i
INSTITUTO DE FÍSICA - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Tese de Doutorado
Caos, descoerência, proteção de estados e a transição
quântico-clássico para ı́ons aprisionados
Andrè Ricardo Ribeiro de Carvalho
Orientador: Luiz Davidovich
ii
“É preciso manter o caos dentro de si
para dar luz à uma estrela dançante.”
Goethe
iii
Aos meus pais e às minhas meninas:
Marcele e Clara.
iv
Agradecimentos
Agradeço ao Luiz pela orientação e pelo contagiante entusiasmo pela ciência.
Agradeço também aos amigos do grupo de ótica quântica: Kike, Paulo, LG, Marcelo,
Pérola, Luis André e Mazolli pelos momentos que passamos juntos na universidade,
nos campos de futebol e nas inesquecı́veis viagens. Agradeço ao Nicim Zagury e
ao Dario pela excelente companhia quando estivemos na Alemanha e ao Ruynet
pela amizade e por todos esses anos de trabalho em conjunto. Devo agradecer
aos grandes amigos do pH, em particular ao Rui Alves e ao Carlos Ferrão, que me
receberam de braços abertos após um perı́odo de ausência. Devo muito aos meus
pais e aos meus irmãos pelo apoio que me deram durante toda a minha vida e
principalmente à Marcele e à Clara por terem se tornado a razão de tudo isso.
v
Resumo
A transição quântico-clássico para sistemas quânticos com análogos clássicos
caóticos é estudada para o caso de ı́ons aprisionados em uma armadilha harmônica
submetidos a pulsos periódicos. Mostramos que neste sistema é possı́vel não só
construir dinâmicas não-lineares que levem a uma dinâmica caótica como também
criar ambientes artificiais, chamados de reservatórios, através da manipulação de
campos eletromagnéticos externos. Propomos, a partir da possibilidade de engenharia de reservatórios, um método para a proteção de alguns estados quânticos
contra os efeitos da descoerência. Analisamos, também, os papéis desempenhados
pela interação com o ambiente e pelo limite macroscópico na transição quânticoclássico mostrando a importância da existência de ambos os efeitos. Estudamos
a dinâmica caótica na presença de um reservatório difusivo e de um dissipativo e
comparamos a influência de cada um deles na obtenção do limite clássico.
vi
Abstract
The quantum-classical transition for quantum systems with a chaotic classical analog is studied for ions confined in a harmonic trap under the influence of
periodic pulses. It is shown that in this system it is possible to build nonlinear interactions leading to chaotic dynamics and also to construct artificial environments,
called reservoirs, through the manipulation of external electromagnetic fields. We
propose a method for protecting quantum states against decoherence, based on
reservoir engineering. We also analise the roles played by the system-reservoir interaction and the macroscopic limit in the quantum-classical transition, showing
that both effects are important. We study the chaotic dynamics in the presence
of diffusive and dissipative reservoirs, comparing the influence of each other in
obtaining the classical limit.
Conteúdo
1 Introdução
1
2 Íons Aprisionados
5
2.1 Íons aprisionados e nı́veis vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Interação com laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3 Efeitos da emissão espontânea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Engenharia de Reservatórios
15
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Eliminação adiabática e equações mestras . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Apresentação do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Reservatório a temperatura nula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Reservatório de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Reservatório de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Interação com campos aleatórios: reservatório difusivo . . . . . . . . . 28
3.4 Proteção de estados quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Proteção de uma combinação linear de autoestados de energia
do movimento vibracional iônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Proteção de um “qubit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Proteção de um estado comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Proteção de um estado tipo gato de Schrödinger . . . . . . . . . 39
4 Caos Clássico: o Oscilador Harmônico Pulsado
vii
41
CONTEÚDO
viii
4.1 Equações de movimento e mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Linearização e pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Evoluindo uma distribuição clássica de probabilidades . . . . . . . . . 50
4.4 Evolução clássica com reservatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Reservatório dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.2 Reservatório difusivo
5 Caos em ı́ons aprisionados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
61
5.1 Interação com Laser e hamiltoniano Caótico . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Comparação com variáveis clássicas e escalamento . . . . . . . . . . . 64
5.3 Evoluindo o Estado Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 Dinâmica do pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.2 Dinâmica entre os pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Considerações numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Transição Quântico-Clássico
75
6.1 Função de Wigner × distribuição clássica de probabilidades . . . . . . 77
6.2 Função caracterı́stica e tempo de separação . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Função caracterı́stica para o sistema isolado . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Reservatório a temperatura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.3 Reservatório difusivo
7 Conclusão
Apêndice A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
97
101
A.1 Reservatório difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.2 Reservatório a temperatura nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Apêndice B
107
Apêndice C
109
CONTEÚDO
ix
Apêndice D
111
x
CONTEÚDO
Capı́tulo 1
Introdução
Nascida no inı́cio do século XX, a mecânica quântica é a base da fı́sica moderna
e responsável pelo imenso progresso nesta área do conhecimento humano. O sucesso de suas explicações para os fenômenos microscópicos possibilitou o fabuloso
desenvolvimento tecnológico e cientı́fico vivido pelo mundo cotemporâneo. No entanto, tão ou mais importante que as bem sucedidas predições da teoria quântica
foi o impacto de suas novas idéias na maneira de pensar a natureza. Novos conceitos como a noção de estado quântico, a possibilidade de superposição coerente
dos mesmos e uma descrição calcada em probabilidades entraram em conflito com
a já bem estabelecida visão clássica de mundo.
Esta incompatibilidade com o pensar clássico provocou intensos debates protagonizados pelos principais fı́sicos envolvidos na construção da nova teoria no
inı́cio do século XX [1]. Mesmo um século depois de iniciada sua elaboração, da
verificação de sua consistência e de seus sucessivos êxitos na previsão de resultados experimentais, a teoria quântica ainda é alvo de interpretações [2] que compatibilizem seus conceitos abstratos com o senso comum utilizado para descrever o
mundo clássico.
Uma questão importante, nesse contexto, é compreender de que forma a teoria
fundamental dos processos fı́sicos da natureza, a mecânica quântica, dá origem
à teoria clássica que, durante séculos, mostrou-se capaz de descrever o mundo
macroscópico. A emergência do clássico a partir do mundo microscópico tem sido
1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
2
objeto de grande interesse desde os primórdios da teoria quântica, época em que
foi formulado por Bohr o princı́pio da correspondência (1923).
De acordo com este princı́pio, as previsões quânticas devem corresponder às
clássicas no limite em que o sistema se torne macroscópico. A definição de macroscopicidade está ligada à relação entre o tamanho do sistema e as escalas onde
os fenômenos quânticos são importantes. O limite clássico é usualmente considerado como aquele em que a constante de Planck (h̄), fundamental na definição
da escala quântica, tende a zero. Obviamente que, sendo uma constante, h̄ não
pode ser mudada e, no limite macroscópico, o que deve ir para zero é a razão entre
a constante de Planck e uma grandeza dimensionalmente equivalente do sistema,
como a ação clássica.
No entanto, argumentos baseados somente nestas relações de escala não parecem ser suficientes para explicar, por exemplo, porque não são observadas, em objetos macroscópicos, superposições coerentes de estados permitidas pela mecânica
quântica. Uma das possibilidades de explicação da transição quântico-clássico é
formulada a partir da teoria da descoerência [3]. Esta teoria baseia-se no fato de
os sistemas quânticos não serem perfeitamente isolados do resto do universo de
maneira que a interação entre os graus de liberdade que definem as variáveis macroscópicas do sistema sob estudo e os demais graus de liberdade que compõem
o ambiente à sua volta previne a existência de superposições coerentes no mundo
macroscópico.
No entanto, a descrição probabilı́stica intrı́nseca da fı́sica quântica não foi a
única a perturbar os alicerces do determinismo cientı́fico. Dentro da própria fı́sica
clássica existem sistemas não-lineares onde a evolução através de equações determinı́sticas gera a imprevisibilidade. Tais sistemas, chamados caóticos, apresentam
extrema sensibilidade às condições iniciais, ou seja, uma pequena diferença nessas
condições gera resultados completamente diferentes no futuro. Como não somos
capazes de obter com certeza a situação inicial de um sistema, após um tempo
perdemos a possibilidade de previsão. Este tipo de fenômeno já havia sido nota-
3
do no fim do século XIX por Poincaré mas só em meados do século XX o estudo
dos sistemas dinâmicos caóticos avançou em diversas áreas como fı́sica, quı́mica,
biologia e economia [4].
Na mecânica quântica estes sistemas foram pouco explorados até as últimas
décadas do século XX quando surgiu o interesse na transição quântico-clássico e
nos efeitos quânticos de sistemas classicamente caóticos [5]. A dinâmica caótica
torna ainda mais delicada a discussão a respeito do limite clássico e é um dos
tópicos tratados nesta tese.
A discussão aqui é dirigida para a questão da transição quântico-clássico em
um sistema fı́sico com reais possibilidades de implementação experimental, o sistema de ı́ons aprisionados em uma armadilha harmônica. O capı́tulo 2 contém
material introdutório sobre a dinâmica de ı́ons aprisionados e suas interações com
campos eletromagnéticos. No capı́tulo 3 discute-se a produção de diferentes tipos
de reservatórios para os ı́ons através da manipulação de tais interações e também
de que forma isto pode ser utilizado para a proteção de alguns estados quânticos
contra efeitos indesejáveis do processo de descoerência. No capı́tulo 4 é feita uma
rápida introdução a respeito de sistemas caóticos dando ênfase à análise do oscilador harmônico pulsado enquanto que no capı́tulo 5 é mostrado como implementar
fisicamente este modelo em ı́ons. Finalmente no capı́tulo 6 são apresentados os
resultados obtidos assim como uma discussão a respeito do limite clássico desse
sistema.
4
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capı́tulo 2
Íons Aprisionados
Na introdução falamos a respeito da importância dos experimentos com ı́ons
aprisionados no estudo dos aspectos fundamentais da teoria quântica.
Neste
capı́tulo desenvolveremos as relações básicas da dinâmica de um ı́on interagindo
com campos eletromagnéticos. Iniciaremos discutindo brevemente o movimento
quantizado do ı́on numa armadilha de Paul para em seguida deduzir as equações
relativas à aplicação de campos eletromagnéticos externos ao mesmo.
2.1
Íons aprisionados e nı́veis vibracionais
As armadilhas de Paul são uma das mais utilizadas para o armazenamento de
um único ı́on [6, 7]. Não faremos aqui uma dedução detalhada das equações da
armadilha
1
mas apenas nos limitaremos a uma descrição qualitativa da mesma
com o objetivo de introduzir o hamiltoniano que descreve a dinâmica do centro de
massa do ı́on.
Este tipo de armadilha combina a ação de campos eletrostáticos com campos
de radio freqüência (rf) dependentes do tempo. A utilização do campo de rf se deve à impossibilidade de se gerar um potencial confinante nas 3 direções espaciais
somente com campos estáticos. Uma maneira ilustrativa de entender o funcionamento deste tipo de armadilha, em duas dimensões, é a partir da rotação de um
potencial tipo sela como mostra a fig. (2.1).
1
Para uma discussão mais completa consultar [7] e suas referências.
5
CAPÍTULO 2. ÍONS APRISIONADOS
6
(a)
(b)
Figura 2.1: (a) Potencial tipo sela correspondendo a uma direção estável e outra instável. (b) A rotação do mesmo com uma freqüência apropriada alterna as
direções gerando um potencial efetivo final estável.
O campo estático gera um potencial estável em uma das direções e instável em
outra (fig. 1-a). A rotação alterna periodicamente essas direções de maneira que a
solução final do problema é um potencial efetivo harmônico em todas as direções
(fig. 1-b)
V (xi ) =
X mν 2
i
i=x,y,z
2
x2i .
(2.1)
As freqüências νi podem ser diferentes umas das outras abrindo a possibilidade
de contrução de armadilhas lineares [7] onde o movimento do ı́on fica restrito praticamente a uma dimensão. Classicamente teremos então uma partı́cula movendose sob um potencial harmônico na direção î (x) e, portanto, o hamiltoniano do
sistema será dado por
H0 =
mν 2 2
p2
x +
.
2
2m
(2.2)
Podemos quantizar o movimento do ı́on na armadilha substituindo as variáveis
x e p pelos operadores correspondentes x̂ e p̂, observando-se as condições usuais
de comutação entre os mesmos
Ĥ0 =
p̂2
mν 2 2
x̂ +
.
