GABARITO
Matemática E – Extensivo – V. 7
Exercícios
01)B
05)Q(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1
P(x) = x³ + ax² − x + b é divisivel por x − 1.
Pelo teorema do resto, x = 1 é raiz de P(x).
P(1) = 1³ + a . 1² − 1 + b ⇒ a + b = 0
5 x 6 − 6 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 x 2 − 2x + 1
−5x 6 + 10x 5 − 5x 4
5
Da mesma maneira, P(x) é divisível por
x − 2. Pelo teorema do resto, x = 2 é raiz
de P(x).
P(2) = 2³ + a . 2² − 2 + b = 0 ⇒
P(2) = 8 + 4a − 2 + b = 0 ⇒ 4a + b = −6
Resolvendo o sistema:
a = −2 e b = 2.
Logo, a + b = − 2 + 2 = 0.
4
5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2x + 1
3
2
4x − 5x + 0x + 0x + 0x + 1
−4 x 5 + 8 x 4 − 4 x 3
3x 4 − 4x 3 + 0x 2 + 0x + 1
−3 x 4 + 6 x 3 − 3 x 2
2x 3 − 3 x 2 + 0 x + 1
− 2x 3 + 4 x 2 − 2x
x 2 − 2x + 1
−x 2 + 2x − 1
02)A
P(x) = x³ + mx²+nx − 2
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
0
06) F − F − V − V− V
(F)gr (Q) = gr(P) − gr(D)
Como gr(D) = 5, logo gr(P) = gr(Q) + gr(D) ≥ 5, o que torna a
afirmativa falsa.
(F)Pela questão 4, se P(x) divisível por (x − 1), não garante que é
divisível por (x − 1)².
(V)P(x) é divisível por (x − 1) e por (x + 9).
(V)Pela justificativa da primeira afirmativa.
(V) Como P(x) é divisível por x − 3, logo x = 3 é raiz de P(x).
Logo:
P(x) é divisível por x − 1, pelo teorema do
resto:
P(1) = 1³ + m . 1²+n . 1 − 2 ⇒
1+ m + n − 2 = 0 ⇒ m + n = 1
P(x) é divisível por x + 1, pelo teorema do
resto:
P(−1) =(−1)³ + m . (−1)²+n . (−1) − 2 = 0 ⇒
−1+ m − n − 2 = 0 ⇒
m − n = 3
Resolvendo o sistema:
m = 2 e n = −1.
03)Verdadeiro.
Basta fazer a divisão por Briot-Ruffini ou
método tradicional, verificando que os dois
restos dão zero.
07)A
D(x) = x² − 6x + 5
D(x − 1) . (x − 5)
Logo, P(x) é divisível por (x − 1) e por (x − 5).
P(x) = x4 + px2 + q, pelo teorema do resto:
P(1) = 14 + p . 12 + q = 0
1 + p + q = 0
p + q = − 1
04)Verdadeiro.
P(5) = 54 + p . 52 + q = 0
625 + 25p + q = 0
25p + q = − 625
Se fizer duas divisões sucessivas, observa-se que a primeira possui Q(x) = x² +
2x − 8 com resto zero. Se dividirmos Q(x)
por (x − 1) teremos resto − 5. Logo, P(x)
não é divisivel por (x − 1)².
Resolvendo o sistema, temos p = −26 e q = 25, logo p + q = −1.
Matemática E
1
GABARITO
b)Q(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1
08)5
B(x) = x² − 3x + 2
B(x) = (x −2)(x −1)
Logo, A(x) é divisível por (x −2) e por (x −1).
4 x 5 − 5 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 x 2 − 2x + 1
−4 x 5 + 8 x 4 − 4 x 3
4
−3 x 4 + 6 x 3 − 3 x 2
2x 3 − 3 x 2 + 0 x + 1
−2 x 3 + 4 x 2 − 2 x
x 2 − 2x + 1
A(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 − 6 = 0
1 + a + b − 6 = 0
a + b = 5
−x 2 + 2x − 1
0
Resolvendo o sistema, temos a = − 6 e b = 11.
Logo, a + b = 5.
09)Zero
P(x) = x4 − 3x3 + mx2 + nx − 1
Pelo teorema do resto, temos:
Para (x − 2): P(2) = 24 − 3 . 23 + m . 22 + n . 2 − 1 = 0
16 − 24 + 4m + 2n − 1 = 0
4m + 2n = 9
Para (x + 1):
P(−1) = (−1)4 − 3 . (−1)3 + m . (−1)2 + n . (−1) − 1 = 0
1 + 3 + m − n − 1 = 0
m−n=−3
7
1
en= .
2
2
7 7
1 7
Logo, − 7 . m + n = − 7 . + = − + = 0.
2 2
