Aula 7
Nesta aula, continuaremos a discutir o caráter
de fluido do plasma, analisando a equação de fluido
que rege o movimento do plasma como fluido.
3.2 Equação de Fluido para o Plasma
Vimos no capítulo 2 que a equação de
movimento para uma única partícula sujeita aos
r r
campos E e B é
r
r r r
dV
m
= q( E + V × B)
dt
3.2.1
Agora considere a seguinte aproximação: que o
plasma seja constituído de uma coleção de elementos
de fluido e que também possamos desprezar os
eventos colisionais, assim como o movimento térmico
das partículas num elemento de fluido com densidade
partículas carregadas n, então equação de fluido que
rege a dinâmica do elemento de fluido é
r
r r r
du
= qn ( E + u × B )
mn
dt
3.2.2
, onde u = velocidade média das partículas
carregadas contidas num elemento de fluido, que
deve ser exatamente, a velocidade mais provável do
elemento de fluido.
Importante!
Observação: Na aproximação de fluido, cada
elemento de fluido, pode ser constituído tanto por
íons, elétrons ou nêutrons, logo deve existir também
diferentes equações de fluido para cada espécie no
plasma.
Como estamos interessados em encontrar uma
equação de fluido para um sistema de coordenadas
fixo, devemos rearranjar a expressão 3.2.2, pois tal
expressa, leva em conta um sistema de coordenadas
que viaja juntamente com a partícula.
r
Para isso, considere uma grandeza G ( x , t )
qualquer do fluido (para facilitar, vamos considerar
o problema unidimensional), então a variação
r
temporal de G ( x , t ) neste sistema de coordenadas
fixo, deve ser
r
r
r
r
r
∂G
dG ( x, t ) ∂G ∂G dx ∂G
=
+
=
+ ux
∂t
∂x dt
∂t
∂x
dt
r
∂G
O primeiro termo à direita da igualdade, ∂t
representa a variação temporal de G num dado ponto
r
∂G
fixo no espaço e os termos, ∂x e ux representam,
respectivamente a variação espacial de G para
tempos diferentes e a variação da posição do
elemento de fluido em tempos diferentes.
Podemos generalizar o caso acima, para as 3
dimensões, isto é
r
r
r
dG ∂G
r
=
+ (u ⋅ ∇ )G
∂t
dt
3.2.3
A expressão 3.2.3 é chamada der derivada
DG
convectiva e pode ser representada por Dt .
r
Note também, que (u ⋅ ∇ ) e um operador
r
escalar que age em G .
r
r
u
G
é a própria velocidade do
Em nosso caso,
elemento de fluido, então podemos reescrever a
expressão 3.2.2 como
r
r r r
r r r
 du
mn 
+ (u ⋅ ∇ )u  = qn ( E + u × B )
 dt

3.2.4
A expressão 3.2.4 é também conhecida como
equação de transferência de momentum para
r
elementos de fluido que se movem com velocidade u
r r
quando sujeita aos campos E e B .
A partir de agora iremos adicionar à equação de
transferência de momentum, os termos relacionados
aos eventos colisionais e ao movimento térmico que
desprezamos no início.
Começaremos com a adição de um novo termo
de densidade de força à equação de transferência de
momentum, devido ao movimento térmico.
Na presença de movimento térmico, o fluido terá
uma temperatura T que dará origem a forças
resultantes da pressão cinética no interior do fluido.
Para encontrar a taxa média de variação de
momento dos elementos de fluido, vamos considerar
um cilindro imaginário de comprimento l e área
transversal A, que contêm o fluido a uma
temperatura T, então
r
Nm N 2
Fmt =
Vi
∑
l i =1
3.2.5
A expressão 3.2.5 indica a força média exercida
pelo fluido, constituído de N partículas, sobre as
paredes do cilindro imaginário que o contêm.
Podemos reescrever a expressão 3.2.5, pois
sabemos que num plasma a energia média das N
partículas contidas num elemento de fluido é
m N 2 KT
Vi =
∑
2 i =1
2
Substituindo a média acima, na expressão 3.2.5 e
dividindo o resultado pela área transversal A do
cilindro imaginário, encontraremos a pressão
exercida pelo fluido sob as paredes do cilindro
imaginário, isto é
P = nKT
3.2.6
Derivando a expressão 3.2.6 com relação ao
comprimento do cilindro, encontraremos a seguinte
expressão para a densidade de força devido ao
movimento térmico, isto é
r
dFmt r
= ∇p
dl
3.2.7
Agora podemos reescrever a equação de
transferência de momentum da seguinte maneira
r
r r r
r
r r r
 du
mn 
+ (u ⋅ ∇ )u  = qn ( E + u × B ) − ∇ p
3.2.8
 dt