2
2m
(2.3)
2.1. ÍONS APRISIONADOS E NÍVEIS VIBRACIONAIS
7
Os operadores de levantamento e abaixamento do oscilador harmônico são definidos, respectivamente, por
â† =
1
1
X̂ − iP̂ e â =
X̂ + iP̂ ,
2
2
(2.4)
com X̂ = x̂/∆x e P̂ = p̂/∆p. Nestas relações aparecem as dispersões de posição e
momentum do estado fundamental definidas, respectivamente, por
∆x =
s
h̄
2mν
e ∆p =
s
h̄mν
.
2
(2.5)
Podemos, então, reescrever o hamiltoniano livre do centro de massa do ı́on na
armadilha, a menos de um termo constante, como
Ĥcm = h̄νâ† â.
(2.6)
Para uma descrição mais geral do ı́on deve-se somar ao hamiltoniano vibracional uma parte relativa à energia dos seus nı́veis eletrônicos. Estaremos simplificando a estrutura interna do átomo considerando um sistema de dois nı́veis como
ilustrado na fig. (2.2)
ν
|2i
ω21
Γ
|1i
Figura 2.2: Esquema de nı́veis eletrônicos e vibracionais do ı́on. ω 21 = ω2 − ω1 é
a freqüência de transição entre os nı́veis 2 e 1, ν a freqüência vibracional e Γ uma
possı́vel taxa de decaimento entre os nı́veis.
Esta simplificação é justificada por ser a transição 2 → 1 a única ressonante
com os possı́veis campos interagentes com o átomo. O hamiltoniano livre será:
Ĥ0 = Ĥcm + Ĥele = h̄νâ† â + h̄ω1 Â11 + h̄ω2 Â22,
(2.7)
CAPÍTULO 2. ÍONS APRISIONADOS
8
onde Aij = |iihj| são, para i 6= j , os operadores de transição eletrônica, e, para i = j ,
os projetores nos dois estados eletrônicos.
2.2
Interação com laser
A interação da radiação com o ı́on confinado pode acontecer, dependendo da
freqüência do campo incidente, através de seus graus de liberdade internos, ou
externos. Entende-se por graus de liberdade internos aqueles associados com a
estrutura de nı́veis eletrônicos dos átomos enquanto que os externos representam
o movimento quantizado do centro de massa da partı́cula.
As freqüências tı́picas de transições eletrônicas nos experimentos com armadilhas de ı́ons é da ordem de 1015Hz para as transições óticas, de GHz para as
transições entre nı́veis hiperfinos enquanto que o centro de massa oscila na faixa
de uma dezena de M Hz no mesmo tipo de montagem experimental [7, 8, 9, 10, 11].
Uma das caracterı́sticas notáveis que colocam o sistema de ı́ons aprisionados
em destaque no cenário de experimentos fundamentais em mecânica quântica hoje é a possibilidade de manipulação de estados vibracionais através de estados
eletrônicos e vice-versa. A produção de emaranhamento [8, 12], a construção de
portas lógicas quânticas [9, 13], a produção [10, 14] e detecção de estados vibracionais não clássicos [11, 15] e o teletransporte [16] são exemplos de onde se tira
proveito dessa interligação entre estados internos e externos do ı́on.
Uma maneira simples de justificar que transições eletrônicas podem afetar o
estado vibracional do sistema é pensando em conservação do momento. Quando um elétron transiciona de um estado para outro emitindo, por exemplo, um
fóton, ele sofrerá um recuo, alterando, portanto, seu estado de movimento. Essas alterações podem ser desejáveis ou não, dependendo se ocorrem de maneira
controlada através da interação com os campos aplicados ou se acontecem ocasionalmente por efeito de emissão espontânea.
2.2. INTERAÇÃO COM LASER
9
Interação direta com o centro de massa
Consideremos a situação em que se aplica sobre o ı́on, confinado a mover-se ao
longo do eixo Ox, um campo de radiofreqüência E(t), excitando, ressonantemente,
o movimento vibracional. A interação direta deste campo com o centro de massa
do ı́on pode ser descrita, desprezando a variação do campo com x, através do
hamiltoniano [17, 18]
ĤI = −ex̂ E(t) = −e
s
h̄
(â† + â)E(t).
2mν
(2.8)
Vamos considerar um campo aproximadamente monocromático oscilando com
a mesma freqüência que os ı́ons e com uma envoltória E(t) lentamente variável no
tempo. Passando para a descrição de interação obtemos
˜
Ĥ I
˜
= −µ â˜† + â
E (+) (t)e−iνt + E (−) (t)eiνt
= −µ â† eiνt + âe−iνt
E (+) (t)e−iνt + E (−) (t)eiνt ,
(2.9)
onde E (+) (t) e E (−) (t) são as envoltórias correspondentes às partes de freqüência positiva e negativa do campo, respectivamente, til representa operadores na descrição
de interação e
µ ≡ −e
s
h̄
.
2mν
(2.10)
Fazendo a aproximação de onda girante, que consiste em desprezar termos
rapidamente oscilantes em (2.9), podemos escrever
h
i
˜
Ĥ I = −µ E (+) (t)â† + E (−) (t)â .
(2.11)
Interação com nı́veis eletrônicos
Adicionaremos à situação descrita pela fig. (2.2) a interação com um laser de
freqüência ωL e vetor de onda kL . Na aproximação de dipolo elétrico o hamiltoniano
é [17, 18]
Ĥ = Ĥcm + Ĥele + Ĥint
= h̄νâ† â + h̄ω1 Â11 + h̄ω2 Â22 +
h̄
ΩL (t)Â21ei(kL x ·x̂−ωL t) + H.c.,
2
(2.12)
CAPÍTULO 2. ÍONS APRISIONADOS
10
sendo Aij os operadores de transição eletrônica e x̂ o operador posição do centro
de massa do ı́on definidos anteriormente e kLx = kL cos θ a componente do vetor
de onda na direção de vibração do ı́on. A freqüência de Rabi ΩL(t) do sistema é
definida por
1
ΩL (t) = − |d12 · L | EL
h̄
(2.13)
onde L é o vetor unitário na direção de polarização do laser, EL a amplitude do
campo e d12 = −eh1|r|2i o elemento de matriz do momento de dipolo elétrico entre
os estados 1 e 2, sendo r o vetor posição do elétron.
A dependência com o tempo na freqüência de Rabi é dada pelo perfil temporal
do campo aplicado. No caso de um laser contı́nuo esta dependência temporal
não existe e, portanto, ΩL (t) ≡ ΩL . Note que a aproximação de dipolo elétrico
implica em desprezar a variação do campo em uma região da ordem de grandeza
das dimensões do ı́on, contudo, a dependência do campo com o centro de massa
do ı́on é mantida.
O fato de o movimento iônico estar quantizado reflete-se no aparecimento do
operador x̂ na parte espacial do hamiltoniano de interação. Desta forma, a cada
transição eletrônica dada pelos operadores Âij = |iihj|, teremos modificações no
estado vibracional. O efeito dessas alterações depende do campo empregado e
de que maneira o ı́on encontra-se aprisionado. No entanto, podemos reunir os
diferentes fatores em um único parâmetro chamado parâmetro de Lamb-Dicke η
que dá uma medida da localização do átomo na armadilha, quando no estado
fundamental, em comparação com o comprimento de onda da radiação incidente
η = kL ∆x cos θ = kL cos θ
s
h̄
h̄kL cos θ
=
,
2mν
∆p
(2.14)
ou também a razão entre o momento do fóton absorvido (ou emitido) e a incerteza
no momento do átomo (também quando no estado fundamental). Nas relações
acima θ é o ângulo entre o eixo do movimento e o vetor de onda da radiação.
Quando η é muito pequeno dizemos que estamos no limite de Lamb-Dicke. Nessa região o ı́on está bem localizado na armadilha em relação ao comprimento de
2.2. INTERAÇÃO COM LASER
11
onda da radiação e podemos considerar que somente o valor do campo no centro
do potencial harmônico é relevante para a interação. Além disso o momento do
f’oton é pequeno quando comparado com a incerteza no momento do ı́on, ou seja, o movimento do centro de massa do átomo é pouco influenciado pela radiação
incidente. Quando nos afastamos do limite de Lamb-Dicke a variação espacial do
campo torna-se relevante, gerando um comportamento não-linear importante [19].
Supondo que o problema esteja restrito a uma dimensão e que a direção de
incidência do laser seja coincidente com o eixo de quantizaç ão podemos escrever
os modos espaciais do campo como
†
eikL x̂ = eiη(â+â ) = e−η
2
/2
X (iη)l+m
l,m
l!m!
(â†)l âm ,
(2.15)
onde na última igualdade foi utilizada a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff e
as exponenciais foram expandidas em â e â† .
A manipulação controlada das alterações dos estados vibracionais através das
transições eletrônicas será possı́vel se conseguirmos selecionar quais nı́veis estarão
interagindo com o campo. O regime em que essa situação é alcançada é chamado
de limite de banda lateral resolvida.
Resolver as bandas laterais significa que temos condições de escolher freqüências
do laser tais que se consiga diferenciar entre um estado vibracional e outro. Isso não seria possı́vel, por exemplo, se a largura em freqüência do campo, ou da
transição eletrônica, ou ainda o alargamento por potência associado a Ω L fossem
maiores que a diferença entre os nı́veis vibracionais já que, neste caso, vários estados vibracionais estariam envolvidos na transição. Assim, para obtermos o limite
de banda lateral resolvida, devemos satisfazer a:
ν ΩL , Γ.
(2.16)
Sob essas condições podemos sintonizar nosso laser na k-ésima banda lateral,
ou seja, com uma freqüência ωL = ω21 − kν . Utilizando esta relação podemos escrever o hamiltoniano (2.12) na descrição de interação (indicada pelo til sobre o
CAPÍTULO 2. ÍONS APRISIONADOS
12
operador)
X (iη)l+m
h̄ΩL −η2 /2
˜
Ĥ int =
e
Â21
(â†)l âm ei(k+l−m)νt .
2
l!m!
l,m
(2.17)
Os termos rapidamente oscilantes terão contribuição menor que os demais e
serão desprezados (aproximação de onda girante), com isso, só reteremos os termos
com m = l + k e o somatório duplo reduz-se a um só
h̄ΩL
Â21 (iη)kfˆk (â†â)âk + H.c.
2
= h̄g(Â21dˆ + Â12dˆ† ),
˜
Ĥ int =
(2.18)
com
2
fˆk (â† â) = e−(η /2)
∞
X
(−1)l η 2l
l=0
e
l!(k + l)!
l
â† âl
(2.19)
dˆ = fˆk (â† â)âk .
(2.20)
Nesta forma fica evidente a atuação do operador âk a cada vez que o ı́on transiciona
do estado 1 para o 2 e seu hermiteano conjugado quando de 2 para 1. Além disso,
é no operador fˆk e na escolha apropriada de k que residem as possibilidades de
comportamento não-linear na dinâmica vibracional [19, 20].
2.3
Efeitos da emissão espontânea
Para uma descrição completa da dinâmica do ı́on é necessário considerar, também,
a interação do mesmo com um reservatório de modos do campo eletromagnético
que dará origem à emissão espontânea do átomo. A evolução temporal do operador densidade total (incluindo as partes relativas ao movimento vibracional e aos
estados eletrônicos), obtida a partir dos métodos usuais [20, 21], é
dρ̂
Γ
¯Â21 − Â22 ρ̂ − ρ̂Â22
=
2Â12ρ̂
dt
2
(2.21)
onde Γ é a taxa de relaxação da transição eletrônica e
¯= 1
ρ̂
2
Z
1
˜
˜† )s
ds W (s)eiηe(â+â
−1
˜
˜† )s
ρ̂ e−iηe (â+â
(2.22)
2.3. EFEITOS DA EMISSÃO ESPONTÂNEA
13
contém os efeitos da emissão na energia vibracional na direção x. O parâmetro de
Lamb-Dicke para a emissão espontânea vale ηe =
conta o perfil de emissão W (s) da transição 2 → 1.
q
2 /2M νc e a integral leva em
h̄ω21
Para pequenos valores de η , podemos expandir as exponenciais na integral
de (2.22) e, supondo uma transição de dipolo, substituir a distribuição angular
W (s) por (3/4)(1 − s2). Neste caso, os termos de ordem ı́mpar em s dão contribuição
¯ pode ser escrito como:
nula quando integrados com a função par W (s) e ρ̂
¯ = ρ̂ + O(η 2).
ρ̂
(2.23)
Esta equação mostra que a emissão espontânea só altera o movimento vibracional
em ordem de η 2, ou seja, para pequenos valores do parâmetro de Lamb-Dicke é
uma boa aproximação admitir que o decaimento preserva o estado vibracional do
ı́on.
