DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL EM ESTRUTURAS ...
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DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE
LONGITUDINAL EM ESTRUTURAS PLANAS
DE MADEIRA DO TIPO TRELIÇA
André Luis Christoforo
Francisco Antonio Rocco Lahr
Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade de São Paulo, e-mails: [email protected]; [email protected]
Resumo
Atualmente, os softwares comerciais desenvolvidos para a análise do comportamento mecânico de estruturas são elaborados
de maneira que o usuário tenha de informar os seus dados físicos e geométricos pertinentes. Como respostas, obtêm-se
os valores de variáveis como deslocamentos, deformações, tensões e esforços atuantes em cada um dos elementos da
estrutura. O objetivo deste trabalho é elaborar um programa para a determinação do módulo de elasticidade longitudinal
ótimo em estruturas planas de madeira do tipo treliça, por intermédio de uma técnica de otimização aliada ao Método
dos Elementos Finitos. Uma simulação numérica foi realizada com o intuito de ilustrar a aplicação do programa.
Palavras-chave: madeira, estruturas treliçadas planas, método dos elementos finitos.
Introdução
Diversas circunstâncias têm contribuído para o incremento
do emprego da madeira como material estrutural no Brasil,
nos últimos anos. Dentre eles, cabe citar: a disseminação do
documento normativo NBR 7190 (Projeto de Estruturas de
Madeira), adequadamente fundamentado no Método dos Estados
Limites; o aumento da disponibilidade de estruturas préfabricadas; a possibilidade de utilização de espécies de
reflorestamento em substituição às nativas tropicais, de uso
consagrado mas de custo muito elevado; e a maior oferta de
profissionais da engenharia voltados para a otimização do
projeto e da construção das estruturas de madeira.
A madeira, como material estrutural, tem sido usada
em pontes, passarelas, fôrmas e cimbramentos para edifícios
de concreto armado e protendido, bem como em componentes
da edificação. Dentre os últimos, as estruturas de cobertura
vêm ganhando cada vez mais espaço no cenário nacional
da construção civil.
Usualmente, o dimensionamento de estruturas de
cobertura do tipo treliça é realizado em função do
conhecimento de variáveis como: vinculação, dimensões
e formas dos seus elementos componentes, magnitude e
posição das forças aplicadas nos nós, propriedades de
resistência e de rigidez das espécies a utilizar na obra.
Os softwares de análise estrutural, assim como os
de dimensionamento de estruturas existentes no mercado,
são desenvolvidos com o intuito de determinar os
deslocamentos nodais da estrutura e, como conseqüência,
os esforços, tensões e deformações correspondentes.
Neste contexto, e tendo em vista possibilitar aos
projetistas de estruturas de madeira o acesso a interessante
ferramenta de análise, o presente trabalho tem por objetivo
a determinação do valor do módulo de elasticidade para
as estruturas treliçadas planas, de maneira a facilitar a
escolha da espécie, ou das espécies, mais adequada para
as estruturas projetadas, seja no caso de construção artesanal,
seja nas situações em que se opta pela pré-fabricação.
Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF) mostra-se
uma excelente ferramenta para a análise do comportamento
dos materiais empregados em projetos estruturais, assim
como na avaliação do desempenho mecânico dessas estruturas.
Historicamente, o MEF surgiu em 1955, como evolução
da análise matricial de modelos reticulados, motivado pelo
