SISTEMAS DIGITAIS
Exercícios
Ano Lectivo 2009/2010
Representação de Informação
1. Converta cada um dos seguintes números para o seu equivalente decimal:
a)
i) 1101110.1012
ii) 10101112
iii) 0.001012
iv) 1011010.10102
b)
i) 735.68
ii) 10218
iii) 13.4328
c)
i) 1FD.816
ii) A2C116
iii) 1A.B216
2.
Converta o número decimal 467.75 para o seu equivalente em cada uma das
seguintes bases:
a) binário
c) octal
d) hexadecimal
3.
Converta cada um dos seguintes números binários para os seus equivalentes
em octal e hexadecimal:
a) 1111000010.01
b) 111100101011.110111
c) 10101111101.1
d) 1010101001.011
4. Converta cada um dos seguintes números para binário:
a) 3641.18
b) 570.68
c) 12.358
Sistemas Digitais
Página 1 de 12
d) 4B6.316
e) 8F3.B16
f) 4D5.6516
5.
Exprima cada um dos seguintes números decimais com sinal como números
binários de 8 bits, usando as representações em sinal e grandeza, complemento
para 1 e complemento para 2:
a) +55
b) +123
c) -45
d) -57
e) -88
f) -114
6.
Qual o número decimal equivalente a cada um dos seguintes números binários
com sinal:
a) Representação em sinal e grandeza
i) 00010101
ii) 10010111
b) Representação em complemento para 1
i) 01101011
ii) 11011100
c) Representação em complemento para 2
i) 01110111
ii) 11101000
iii) 00101001
iv) 10000000
Aritmética Binária
7.
Efectue as seguintes operações:
a) 101.011 + 11.1101
b) 1111.01 + 10.011
c) 1011.10 - 10.01
d) 111.11 - 10
e) 101 x 100.01
f) 11001.1 x 101.01
Lógica e Álgebra de Boole
8.
Construa a tabela de verdade e o diagrama lógico de cada uma das seguintes
funções booleanas:
Sistemas Digitais
Página 2 de 12
a) F( x, y, z) = ( x. y + z) + x. z
b) F( x, y, z) = ( x + y).( x. z + y)
c) F( x, y, z, w ) = ( x.( y. z + w ) + x. y. z)
d) F(a , b, c) = a.( b + c ).( b. c)
e) F(a , b, c, d ) = a.( b + c.( b + d ))
9.
Escreva a expressão booleana correspondente a cada um dos seguintes
diagramas lógicos:
a)
u
w
x
y
z
F
y
z
b)
z
x
y
w
F
z
c)
a
b
10.
F
c
Desenhar o diagrama lógico de cada uma das seguintes expressões booleanas:
a) F ( x, y , z , w) = w.( x . y + y .z ) + w.z
b) F ( x, y , z ) = ( x + y ) + ( x . y + x. y )
11.
Prove cada um dos seguintes teoremas:
a) x.( x + y) = x
b) x + y = x. y
c) x + x. y = x + y
12.
Usando os teoremas da álgebra de Boole, prove as seguintes identidades,
partindo da expressão da esquerda e demonstrando que ela é igual à da direita.
Sistemas Digitais
Página 3 de 12
a) ( x + y).( x + z) = x. z + x. y
b) x. z. w + x. z. w + x. y. w = x. w + y. w
c) x. y + z. w = ( x + z).( x + w ).( y + z).( y + w )
d) x. y + y. z + x. z = x. y + y. z + x. z
e) ( x + y + xy).( x + y). x. y = 0
13.
Usando os teoremas da álgebra de Boole simplifique, tanto quanto possível,
cada uma das seguintes expressões.
a) x. z + x. z + x. y
b) x. y. z + x. y. z + x. y. z
c) x. z + x. y. z + x. y. z
d) (a + b + a. b).(a. b + a. c + b. c)
14.
Escreva a forma canónica disjuntiva das funções booleanas correspondentes às
seguintes tabelas de verdade:
a)
15.
b)
c)
x
y
z
F
x
y
z
F
x
y
z
w
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
Escreva a forma canónica conjuntiva da função F representada pela tabela e
verdade:
a)
x
y
z
F
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
Sistemas Digitais
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Página 4 de 12
b)
x
y
z
F
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
16.
Mostrar que x ⊕ y ⊕ z = x. y.z + x. y .z + x . y.z + x . y .z
17.
Rescreva a expressão y .( x + z ) + x . y na forma canónica conjuntiva.
18.
Rescreva a expressão y .( x + z ) + x . y na forma canónica disjuntiva
a) A partir da tabela de verdade
b) Usando os teoremas da álgebra de Boole.
Mapas de Karnaugh
19.
Use um Mapa de Karnaugh para encontrar as expressões mais simples das
seguintes funções:
a) F(A, B, C) = ∑(0,2,3)
b) F(A, B, C) = ∑(1,2,4,6,7 )
c) F(A, B, C) = ∑(0,1,2,3)
20.