14
CAPÍTULO 2. ÍONS APRISIONADOS
Capı́tulo 3
Engenharia de Reservatórios
3.1
Introdução
Uma consequência fundamental da teoria quântica é a existência de superposições coerentes de estados [22]. Esses estados aparecem em abundância quando
descrevemos fótons, átomos ou spins mas geram estranheza quando transportados ao mundo macroscópico. Ao definirmos os estados possı́veis de uma moeda
como cara ou coroa, ou de um objeto macroscópico como estando à direita ou
esquerda, achamos natural que estes sistemas se encontrem em uma das duas
condições mas o que seriam eles numa combinação dos dois estados possı́veis?
Uma sensação de desconforto pode aparecer naqueles que tentam imaginar tais
estados talvez por jamais terem sido observados no mundo à nossa volta. Para outros, mais incômodo que imaginar tais estados é explicar porque não os detectamos
no mundo macroscópico [23].
Segundo o princı́pio da correspondência [24] deverı́amos obter, num certo limite, os resultados clássicos a partir da teoria quântica. Seria, então, fundamental,
para entender a conexão entre as duas teorias, explicar o fato de só observarmos
superposições coerentes de estados em sistemas microscópicos.
O princı́pio da superposição é uma previsão válida somente para sistemas fechados, ou seja, isolados completamente do mundo exterior. No entanto, sabemos
que tal situação não ocorre no mundo real devido à presença de interações entre o
sistema estudado e o ambiente à sua volta.
15
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
16
Esse acoplamento leva ao desaparecimento das superposições de estados tornando-as misturas estatı́sticas. A esse processo onde as interferências quânticas
dão lugar ao aparecimento de distribuições clássicas de probabilidade dá-se o nome
de descoerência [3]. Esse fenômeno ocorre numa escala de tempo extremamente
curta para sistemas macroscópicos e isso explicaria por que observamos moedas
somente nos estados cara ou coroa, objetos macroscópicos à direita ou esquerda e
nunca numa superposição desses estados macroscopicamente distintos.
A descoerência, hoje, desempenha um papel fundamental no entendimento do
limite clássico da mecânica quântica, mas, por outro lado, aparece também como
um obstáculo básico à implementação de processos susceptı́veis aos seus efeitos
como, por exemplo, a computação quântica. Compreender os mecanismos da perda de coerência tornou-se importante tanto para entender a emergência do mundo
clássico a partir do quântico, quanto para evitar seus efeitos indesejáveis em processos onde é importante a manutenção da coerência.
Observar esse processo de descoerência é uma tarefa árdua já que a escala de
tempo em que ele ocorre é muito curta e diminui à medida em que a superposição
vai se tornando mais macroscópica [3]. Os avanços nos experimentos com sistemas mesoscópicos possibilitou a observação da descoerência em eletrodinâmica
quântica de cavidades[25] e em ı́ons aprisionados [26].
Em cavidades a fonte de perda de coerência é natural e provem, principalmente, das imperfeições nas superfı́cies refletoras que confinam o campo. Em armadilhas de ı́ons o processo natural, associado à emissão espontânea e à interação
de campos flutuantes com o centro de massa, também ocorre mas existe a possibilidade de gerar ambientes ou reservatórios artificiais através da interação do
átomo com campos eletromagnéticos, abrindo espaço para um estudo sistemático
da descoerência [27, 28].
Ao introduzir a interação com um reservatório devemos optar por uma abordagem do problema que leve em consideração o grande número de graus de liberdade
do ambiente e, consequentemente, a impossibilidade de conhecimento de seu es-
3.1. INTRODUÇÃO
17
tado. Devemos usar, portanto, uma descrição estatı́stica do sistema através da
evolução do operador densidade dada pela chamada equação mestra. Independente da forma do acoplamento e adotando a hipótese Markoviana, podemos escrever
a equação para a dinâmica reduzida do sistema interagindo com o banho na forma
geral de Lindblad [29]:
X
dρ̂
= Lρ̂ ≡
(γi/2) 2 ĉi ρ̂ ĉ†i − ĉ†i ĉi ρ̂ − ρ̂ ĉ†i ĉi .
dt
i
(3.1)
Esta equação serve como um modelo para a interação de um sistema com o ambiente em diversas situações. No caso de ı́ons aprisionados tal equação é utilizada
para descrever o processo de descoerência no movimento vibracional associado à
existência de campos indesejáveis oriundos de imperfeições nas armadilhas; em
cavidades, descreve a perda de fótons através de imperfeições nos espelhos, por
exemplo. O interessante no caso de ı́ons é que a equação (3.1) pode ser obtida, mediante certas aproximações, a partir da interação do sistema isolado com campos
eletromagnéticos, possibilitando, assim, a geração de reservatórios artificiais.
A primeira proposta nesse sentido foi feita por Poyatos e colaboradores [27] e
faz uso da influência que as transições eletrônicas exercem sobre o movimento
vibracional do ı́on. Outra maneira de gerar reservatórios artificiais é através da
manipulação de campos eletromagnéticos aleatórios interagindo diretamente com
o movimento do centro de massa iônico.
No primeiro caso é utilizado o procedimento de eliminação adiabática para que
equações que misturam os graus de liberdade eletrônicos e vibracionais (2.18,2.21)
possam ser levadas a uma equação efetiva, puramente vibracional, na forma (3.1).
O segundo método, por sua vez, não envolve transições eletrônicas, dispensando o uso da eliminação adiabática. No entanto, são necessárias algumas considerações sobre os campos aleatórios para que uma equação que descreve uma
interação hamiltoniana (2.12) possa ser transformada em uma outra que descreve
uma interação com um banho (3.1).
Apresentaremos, aqui, uma generalização do método proposto em [27] assim
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
18
como o método de interação direta para produzir diferentes tipos de reservatórios.
3.2
3.2.1
Eliminação adiabática e equações mestras
Apresentação do método
Como dissemos anteriormente, nosso objetivo agora consiste em combinar os
efeitos da emissão espontânea e da interação de campos eletromagnéticos na evolução vibracional para obter uma dinâmica efetiva na forma (3.1). Para tanto é
necessário eliminar o nı́vel eletrônico excitado adiabaticamente de maneira a limitar o problema a uma evolução puramente vibracional.
Fisicamente a idéia é simples: o elétron pode transicionar do nı́vel 1 para o 2
através da interação com o campo (2.18) e do nı́vel 2 para o 1 através do mesmo
campo ou a partir de um decaimento espontâneo (ver figura (2.2)). Se considerarmos que a taxa de decaimento é muito alta, na verdade muito maior que as
demais taxas do problema, o elétron passa muito pouco tempo no nı́vel superior já
que decai espantaneamente muito rápido. Isso significa que, na média, o ı́on está
praticamente o tempo todo no estado eletrônico fundamental 1 e seu estado pode
ser fatorado em ρ̂total = |1ih1| ⊗ ρ̂v , onde ρ̂v representa a dinâmica vibracional.
Para demonstrar a idéia acima, iniciamos escrevendo uma equação geral que
combina a atuação dos campos aplicados dados por (2.18), os efeitos da emissão
espontânea (2.21) e a interação com um reservatório natural na forma (3.1)
dρ̂
dt
= −
Γ
i ˜
¯Â21 − Â22ρ̂ − ρ̂Â22 + Lρ̂.
Ĥ int, ρ̂ +
2Â12ρ̂
h̄
2
(3.2)
A adição do termo Lρ̂ decorre da existência de interações naturais do ı́on com o
meio à sua volta que não podem ser controladas. Devemos notar que este não é o
reservatório construı́do artificialmente mas aquele responsável pelos processos de
descoerência nos experimentos, por isso chamado de natural.
Projetando (3.2) na base eletrônica obtemos:
ˆ + Γρ̂
¯ + Lρ̂11 ,
ρ̂˙ 11 = −ig(d̂†ρ̂21 − ρ̂12d)
22
(3.3)
ρ̂˙ 22 = −ig(d̂ρ̂12 − ρ̂21dˆ†) − Γρ̂22 + Lρ̂22 ,
(3.4)
3.2. ELIMINAÇÃO ADIABÁTICA E EQUAÇÕES MESTRAS
19
Γ
ρ̂˙ 12 = −ig(d̂†ρ̂22 − ρ̂11dˆ† ) − ρ̂12 + Lρ̂12 ,
2
(3.5)
onde dˆ e dˆ† são definidos por (2.20) e
¯ =1
ρ̂
22
2
Z
1
˜
˜† )s
ds W (s)eiηe(â+â
−1
˜
˜† )s
ρ̂22 e−iηe (â+â
(3.6)
.
Admitindo que a taxa de decaimento Γ é muito maior que todas as demais taxas
do problema (g e γ ) podemos eliminar adiabaticamente o nı́vel superior. Matematicamente isso pode ser feito impondo ρ̂˙ 12 = 0 nas equações acima o que nos leva a
uma expressão para ρ̂12 dada por:
ρ̂12 = −
2ig ˆ†
d ρ̂22 − ρ̂11dˆ† [1 + O(γ/Γ)] ,
Γ
(3.7)
onde o termo de ordem γ/Γ vem de L ∝ γ .
O resultado pode ser obtido de uma maneira mais formal utilizando um procedimento iterativo. Primeiro integra-se a equação (3.5) obtendo-se
Γ
ρ̂12(t) = ρ̂12(0)e− 2 t − ig
Z
t
0
Γ
0
dt0 e− 2 (t−t ) dˆ† ρ̂22(t0) − ρ̂11(t0 )dˆ†
+
Z
t
0
Γ
0
dt0 e− 2 (t−t )Lρ̂12 (t0)
(3.8)
e depois substitui-se essa solução obtida para ρ̂12 no lado direito da equação acima.
O desenvolvimento desta etapa nos fornece:
ρ̂12(t) = ρ̂12(0)e
− Γ2 t
[1 + O(γ/Γ)] − ig
−ig
Z
t
0
dt0
Z
t0
0
Z
t
0
Γ
0
dt0 e− 2 (t−t ) dˆ†ρ̂22(t0 ) − ρ̂11(t0 )dˆ†
Γ
00
dt00e− 2 (t−t ) L dˆ†ρ̂22(t00 ) − ρ̂11(t00)dˆ†
+
Z
t
0
dt0
Z
t0
0
Γ
00
dt00 e− 2 (t−t ) L2 ρ̂12(t00).
(3.9)
Supondo que o núcleo da integral é uma função lentamente variável comparada
com a taxa Γ podemos dizer que as contribuições relevantes aparecem quando
t0 , t00 ≈ t e, portanto, é possı́vel passar o núcleo para fora da integral. Integrando
agora em t00 e t0 tem-se:
Γ
ρ̂12(t) = ρ̂12(0)e− 2 t [1 + O(γ/Γ)] − i
Γt
2g ˆ†
d ρ̂22(t) − ρ̂11(t)dˆ† 1 − e− 2 [1 + O(γ/Γ)]
Γ
" #
γ 2
.(3.10)
+O
Γ
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
20
Na verdade, existem variações rápidas no núcleo das integrais em (3.9) mas estas acontecem num transiente muito rápido que ocorre em uma escala de tempo
da ordem de 1/Γ. Para descrever o sistema após este tempo curto a aproximação
é boa e podemos prosseguir com a eliminação adiabática. Impondo que t >> 1/Γ
podemos desprezar os termos exponenciais em (3.10) de forma a obter novamente (3.7).
Lembrando que ρ̂v = ρ̂11 + ρ̂22, substituindo (3.7) em (3.3) e (3.4) e somando-as
teremos
i
2g 2 h
ˆ 11 − ρ̂11dˆ† dˆ + 2dˆ† ρ̂22dˆ − dˆdˆ† ρ̂22 − ρ̂22dˆdˆ†
ρ̂˙v =
2d̂ρ̂11dˆ† − dˆ†dρ̂
Γ
¯
+ Lρ̂v ,
−Γ ρ̂22 − ρ̂
22
(3.11)
onde desprezamos os termos da ordem de γ/Γ.
Devemos notar no entanto que ρ22 também deve ser eliminado adiabaticamente
de modo que, de (3.7) e (3.4), ρ̂22 ≈ O (g/Γ)2 ρ̂11. Pode-se, portanto, aproximar ρ̂v
por ρ̂11. Neste caso podemos escrever
2g 2 ˆ ˆ† ˆ† ˆ
¯
ρ̂˙v =
2dρ̂v d − d dρ̂v − ρ̂v dˆ†dˆ − Γ ρ̂22 − ρ̂
22 + Lρ̂v ,
Γ
(3.12)
O primeiro termo da equação acima corresponde ao reservatório artificial na
forma de Lindblad com taxa de decaimento Γeng = 4g 2/Γ. Note que o operador dˆ que
aparece neste termo pode assumir diferentes formas dependendo do acoplamento
com os campos aplicados (veja (2.20)), ou seja, modificando a interação com o laser
alteramos o tipo de reservatório construı́do.