2 2
11)E
P(x) = x5 − 2x4 + ax3 + bx2 − 2x + 1
D(x) = x² − 2x + 1 = (x −1) (x − 1)
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível
por (x −1) e o quociente dessa divisão também. Por
Briot-Ruffini:
1
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível
por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por
Briot-Ruffini:
a
b
o
o
o
a+b
a+b
a+b
–1 a–1 a+b–1 a+b–3
a+b+2
resto
Logo, a + b − 2 = 0 ⇒ a + b = 2.
1
1 –1
a–1
1
a–1 2a+b–2
0
a+b–1
a+b–3
3a+2b–5
Resolvendo o sistema, temos a = 1 e b = 1.
Logo, a + b = 1 + 1 = 2.
12)D
I) Falso. gr(P) = n e gr(Q) = n, logo gr(P + Q) = n.
II)Verdadeiro. Pelo teorema do resto:
P(1) = m . 1³ + 1² −1 = m. Logo, o resto de P(x) por
(x − 1) é igual a m.
III) Verdadeiro. Se gr(P) = n e gr(Q) = 1, em que
Q(x) = x − a, logo gr(P . Q) = n + 1.
I
a+b
a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b
R(x) = 5a + 4b = 0 ⇒ 5a + 4b = 0
Do sistema, temos a = 4 e b = − 5.
2
1
Logo, 3a + 2b − 5 = 0 ⇒ 3a + 2b = 5.
Logo, R(x) = a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = − 1.
a
–2
Q(x)
1
b
Q(x)
a a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1
a
resto
10)a) a = 4 e b = − 5
1
1 –2
1
Resolvendo o sistema, m =
2
3x − 4x + 0x + 0x + 1
A(x) = x³ + ax² + bx − 6, pelo teorema do resto:
A(2) = 2³ + a . 2² + b . 2 − 6 = 0
8 + 4a + 2b − 6 = 0
4a + 2b = −2
4 x 3 + 3 x 2 + 2x + 1
3
Matemática E
GABARITO
13)D
15)E
y
P(x) = 2x4 + x3 + αx2 + βx + 2
D(x) = (x − 1)² = (x − 1) (x − 1)
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível
por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por
Briot-Ruffini:
1
2
1
α
β
2
2
3
3+α
3+α+β
5+α+β
Q(x)
1
resto
2
3
3+α
3+α+β
2
5
8+α
11+2α+β
Logo, 2α + β + 11 = 0 ⇒ 2α + β = − 11.
16)a) r(x) = − x + 3
P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x)
P(1) = 0 + r(1)  r(1) = 2
P(2) = 0 + r(2)  r(2) = 1
1
Se P(x) = x4 e D(x) = x + , podemos dividir P(x) por
2
D(x) pelo método de Briot-Ruffini
–1
2
1
0
0
0
0
1
–1
2
1
4
–1
8
1
16
1
1
1
Logo, Q(x) = x³ − x² + x − .
8
4
2
Pelo teorema do resto, o resto da divisão de Q(x) por
1
é:
2
x −
3
2
 1  1 1  1 1  1 1
Q  =   − .   + .   − = 0
 2   2  2  2  4  2  8
x1 + x 2
, em que x1 e x2 são
2
raízes da função. Se x1 = 3, logo x2 = 7.
Observe que xV = 5 e xV =
Logo, se P1(x) dividido por x − 2 possui resto 3 e P2(x)
dividido por x − 2 tem resto 7, a divisão de
P1(x) . P2(x) por x − 2 possui resto 3 . 7 = 21.
14)B
7
Resolvendo o sistema, temos: α = −6 e β = 1.
Temos α + β = − 6 + 1 = − 5
3
resto
5
v
Logo, α + β + 5 = 0 ⇒ α + β = − 5.
a + b = 2
⇒ a = − 1, b = 3
r(x) = ax + b 
2a + b = 1
Logo, r(x) = −x + 3.
5
b)
2
P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x)
Termo independente: P(0) = 8
P(0) = (0 − 2) (0 − 1) . Q(0) + (− 0 + 3)
8 = (− 2) (− 1) . Q(0) + (+ 3)
8 = 2 . Q(0) + 3
5 = 2 . Q(0)
5
Q(0) =
2
17)A
18)D
x² − x + 2c = 0
4² − 4 + 2c = 0
16 − 4 + 2c = 0
12 + 2c = 0
2c = − 12
c=−6
19)a)S = {3, 8, − 4}
b)S = {1, 1, 1, 5, 5, − 10} ⇒ S = {1, 5, − 10}
Matemática E
3
GABARITO
22)B
c)S = {1 + i, 1 − i}
2
−(−2) ± (−2) − 4 . 1 . 2 2 ± 4 − 8
=
=
2
2 .1
2 ± 2i 1+ 1i
=