Repita o problema anterior fazendo com que os números que representam
mintermos passem a representar maxtermos.
21.
Use um Mapa de Karnaugh para encontrar as expressões mais simples das
seguintes funções:
a) F(A, B, C, D) = ∏ (0,5,7,13, 14,15)
b) F(A, B, C, D) = ∏ (1,4,6,8,1 1,13,14 )
c) F(A, B, C, D) = ∏ (1,2,4,5,7 ,8,10,11,1 3,14 )
22.
Repita o problema anterior fazendo com que os números que representam
maxtermos passem a representar mintermos.
23.
Simplifique as seguintes funções:
a) F(A, B, C, D, E) = ∑ (0,4,8,12, 16,20,24,2 8)
b) F(A, B, C, D, E) = ∑ (0,2,5,8,1 3,15,18,21 ,24,29,31)
c) F(A, B, C, D, E) = ∑ (3,4,6,9,1 1,13,15,18 ,25,26,27, 29,31)
24.
Use um mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes funções:
a) F(A, B, C, D) = A.B.C + A.D + B.D + C.D + A.C + A. B
b) F(A, B, C, D) = (A + B + C ).(B + D ).(A + C).(B + C)
c) F(A, B, C, D, E) = A + B.C + C .D.E
Sistemas Digitais
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d) F(A, B, C, D, E) = (A + B).(B + C).(C + D ).(D + E )
25.
Use um mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes funções:
a) F(A, B, C, D) = ∑ (0,1,4,5,9 ,11,14,15) + d(10,13)
b) F(A, B, C, D) = ∑ (0,13,14,1 5) + d(1,2,3,9, 10,11)
c) F(A, B, C, D) = ∑ (0,6,9,10, 13) + d(1,3,8)
d) F(A, B, C, D) = ∑ (1,4,7,10, 13) + d(5,14,15)
e) F(A, B, C, D, E) = ∑ (1,4,6,10, 20,22,24,2 6) + d(0,11,16, 17)
Aplicações da Lógica Combinatória
26.
Pretende-se um automatismo capaz de realizar a seguinte função:
"Um depósito de água é alimentado por uma bomba que tira a água
de um poço. O depósito serve para rega e abastecimento de água a
uma casa de habitação. Pretende-se que a bomba só entre em
funcionamento quando se tira água para rega, e simultaneamente,
para a casa de habitação, ou quando a água do depósito não estiver
acima de um determinado nível".
Projecte o circuito necessário utilizando apenas portas NAND.
27.
Determine as expressões soma de produtos simplificadas de um descodificador
BCD 7 segmentos, aproveitando a existência de termos para os quais as saídas
não são definidas.
x0
x1
x2
x3
a
b
Descodificador
BCD
7 Segmentos
a
f
g
e
g
b
c
d
Descodificadores e Multiplexers
28.
Projecte um descodificador de 4 linhas recorrendo apenas a portas NAND
29.
Implemente a função F utilizando um multiplexer 4-1
Sistemas Digitais
x y
z
0
0
0
0
1
1
1
1
0 0
1 1
0 1
1 1
0 X
1 X
0 1
1 0
0
0
1
1
0
0
1
1
F
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30.
Implemente a função F utilizando um multiplexer 8-1
F(X,Y,Z) = Σ (0, 1, 5)
Dinâmica da Comutação
31.
Observando o mapa de Karnaugh que se segue diga, justificando, se existe a
possibilidade de ocorrência de erros estáticos. No caso afirmativo identifiqueo(s) e apresente formas de os corrigir.
32.
Considere que, no circuito que se segue, todas as portas envolvidas possuem
idêntico tempo de atraso δ . Diga, justificando, em que condições se pode
verificar um erro estático. Demonstre-o traçando, por isso, o seu diagrama
temporal.
33.
Admita que um sistema digital é descrito pela seguinte expressão funcional:
⎞
⎛
⎞ ⎛
F ( A, B, C , D, E ) = ⎜ B ⋅D ⋅ E ⋅ B ⋅ C ⋅D ⋅ E ⎟ ⋅ ⎜ B ⋅ C ⋅ D ⋅ E ⋅ A ⋅ B ⋅ D ⋅ E ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
a) Esboce o circuito (utilizando apenas portas NAND de duas entradas).
b) Obtenha a expressão anterior na forma canónica dijuntiva.
c) Desenhe o mapa de Karnaugh e avalie o sistema quanto à sua robustez. No
caso de existirem possíveis situações patológicas apresente soluções.
Sistemas Digitais
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Flip-Flops
34.
As formas de onda da figura que se segue comandam um latch RS
sincronizado. Inicialmente Q=0. Represente o sinal Q.
CLK
S
R
35.
Na figura a palavra de dados a ser armazenada é s=1001.
a) Se LOAD for baixa seguida do bordo positivo, a que será igual Q?
b) Se LOAD for alta no instante depois do bordo positivo do relógio, a que
será igual Q?