O termo proporcional a Γ merece algumas considerações. É nele que se encontra a integral de emissão espontânea e por isso mesmo sua importância perante os demais termos depende do parâmetro de Lamb-Dicke. Expandindo as
¯ obtem-se uma
exponenciais e desprezando os termos em η 4 na expressão de ρ̂
22
contribuição da ordem de (η 2/5)Γengρ̂v , ou seja, (2η 2/5) vezes o termo de reservatório
artificial. Parâmetros de Lamb-Dicke tı́picos mostram que esta contribuição é pequena (η ≈ 0.2 implica em um fator da ordem de 1/60) e a equação (3.12) reduz-se
3.2. ELIMINAÇÃO ADIABÁTICA E EQUAÇÕES MESTRAS
21
a
Γeng ˆ v − ρ̂v dˆ† dˆ + Lρ̂v ,
ρ̂˙v =
2d̂ρ̂v dˆ† − dˆ†dρ̂
2
3.2.2
(3.13)
Reservatório a temperatura nula
Um reservatório a temperatura zero é aquele em que o operador dˆ é substituı́do
por â que é obtido selecionando k = 1 no hamiltoniano (2.18). Fisicamente a escolha
desse operador é simples, basta sintonizar o laser numa freqüência ω L = ω21 − ν .
Além disso, é conveniente posicionar os feixes de laser de maneira a produzir um
parâmetro de Lamb-Dicke pequeno já que, nesse limite, o operador fˆk reduz-se a
1. A figura (3.1-a) representa o esquema do ı́on interagindo com o laser para um
sistema de dois nı́veis tratado aqui.
|2i
ΩL
â
Γ
|1i
n=0
n=1
n=2
n=3
|1i
n=0
n=1
n=2
n=3
(b)
(a)
Figura 3.1: (a) Esquema de dois nı́veis para a produção de um reservatório a temperatura zero. Um laser de freqüência de Rabi ΩL é sintonizado na primeira banda
lateral no vermelho, ou seja, ωL = ω21 − ν. (b) Dinâmica efetiva do movimento vibracional do ı́on: o reservatório provoca um esfriamento do sistema até que ele atinja
o estado fundamental através de transições do tipo n + 1 → n.
Como foi mostrado anteriormente, se as condições para a eliminação adiabática
forem satisfeitas, o problema se restringe à dinâmica dos graus de liberdade externos obedecendo à seguinte equação mestra:
Γeng ρ̂˙ =
2âρ̂â† − â† âρ̂ − ρ̂â† â
2
(3.14)
O efeito do laser é levar o ı́on de um estado vibracional mais excitado no nı́vel
eletrônico 1 (|1, n + 1i) para o próximo estado menos excitado no nı́vel eletrônico
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
22
2 (|2, ni). Desprezando os termos em η 2 em (2.23), pode-se dizer que, ao decair,
o ı́on mantém seu estado vibracional terminando no estado |1, ni. A dinâmica
efetiva pode ser descrita através da atuação sucessiva do operador â como ilustra
a figura (3.1-b).
A partir de (3.14) podemos calcular os valores esperados de alguns operadores para tentarmos compreender o efeito deste acoplamento com o ambiente. O
procedimento é bastante simples já que podemos utilizar que hÔi = T r{ρ̂Ô} e
˙
hÔi = T r{ρ̇Ô}.
Com o auxı́lio dessas relações obtemos para os valores médios:
Γeng
hai
2
i)
hȧi = −
ii)
hṅi = −Γeng hni
Γeng
hxi
2
Γeng
hpi
iv) hṗi = −
2
iii) hẋi = −
(3.15)
Por esses resultados vemos que, com o passar do tempo, os valores médios
calculados decaem a zero, ou seja, o estado inicial evolui para o estado do vácuo.
Uma alternativa à descrição do problema feita através do operador densidade
e da equação mestra é a utilização de representações deste mesmo operador no
espaço de fase. Na fı́sica clássica, distribuições de probabilidade no espaço de fase
são muito utilizadas em problemas de mecânica estatı́stica e de sistemas dinâmicos
caóticos. Em mecânica quântica o conceito de espaço de fase fica problemático
devido ao princı́pio de incerteza de Heisenberg. Como não é possı́vel determinar,
simultaneamente, a posição e o momento de uma partı́cula, não se pode definir
uma distribuição de probabilidade propriamente dita para um sistema quântico.
No entanto, dispomos de funções que têm propriedades semelhantes às encontradas nas distribuições de probabilidade no espaço de fase. As chamadas
distribuições de quasi-probabilidades [17] tem se mostrado úteis tanto como instrumento de cálculo em mecânica quântica como no estudo da conexão entre esta
e a mecânica clássica.
3.2. ELIMINAÇÃO ADIABÁTICA E EQUAÇÕES MESTRAS
23
Dentre as possı́veis representações no espaço de fase a função de Wigner [31]
é uma das mais utilizadas para a análise do limite clássico da mecânica quântica.
Esta função contém toda a informação a respeito do estado quântico assim como
o operador densidade e é definida por:
1
W (q, p) =
2πh̄
E
Z
+∞
−∞
D
eipx/h̄ q −
x xE
dx,
ρ̂q +
2
2
(3.16)
onde q + x2 é um autoestado do operador posição. Em termos de â e â† tem-se [32]
h
i
†
W (α, α∗) = 2T r ρ̂D̂(α, α∗)eiπâ â D̂−1 (α, α∗) ,
com o operador deslocamento D̂(α, α∗) = e(αâ
†
(3.17)
−α∗ â).
Como principais propriedades podemos destacar a obtenção das distribuições
de probabilidade marginais a partir da integração da função de Wigner
P (q) = hq|ρ̂|qi =
Z
+∞
−∞
dpW (q, p), P (p) = hp|ρ̂|pi =
Z
+∞
−∞
dqW (q, p)
(3.18)
e o cálculo do valor médio de operadores simétricos de forma semelhante às integrais clássicas no espaço e fase
hÔ(q̂, p̂)sim i = T r(ρ̂ Ô(q̂, p̂)sim ) =
Z Z
dqdp W (q, p) O(q, p).
(3.19)
Além de ser um valioso instrumento de visualização e cálculo, a função de Wigner é importante também nos processos experimentais de recontrução dos estados
quânticos. Medidas indiretas da função de Wigner já foram realizadas em campos
eletromagnéticos [33] e também em ı́ons [11] e, recentemente, a primeira proposta
de medida direta da função de Wigner em cavidades [34] foi realizada experimentalmente [35].
Definida a função de Wigner, podemos determinar sua dinâmica. Como ela
é definida a partir do operador densidade, a equação que governa sua dinâmica
pode ser obtida a partir da equação mestra (3.14). Para tanto basta utilizar algumas relações entre os operadores â e â† aplicados a ρ e os operadores diferenciais
aplicados à função de Wigner [36]:
1 i)ρ̂â† → α∗ + ∂α W (α)
2
(3.20)
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
24
1 ii)â†ρ̂ → α∗ − ∂α W (α)
2
1
iii)âρ̂ → α + ∂α∗ W (α)
2
1
iv)ρ̂â → α − ∂α∗ W (α).
2
(3.21)
(3.22)
(3.23)
Aplicando as relações anteriores obtemos a chamada equação de Fokker-Plank
para a função de Wigner que, neste caso, é dada por
Γeng 2
2 + α∂α + α∗ ∂α∗ + ∂α,α
∗ W,
2
(3.24)
Γeng h̄ 2
h̄mν 2 2 + x∂x + p∂p +
∂x2 +
∂ 2 W,
2
2mν
2 p
(3.25)
∂t W =
em termos de α e α∗ ou
∂t W =
em termos de x e p.
Os termos com derivada primeira são chamados de termos de arrasto enquanto
que os que contém derivada segunda são conhecidos como termos de difusão.
Os primeiros representam um deslocamento da função de Wigner no espaço de
fase e estão associados à existência de dissipação. Já os termos difusivos estão
associados com os fenômenos de flutuação.
A figura (3.2) mostra a função de Wigner para um estado inicial coerente (a) e o
estado final do vácuo (b) obtida através da solução de (3.14). Um fato interessante
para este tipo de reservatório é que o estado coerente se mantém coerente à medida
em que vai se aproximando do vácuo.
3.2.3
Reservatório de aquecimento
A interação com o ambiente não está restrita a perdas como observado no caso
anterior. Podemos imaginar uma situação em que o banho funcione como um meio
de ganho para o sistema o que acontece, no caso do ı́on, se trocarmos â por â† na
equação mestra:
Γeng †
ρ̂˙ =
2â ρ̂â − ââ† ρ̂ − ρ̂ââ†
2
(3.26)
No sistema real, essa inversão é efetuada alterando a freqüência do laser de
ωL = ω21 − ν para ωL = ω21 + ν , ou seja, sintonizando a primeira banda lateral no
3.2. ELIMINAÇÃO ADIABÁTICA E EQUAÇÕES MESTRAS
(a)
25
(b)
Figura 3.2: Efeito do reservatório a temperatura nula: um estado coerente inicial
centrado em (1.5, 1.5) (fig.a) é deslocado para o vácuo (0, 0) (fig.b).
azul. Com essa escolha a dinâmica efetiva para o centro de massa é ditada por
transições para estados vibracionais mais excitados (n → n + 1) como ilustrado na
figura (3.3).
|2i
Γ
ΩL
|1i
n=0
n=1
n=2
n=3
|1i
(a)
â†
n=3
n=2
n=1
n=0
(b)
Figura 3.3: Esquema de produção de um reservatório que aquece. Um laser de
freqüência de Rabi ΩL sintonizado na primeira banda lateral no azul, ou seja, ω L =
ω21 + ν. (a) Esquema de dois nı́veis. (b) Esquema efetivo da dinâmica vibracional:
a ação do operador â† elevando os estados do oscilador harmônico é justamente
inversa à do operador â no reservatório a temperatura nula.
Procedendo da mesma forma que na seção anterior calculamos os seguintes
valores médios:
i)
hȧi =
Γeng
hai;
2
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
26
ii)
hṅi = Γeng hni + Γeng ;
Γeng
hxi;
2
Γeng
iv) hṗi =
hpi.
2
iii) hẋi =
(3.27)
A equação de Fokker-Plank fica:
Γeng 2
−2 − α∂α − α∗ ∂α∗ + ∂α,α
∗ W,
2
(3.28)
Γeng h̄ 2
h̄mν 2 −2 − x∂x − p∂p +
∂x2 +
∂ 2 W.
2
2mν
2 p
(3.29)
∂t W =
ou, em termos de x e p,
∂t W =
A interpretação é semelhante à da seção anterior: pelos valores médios vemos
que há um aquecimento do sistema que se afasta da origem. Isso é confirmado
observando os termos de arrasto na equação de Fokker-Plank que possuem sinal
diferente do mostrado em (3.24).
3.2.4
Reservatório de fase
Poyatos, Cirac e Zoller mostraram que, no limite de Lamb-Dicke, pode-se criar
reservatórios onde o operador dˆ em (3.13) é uma combinação linear dos operadores
â e â† . Nossa dedução da equação mestra para reservatórios, por outro lado, inde-
pende do valor de η o que possibilita a criação de operadores dˆ mais gerais que os
propostos em [27].
Um dos possı́veis reservatórios onde são exploradas as não linearidades do sistema de ı́ons em armadilhas é o conhecido como reservatório de fase. Utilizando um laser ressonante com a transição 2 → 1 e mantendo termos até a segunda ordem em η , além portanto do limite de Lamb-Dicke, obtem-se um operador
dˆ linear em relação ao operador número n̂ = â†â como pode ser visto substi-
tuindo k = 0 em (2.19). Na verdade o operador obtido não é exatamente n̂ pois
f0 (â† â) = e−η
2
/2
1 − η 2n̂ . No entanto isso não é problema, pois, com o auxı́lio de
um outro laser ressonante, atuando numa direção y perpendicular ao eixo x com
3.2. ELIMINAÇÃO ADIABÁTICA E EQUAÇÕES MESTRAS
27
ηy 1, pode-se fazer uma engenharia de hamiltoniano [37] produzindo o operador
desejado. O hamiltoniano que combina a ação desses dois lasers é:
Ĥint = Ĥx + Ĥy =
2
i
h
h̄
Â21 Ωx fˆ0x + Ωy fˆ0y + H.c.