Importante!
Observação: A expressão 3.2.8 é, evidentemente
aproximada no que se refere à pressão, pois em 3
dimensões p não é um escalar e sim um tensor, dado
pela matriz abaixo
 p xx
t 
P =  p yx
 p zx

p xy
p yy
p zy
p xz 

p yz 
p zz 
3.2.9
, onde os elementos de matriz na diagonal principal
correspondem ao termos relacionados com as forças
de tensão que agem no elemento de fluido e os
demais termos, fora da diagonal principal, são os
termos relacionados com as forças de cisalhamento
(ou termos de viscosidade).
Portando para o caso mais geral, onde a pressão
r
r t
é anisotrópica, ∇ p deve ser substituído por ∇ ⋅ P
(produto diádico) na expressão 3.2.8
Em particular,
assuminos no início uma
distribuição de velocidades que é maxwelliana, então
t
o tensor Strees P é
p
t  xx
P= 0
 0

0
p yy
0
0 

0 
p zz 
Se o plasma estiver sujeito a um campo
magnético externo, podem coexistir no plasma 2
temperaturas devido às pressões nas direções
paralela e perpendicular ao campo magnético, logo o
t
tensor Strees P é
p
t  //
P= 0
 0

0
p //
0
0 

0 
p⊥ 
Para completar a equação de transferência de
momentum, vamos adicionar agora, o termo de
densidade de força relacionado os eventos
colisionais.
Num plasma, o elemento de fluido constituído de
partículas carregadas pode, eventualmente perder
momentum em colisões com o elemento de fluido não
carregado, isto é, neutro.
r r
u
Se − u 0 for a velocidade relativa durante uma
r
u
colisão, onde 0 é a velocidade do elemento de fluido
neutro e sendo τ o tempo médio entre as colisões,
podemos encontrar um termo para a densidade de
força resultante destas colisões, isto é
r r
− mn (u − u 0 )
τ
3.2.9
Portanto a expressão final para a equação de
transferência de momentum, consideração os eventos
colisionais (expressão 3.2.9) e o movimento térmico
(3.2.7) é a expressão 3.2.10
r r
r
r
r
r
r
t
mn (u − u 0 )
r
r
r
 du
mn 
+ (u ⋅ ∇ )u  = qn ( E + u × B ) − ∇ ⋅ P −
τ
 dt

A expressão 3.2.10 é um caso particular, onde a
pressão é anisotrópica e para colisões entre
elementos de fluido de partículas carregadas e não
carregadas.
Observação: Para colisões apenas entre
elementos de fluido de partículas carregadas, a
expressão 3.2.9 pode ser aproximada por
r
− mnvu
3.2.11
, onde agora v é a freqüência de colisão entre os
elementos de fluido de partículas carregadas.
A expressão 3.2.10 é apenas uma das equações
que
permite
descrever
completamente,
a
aproximação de plasma como fluido.
Para
simplificarmos
o
problema
de
encontrarmos um conjunto completo de equações
que regem a dinâmica do plasma como fluido, vamos
considerar um plasma contento apenas íons (i) e
elétrons (e), então
• Densidades de carga e corrente
 σ = ne qe + ni qi
r
r
r
 J = ne qeVe + ni qVi
• Equações de Maxwell do eletromagnetismo
r
r
clássico, para determinar os campos E e B gerados
pelo plasma, isto é
r r

ε 0 ∇ ⋅ E = ne qe + ni qi

r r
r&

∇ × E = −B
r r

∇⋅B = 0

r
r
r&
 −1 r r
 µ o ∇ × B = ne qeVe + ni qVi + ε 0 E
• Equação de transferência de momentum, para
descrever o movimento do plasma como fluido, isto é
r
r r r
r t
du
 j
r r r
+ (u j ⋅ ∇ )u  = qn j ( E + u j × B ) − ∇ ⋅ P
m jnj 
 dt

, onde o índice j indica i para íons e e para elétrons.
• Equações de Estado da Termodinâmica, para
determinar a pressão exercida pelo plasma em
função da sua densidade, isto é
 p j = C ρ γj , C = cons tan te
r
 r
∇n j
 ∇p j
=γ

pj
nj


 γ = (2 + N ) / N = C p

CV
, onde o índice j indica i para íons e e para elétrons,
N é o número de graus de liberdade de movimento,
Cp e CV são os calores específicos a pressão e volume
constante.
• Equação de Continuidade para Fluidos, para
garantir a conservação da densidade, isto é
∂n j
∂t
r
+ ∇ ⋅ (n ju j ) = 0
, onde o índice j indica i para íons e e para elétrons.
Observe
equações,
que neste
temos
conjunto
18
completo de
incógnitas
r
r r r
n
n
p
p
u
u
E
,
,
,
,
,
,
( i e i e i e
e B ) e exatamente 16
equações (desconsiderando as 2 primeiras equações
de Maxwell), isto permite, certamente encontrar os
r
r
campos E e B gerados e descrever o movimento do
plasmas como fluido.