2 1− 1i
d)S = {0, 4, 1}
x³ − 5x² + 4x = 0 ⇒ x (x² − 5x + 4) = 0
x (x − 4) (x − 1) = 0
e)S = {2, − 2, 3i, − 3i}
x = (6 − x )
x² = 6 − x
x² + x − 6 = 0
x=
Usando a mudança de variável x² = y:
x4 − x² − 12 = 0 ⇒ y² − y − 12 = 0
−(−1) ± (−1)2 − 4 . 1 . (−12) 1± 49
=
2
2 .1
1± 7 y = 4
y=

2 y = −3
x² = 4 ⇒ x = ± 2
x² = − 3 ⇒ x = ± 3i
f) S = {i, − i, 7}
x³ − 7x² + x − 7 = 0 ⇒ x² . (x − 7) + x − 7 = 0
(x² + 1) (x − 7) = 0
x² + 1 = 0
x−7=0
x² = − 1
x=7
x=±i
y=
x4 − 10x2 + 9 = 0 ⇒ y2 − 10y + 9 = 0
x12 + x 22 + x 23 + x 24 =
32 + (−3)2 + 12 + (−1)2 =
20= 2 5.
5x4 + x2 −3 = 0 ⇒ 5y2 + y − 3 = 0
Como S ⊂ R, logo S = {2, − 2}.
H1(t) = H2(t)
150t³ − 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30
150t³ − 50t³ − 190t − 35t + 30 − 30 = 0
100t³ − 225t = 0
t (100t² − 225) = 0
t = 0
ou
100t² − 225 = 0
100t² = 225
225
15
t² =
⇒t=
= 1,5
100
10
−1± 12 − 4 . 5 . (−3) −1± 61
=
10
2.5
y=
Como y = x², temos:

−1+ 61

x =
−1+ 61  1
10
x² =


10
x = − −1+ 61
 2
10


−1− 61

x =
−1− 61  3
10
x² =


10
x = − −1− 61
 4
10

21)C
4
x² = 9 ⇒ x = ± 3
x² = 1 ⇒ x = ± 1
24)B
−(−3) ± (−3)2 − 4 . 1 . (−4) 3 ± 25
y=
=
2 .1
2
3 ± 5 y = 4
y=

2 y = −1
Logo:
x² = 4 ⇒ x = ± 2
x² = − 1 ⇒ x = ± i
−(−10) ± (−10)2 − 4 . 1 . 9 10 ± 64
=
2
2 .1
10 ± 8 x = 9
y=

2 x = 1
y=
Logo,
x4 − 3x2 − 4 = 0, pelo método da mudança de variável:
y² − 3y − 4 = 0
Como x > 0, logo possuímos uma solução, S = {2}.
23)D
20)E
−1± 12 − 4 . 1 . (−6) −1± 25
=
2 .1
2

−1± 5 x = −3
x=

2 x = 2
Matemática E
Observe que x1 e x2 possuem radicandos positivos, pois
61 < 1.
GABARITO
Da mesma maneira, x3 e x4 possuem radicandos negativos, logo x3 e x4 são números complexos.
Temos, assim, duas raízes reais, x1 e x2.
(3x − 1) (3x² − 2x − 1) = 0
3x − 1 = 0 3x² − 2x − 1 = 0
25)12
28)D
3 → multiplicidade 1 

1 → multiplicidade 2 
 grau 12
7 → multiplicidade 3

8 → multip
plicidade 6
26)Falso.
3x = 1 x =
−(−2) ± (−2)2 − 4 . 3 . (−1)
2.3
1
2 ± 16
x = x =
3
6
x = 1
2 ± 4 
x =

1
6 x = −
3

2
x + x² = x³
x³ − x² −x = 0
x . (x² − x − 1) = 0
x=0
ou

1+ 5
x =
2

x² − x − 1 = 0 

1
5
−
x =

2
Observe que
1− 5
< 0, logo a afirmação é falsa.
2
27)E
3x³ − 5x² − 2x = 0
x . (3x² − 5x − 2) = 0
x=0
3x² − 5x − 2 = 0
+5 ± (−5)2 − 4 . 3 .(−2)
x=
2.3
5 ± 49
6
x = 2
5 ± 7 
x=

1
6 x = −

3
x=
1

S = 0, 2, − 
3 

 1   1 2
11
1 1
Logo:   + −  + 1² = + + 1 = .
 3   3 
9
9 9
29)C
x +1
0
0
x +1
0
–2
x
0
–2
x
1
–1
x –2
1
–1
=
(x + 1) . x . (x − 2) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2
(x² + x) (x − 2) = −2
x³ − x² − 2x + 2 = 0
x² (x − 1) − 2 (x − 1) = 0
(x² − 2) (x − 1) = 0
x − 1 = 0
x = 1
x² − 2 = 0
x² = 2
x = ± 2
Logo, S = {1, 2, − 2}, possuindo duas raízes irracionais, 2 e − 2.
30)a) d = 10
P(x) = x³ − 2x² − 5x + d
Pelo teorema do resto, P(2) = 0. Logo:
P(2) = 2³ − 2 . 2² − 5 . 2 + d = 0
8 − 8 − 10 + d = 0
d = 10
b)S = {0, 1 − 6, 1 + 6}
x³ −2x² − 5x + 10 = 10
x³ −2x² − 5x = 0
x (x² −2x − 5) = 0
Temos que x = 0 ou x² −2x − 5 = 0.
x ′ = 1− 6
x² −2x − 5 = 0 
x ′′ = 1+ 6