2
(3.30)
com f0x(â† â) ≈ e−ηx /2 1 − ηx2 n̂ e f0y ≈ 1. Se as freqüências de Rabi do problema
obedecerem à condição
2
Ωy = −Ωx e−ηx /2 ,
(3.31)
Ĥint = h̄g Â21n̂ + H.c.,
(3.32)
então o hamiltoniano final fica
2
com g = −Ωx e−ηx /2 η 2/2. Neste caso tem-se como equação mestra
Γeng ˙
ρ̂(t)
=
2n̂ρ(t)n̂† − n̂† n̂ρ(t) − ρ(t)n̂†n̂
2
(3.33)
e, para os valores médios,
i)
hȧi = −
ii)
hṅi = 0;
Γeng
hai;
2
Γeng
hxi;
2
Γeng
hpi.
iv) hṗi = −
2
iii) hẋi = −
(3.34)
A figura (3.4) mostra o resultado da evolução de um estado coerente como o
da figura (3.2-a) em contato com um reservatório de fase. O centro da distribuição
desloca-se para a origem como indica o cálculo dos valores médios mas assume um
aspecto circular onde o raio depende de hn̂i que é mantido. Perde-se, entretanto,
qualquer informação sobre a fase o que pode ser visto pela forma simétrica da
função em torno da origem. É importante notar que se tivéssemos iniciado com
um estado de Fock |mi não terı́amos qualquer alteração já que o mesmo é um
autovetor do operador número.
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
28
Figura 3.4: Efeito do reservatório de fase: estado coerente inicial centrado em
(1.5, 1.5) (a) é levado a um estado centrado na origem mas sem qualquer informação
sobre fase (b).
3.3
Interação com campos aleatórios: reservatório difusivo
Em experimentos recentes com ı́ons, campos aleatórios, provavelmente oriundos de flutuações nos eletrodos que compoẽm a armadilha, parecem desempenhar
um papel importante no processo de descoerência. Mostraremos a seguir que o
efeito destes campos também pode ser descrito por uma equação mestra na forma
de Lindblad (3.1).
Consideremos um campo eletromagnético clássico, aleatório e quasi-monocromático, ressonante com a freqüência ν da armadilha:
E(t) = E (+) (t)e−iνt + E (−) (t)eiνt ,
(3.35)
onde E ± (t) são envoltórias dependentes do tempo. Desprezamos aqui a dependência
espacial do campo na região ocupada pelo ı́on, ou seja, estamos considerando a
aproximação de dipolo elétrico.
A interação direta do campo clássico com os graus de liberdade externos do ı́on
foi apresentada no primeiro capı́tulo, sendo dada através do hamiltoniano (2.11):
h
i
˜
Ĥ I = −µ E (+) (t)â† + E (−) (t)â .
3.3. INTERAÇÃO COM CAMPOS ALEATÓRIOS: RESERVATÓRIO DIFUSIVO
29
A evolução da matriz densidade será dada pela equação de Von-Neumann ρ̂˙ =
˜
− h̄i [Ĥ I , ρ̂]. Integrando entre t and t + ∆t e iterando esta equação teremos:
∆ρ̂(t) = ρ̂(t + ∆t) − ρ̂(t) =
+
1 2 Z
ih̄
t+∆t
t
dt0
Z
1
ih̄
t0
t
Z
t+∆t
t
˜
[Ĥ I (t0), ρ̂(t)]dt0
i
h
˜
˜
dt00 Ĥ I (t0), [Ĥ I (t00 ), ρ̂(t00)] .
(3.36)
Como uma primeira aproximação vamos supor que ∆t é muito menor que o
tempo caracterı́stico T de evolução de ρ. Podemos, portanto, desprezar a evolução
de ρ(t) no último termo da equação (3.36) substituindo ρ(t00) por ρ(t). Utilizando o
hamiltoniano (2.11) e as aproximações acima, podemos expandir os comutadores
e obter para a variação do operador densidade:
∆ρ̂(t) =
−
Z
i
iµ t+∆t 0 h (+) 0 †
dt (E (t )â + E (−) (t0)â)ρ̂(t) − ρ̂(t)(E (+) (t0)â† + E (−) (t0 )â)
h̄ t
Z
Z 0
i
2
µ2 t+∆t 0 t 00 (+) 0 (+) 00 h †2
dt E (t )E (t ) â ρ(t) − 2â† ρ(t)â† + ρ(t)â†
dt
2
h̄ t
t
h
i
+ E (−) (t0 )E (−)(t00 ) â2 ρ(t) − 2âρ(t)â + ρ(t)â2
h
+ E (+) (t0 )E (−)(t00 ) â† âρ(t) − âρ(t)â† − â† ρ(t)â + ρ(t)ââ†
h
i
i
+ E (+) (t00)E (−) (t0 ) ââ† ρ(t) − âρ(t)â† − â† ρ(t)â + ρ(t)â†â .
(3.37)
∗
Da realidade do campo temos E (±) (t) = E (∓) (t) e podemos escrever as amplitudes complexas E (+) e E (−) como uma soma das partes real e imaginária
E (±) (t) = Er (t) ± iEi(t) .
(3.38)
A aleatoriedade do campo exige que tomemos uma média estatı́stica na equação
para ρ levando em conta a distribuição estatı́stica do campo. Este procedimento
leva ao aparecimento de valores médios e funções de correlação do campo elétrico
na equação mestra. Para prosseguir devemos começar a fazer considerações a
respeito do processo aleatório. Assumindo que o campo tenha média nula restanos calcular:
i) hE (±) (t)E (±) (t0)i ,
∗
ii) hE (+) (t)E (−) (t0)i = hE (−) (t)E (−) (t0 )i ≡ D(t0 − t) ,
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
30
∗
iii) hE (−) (t)E (+) (t0)i = hE (−) (t0 )E (−) (t)i ≡ D(t − t0 ) = D∗(t0 − t) .
Expressando estas equações em termos da parte real e imaginária do campo
complexo, obtem-se
D(t0 − t) = hEr (t)Er (t0 )i + hEi(t)Ei (t0 )i +
+ i hEr (t)Ei(t0 )i + hEi (t)Er (t0)i ,
(3.39)
e
hE (±)(t)E (±) (t0 )i = hEr (t)Er (t0 )i − hEi(t)Ei (t0 )i +
+ i hEr (t)Ei (t0)i + hEi (t)Er (t0)i .
(3.40)
Supondo que o processo seja estacionário de segunda ordem pode-se mostrar [38] que:
hEr (t)Er (t0 )i = hEi (t)Ei (t0 )i ,
hEr (t)Ei (t0 )i = −hEi (t)Er (t0 )i = 0 .
Com o auxı́lio destas equações teremos
hE (±) (t)E (±) (t0 )i = 0
(3.41)
e
D(t0 − t) = D(t − t0 ) = 2hEr (t)Er (t0 )i .
(3.42)
Substituindo estes resultados na equação mestra e assumindo que o processo
seja Markoviano, de tal maneira que D(t − t0 ) = Dδ(t − t0 ) 1 , obtemos a equação
mestra na forma de Lindblad (3.1):
2
h
i
µ D
ρ̂˙ = − 2 (â† âρ − 2âρâ† + ρâ†â) + (ââ† ρ − 2â†ρâ + ρââ† ) .
h̄
(3.43)
1
A rigor não podemos tomar a correlaç ão proporcional a uma função delta pois isso implicaria
num espectro de E(t) infinitamente largo o que invalidaria a consideraç ão anterior de que o campo
é quasi-monocromático. Na prática, necessitamos apenas que a largura temporal de D(t − t 0 ) seja
muito menor que a escala tı́pica de evoluç ão de ρ̂(t) e, ao mesmo tempo, muito maior que o perı́odo
de oscilação. Essa condição pode ser verificada desde que µ 2 D/h̄2 << ν.
3.3. INTERAÇÃO COM CAMPOS ALEATÓRIOS: RESERVATÓRIO DIFUSIVO
31
Esta equação contém mecanismos de resfriamento e aquecimento do movimento vibracional do ı́on, correspondendo, respectivamente, à primeira e à segunda
contribuição no lado direito da equação, com a mesma taxa
µ2 D
h̄2
≡
Γeng
2 .
É interes-
sante comparar este reservatório com um reservatório térmico descrito por
h
ρ̂˙ = γ (n̄ + 1) 2âρ̂â† − â†âρ̂ − ρ̂â† â + n̄ 2â† ρ̂â − ââ† ρ̂ − ρ̂ââ†
i
.
(3.44)
Considerando a temperatura do reservatório térmico infinita, ou seja, n̄ → ∞
podemos aproximar n̄ + 1 por n̄ de maneira que a equação mestra se reduz a
ρ̂˙ = γ n̄
h
2âρ̂â† − â† âρ̂ − ρ̂â† â + 2â†ρ̂â − ââ† ρ̂ − ρ̂ââ†
i
.
(3.45)
Esta equação é identica a (3.43) se γ n̄ = Γeng /2 = µ2 D/h̄2 . Note que temos, na
verdade, um duplo limite em que n̄ → ∞ e γ → 0, de modo que γ n̄ permanece
constante. Como a equação mestra para um reservatório a temperatura infinita
corresponde à soma das equações dos reservatórios de aquecimento e resfriamento
com a mesma taxa Γeng , o mesmo acontecerá com os valores médios e, portanto,
teremos:
i)
hȧi = 0;
ii)
hṅi = Γeng hni;
(3.46)
iii) hẋi = 0;
iv) hṗi = 0.
A equação de Fokker-Plank fica:
2
∂t W = Γeng ∂α,α
∗ W,
(3.47)
ou, em termos de x e p,
∂t W = Γeng
h̄ 2
h̄mν 2
∂x2 +
∂ 2 W.
2mν
2 p
(3.48)
Esta equação apresenta somente termos de difusão pois o arrasto proveniente
do resfriamento cancela com o termo de aquecimento. A figura (3.5) mostra um
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
32
(a)
(b)
Figura 3.5: Função de Wigner relativa ao estado do vácuo (a) e ao estado evoluı́do
a partir da interação com um reservatório difusivo (b). Há um alargamento na
distribuição sem alterar o seu centro.
estado coerente evoluindo a partir de (3.43): o centro da distribuição mantém-se
na mesma posição enquanto que a largura aumenta com o tempo. Este reservatório
é bastante útil se quisermos estudar o fenômeno de descoerência na ausência de
termos dissipativos.
3.4
Proteção de estados quânticos
A tentativa de suprimir o processo de descoerência tem sido um grande desafio
nos últimos anos motivado, principalmente, pelos avanços na teoria de informação
quântica onde a preservação da coerência quântica é extremamente importante [39, 40].
Algumas tentativas nesse sentido foram adotadas como o uso de
processos de retro-alimentação (“feedback”) [41, 42] e técnicas de desacoplamento dinâmico [43]; outras, por sua vez, admitem a existência dos efeitos danosos
da descoerência e procuram corrigı́-los como no caso dos esquemas de correção
quântica de erros [44].
Em ı́ons aprisionados o principal efeito de descoerência acontece no movimento vibracional e pode, em certos casos, ser amenizado com o uso da técnica de
3.4. PROTEÇÃO DE ESTADOS QUÂNTICOS
33
engenharia de reservatório associada à idéia de “estados ponteiro”.
A interação de um sistema quântico com o ambiente à sua volta leva ao emaranhamento entre os dois e a uma perda irreversı́vel de informação sobre o sistema.
Os conjuntos de estados menos sensı́veis a esse emaranhamento são chamados de
“estados ponteiro” e dependem da forma do hamiltoniano de interação entre sistema e ambiente. No decorrer da interação, o operador densidade reduzido do sistema torna-se diagonal na base de estados ponteiro transformando superposições
desses estados em misturas estatı́sticas.
O mecanismo de proteção consiste em procurar formas artificiais de reservatório
que tenham como estado ponteiro aquele estado que se quer preservar [45]. A
base de estados ponteiros é dada pelo conjunto de autoestados do operador dˆ que
aparece em (3.13). Se dˆ for hermiteano, então os estados ponteiros serão estados
estacionários de (3.13) sem a parte relativa ao reservatório natural, caso contrário,
os estados ponteiros só serão estacionários se o autovalor correspondente for nulo.
De fato, suponhamos que |ψi seja um autoestado de dˆ com autovalor λ de tal
ˆ
forma que d|ψi
= λ|ψi. Substituindo este estado como uma tentativa de solução
estacionária para a equação do reservatório artificial teremos:
ρ̂˙ =
=
Γeng
2
Γeng
2
h
i
h
ˆ
ˆ
− |ψihψ|d̂†dˆ
2d|ψihψ|
d̂† − dˆ† d|ψihψ|
i
2|λ|2|ψihψ| − λd̂†|ψihψ| − λ∗ |ψihψ|d̂
(3.49)
Note que se dˆ for hermiteano teremos automaticamente, para qualquer autovalor λ, a condição ρ̂˙ = 0 satisfeita. Quando relaxamos a condição de hermiticidade
do operador dˆ precisamos impor que o autovalor λ seja nulo para termos um estado
estacionário.