advento do computador e elaborado com o intuito de projetar
estruturas de modelos contínuos.
O MEF é tido como uma técnica de gerar funções
de aproximação que podem ser utilizadas para interpolar
deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo
do domínio do elemento. Para a resolução de problemas
estruturais segundo o MEF, as funções de forma podem
ser aplicadas diretamente à sua equação diferencial (Resíduos
Ponderados) ou a princípios energéticos, tais como o Princípio
dos Trabalhos Virtuais (PTV).
O deslocamento, em problemas estruturais elásticos,
é considerado como incógnita fundamental e é obtido
por intermédio da resolução de um sistema de equações
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CHRISTOFORO & LAHR
x ∈ R n, em que V é a função residual. Como exemplo,
vale mencionar que a função objetivo utilizada para o
cálculo do valor ótimo da área das seções transversais
para os elementos estruturais está fundamentada no Método
dos Mínimos Quadrados.
lineares, assim como expressa a Equação (1). A montagem
do referido sistema se dá em função da disposição da
malha e, conseqüentemente, dos nós dos elementos finitos
na estrutura, como pode ser visto na Figura 1.
(1)
[K]{U}={F}
em que:
Método de Newton
[K] – matriz de rigidez da estrutura;
{U} – vetor dos deslocamentos nodais da estrutura;
{F} – vetor das forças equivalentes nodais da estrutura.
A busca pelo valor ótimo da função objetivo
(minimização) é realizada mediante a aplicação do Método
de Newton, que está fundamentado no desenvolvimento
da função f em série de Taylor em torno de um ponto xk.
O Método de Newton apresenta várias versões, diferentes
entre si no tocante à forma de aproximação da função em
torno de um ponto, sendo a linear a mais utilizada. Neste
trabalho, optou-se por utilizar o Método de Newton com
aproximação quadrática q (desenvolvimento da série de Taylor
truncada em seu terceiro termo) na busca pela solução ótima
do problema, em virtude de a função objetivo estar fundamentada
no Método dos Mínimos Quadrados. Assim, a convergência
para a solução ótima do problema é obtida em uma única
iteração. A Figura 2 ilustra uma aproximação quadrática para
a função g no caso de x ser uma variável real.
Com relação à aplicação de técnicas de otimização
e ao emprego do MEF na análise de estruturas, alguns
trabalhos podem ser citados, como o de Mascia (1991),
Alvarenga & Antunes (1994), Soares & El Debs (1997),
Rigo (1999), Perrine et al. (2002), Cheung (2003), Góes
(2004), entre outros.
Método dos Mínimos Quadrados
Entre outras aplicações, o Método dos Mínimos
Quadrados é empregado para minimizar uma função f,
denominada função objetivo, dada por f(x) = V(x) ,
6
7
8
4
5
3
4
5
6
3
1
1
1
2
2
2
1
K
U
=
Figura 1 Exemplo de discretização de uma malha de elementos finitos em uma treliça.
g(x)
q(x)
(1)
x
x
Figura 2 Aproximação quadrática pelo Método de Newton.
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F
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A aproximação de Taylor para uma função quadrática
é expressa por:
f(x) ≈ f(x k )+ ∇ f(x k )(x − x k )+
(2)
1
+ (x − x k )t ∇2 f(x k)(x − x k )= q(x)
2
em que f tem derivadas parciais de segunda ordem
contínuas com ∇f ( x k ) ≠ 0.
O ponto xk+1 é determinado pelo mínimo de q.
Determina-se primeiramente o gradiente da função q:
∇q(x)= ∇f(xk )+ ∇2 f(xk )(x − xk )
(3)
em que ∇ 2 f(x k ) é o hessiano de f
Igualando-se o gradiente da função a zero, tem-se:
∇q(x)= 0 ⇔ ∇ 2 f(x k )(x − x k )= −∇f(x k )
(4)
-1
Multiplicando-se a Equação (4) por ∇ 2 f(x K ) ,
tem-se:
x − x = −  ∇ f(x ) 