Logo, as raízes são S = {0, 1 − 6, 1 + 6}.
Matemática E
5
GABARITO
31)C
Como e = − 81, o sistema fica:
81 + 27b + 9c + 3d − 81 = 0
81 − 27b + 9c − 3d − 81 = 0
81 − 27ib − 9c + 3id − 81 = 0
81 + 27ib − 9c − 3id − 81 = 0
⇓
27b + 9c + 3d = 0
− 27b + 9c − 3d = 0
− 27ib − 9c + 3id = 0
27ib − 9c + 3id = 0
(x − 1) (x² + 1) + (x + 1) (x² − 1) = 0
x³ + x − x² − 1 + x³ − x + x² − 1 = 0
2x³ − 2 = 0
2x³ = 2
x³ = 1
x = 31
x=1
Se x ∈ C, x = 1 + 0i. Logo, o conjugado de x é x = 1 − 0i = 1.
Resolvendo o sistema temos que:
b = c = d = 0.
Logo o polinômio é p(x) = x4 − 81
b)r(x) = − 65
Podemos dividir p(x) por q(x) pelo método
das chaves:
x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x − 81 x 3 − 2x 2 + 4x − 8
32)E
2x³ − x² − 2x + 1 = 0
x² (2x − 1) − 2x + 1 = 0
x² (2x − 1) − (2x − 1) = 0
(x² − 1) (2x − 1) = 0
x² − 1 = 0
2x − 1 = 0
x² = 1
2x = 1
1
x = ± 1
x=
2
−x 4 + 2x 3 − 4x 2 + 8x
3
2x − 4x + 8x − 81
−2
2x 3 + 4x 2 − 8x + 16
− 65
33)P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12
Logo, r(x) = − 65.
P(x) = ax³ + bx² + cx + d
Temos que:
P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = 12  Logo d = 12
P(2) = a . 2³ + b . 2² + c . 2 + 12 = 0  8a + 4b + 2c = − 12
P(3) = a . 3³ + b . 3² + c . 3 + 12 = 0  27a + 9b + 3c = − 12
P(−1) = a . (−1)³ + b . (−1)² + c . (−1) + 12 = 0  − a + b − c = − 12
Portanto, possuímos um sistema de 3 equações com três incógnitas. Podemos resolver de várias maneiras, uma delas pela
regra de Cramer.
Temos assim, a = 2, b = − 8 e c = 2.
Logo, nosso polinômio será P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12.
34)a) p(x) = x4 − 81
Como 3, −3, 3i e − 3i são raízes de p, logo p(3) = 0,
p(−3) = 0, p(3i) = 0 e p(− 3i) = 0
Temos que p(x) é p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
p(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0
p(−3) = 81a − 27b + 9c − 3d + e = 0
p(3i) = 81a − 27ib − 9c + 3id + e = 0
p(−3i) = 81a + 27ib − 9c − 3id + e = 0
Observe que temos um sistema de 4 incógnitas e 4 equações,
pois a = 1 segundo o enunciado. Pelo método da soma temos:
324 + 4 e = 0 ⇒ 324 = − 4e ⇒ e = − 81
6
x+2
2
Matemática E
35)C
Podemos resolver essa questão por eliminação.
2
1
Como é raiz de multiplicidade 2 e de mul3
2
tiplicidade 3, logo o polinômio possui 5 raízes.
Temos assim um polinômio de grau 5. Com
isso eliminamos as alternativas a e b.
Observe que as raízes da alternativa d são:
(3x − 2) (3x − 2) (3x − 2) (2x − 1) (2x − 1) = 0
2
3x − 2 = 0 ⇒ x = de multiplicidade 3.
3
1
2x − 1 = 0 ⇒ x = de multiplicidade 2.
2
Temos assim descartada a alternativa d.
Com o mesmo raciocínio, obtemos na letra e
 3 
as raízes 2 de multiplicidade 3−
e de multipli 2 
cidade 2.
Logo, resta-nos a alternativa c.
GABARITO
36)C
Pelo teorema do resto, se f(x) é divisível por x e x + 2,
logo:
f(0) = 0 ⇒ 0³ − 0² + k . 0 + t = 0 ⇒ t = 0
f(−2) = 0 ⇒ (−2)³ − (−2)² + k . (−2) + 0 = 0 ⇒ k = − 6
39)a) S = {2, −2, 3, −3, 1}
5
x
−
x 4 − 13
x 3+
13x 2 + 36
x−
36 = 0
x4 . (x − 1) − 13x² . (x − 1) + 36 . (x − 1) = 0
(x4 − 13x² + 36) . (x − 1) = 0
Temos que x4 − 13x² + 36 = 0. Resolvendo pelo
método da mudança de variável, temos:
y = 9
y2 − 13y + 36 = 0 
y = 4
Assim, f(x) = x³ − x² − 6x. Fatorando:
x³ − x² − 6x = x (x² − x − 6) = x (x + 2) (x − 3)
37)B
Logo, x = ± 3 e x = ± 2.
x − 1 + 2x − 2 = 2
Do outro passo, x − 1 = 0. Logo, x= 1.
x − 1 + 2x − 2 = 4
S = {2, −2, 3, −3, 1}
b)S = {0, 1, −1, i, −i}
x5 −x = 0