É evidente que se a dinâmica fosse dada exclusivamente pelo reservatório artificial resolverı́amos o problema encontrando o estado estacionário, entretanto, existe
a interação natural que pode levar a um estado diferente daquele que se quer proteger. A solução para isso é impor que o reservatório artificial tenha um acoplamento
mais forte com o sistema que o natural, ou seja, que na equação (3.13) tenhamos
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
34
Γeng γ .
Existe ainda uma terceira imposição que é ter o estado que se quer proteger
como o único estado estacionário. Isso é importante para que a dinâmica do reservatório natural não possa induzir transições entre estados estacionários diferentes
impossibilitando assim a proteção.
3.4.1
Proteção de uma combinação linear de autoestados de energia
do movimento vibracional iônico
Mostraremos, agora, como proteger uma combinação linear arbitrária do tipo
|ψi =
N
X
n=0
cn |ni.
(3.50)
Um operador dˆ = ĝ(n̂)â + ĥ(n̂) pode ter |ψi como único autovetor com autovalor
zero obedecidas certas condições. De fato, aplicando dˆ em |ψi, teremos:
ˆ =
d|ψi
N
X
n=0
√
h(n)cn |ni + g(n − 1) ncn |n − 1i.
(3.51)
Impondo a condição de autovalor zero à equação acima obtem-se:
N
X
n=0
√
h(n)cn |ni + g(n − 1) ncn |n − 1i = 0,
o que implica na única solução
g(n) =
−h(n) cn
√
(n = 0, ...N − 1)
cn+1 n + 1
(3.52)
e
h(N ) = 0.
(3.53)
Devemos notar, ainda, que N é o primeiro zero de h(n).
Encontrado o operador dˆ que protege o estado em questão, deve-se mostrar de
que forma é possı́vel construı́-lo em ı́ons aprisionados. O operador ĝ(n̂)â é obtido
a partir de N lasers sintonizados na primeira banda lateral no vermelho do ı́on de
modo que o hamiltoniano (2.18) fique:
˜
Ĥ int =
N
h̄Â21 X
iηn Ωn fˆ1 (â† â)â + H.c..
2 n=1
(3.54)
3.4. PROTEÇÃO DE ESTADOS QUÂNTICOS
35
Sujeitando este hamiltoniano à condição (3.52) teremos um sistema de equações
lineares relacionando as freqüências de Rabi dos N lasers dado por
N
X
2
e−ηn /2 ηn Ωn
n=1
m
X
(−1)lηn2l
l=0
m!
ih(m) cm
√
=
.
l!(l + 1)! (m − l)!
cm+1 m + 1
(3.55)
O operador ĥ(n̂) é construı́do iluminando o ı́on com dois campos de laser ressonantes com a transição eletrônica mas com um deles se propagando numa direção
y , perpendicular ao eixo x, com ηy 1. O procedimento é semelhante ao descrito
na seção (3.2.4) assim como o hamiltoniano obtido:
Ĥint = Ĥx + Ĥy =
h
i
h̄
Â21 Ωx fˆ0x (â† â) + Ωy fˆ0y (â†â) + H.c..
2
(3.56)
Como consideramos ηy 1 então podemos fazer a aproximação f0y ≈ 1. Com o
auxı́lio de (2.19) e das relações:
âl |mi =
s
s
m!
|m − li,
(m − l)!
(m + l)!
|m + li,
m!
m
X
(−1)l m! xl
,
Lm (x) =
l!(m
−
l)!
l!
l=0
(â†)l |mi =
(3.57)
(3.58)
(3.59)
onde Lm (x) é um polinômio de Laguerre de ordem m, podemos obter a função
2
f0x(m) = f0x (â† â)|mi = e−ηx /2Lm (ηx2 ).
(3.60)
O valor de h(m) será:
2
h(m) = Ωxe−ηx /2 Lm (ηx2) + Ωy
(3.61)
e a condição h(N ) = 0 é obtida se
2
Ωy = −Ωx e−ηx /2LN (ηx2).
(3.62)
A proteção de uma combinação linear arbitrária pode ser teoricamente alcançada
a partir do mecanismo mostrado aqui mas o número de lasers necessário para atingir este objetivo pode ser grande demais inviabilizando um tentativa experimental
nesse sentido. Por outro lado, esse método pode ser facilmente particularizado para estados que não ocupem valores muito altos na base de autoestados de energia
o que diminuiria o número de lasers exigidos para a proteção.
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
36
3.4.2
Proteção de um “qubit”
Um importante exemplo de estado que pode ser protegido através deste método
é o estado de um bit quântico ou simplesmente “qubit”:
|ψi = c0 |0i + c1 |1i.
(3.63)
De acordo com a discussão acima, este estado pode ser protegido com o uso de
apenas três lasers cujas freqüências de Rabi obedecem a:
iηΩx
c1
=
Ω1
c0
(3.64)
2
1 − η 2 c1
Ωy
= e−η /2
,
iΩ1
η c0
(3.65)
e
onde consideramos que os parâmetros de Lamb-Dicke para os lasers de freqüências
de Rabi Ω1 e Ωx são iguais (ηx = η1 = η ).
É importante analisar as ordens de grandeza das freqüências envolvidas para
verificar a viabilidade experimental da proteção. Neste caso, Γeng = η 2Ω21 /Γ e, para
que o reservatório artificial supere o natural, é necessário que Γeng γ . Esta
condição deve respeitar, ainda, os requisitos para a eliminação adiabática: Γ, Ω 1 ν e Γ ηΩ1. Estas exigências são satisfeitas se Γ ≈ 4M Hz , Ω1 ≈ 2M Hz , η = 0.2,
ν ≈ 20 − 30M Hz de modo que Γeng ≈ 40KHz γ . Estes valores encontram-se
dentro, ou muito próximos, da realidade experimental.
A figura (3.6) mostra a evolução da fidelidade F (t) = T r(ρ̂pρ̂(t)) em função do
tempo (expresso em unidades de γt) com ρp correspondente ao estado a ser prote√
gido, no caso |ψpi = (|0i + |1i)/ 2. Em (a) o estado inicial é |ψpi enquanto que em
(b) é um estado térmico com n̄ = 0.5. As duas curvas vão para o mesmo estado
estacionário com fidelidade próxima a um o que mostra que além de um mecanismo de proteção temos um processo para a produção do estado. As curvas (c) e (d)
mostram a evolução sem proteção com reservatórios térmico e difusivo, respectivamente. As curvas de fidelidade para a proteção em presença de um banho térmico
3.4. PROTEÇÃO DE ESTADOS QUÂNTICOS
37
(a) ou de um reservatório difusivo (não mostrado) são praticamente iguais, neste
caso.
1
a
b
0.9
0.8
0.7
F (t)
0.6
0.5
c
0.4
0.3
0.2
d
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
γt
Figura 3.6: Evolução da fidelidade em função do tempo em presença de um reservatório térmico com n̄ = 0.5 (a), (b), (c) e com um reservatório difusivo (d). Em (c)
e (d) estão representadas as dinâmicas na ausência de proteção,
√ enquanto que em
(a) e (b) temos Γeng /γ = 30. O estado inicial é |ψ(0)i = (|0i + |1i)/ 2 para (a), (c), (d) e
um estado térmico para (b).
3.4.3
Proteção de um estado comprimido
Um estado coerente é um estado de incerteza mı́nima que tem o produto ∆X∆P =
1, com ∆X = ∆P . No espaço de fase sua representação é uma gaussiana como ilus-
trado na figura (3.7-a). Um estado comprimido também tem incerteza mı́nima mas
uma de suas quadraturas, X por exemplo, tem dispersão menor que a do estado
coerente enquanto que a quadratura conjugada deve ter dispersão maior que a do
estado coerente. A função de Wigner deste estado é uma gaussiana deformada na
forma de uma elipse (fig 3.7-b).
O estado comprimido pode ser obtido a partir de um estado coerente |αi através
da aplicação do operador de compressão Ŝ(z) [17, 46]
|sz,α i = Ŝ(z)|αi,
(3.66)
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
38
∆P
∆P0
∆X0
∆X
(a)
(b)
Figura 3.7: Representação de um corte sobre a função de Wigner para um estado
coerente (a) e um estado comprimido em x (b).
1
com Ŝ(z) = e 2 (z
∗
â2 −z(â† )2 )
e z = reiθ , sendo r o fator de compressão do estado e θ o
ângulo que indica a direção da compressão.
Vimos que um reservatório a temperatura nula leva qualquer estado para o
vácuo e, particularmente, mantém um estado coerente sempre coerente até atingir
o estado fundamental. A partir destas observações nota-se que o operador dˆ que
protege o vácuo é simplesmente o operador â.
A proteção de um estado comprimido obtido a partir do vácuo, ou seja, |s z,0 i =
Ŝ(z)|0i pode ser alcançada através de uma transformação do operador â, dada por:
Â(z) = Ŝ(z)âŜ †(z) = â cosh r + â†eiθ senh r.
(3.67)
Note que um estado comprimido |sz i é autoestado de Â(z)
Â(z) |sz,αi = Ŝ(z)âŜ † (z)Ŝ(z)|αi
= Ŝ(z)â|αi
= α|sz,α i.
(3.68)
Em particular, se o estado for o vácuo comprimido o autovalor será α = 0 e, portanto podemos protegê-lo simplesmente usando o operador Â(z). Para simplificar,
escolheremos o operador dˆ = â + χâ† onde χ = tanh r. Este operador pode ser obtido
a partir de dois lasers, alinhados na direção de compressão, ressonantes com a
3.4. PROTEÇÃO DE ESTADOS QUÂNTICOS
39
primeira banda lateral no vermelho (laser 1) e no azul (laser 2) com freqüências
de Rabi que obedecem a Ω2/Ω1 = χ, desde que Ω2 < Ω1. A figura (3.8) mostra
as simulações feitas a partir desse operador para η = 0.05 e r = 0.6. Note que a
obtenção do operador desejado a partir de â garante que o autoestado correspondente é o único com autovalor nulo, pois ele é obtido através de uma transformação
unitária a partir do vácuo, que é o único autoestado com autovalor 0 de â.
1
a
b
0.9
0.8
0.7
F (t)
0.6
c
0.5
0.4
0.3
d
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
γt
Figura 3.8: Evolução da fidelidade em função do tempo em presença de um reservatório térmico com n̄ = 0.5 (a) e (c) e com um reservatório difusivo (b) e (d). Em
(c) e (d) estão representadas as dinâmicas na ausência de proteção, enquanto que
em (a) e (b) temos Γeng /γ = 30. Neste caso, o estado a ser protegido ρp é um estado
comprimido para r = 0.6 e coincide com o estado inicial ρ(0).
3.4.4
Proteção de um estado tipo gato de Schrödinger
√
Um estado tipo gato de Schödinger [47] |φ+ i = (|αi + i| − αi)/ 2 também possui um
operador dˆ que o protege. Para encontrar esse operador podemos usar a mesma
idéia usada para estados comprimidos, ou seja, um operador transformado a partir
de â.
O operador unitário T = e[inπ(n̂−1)/2]e(αâ
†
−α∗ â)
quando aplicado no vácuo fornece
|φ+ i, logo, se escolhermos o operador dˆ = T âT † = eiπn̂ â + iα teremos |φ+ i como
CAPÍTULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS
40
único autoestado com autovalor zero deste operador e, portanto, esse estado será
protegido.
A figura (3.9) mostra a proteção de um estado tipo gato a partir desse operador.
Um problema ainda aberto é como produzir o operador dˆ com um número finito de
lasers.
1
a
0.9
b
0.8
0.7
F (t)
0.6
0.5
0.4
d
0.3
c
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
γt
Figura 3.9: Evolução da fidelidade em função do tempo em presença de um reservatório térmico com n̄ = 0.5 (a) e (c) e com um reservatório difusivo (b) e (d). Em (c)
e (d) estão representadas as dinâmicas na ausência de proteção, enquanto que em
(a) e (b) temos Γeng /γ = 150. O estado inicial é |φ+ i com α2 = 3.
Como não é sabido como produzir o operador dˆ, podemos imaginar a proteção
de um estado que aproxime o estado tipo gato. Na seção 2.4.1 foi visto como é
possı́vel, utilizando N + 2 lasers, produzir e proteger a expansão (3.50) que, por sua
vez, pode aproximar o estado |φ+ i, bastando, para isso, escolher os N primeiros
coeficientes de |ψi de forma a coincidirem com os coeficientes de |φ + i.
