 )  3 f ( x1 )  3 f ( x2 )  f ( x3 ) 
6
 4
0 8
x3
Portanto:
3h
 f ( x)dx  8  f ( x )  3 f ( x )  3 f ( x )  f ( x )
0
1
2
3
x0
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Erro na regra 3/8 de Simpson
Para esta regra de integração, o intervalo [a, b] foi subdividido em um número n = 3,
ímpar, de subintervalos, portanto:
E3 
3
h5 (4)
3
f ( )  u (u  1)(u  2)(u  3)du  E3   h5 f (4) ( ), x0  x  x3
0
4!
80
Limitante superior para o erro
| E3 ( x) |
3 5
h max{| f (4) ( x) |, x0    x3}
80
Exemplo:
1, 2
Calcule o valor aproximado de
 (e
x
 5 x)dx usando a Regra 3/8 de Simpson e um
0,3
Limitante Superior para o erro.
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Regra 3/8 de Simpson generalizada
A regra 3/8 de Simpson generalizada consiste na subdivisão do intervalo [a, b] de
x x
integração e n subintervalos iguais, cada qual de amplitude h  0 n , em que n é um número
n
múltiplo de 3, de forma que a = x0 e b = xn e a aplicação da Regra 3/8 de Simpson a cada 4
pontos
consecutivos, ou 3 subintervalos consecutivos.
y
...
x0 x1 x2 x3
...
xn-3 xn-2 xn-1 xn
x
Aplicando a regra 3/8 de Simpson a cada 2 subintervalos, temos que:
xn
3h
3h
 f ( x)dx  8  f ( x )  3 f ( x )  3 f ( x )  f ( x )  8  f ( x )  3 f ( x )  3 f ( x )  f ( x )  
0
1
2
3
3
4
5
6
x0
... 

3h
 f ( xn3 )  3 f ( xn2 )  3 f ( xn1 )  f ( xn ) 
8
3h
 f ( x0 )  3 f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x4 )  ...  f ( xn2 )  f ( xn1 )   2  f ( x3 )  f ( x6 )  ...  f ( xn3 )   f ( xn )
8
Erro na regra 3/8 de Simpson generalizada
E
h4
( xn  x0 ) f ( 4) ( ), x0    xn
80
Limitante superior para o erro
| E |
h4
( xn  x0 ) max{| f ( 4) ( x) |, x0  x  xn }
80
Exemplo:
7
Calcule o valor aproximado da integral
 ln( x  9)dx
usando a regra 3/8 de Simpson
1
generalizada para 3, 6 e 9 subintervalos e um limitante superior para o erro.
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Exercícios
1
1
Calcule o valor de
( x
3
 1 ) dx pela Regra 3/8 de Simpson usando 5 divisões no intervalo
1
[a,b].
3
2
Usando a Regra 3/8 de Simpson determine o valor de
 dxx
com 6 subintervalos. Compare o
1
resultado com o valor de ln(3).
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Exercícios
1
Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios, 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson,
usando quatro e seis divisões de [a,b]. Compare os resultados.
1
4
a)  e dx
x
c)
0
1
b)
 (3x

x dx
1
14
3
 3x  1) dx
d)
1
 dxx
2
2
Em que sentido a Regra de Simpson é melhor do que a Regra dos Trapézios?
3
Dada tabela
x
f(x)
0,0
1,0
0,2
1,2408
0,4
1,5735
0,6
2,0333
0,8
2,6965
1,0
3,7183
e sabendo que a Regra 1/3 de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios,
1
qual seria o modo mais adequado de calcular
 f ( x) dx , usando a tabela acima? Aplique este
0
processo para determinar o valor da integral.
2
4
Usando a Regra de Simpson determine o valor de
 dxx
com 8 subintervalos. Compare o
1
resultado com o valor de ln(2).
1
5
Considere a integral I =  e  x dx . Estime I pela Regra de Simpson usando h = 0,25.
2
0

1
dx
utilizando a Regra de Simpson com 6 subintervalos.
1  x2
0

6
Calcule π da relação
7
As fórmulas de Newton-Cotes são todas obtidas a partir da aproximação da função
integranda por um polinômio interpolador de Newton-Gregory. Aplicando a mesma
sistemática adotada para a obtenção das regras dos Trapézios e de Simpson, determine uma
fórmula de integração utilizando o polinômio interpolador de Newton-Gregory de 4o grau.
4
2
8
Aplique a fórmula obtida no exercício anterior para calcular I =  ln( x  x  1) dx .
1
9
Utilize a Regra 1/3 de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor
esforço computacional possível. Justifique.
2

 x , se 0  x  1
f(x) = 
3

( x  2) , se 1<x  2
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10 Pela Regra de Simpson (n=8), calcule cada uma das integrais abaixo.


a)  e sen ( x ) dx
2
b)
0

sen( x) dx
0
11 Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo
corpo de massa m de t0 a t1 é
t1
Q  m  C ( ) d
t0
onde C(θ) é o calor específico do corpo à temperatura θ, calcule a quantidade de calor
necessária para se elevar 20 kg de água de 0oC a 100oC. Para a água tem-se:
θ (oC)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
C(θ) (kcal/kgoC)
999,9
999,7
998,2
995,3
992,3
988,1
983,2
977,8
971,8
965,3
958,4
12 De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade
instantânea:
t (min)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
V (km/h)
23
25
28
35
40
45
47
52
60
61
60
54
50
Calcule a distância, em quilômetros, percorrida pelo automóvel.
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13 Calcule o trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela:
V(m3)
P(kg/m2)
1,5
80
2,0
72
2,5
64
3,0
53
3,5
44
4,0
31
4,5
22
vf
Sabe-se que W 
 P dV .
vi
14 Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B.
Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em
relação a AB com um intervalo de 0,05m. Qual é esta área?
Perpendiculares
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Comprimento (m)
3,28
4,02
4,64
5,26
4,98
3,62
3,82
4,68
5,26
3,82
3,24
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