x . (x4 − 1) = 0
2x − 2 = − x + 5
2x − 2 = (− x + 5)²
2x − 2 = x² − 10x + 25
x² − 12x + 27 = 0
Em que temos: x' = 3 e x'' = 9
Temos x = 0 ou x4 − 1 = 0. Pela mudança de variável:
y² − 1 = 0 y = ± 1
x = ± 1
x=±i
Observe que x = 9 não é solução, pois:
S = {0, 1, −1, i, −i}
9 − 1+ 2 . 9 − 2 = 8 + 16 = 8 + 4 = 12 ≠ 2
40)D
Já com x = 3, temos a solução. Logo, S = {3}.
x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
38)S= {3, −3, 4}
3
x –x
3
x
3
x –4
3
x
x
3
–3 x
3
= –9x –4x 2 –9x +9x +36 +x 3
Logo, P(x) = x³ − 4x² − 9x + 36.
Calculando as raízes:
x³ − 4x² − 9x + 36 = 0
x² . (x − 4) − 9x + 36 = 0
x² . (x − 4) − 9 . (x − 4) = 0
(x² − 9) . (x − 4) = 0
x² − 9 = 0
x−4=0
x² = 9
x=4
x=±3
S = {3, −3, 4}
Temos como raiz de multiplicidade 2, x = − 1.
6
–1 1 4
4
1
1
3
3
1
1
2
1
0
0
Q(x) = x² + 2x + 1 com raízes de Q(x) x' = − 1 e x'' = − 1.
Logo, S = {− 1, − 1, − 1, − 1}.
41)S = {1, 2, 7}
1
1 –10 23 –14
1
–9
14
0
Q(x) = x² − 9x + 14
r(x) = 0
As raízes de Q(x) = x² − 9x + 14, por Bháskara, são
x' = 7 e x'' = 2
Assim, a solução para P(x) é S = {1, 2, 7}.
Matemática E
7
GABARITO
42)A
–1
1
1
–2
–2
1
0
–2
0
Logo, a equação é x³ − 4x² +6x − 4 = 0. Rebaixando
essa equação para grau 2, temos:
6
–4
2 1 –4
1
Q(x) = x² − 2
r(x) = 0
As raízes de Q(x) = x² − 2, são:
x² − 2 = 0
x² = 2
x=± 2
Logo, duas raízes irracionais.
43)A
Rebaixando o P(x) duas vezes:
5
–4
1 1 –5 3
1 –4 –1
4
1 –3 –4
0
0
resto da divisão
Rebaixando P(x) para grau 2.
Logo, temos Q(x) = x² −3x − 4. Temos, assim, as raízes
de Q(x) por Bháskara, x' = 4 e x'' = −1.
Portanto |4 − (−1)| = |5| = 5.
Rebaixando o P(x) duas vezes:
18
3 1 –3 –7 15
0
–7
–6
1
3
2
0
1 –2 –1
2
0
1
0
0
–1
Nossa equação então é x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. Rebaixando essa equação para grau 2, temos:
1
1
–2
–5
6
1
–1
–6
0
0
Logo, Q(x) = x² − x − 6. Temos que as raízes de Q(x),
pela fórmula de Bhaskara, são x' = −2, x'' = 3.
48)D
45)E
Rebaixando a equação para grau 2, temos:
2 9 0 –31 –10
9
Como x = 2 é raiz da equação x³ − 4x² +mx − 4 = 0,
então:
2³ − 4 . 2² +m . 2 − 4 = 0
8 − 16 + 2m − 4 = 0
− 12 + 2m = 0
2m = 12
m=6
8
–4
Logo, Q(x) = x² − 1. Temos que as raízes de Q(x) são
x = 1 e x = −1.
Com isso, as raízes de P(x) são {2, 2, −1, 1} e P(x) pode
ser escrito como: P(x) = (x − 2) (x − 2) (x − 1) (x + 1),
sendo, portanto, divisível por (x − 2)².
Dessa forma Q(x) = x² + 3x + 2. Temos assim que as
raízes de Q(x) são, pela fórmula de Bháskara, x' = −2
e x'' = −1.
S = {−1, −2, 3, 3}
4
Como x = 1 é raiz de x³ − 2x² + ax + 6 = 0, então:
1³ − 2 . 1² + a . 1 + 6 = 0
1 − 2 + a + 6 = 0
a+5=0
a=−5
44)−1 e −2.
1
3
47)C
2º rebaixamento
1 –4
1º rebaixamento
resto da divisão
0
46)C
S = { 2, − 2}
2
Q(x) = x² − 2x + 2. As raízes de Q(x), pela fórmula
de Bháskara, são x' = 1 + i e x'' = 1 − i, dois números
complexos.
2
–2
Matemática E
18
5
0
Temos Q(x) = 9x² + 18x + 5. As raízes de Q(x) são, pela
5
1
fórmula de Bháskara, x' = − e x'' = − .
3
3
5 
 1
Logo, as raízes da equação são S = − , − , 2,
3 
 3
5
1
chamaremos p = − e q = − .
3
3
1 25 26
p² + q² = +
=
9 9
9
GABARITO
49)a)
x³ − 5 . x² = 36
6³ − 5 . 6² = 36
216 − 180 = 36
36 = 36 ou
36 − 36 = 0
1
23 i
23 i
1
e x" = − −
b) x ’ = − +
2
2
2
2
Temos a equação x³ − 5x² − 36 = 0, Rebaixando essa equação
a grau 2:
6 1 –5 0 –36
6
0
1 1
Temos assim, Q(x) = x² + x + 6, onde suas raízes, pela fórmula
1
23 i
23 i
1
e x" = − −
de Bháskara, x ’ = − +
2