Capı́tulo 4
Caos Clássico: o Oscilador
Harmônico Pulsado
O interesse pela fı́sica clássica foi renovado nos últimos anos devido ao desenvolvimento da teoria de sistemas não-lineares onde destaca-se o aparecimento de
dinâmicas bastante variadas que apresentam o caos determinı́stico.
Tomado por empréstimo da linguagem coloquial, o termo caos pode dar a impressão de aleatoriedade, desordem. Na verdade, um sistema dinâmico caótico é
determinı́stico, ou seja, obedece rigorosamente a equações de movimento obtidas
a partir de leis fı́sicas.
A incapacidade de previsão não vem de uma aleatoriedade intrı́nseca do problema mas de uma sensibilidade às condições iniciais. Esta é a caracterı́stica
fundamental de um sistema caótico: situações iniciais ligeiramente distintas podem resultar em estados finais completamente diferentes um do outro. Como não
podemos determinar as condições iniciais com precisão infinita num experimento
real, devido às limitações dos aparelhos, ou mesmo numa simulação computacional, devido aos arredondamentos, após um certo tempo, soluções inicialmente
próximas podem estar muito afastadas, ou seja, perdemos a previsibilidade.
Ao solucionarmos as equações de movimento do problema encontramos como
as variáveis X evoluem com o tempo obtendo o que chamamos de trajetória X(t)
do sistema. A separação X(t) − X0(t) entre duas trajetórias inicialmente muito
próximas apresenta comportamentos distintos dependendo se o sistema é caótico
41
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
42
ou regular.
A figura (4.1) mostra esta diferença para o caso de um oscilador
harmônico submetido a pulsos periódicos em uma situação regular (curva a) e
em outra caótica (curva b). No primeiro caso a diferença fica praticamente constante enquanto que no outro as trajetórias se afastam. O afastamento médio das
trajetórias nos sistemas caóticos se dá de forma exponencial.
4
3.5
3
(b)
|x(t) − x0 (t)|
2.5
2
1.5
1
0.5
(a)
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
60
70
t
Figura 4.1: Diferença entre a evolução da posição x de um oscilador pulsado a partir
de duas condições iniciais separadas por 10−3 m para uma região de parâmetros
onde o comportamento é regular (a) e outra onde há caos (b).
4.1
Equações de movimento e mapeamento
O primeiro passo para determinar se um sistema pode exibir caos ou não é
analisar suas equações de movimento. Matematicamente teremos equações diferenciais do tipo
Ẋ = F(X, t)
(4.1)
que serão ditas autônomas se a função F for independente do tempo e não-autônomas,
em caso contrário.
Uma condição necessária para o aparecimento do caos é a existência de nãolinearidades. Além disso, o sistema deve ter mais de dois graus de liberdade ou ser
não-autônomo.
4.1. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO
43
Para introduzir os conceitos básicos da teoria de sistemas dinâmicos de que
necessitamos utilizaremos um modelo particular: o oscilador harmônico pulsado [49, 50]. Esta não é a escolha mais simples do ponto de vista matemático mas,
como veremos no próximo capı́tulo, se adequa ao modelo fı́sico de ı́ons aprisionados.
Consideremos uma partı́cula de massa m submetida a um potencial harmônico
e também a pulsos periódicos no tempo supostos suficientemente curtos para
que possamos aproximá-los por funções delta. O Hamiltoniano que descreve esta
situação é:
H=
X
p2
mν 2 x2
+
+ Acl f (x)
δ(t − nτ ),
2m
2
n
(4.2)
onde ν é a frequência de oscilação, τ o intervalo de tempo entre os pulsos e f (x)
a dependência espacial dos mesmos. Adotando f (x) = cos(2kx) as equações de
movimento serão:
∂H
p
= ,
∂p
m
X
∂H
= −mν 2 x + 2Acl k sen(2kx)
δ(t − nτ ).
ṗ = −
∂x
n
ẋ =
(4.3)
(4.4)
Poderı́amos integrar estas equações e encontrar a trajetória do problema porém
uma abordagem mais simples pode ser adotada. Ao invés de analisarmos a curva de (x(t), p(t)) ao longo do tempo podemos nos deter somente nas soluções em
determinados instantes. Tomam-se as interseções entre a trajetória do problema
e planos paralelos ao plano x, p separados de τ entre si, desta maneira, obtem-se
a seção de Poincaré do sistema que, neste caso particular, é um gráfico estroboscópico.
A vantagem deste procedimento é que mesmo simplificando a visualização do
problema podemos ainda caracterizar sua dinâmica. A figura (4.2) mostra de maneira esquemática a evolução de alguns tipos de trajetória. Trajetórias cı́clicas
reduzem-se a um ou mais pontos (finitos) no espaço de fase (fig. 4.2-a), curvas quasiperiódicas geram infinitos pontos que se fecham numa curva (fig. 4.2-b) enquanto
44
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
que trajetórias caóticas espalham-se pelo espaço de fase ocupando-o totalmente ou
dando origem a fractais (fig. 4.2-c).
p
(a)
x
p
Xn
p
Xn+1
(b)
x
t
x
p
(c)
x
Figura 4.2: Na figura à esquerda temos um esquema para obtenção do mapa estroboscópico a partir de uma trajetória (x(t), p(t)), à direita temos a seção estroboscópica obtida para sitemas: (a) periódico, (b) quasi-periódico e (c) caótico.
Encontrar os pontos da seção estroboscópica fica simples num sistema de
equações do tipo (4.3,4.4) que podem ser transformadas em um mapa discreto.
A figura (4.3) ilustra a situação: há uma evolução harmônica de duração τ intercalada por pulsos de duração δt.
δt
τ
X0 X+
0
X1 X+
1
X2 X+
2
Figura 4.3: Representação esquemática da dinâmica do oscilador pulsado. A
solução se divide na atuação do pulso entre Xn e X+
n e na evolução livre do os+
cilador harmônico entre Xn e Xn+1 .
Entre os pulsos, a solução é dada por uma simples rotação correspondente
à evolução livre do oscilador harmônico que, usando a notação da figura (4.3),
4.1. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO
45
corresponde a:
Xn+1 =
xn+1
pn+1
!
= RXn =
cos(ντ )
sen(ντ )/m ν
−m ν sen(ντ )
cos(ντ )
!
x+
n
p+
n
!
.
(4.5)
Durante os pulsos, a evolução livre é desprezada já que δt é considerado muito
pequeno quando comparado com o tempo de oscilação. Com isso, a relação entre
as soluções imediatamente antes e após cada pulso é obtida a partir da integração
de (4.4) desprezando os termos harmônicos:
X+
n
=
x+
n
p+
n
!
xn
=
pn + 2Acl k sen(2kxn )
!
.
(4.6)
Agrupando (4.5) e (4.6) podemos escrever de que maneira se relacionam as
soluções imediatamente antes de cada pulso:
xn+1 = cos(ντ )xn + sen(ντ )/m ν [pn + 2Acl k sen(2kxn )] ,
(4.7)
pn+1 = −m ν sen(ντ )xn + cos(ντ ) [pn + 2Acl k sen(2kxn )] .
(4.8)
É interessante escrever este mapa em termos das variáveis adimensionais u =
2kp/(mν) e v = 2kx:
vn+1 = fv = cos(α)vn + sen(α) [un + Kcl sen(vn )] ,
un+1 = fu = −sen(α)vn + cos(α) [un + Kcl sen(vn )] .
(4.9)
(4.10)
Em termos das novas variáveis o mapa apresenta dois parâmetros importantes:
Kcl = 4Acl k2 /m ν e α = ντ =
2π
q .
O primeiro indica o quão forte são os impulsos
sofridos pelo oscilador e está relacionado com a importância do termo não-linear e
consequentemente com o aparecimento de caos no sistema: note que, para K cl =
0 não há caos. O parâmetro α é a razão q entre o intervalo de tempo entre os
pulsos e o perı́odo de oscilação natural do sistema. Para q = 1 (ressonância) e
q = 2 não há caos enquanto que para q = 3, 4, 6 temos o aparecimento de redes
com simetria cristalina no espaço de fase [50]. Outros valores de q , como 5 ou 7,
também apresentam caos porém gerando redes quasi-cristalinas. No que segue
consideraremos somente os valores inteiros de q , particularmente o caso q = 6.
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
46
A seção de Poincaré mostra o quão rico pode ser o comportamento desse sistema. Há o aparecimento de teias, por onde o sistema pode difundir, e regiões regulares onde o sistema fica confinado. A figura (4.4) mostra a seção estroboscópica
obtida a partir de (4.9) e (4.10) para q = 4 e q = 6, ambas com Kcl = 2.0. Cada figura
apresenta quatro trajetórias distintas evoluı́das durante 8000 pulsos mostrando a
existência de ilhas de estabilidade e regiões caóticas.
u
15
15
10
10
5
5
u
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-15
-10
-5
0
v
v
(a)
(b)
5
10
15
Figura 4.4: Seção de Poincaré para q = 4 (a) e q = 6 (b). Observa-se a simetria
tetraédrica e hexagonal associadas aos respectivos valores de q assim como a coexistência de regiões regulares e caóticas.
Observa-se, pela figura (4.5), que há um aumento da área ocupada pelas teias e,
em contrapartida, uma diminuição na região regular quando aumentamos Kcl , ou
seja, quanto maior o valor de Kcl mais rápida é a difusão. Entretanto, ao contrário
do que ocorre no sistema de rotor pulsado, não existe valor crı́tico de K cl para o
qual o caos começa a se manifestar.
A difusão através do espaço de fase neste sistema é ilimitada e valores cada
vez maiores de v e u são atingidos à medida em que cresce o tempo de observação.
Classicamente isto não é um grande entrave numérico mas, como veremos adiante,
quanticamente torna-se impraticável o cálculo em situações como esta. A solução
está em encontrar parâmetros que sejam ao mesmo tempo interessantes do ponto
de vista do caos clássico e ainda assim dentro dos limites computacionais impostos
4.2. LINEARIZAÇÃO E PONTOS FIXOS
u
47
15
150
10
100
5
50
u
0
0
-5
-50
-10
-100
-15
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-150
-150
v
-100
-50
0
50
100
150
v
Figura 4.5: Duas seções de Poincaré para Kcl = 2.0 e Kcl = 2.3, ambas para q = 6.
A figura da direita corresponde ao maior valor de Kcl e, consequentemente, a uma
difusão mais rápida. Note a diferença entre as escalas e uma ocupação maior do
espaço de fase.
pela solução quântica. Dentro deste contexto estaremos procurando valores de K cl
grandes o suficiente para possibilitar a visualização do caos e pequenos o suficiente
para que v e u não cresçam muito rapidamente.
4.2
Linearização e pontos fixos
A escolha dos parâmetros para a exploração numérica do espaço de fase do
problema torna-se um pouco mais simples se pudermos descobrir, a partir das
equações (4.9) e (4.10), algo mais sobre sua dinâmica como, por exemplo, a existência
de pontos fixos e a análise de sua estabilidade.
Seja um mapa geral dado por
Xn+1 = F(Xn).
(4.11)
Os pontos fixos X∗ são aqueles que não se alteram com a aplicação do mapa, ou
seja,
F(X∗) = X∗.
(4.12)
A linearização de (4.11) é obtida através de uma expansão em torno do ponto
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
48
fixo:
δn+1 = Xn+1 − X∗
= F(Xn) − X∗
(4.13)
≈ DF(X∗)δn ,
onde DF(X∗) é a matriz jacobiana que, no caso do mapa definido por (4.9) e (4.10),
é dada por:
DF(X∗) =
∂fv
∂v
∂fv
∂u
∂fu
∂v
∂fu
∂u
!
(4.14)
,
onde as derivadas são avaliadas em X∗ .
A estabilidade local na vizinhança destes pontos fixos pode ser analisada a partir dos autovalores desta matriz.
No caso de um mapa bidimensional, a figura (4.6) mostra o que pode acontecer em alguns casos dependendo dos autovalores λ1 e λ2. No caso de autovalores
reais o ponto fixo pode ser um nó instável quando os pontos tendem a se afastar
de X∗, um nó estável quando a dinâmica aproxima os pontos de X∗ ou um ponto hiperbólico quando há uma direção estável e outra instável. A existência de
autovalores complexos gera o aparecimento de espirais divergentes e convergentes
para nós instáveis e estáveis, respectivamente, e ainda os pontos fixos elı́pticos que
possuem órbitas estáveis ao seu redor.