k
2
k
−1
diferenciais oriundas dos problemas de barras de treliça
torna-se desnecessário.
Considerando o que se apresenta na Figura 3, o
PTV pode ser expresso como:
Äv .F + ∫ Äv .b(x).dV + ∫ Äv .P(S).dA =
V
= ∫ å(x)v .ó(x).dV
S
−1
(9)
V
Na Equação (9), tem-se:
dV
dS
P(S)
F
b(x)
∆v
ε(x)v
σ(x)
– volume do elemento de dimensões infinitesimais;
– superfícies das faces do elemento de dimensões
infinitesimais;
– força de superfície;
– força pontual;
– força por unidade de volume;
– deslocamento virtual;
– deformação virtual;
– tensões.
y
k
∇f(x )
(5)
z
Na qual a solução de ∇ q(x)= 0 é dada por:
x − x k = −  ∇ 2 f(x k )


219
dx
dy
∇f(x k )
x
dz
(6)
b(x)
A Equação (6) pode ser escrita como:
x k+1 = x k + d k
em que d k = −  ∇ 2 f(x k )


−1
∇f(x k )
(7)
F
Na prática faz-se:
x k+1 = x k + ák .d k
P(S)
(8)
em que o passo é determinado de maneira a satisfazer
f(x − xk ) < f(xk ).
Formulação do Elemento Finito Segundo o
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Neste trabalho, a formulação do elemento finito é
desenvolvida segundo a aplicação do MEF no PTV. De
acordo com esta metodologia, o conhecimento das equações
Figura 3 Barra de treliça no espaço.
O primeiro membro da Equação (9) contabiliza o
trabalho das forças externas atuantes no elemento estrutural
e o segundo contabiliza o trabalho dos esforços internos
ou a energia de deformação interna do corpo.
Para a aplicação do PTV ao elemento de barra, o
conhecimento das hipóteses geométricas responsáveis por
descrever o seu campo de deformações torna-se necessário.
A deformação para um elemento de barra solicitado
na direção do seu eixo principal é ilustrada pela Figura 4
e expressa pela Equação (10).
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y
U(x)
b
z
A função de forma adotada para o problema é um
polinômio do primeiro grau. Este polinômio possui dois
coeficientes, representando os graus de liberdade para o
elemento finito. O polinômio é expresso por:
b
a
a
x
a
b
dx
∆dx
L
ö(x)= ax + b
O objetivo desta função é interpolar o campo de
deslocamentos no interior do elemento finito, em função
dos seus deslocamentos nodais. Como o elemento finito
apresenta dois graus de liberdade, a função de aproximação
do campo de deslocamentos ao longo do seu domínio é
constituída de duas parcelas, expressas pela Equação (13).
L + ∆L
∆L
F
u(x)=
U i ö1(x)+U j ö2 (x)
L>>a
L>>b
F
Figura 4 Deformação em uma barra por solicitação normal.
åx =
Ädx d
= (U(x))= U ' (x)
dx
dx
(10)
Na Equação (10), tem-se:
εx
U(x)
∆dx
dx
–
–
–
–
deformação na direção “x”;
função dos deslocamentos da barra;
variação do comprimento do elemento infinitesimal;
comprimento original do elemento infinitesimal.
A tensão normal com a direção do eixo principal
para um elemento reticulado (barra de treliça) é determinada
de acordo com a Equação (11).
ó = Då ⇒ ó x = Eå x
σx
σ
ε
D
E
(11)
Na Equação (11), tem-se:
– tensão normal na direção do eixo “x” do elemento;
– tensor das tensões;
– tensor das deformações;
– tensor constitutivo de rigidez;
– módulo de elasticidade longitudinal.
O elemento finito utilizado no cálculo da área das
seções transversais para os elementos estruturais possui
dois nós, sendo composto por um grau de liberdade por
nó (deslocamentos), como ilustra a Figura 5.
Ui
i
j
Uj
he
Figura 5
Elemento finito (barra de treliça).
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(12)
(13)
Os coeficientes para as duas funções de forma, contidas
na função aproximativa do campo de deslocamentos, são
determinados mediante a aplicação da técnica de elementos
finitos, que consiste em atribuir um “deslocamento unitário”
a um dos graus de liberdade do elemento mantendo-se os
demais nulos, repetindo-se este processo para todos os
demais graus de liberdade do elemento. A função
aproximativa dos deslocamentos, segundo a técnica de
elementos finitos, é ilustrada pela Figura 6.
φ1(x) 1
Ui
1 φ2(x)
i
j
Uj
he
Figura 6 Funções de forma segundo
o MEF para o elemento de barra.
As duas funções de forma determinadas mediante
a técnica de elementos finitos são expressas pelas Equações
(14) e (15).
 ö (0)= 1
para :  1
ö1(he )= 0
ö1(x)= −
 ö (0)= 0
para :  1
ö1(he )= 1
ö1(x)=
1
x +1
he
1
x
he
(14)
(15)
Como visto anteriormente, a deformação para o
elemento de treliça é calculada mediante a primeira derivada
da sua função de deslocamentos. Sendo assim, o campo
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de deformações ao longo do elemento finito é determinado
calculando-se a primeira derivada de sua função aproximativa
de deslocamentos, expressa pela Equação (16).
å(x)=
U i ö1' (x)+U j ö2' (x)
foram desenvolvidos no “sistema de coordenadas locais”,
que tem por objetivo determinar as deformações, tensões
e esforços atuantes em cada elemento finito. Porém, para
determinar os deslocamentos da estrutura, torna-se necessário
o conhecimento de suas coordenadas nodais no “sistema
de coordenadas globais”, expresso por intermédio da Equação
(19), como ilustrado na Figura 7.
(16)
A matriz de rigidez e o vetor das forças equivalentes
nodais (desconsiderando-se as forças de superfície e volume)
para o elemento finito são determinados substituindo-se
as Equações (11) e (16) na Equação (9), assim como
expressam, respectivamente, as Equações (17) e (18).
[Ke ] =
{Feq }
ES  1 −1
L  −1 1 
221
 xi 
0
0   xi 
cos(è) sen(è)
  