2
2
2
50)a) 2 é raiz.
b)S = {1, −1, 2}
P(x) =
Como 1 + i e 1 − 2i são raízes do polinômio,
então 1 − i e 1 + 2i também são. Como o
polinômio é de grau 8, temos assim 4 raízes
reais e 4 complexas.
55)B
Como −1 e 2 são raízes de P(x), então:
(−1)³ + a . (−1) + b = 0 ⇒ − 1 − a + b = 0
a − b = −1
2³ + a . 2 + b = 0 ⇒ 8 + 2a + b = 0
2a + b = −8
Do sistema, tiramos a = −3 e b = − 2. Temos
assim P(x) = x³ + 0x² −3x − 2. Reduzindo P(x)
a grau 1, tem-se:
x
1
x
x
1
0
x
1 –2
x
0
x
2
0
x
2
0
3
= x + (2 –x) + 0 – 0 – 0 – 2x
2
51)C
Pois toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar
admite ao menos uma raiz real.
52)V − F − F − F − V.
3 1 1 1 9+i 3–2 7 8–3i 8–3i
9–i 3+2 7 8+3i 8+3i
0
–3
–2
2
1
–1
–2
0
1
1
0
01. Falso.
P(1) = 2 . 14 – 5 . 13 + 5 . 12 – 5 . 1 – 3
P(1) = −6 ≠ 0
02.Verdadeiro.
P(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 + 3 = 0
1 + a + b + 3 = 0
a + b = −4
P(−1) = (−1)³ + a . (−1)² + b . (−1) + 3 = 0
−1 + a − b + 3 = 0
a − b = −2
53)12
Raízes:
1
Temos Q(x) = x + 1. Logo, a raiz de
Q(x) é −1. c = −1
Teoria.
–1
56)06
P(x) = x³ − 2x² − x + 2
a)P(2) = 2³ − 2 . 2² − 2 + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0
Logo, 2 é raiz de P(x).
b)Rebaixando P(x) ao grau 2:
2
2 1 –2 –1
0
1 0 –1
Q(x) = x² − 1. Logo, as raízes de Q(x) são x² = 1 ⇒ x' = 1 e x'' = − 1.
S = {1, −1, 2}
54)C
Ou seja, são 12 raízes, logo o menor grau possível é 12.
1
1
–3
–1
3
–1
1
–2
–3
0
1
–3
0
Q(x) = x − 3. Logo, a raiz de Q(x) é 3.
S = {1, −1, 3}
04.Verdadeiro. Pois é uma equação de grau
ímpar e coeficientes reais.
08.Falso. Pelo teorema do resto
f(3) = 3³ + m . 3 − 5 =
0
Matemática E
Temos a = −3 e b = −1.
Assim, x³ −3x² − x + 3 pode ser rebaixado
a grau 1.
9 + 3m − 5 = 0
3m + 4 = 0
4
m=−
3
pois tem que
ser divisível
9
GABARITO
57)03
60)C
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x − 1) (x − 1) (x + 2) (x − i) (x + i)
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2
(−i)5 − a . (−i) 3 + a . (−i) 2 − 1 = 0
−i − ai − a − 1 = 0
(− a − 1) + (− a − 1) . i = 0
−a−1=0
a=−1
Logo, a = 0, b = −2, c = 2, d = −3, e = 2. Temos assim:
01. Verdadeiro.
02.Verdadeiro.
04.Falso.
08.Falso.
16.Falso.
Logo: P(x) = x5 + x3 − x2 − 1
P(x) = x³ . (x² + 1) − (x² + 1)
P(x) = (x³ − 1) (x² + 1)
P(x) = (x − 1) (x² + x + 1) (x² + 1)
58)C
x
21 – x
Para P(x) = 0
x − 1 = 0 ⇒ x = 1
21 – 2x
V = (21 − 2x) (21 − x) x = 810
V = (441 − 21x − 42x + 2x²) x = 810
441x − 63x² + 2x³ − 810 = 0
Temos assim 2x³ − 63x² + 441x − 810 = 0, com uma das raízes
x = 3, segundo o enunciado. Rebaixando a equação:
3
2 –63 441
–810
2
–57
270
P(x) = x5 − ax3 + ax2 − 1
P(−i) = 0
3
3
1
1
+ i e x'' = − − i
2
2
2
2
x² + 1 = 0 ⇒ x' = i e x'' = − i
x² + x + 1 = 0 ⇒ x' = −
(7 − 37 )
61) x=
3
x
0
Logo, Q(x) = 2x² − 57x + 270, em que as raízes de Q(x), pela
fórmula de Bháskara, são x' = 22,5 e x'' = 6. Como x' não é
possível, logo x = 6, que está no intervalo (5, 7).
Logo, i é raiz de P(x).
b)S = {i, −i, − 1 + i, − 1 − i}
Como i é raiz de P(x), temos que − i também é raiz de P(x).
Rebaixando P(x) para grau 2, temos:
i
–i
1
2
2
1 2+i 2i+2
2
2i
0
1
0
2
3
2
Temos Q(x) = x² + 2x + 2. Logo, as raízes de Q(x) pela fórmula
de Bháskara, são x' = − 1 + i e x'' = − 1 − i.
10
4 – 3/2x
59)a) i é raiz de P(x)
P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2
P(i) = i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2
P(i) = 1 − 2i − 3 + 2i + 2
P(i) = 0
Matemática E
8 – 2x