36.
Para o circuito da figura que se segue o relógio possui uma frequência de 6
MHz. Qual a frequência da saída Q? Este circuito é às vezes chamado de
divisor por 2. Explique porquê.
+5V
J
Q
K
Q
CLK
37.
Considere a seguinte figura.
Sistemas Digitais
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CLR é considerada baixa temporariamente, depois alta. Desenhe o diagrama
de temporização. Se o relógio tiver uma frequência de 1 MHz, qual será a
frequência da saída Q? Este é um circuito divisor por 2? Porquê?
38.
Considere a seguinte figura:
a) Determine a sequência lógica em EP2, EP1 e EP0, partindo da situação
EP2=EP1=EP0=0.
b) Apresente um circuito sequencial baseado em flip-flops D e circuitos SSI,
que realize a sequência que determinou na alínea anterior e que passe ao
estado inicial EP2=EP1=EP0=0 sempre que entre num estado que não faça
parte da referida sequência.
39.
Considere a seguinte figura.
a) Indique o valor lógico para as saídas Q3, Q2 e Q1 para os oito primeiros
impulsos de clock (após a ligação do circuito).
b) Diga o que acontece se o circuito, por qualquer motivo, tomar o valor
Q3=0 e Q2=Q1=1.
c) Implemente um circuito, baseado em flip-flops do tipo D e em gates que
faça o mesmo que o circuito da figura.
Contadores
40.
Implemente um contador assíncrono que efectue a seguinte sequência de
contagem:
a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, ...
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b) 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9, ...
c) 7, 6, 5, 4, 3, 7, 6, ...
41.
Implemente um contador síncrono, usando flip-flops J-K e as portas que achar
conveniente, que efectue a seguinte sequência de contagem:
a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, ...
b) 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9, ...
c) 7, 6, 5, 4, 3, 7, 6, ...
Circuitos Sequenciais
42.
Seja uma máquina de enchimento de garrafas de gás. Pretende implementar-se
um sistema de segurança que só permite que a válvula de enchimento de gás
(G) seja aberta depois de colocada nova garrafa. Assim, só se considera que a
nova garrafa está colocada se SP1 subir após a subida de SP2.
G
GÁS
SP2
SP1
43.
Para testar um circuito digital é necessário disparar o trigger do osciloscópio
quando dois sinais (SINAL_1 e SINAL_2) desse circuito vão a 1, tendo o
SINAL_1 subido primeiro. O sinal de trigger deverá estar, normalmente, em 1,
indo a 0 na situação referida quando ambos em 1. Implemente o esquema que
permitirá construir esse circuito.
44.
A figura seguinte representa uma máquina de laminar contraplacado de
madeira constituída por uma mesa M e por um êmbolo hidráulico E. O
operador coloca sobre a mesa M a placa a laminar por pressão da botoneira B.
O êmbolo desce por acção da electroválvula Z. Existe uma fotocélula A,
correspondente a uma zona de segurança, para impedir a descido do êmbolo
Sistemas Digitais
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enquanto o operador se encontrar nessa zona. Assim, o êmbolo E só pode
descer de B for pressionado, desde que A não esteja actuado.
Faça o esquema do circuito sequencial de comando, assumindo que todos os
sinais são activos a 1.
Z
E
B
A
M
VHDL
45.
Construa uma livraria em VHDL onde constem as operações lógicas
elementares AND, OR, NOT e as operações NAND, NOR e XOR. O tempo de
subida e o tempo de descida deve poder ser programado. Por defeito esse valor
deve ser zero.
46.
A figura que se segue ilustra o diagrama de um Flip-Flop tipo D, activo ao
flanco ascendente, com entrada de RESET assíncrona activa alta.
Modele, e simule, o seu comportamento em VHDL.
47.
Modele e verifique o comportamento de um latch RS síncrono em VHDL
a) Considerando um nível de abstracção de comportamento.
b) Considerando o modelo ao nível de portas NOR.
48.
Recorrendo ao VHDL modele e simule o comportamento do circuito digital do
exercício 38. Para isso, desenvolva o modelo do flip-flop JK com entradas de
CLEAR e PRESET.
49.
Considere um SWITCH digital com duas portas de entrada, a e b, de 8 bit e
uma porta de saída, c, também de um byte. Num dado instante de tempo, e
dependendo de uma entrada adicional (sel) uma das seguintes quatro reacções
são possíveis:
Sistemas Digitais
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Modele e simule o sistema acima descrito em VHDL.
50.
Escreva o código em VHDL que emule o funcionamento da seguinte máquina
de estados:
PROCESSO A
PROCESSO B
51.
A máquina de estados que se segue diz respeito ao problema do controlo de
uma célula de fabrico que consiste numa linha de engarramento de água (ver
acetatos ParteIII, pag.19).
Modele a máquina em VHDL e simule o seu comportamento escrevendo, para
isso, um “testbench”.
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