 
 y i   − sen(è) cos(è)
0
0   yi 

 =
  (19)
0
cos(è) sen(è)  x j 
x j   0

 y   0
0
− sen(è) cos(è)  y 
 j  """""" """"""!  j 
(17)
[T ]
 Fi 
= 
 F j 
(18)
A matriz [T] é chamada de matriz de transformação
de coordenadas. A matriz de rigidez para o elemento finito
no sistema de coordenadas globais é expressa pela Equação
(20):
Até o presente momento, a matriz de rigidez e o
vetor de forças equivalentes nodais para a barra de treliça
[Ke ]g = [T ]T [Ke ]l [T ]
 cos 2 (è)
−cos 2 (è)
−cos(è)sen(è)
cos(è)sen(è)


−cos(è)sen(è)
− sen 2 (è) 
sen 2 (è)
ES  cos(è)sen(è)
g
[Ke ] = 

L  −cos 2 (è)
−cos(è)sen(è)
cos 2 (è)
cos(è)sen(è) 


− sen 2 (è)
cos(è)sen(è)
sen 2 (è) 
 −cos(è)sen(è)
yj
yj
j xj
yj
(20)
yi
xj
θ
yi
yi
xi
θ
θ
i xi
j
θ
xj
i
xi
Figura 7 Transformação de coordenadas.
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ao longo do seu domínio é realizada por intermédio de
uma função polinomial do primeiro grau.
Para a determinação do E ótimo via programa EOTM,
o usuário deve aferir, em seu arquivo de entrada de dados,
informações como: número e disposição dos nós na estrutura,
número de elementos estruturais, propriedades geométricas
de cada elemento, nós da estrutura que se encontram
carregados, assim como magnitude e direção das forças.
Com tais informações, o programa EOTM constrói um
vetor de forças nodais {F*}, que têm como variável livre
o módulo de elasticidade de cada elemento estrutural,
expresso por:
Na equação (20), tem-se:
g
[Ke ]
– matriz de rigidez do elemento no sistema de
coordenadas globais;
[Ke ]l
– matriz de rigidez do elemento no sistema de
coordenadas locais.
O vetor de forças equivalentes nodais para o sistema
de coordenadas globais é expresso pela Equação (21).
{Feq }
 Fi 
0 
 