3 
V = 4 − x  . (8 − 2x) . x

2 


3
V = 4 − x  . (8x − 2x²)

2 
V = 32x − 12x² − 8x² + 3x³ ⇒
V = 3x³ − 20x² + 32x
Vamos determinar o valor de x, além do valor
2, em que V = 8 dm³
3x³ − 20x² + 32x = 8 ⇒
3x³ − 20x² + 32x − 8 = 0, em que 2 é raiz da
equação. Rebaixando a equação para uma de
2o grau:
2
3 –20
32
–8
3 –14
4
0
Q(x) = 3x² − 14x + 4. As raízes de Q(x), pela
(7 − 37 )
fórmula de Bháskara, são x' =
e
3
7 + 37
. Observe que x'' ≅ 4,36, e
x'' =
3
8 − 2x = − 0,36.
(7 − 37 )
Logo, x =
.
3
GABARITO
62)S = {1, 2, 3}
1

64)S = 1, 3, 

3 
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Divisores de − 6: p = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
Divisores de 1: q = ± 1
3x³ − 13x² + 13x − 3 = 0
Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3
Divisores de 3: q = ± 1, ± 3
Candidatos a raiz da equação:
{1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.
Observamos que uma das raízes é x = 1. Rebaixando
a equação:
1
1
–6
11
–6
1
–5
6
0
Observamos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando
a equação:
1
Q(x) = x² − 5x + 6. Temos como raízes de Q(x), x = 2 e
x = 3.
3 

2 
3
–13
13
–3
3
–10
3
0
1
Q(x) = 3x² − 10x + 3, com raízes x' = 3 e x'' = .
3

1
S = 1, 3, 

3 
S = {1, 2, 3}

63)S = 1,


1
1
Possíveis raízes da equação: 1, − 1, 3, − 3, , − 

3
3 
65)S = {−3, 3, − 3}
2x³ − 7x² + 8x − 3 = 0
Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3
Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

3
3 1
1
Candidatos a raiz: 1, − 1, 3, − 3, , − , , − 

2
2 2
2 
Sabemos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:
1
2
–7
8
–3
2
–5
3
0
3 

2 
x³ + 3x² − 3x − 9 = 0
Divisores de − 9: p = ± 1, ± 3, ± 9
Divisores de 1: q = ± 1
Possíveis raízes: {1, −1, 3, −3, 9, −9}
Observamos que x = −3 é raiz da equação. Rebaixando:
Q(x) = 2x² − 5x + 3. Logo, as raízes de Q(x) são x' = 1
 3 
e x''−
= .
 2 

S = 1,

–3
1
3
–3
–9
1
0
–3
0
Q(x) = x² − 3, com raízes x = ± 3.
S = {−3, 3, − 3}
66)Falso.
3x4 − 9x3 + 17x2 − 88x + 7 = 0
p
Observamos que uma raiz racional, da forma , será:
q
Divisores de 7: p = ± 1, ± 7
Divisores de 3: q = ± 1, ± 3

1
1
7
7 
Possíveis raízes: 1, − 1, , − , 7, − 7, , − 

3
3
3
3 
Notamos que x = 12 não está na lista.
Matemática E
11
GABARITO
67)D
P=
x
–1
x+1
x
–1
–1
0
1
–1
0
2
–x 2
2
–x 2
1
= 0 − 2 + x³ + x² − 1 + x³ + 0 ⇒ P = 2x³ + x² − 3
2x³ + x² − 3 = 0
Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3
Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