= 
Fj 
0 
 
(21)
{U est } ⇒ {F *} = E[ K * ]{U est }
Na Equação 22 tem-se:
*
{F } – vetor das forças nodais, que têm como variável
Hipóteses de Cálculo
independente o módulo de elasticidade
longitudinal;
Para a consecução deste trabalho, considera-se que
as tensões atuantes nos elementos estruturais de madeira
não ultrapassam o regime elástico linear e que a estrutura
é restrita a pequenos deslocamentos (teoria de primeira
ordem).
O cálculo do módulo de elasticidade longitudinal
ótimo pra estruturas planas de madeira do tipo treliça é
efetuado por intermédio do programa computacional EOTM,
desenvolvido a partir dos fundamentos do Método dos
Elementos Finitos (MEF), segundo a aplicação do modelo
cinemático de deformação específica, ou deformação de
engenharia no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV),
desconsiderando-se, nesses cálculos, as forças por unidade
de volume (peso próprio). Para o caso específico das estruturas
de madeira, tal aproximação não acarreta erros significativos,
pois a madeira é um material que apresenta resistência e
rigidez elevadas para sua massa específica, de acordo com
o que registram Dias et al (2003). O elemento finito (barra
de treliça), no seu sistema de coordenadas locais, apresenta
um grau de liberdade por nó, duas translações na direção
do eixo da barra. A interpolação do campo dos deslocamentos
[ K est ] – matriz de rigidez da estrutura;
{U est } – vetor dos deslocamentos nodais da estrutura;
[ K * ] – matriz composta pelo comprimento e área da
seção transversal de cada elemento finito.
Em função das forças aplicadas aos nós, definidas
no arquivo de entrada de dados, o programa EOTM cria
um vetor de forças nodais da estrutura {Fest}. Em seguida,
uma função é construída, fundamentada no Método dos
Mínimos Quadrados, com o objetivo de determinar o valor
do módulo de elasticidade longitudinal para que o resíduo
gerado por ambos os vetores, {F*} e {Fest}, seja mínimo.
Na continuação, o módulo de elasticidade é obtido
mediante a minimização da Equação (23) pelo Método
de Newton.
f (E) =
1 n
({Festi } − {Fi*})2
∑
2 i =1
{Fest}
f(E) =
1 n
∑ ({F } – {Fi*})2
2 i=1 esti
f(E)
{F*}
Eotm
Figura 8 Determinação do melhor valor de E.
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(22)
E
(23)
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Barras 2-3; 4-5; 8-5; 10-7: duas peças de (3 cm × 12
cm) – 223,6 cm de comprimento.
A Figura 8 ilustra a forma como o módulo de elasticidade ótimo (Eotm) é determinado.
Logo após a determinação do módulo de elasticidade,
o programa EOTM determina os deslocamentos nodais da
estrutura, as forças nas barras e as respectivas deformações
e tensões atuantes. O programa EOTM determina o módulo
de elasticidade para estruturas planas treliçadas de madeira
constituídas por espécies que apresentem módulos de
elasticidades equivalentes. Assim, o conceito de Classes
de Resistência, estabelecido na NBR 7190, ganha ainda
mais relevância, possibilitando o emprego de espécies menos
difundidas (entre elas as oriundas de áreas de reflorestamento),
mas com potencial de rigidez e resistência equivalente ao
de essências de emprego já consagrado. Com isto, pode
ser reduzido o custo da estrutura, sem qualquer redução
dos níveis de segurança adotados em projeto.
Análise e Conclusão
Aplicando-se o programa EOTM para as condições
do exemplo apresentado no item anterior, são obtidos os
valores de deslocamentos nodais, forças normais e deformações
nas barras da treliça, conforme o que consta na Tabela 1.
O valor do módulo de elasticidade longitudinal efetivo
(E c0,ef), para atender aos requisitos normativos de
deslocamentos máximos no exemplo apresentado, é 1.557
kN/cm2. Nestas condições, a partir da tabela de Classes
de Resistência da NBR 7190, pode-se estabelecer o conjunto
de espécies com as quais é possível construir a estrutura
em questão.
Admitindo-se como hipóteses de projeto: madeira
classificada, carregamento de média duração e estrutura
a ser construída em local com classe de umidade (2),
determina-se que as espécies de utilização possível seriam
as enquadradas na Classe C40 (Dicotiledôneas) do
mencionado documento normativo. Dentre tais espécies
podem ser citadas: Eucalipto Citriodora (Corymbia
citriodora); Eucalipto Paniculata (Eucalyptus paniculata);
Eucalipto Propinqua (Eucalyptus propinqua); Angelim
Vermelho (Dinizia excelsa); Garapa (Apuleia leiocarpa);
e Itaúba (Mezilaurus itauba).
Assim sendo, no caso de estruturas treliçadas de
madeira, em particular para coberturas, a metodologia
utilizada para a determinação do módulo de elasticidade
longitudinal neste trabalho mostra-se como providência
muito interessante para facilitar a escolha da melhor espécie
(ou conjunto de espécies) a ser empregada nos projetos e
nas correspondentes obras.
Exemplo de Aplicação
A Figura 9 ilustra uma estrutura plana treliçada de
madeira para a qual se deseja determinar o valor do módulo
de elasticidade da madeira com a qual será construída a
estrutura, de modo a não ultrapassar os valores de
deslocamento estabelecidos na NBR 7190.
Para a estrutura em questão, adotam-se os seguintes
parâmetros:
l
l
Forças verticais (valores de cálculo, incluindo ação
permanente e vento de pressão):
Nós 2 e 10: 1 kN; nós 4, 6 e 8: 2 kN.
Seções transversais:
Barras 1-3; 3-5; 5-7; 7-9; 2-4; 4-6; 6-8; 8-10: duas
peças de (3 cm × 16 cm) – 200 cm de comprimento;
Barras 1-2; 3-4; 5-6; 7-8; 9-10: uma peça de (3 cm ×
12 cm) – 100 cm de comprimento;
2
1
223
4
6
8
3
5
7
10
9
Figura 9 Exemplo de estrutura treliçada.
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CHRISTOFORO & LAHR
Tabela 1 Deslocamentos nodais, forças normais e deformações nos elementos da estrutura.
Deslocamentos (cm)
Elemento
Força
normal
(kN)
Deformação
específica
Tensão
(kN/cm2)
Nó
Direção “x”
Direção “y”
1
0,00000
0,00000000
0,00000000
1
0,00000000
0,00000000
2
0,00000
0,00000000
0,00000000
2
–0,06950821
–0,00706513
3
–12,0000
–0,00007948
–0,12500000
3
0,00000000
–0,79911629
4
0,00000
0,00000000
0,00000000
4
–0,09335301
–0,79911629
5
–4,00000
–0,00007065
–0,11111111
5
0,00000000
–0,59266265
6
18,2482
0,00016116
0,25344844
6
–0,11189896
–0,59619521
7
0,00000
0,00000000
0,00000000
7
–0,01589653
–0,28167987
8
–4,47213
–0,00003950
–0,06211300
8
–0,13044492
–0,29227756
9
–2,00000
–0,00003533
–0.05555556
9
–0,01589653
0,00000000
10
8,94427
0,00007899
0,12422600
10
–0,13839318
–0,00706513
11
–6,00000
–0,00010598
–0,16666667
12
6,70820
0,00005924
0,09316950
13
–4,00000
–0,00007065
–0,11111111
14
–18,0000
–0,00011922
–0,18750000
15
–14,0000
–0,00009273
–0,14583333
16
–14,0000
–0,00009273
–0,14583333
17
–6,00000
–0,00003974
–0,06250000
Referências Bibliográficas
ALVARENGA, R. C. S. S.; ANTUNES, H. M. C. C.
Otimização de treliças. In: CONGRESSO IBEROAMERICANO SOBRE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, 15., Belo Horizonte, MG.
Anais..., 1994. p. 1699-1708.
CHEUNG, A. B.; LINDQUIST, M.; CALIL, C. J. Calibração
de propriedades elásticas de uma placa ortótropa utilizando
algoritmos genéticos. Revista Sul-americana de
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