1
1
3
3 
Possíveis raízes: 1, − 1, , − , 3, − 3, , − , 

2
2 
2
2
Rebaixando a equação, sabendo que x= 1 é raiz:
1
2
1
0
–3
2
3
3
0
Q (x) = 2x² + 3x + 3, e suas raízes são x' =
Logo, temos uma única raiz real.
−3 − 15i
−3 + 15i
e x'' =
.
4
4
68)C
P(x) = x³ − 7x² + 14x − 6
Pelo teorema do "chute", x = 3 é raiz de P(x). Rebaixando a equação:
3
1
–7 14
–6
1
–4
2
0
Q(x) = x² − 4x + 2, com raízes x' = 2 + 3 e x'' = 2 − 3. Temos assim, x' + x'' = 2 + 3 + 2 − 3 = 4.
69)Verdadeiro.
x
1
1
x
1
1
x
–2
1
x
1
x
x
1
x
= 0 ⇒ x 3 – 2 + x – x + 2x 2 –x = 0
x³ + 2x² − x − 2 = 0
Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2
Divisores de 1: q = ± 1
Possíveis raízes: {1, −1, 2, −2}
Observe que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:
1
1
2
–1
–2
1
3
2
0
Q(x) = x² + 3x + 2, em que suas raízes são x' = −2 e x'' = −1.
Logo, S = {1, −1, −2} ⊂ [−2, 1].
12
Matemática E
GABARITO
70)E
73)E
f(x) = 9x³ + 15x² − 32x + 12
Divisores de 12: p = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
Divisores de 9: q = ±1, ±3, ±9
24x4 − 50x3 + 35x2 − 10x + 1 = 0
Divisores de 1: p = ±1
Divisores de 24: q = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ± 12, ±24
Observamos que x =
Reduzindo-a, temos:
2
9 15 –32 12
3
9
21 –18
2
é raiz da equação.
3
Observe que, de todas as possibilidades de raízes, não
há nenhuma com denominador 5.
74)B
x4 + x3 − 4x2+ x + 1 = 0
Divisores de 1: p = ±1
Divisores de 1: q = ±1
0
Q(x) = 9x² + 21x − 18, onde as raizes são
2
x' = − 3 e x'' = − .
3
71)C
Possíveis raízes: {1, −1}.
Observe que, segundo o enunciado, temos mais de
uma raiz inteira. Como −1 não é raiz, logo x = 1 é de
multiplicidade de 2. Reduzindo a equação:
1
1
1
1 1 –4
3x4 − 7x3 + 14x2 − 28x + 8 = 0
Temos, pelo teorema do "chute", que:
3
2
2
2
4
 1
 1
 1
 1
 1
P  = 3 .   − 7 .   + 14 .   − 28 .   + 8
 3 
 3 
 3 
 3 
 3 
1
1
2
–2
–1
1
3
1
0
0
2
 1
1
1 28
1
+8
+ 14 . −
P  = 3 . − 7 .
 3 
81
9 3
27
2
 1 1
7 14 28
−
−
+
+8
P  =
 3  27 27 9
3
Temos assim Q(x) = x² + 3x + 1, em que suas raízes
−3 + 5
−3 − 5
e x'' =
.
são x' =
2
2
2
 1
P  = 0
 3 
Logo,
72)E
75)E
2x − 3x −3x + 6x − 2 = 0
Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2
Divisores de 2: q = ± 1, ± 2
4
2
−3 + 5
+
= − 3.
−
3
+
5
2
3
2
P(x) = x5 − 5x3 + 4x2 − 3x −2
Como 2 é raiz de P(x), vamos rebaixar a equação:
2
1 0 –5 4 –3 –2


1
1
Possíveis raízes: 1, − 1, , − , 2, − 2


2
2
1
é raiz da equação. Observamos
2
também que x = 1 é raiz da equação. Logo, podemos
reduzir a equação até o grau 2.
Observamos que x =
1
2
–3
–3
6
–2
1
2
2
–1
–4
2
0
2
0
–4
0
Q(x) = 2x² − 4, com raízes x' = 2 e x'' = − 2.
 1

S =  , 1, 2, − 2 
 2

1
2
–1
2
1
0
Q(x) = x4 + 2x3 − x2 +2x + 1. Para acharmos as raízes
de Q(x), temos:
x 4 + 2x 3 − x 2 + 2x + 1 0
= 2
x2
x
2 1
x² + 2x − 1 + + 2 = 0
x x


 2

1
x +  + 2 . x + 1  − 1 = 0


x 
x 2 

1
Vamos chamar dex + = y (1)

x
Matemática E
13
GABARITO


 2

x + 1  + 2 . x + 1  − 1 = 0
2




x
x

y 2 −2
y
(y² − 2) + 2y − 1 = 0
y ’ = −3
y² + 2y − 3 = 0 
y ’’ = 1
Em (1):

1
1± 3i
y = 1 ⇒x + = 1 ⇒ x =

x
2

1
−3 ± 5
y = − 3 ⇒x + = − 3 ⇒ x =

x
2
 1+ 3i 1− 3i −3 + 5 −3 − 5 
S = 2,
,
,
,



2
2
2
2


14
Matemática E