Podemos passar, então, à aplicação deste tipo de análise no caso do oscilador harmônico pulsado. Utilizando a definição (4.12) e o mapa definido por (4.9)
e (4.10)obtemos as seguintes equações para v∗ e u∗ :
v∗ =
Kcl sen(α) sen(v∗ )
2(1 − cos(α))
u∗ = −
(4.15)
Kcl sen(v∗ )
2
(4.16)
A análise de estabilidade é feita através dos autovalores da matriz
DF =
cos(α) + sen(α)Kcl cos(v∗)
sen(α)
−sen(α) + cos(α)Kclcos(v∗ )
cos(α)
!
(4.17)
4.2. LINEARIZAÇÃO E PONTOS FIXOS
49
(a)
(b)
(c)
λ1 , λ2 < 1
λ1 , λ2 > 1
λ1 < 1, λ2 > 1
λ1 , λ2 reais
(d)
(e)
(f)
λ1 = λ∗2 = ρeiφ
ρ>1
ρ<1
ρ=1
Figura 4.6: Análise da estabilidade local dependendo dos autovalores: o ponto fixo
pode ser um nó instável (a) e (d), um nó estável (b) e (e), um ponto hiperbólico (c)
ou elı́ptico (f).
O ponto (0, 0) é uma solução de (4.15) e (4.16) e os autovalores λ1 e λ2 de (4.17)
associados a ele estão mostrados na figura (4.7) como função de Kcl . Note que, a
partir de Kcl ≈ 1.155 o ponto fixo deixa de ser elı́ptico e passa a ser hiperbólico.
1
3.5
0.8
<(λ2 )
3
0.6
2.5
0.4
<(λ1 )
2
0.2
0
1.5
=(λ2 )
-0.2
-0.4
1
-0.6
=(λ1 )
0.5
-0.8
-1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 4.7: Autovalores λ1 e λ2 em função de Kcl .
Existem também pontos fixos elı́pticos como (1.71, −0.99) e (−1.71, 0.99), para
Kcl = 2.0, que aparecem claramente na figura (4.8) assim como as direções estável
e instável dadas pelos autovetores de (4.17) para a origem. Esta figura corresponde
a uma visão ampliada da região central da figura (4.4-b).
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
50
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 4.8: Comportamento do oscilador pulsado na vizinhança da origem para
q = 6 e Kcl = 2.0.
Os pontos hiperbólicos estão associados ao aparecimento do caos e sobrevivem mesmo ao introduzirmos os termos não-lineares.
A vantagem em utili-
zar parâmetros onde a origem é um ponto hiperbólico está em poder observar a
dinâmica caótica sem que o sistema se espalhe demais no espaço de fase. Por esse
motivo, estaremos trabalhando com os valores da figura (4.8) de agora em diante.
4.3
Evoluindo uma distribuição clássica de probabilidades
As trajetórias clássicas mostradas até aqui foram obtidas a partir da aplicação
de (4.9) e (4.10) em uma condição inicial escolhida (v0 , u0). Poderı́amos, entretanto,
imaginar uma situação mais geral onde não soubéssemos, com certeza, o ponto
inicial (v0, u0) mas apenas a probabilidade de termos escolhido este ponto. Neste
caso, terı́amos várias trajetórias possı́veis iniciando em condições iniciais distintas e com probabilidades diferentes. A pergunta agora não seria mais como um
determinado ponto evolui mas sim como a distribuição de probabilidades inicial é
modificada com o tempo.
A figura (4.9) mostra a evolução de uma distribuição de probabilidades gaussiana, centrada na origem, para o mapa (4.9,4.10). O cenário do caos está visivelmente presente com o afastamento em uma direção, a contração em outra e
4.3. EVOLUINDO UMA DISTRIBUIÇ ÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES
51
as dobras da distribuição de probabilidades. Este processo onde a distribuição se
estica e depois se dobra é tı́pico de uma dinâmica onde pontos inicialmente muito
próximos acabam distanciando-se. Na figura (4.10) pode-se observar este afastamento, depois de passados 10 pulsos, a partir da difusão das cores: o vermelho,
por exemplo, que estava inicialmente concentrado na origem agora se encontra
espalhado por várias regiões do espaço de fase. É interessante notar que com este procedimento observa-se uma dinâmica análoga à obtida através da análise de
uma única trajetória. A comparação entre a figura (4.8) e a figura (4.9) para N = 10,
por exemplo, mostra bem essas semelhanças.
Uma medida do afastamento de pontos inicialmente próximos devido à dinâmica
caótica, visto na figura (4.10), pode ser obtida através do expoente de Lyapunov
definido por
λL = lim λ0(x0, N ),
N →∞
(4.18)
com o expoente de Lyapunov local λ0 (x0, N ) sendo
1
ln[d(, N )/],
→0 N
λ0(x0 , N ) = lim
(4.19)
onde é a separação inicial entre x0 e uma condição inicial vizinha e d(, N ) é a
distância entre as trajetórias originárias desses pontos após N iterações. O expoente de Lyapunov descreve uma taxa de expansão média do sistema. Expoentes positivos significam que pequenas incertezas nas condições iniciais crescem
na média enquanto que expoentes negativos significam uma contração. Em outras
palavras, um expoente de Lyapunov positivo implica em sensibilidade às condições
iniciais.
A figura (4.11) mostra este expoente para diversos valores de Kcl obtido para
uma distribuição de probabilidade inicial gaussiana centrada na origem. O gráfico
é obtido calculando-se o expoente de Lyapunov para cada ponto do espaço de
fase [51] e depois fazendo uma média levando em consideração as probabilidades
dos mesmos. Para Kcl = 2 o expoente é bem pequeno (λL = 0.067) e isso mostra o
porquê da lenta difusão observada para este valor de Kcl em torno da origem. Ao
52
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 4.9: Evolução de uma distribuição de probabilidades gaussiana centrada na
origem do espaço de fase em função do número N de pulsos.
4.4. EVOLUÇÃO CLÁSSICA COM RESERVATÓRIOS
(a)
53
(b)
Figura 4.10: Distribuição de probabilidades após 10 pulsos (a) e a ampliação de
uma região (b).
aumentarmos este parâmetro o expoente de Lyapunov também cresce levando o
sistema a se espalhar rapidamente.
Ainda pensando na comparação com a dinâmica quântica, percebemos que há
vantagens em analisar distribuições ao invés de trajetórias. A evolução quântica
não se dá a partir de um ponto no espaço de fase mas a partir de um estado
do qual podemos tirar as probabilidades de x e p. Desta forma nota-se que uma
dinâmica clássica baseada em distribuições de probabilidades se assemelha mais
ao que acontece com o caso quântico.
4.4
Evolução clássica com reservatórios
A evolução caótica analisada anteriormente pode ser bastante modificada se
considerarmos a possibilidade de existência de dissipação ou mesmo de interações
que produzam difusão no sistema. Estas situações, que no caso quântico correspondem ao reservatório a temperatura nula e ao reservatório puramente difusivo,
respectivamente, podem ser também introduzidas na dinâmica clássica.
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
54
1.4
1.2
λL
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kcl
Figura 4.11: Expoente de Lyapunov médio para a distribuição de probabilidade
inicial mostrada na figura (4.9).
4.4.1
Reservatório dissipativo
Um reservatório a temperatura zero pode ser obtido colocando o oscilador num
meio viscoso que atenua as oscilações através de uma força de atrito proporcional
à velocidade. A equação diferencial que representa esta situação é:
ẍ + ν 2 x + Γẋ =
X
2Acl k
sen(2kx)
δ(t − nτ ).
m
n
(4.20)
Esta equação é idêntica à obtida para os valores esperados quânticos a partir da
equação mestra (3.14) adicionando o termo dos pulsos.
Com um procedimento análogo ao feito no caso conservativo, podemos obter o
mapa da evolução dissipativa que, já nas variáveis adimensionais v e u, fica:
h
vn+1 = e−β cos(α) +
h
un+1 = −e−β 1 +
β 2 i
α
com β = Γτ /2 = Γα/2ν .
i
h
i
β
sen(α) vn + e−β sen(α) un + Kcl sen(vn )
α
h
sen(α)vn + e−β cos(α) −
ih
i
β
sen(α) un + Kcl sen(vn ) ,
α
(4.21)
(4.22)
4.4. EVOLUÇÃO CLÁSSICA COM RESERVATÓRIOS
55
Este novo mapa tem como pontos fixos
v∗ =
u∗ =
eβ Kcl sen(α) sen(v∗ )
[1 − 2 eβ cos(α) + e2β ]
eβ Kcl sen(v∗ )[cos(α) − ( αβ )sen(α) − 1]
[1 − 2 eβ cos(α) + e2β ]
(4.23)
(4.24)
Para entender melhor o que ocorre neste caso, vamos assumir um determinado
valor para a intensidade do pulso (Kcl = 2) e variar o parâmetro de dissipação. Para pequenos valores do parâmetro de dissipação o ponto fixo (0, 0) continua sendo
hiperbólico mas os dois pontos fixos vizinhos a ele passam de elı́pticos a estáveis,
atraindo as trajetórias ao redor dos mesmos. Aumentando o valor de β , estes pontos fixos vão se deslocando para a origem até que para β ≈ 0.83 a origem passa a ser
o ponto de atraç ão do sistema. Este processo está ilustrado na figura (4.12) onde
vemos as trajetórias de duas condições iniciais distintas para diferentes valores da
dissipação.
É importante notar que a introdução da dissipação não implica no desaparecimento do caos. O comportamento do sistema vai depender dos valores de K cl e de
β podendo aparecer atratores estranhos como o ilustrado na figura (4.13).
Para se ter uma idéia desse comportamento em função dos parâmetros, calculamos o expoente de Lyapunov para vários valores de Kcl e β através do mesmo
procedimento utilizado no caso conservativo mudando apenas o mapa. Na figura (4.14) podemos identificar claramente as regiões onde o expoente de Lyapunov
é positivo e, portanto, temos caos e as regiões onde ele é negativo ou nulo. A escala
de cores da figura vai desde um azul escuro representando os valores mais negativos até o vermelho que indica os valores mais altos do expoente passando pelo
verde mais claro que corresponde ao zero. É interessante notar que uma pequena
dissipação já elimina o caos para pequenos valores de Kcl ao passo que é necessária
uma dissipação bem maior quando se aumenta a intensidade dos pulsos.
4.4.2 Reservatório difusivo
Um reservatório difusivo pode ser pensado como o resultado de colisões aleatórias
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
56
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
(a)
1
2
3
(b)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
(c)
Figura 4.12: Seção estroboscópica do mapa dissipativo para: β = 0.1 (a), β = 0.4
(b) e β = 0.85 (c). Nas três figuras aparece a seção do mapa conservativo para
comparação.
4.4. EVOLUÇÃO CLÁSSICA COM RESERVATÓRIOS
57
1
0.5
4
0
3
-0.5
2
1
-1
-2
-1.5
-1
-0.1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
-1
0.1
-2
0.05
-3
-4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-0.05
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 4.13: Seção estroboscópica do mapa dissipativo para β = 0.85 e K cl = 20.
λL
Kcl
β
Figura 4.14: Expoente de Lyapunov em função de Kcl e β.
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
58
no oscilador harmônico numa situação semelhante ao que ocorre no movimento
browniano. Quanticamente vimos que campos eletromagnéticos aleatórios eram
capazes de produzir tal reservatório.
Classicamente podemos tentar resolver o problema através da introdução de
uma força de flutuação diretamente nas equações de movimento para depois fazer
uma média sobre as diversas trajetórias produzidas. Uma outra maneira, adotada
nas nossas simulações, é resolver diretamente a equação diferencial parcial que
representa a evolução da distribuição de probabilidade.
É importante ressaltar que em ambos os casos não temos mais a evolução de
uma única trajetória mas sim de um conjunto delas ou da distribuição de probabilidade como um todo.
A equação para a distribuição de probabilidade é análoga à equação de FokkerPlank obtida no caso quântico, contendo os termos difusivos assim como os termos
originários da equação de Liouville. Nas variáveis v e u tem-se, entre cada pulso,
∂P
∂P
∂P
= νu
− νv
+Γ
∂t
∂v
∂u
∂ 2P
∂ 2P
+
∂v 2
∂u2
!
,
(4.25)
enquanto que, durante um pulso, desprezam-se as evoluções harmônica e difusiva
para escrever
∂P
∂P
= Kcl sen(v)
δ(t − nτ ).
∂t
∂u
(4.26)
A solução do problema entre dois pulsos consecutivos é dividida em três partes de acordo com um algoritmo de separação (“splitting algorithm”) [52]. Com a
utilização deste método, ao invés de resolver diretamente (4.25) deve-se encontrar
a solução para o conjunto de equações abaixo
∂P
∂t
∂P
∂t
∂P
∂t
∂P
,
∂v
∂P
= −νv
,
∂u
!
∂ 2P
∂ 2P
+
,
= Γ
∂v 2
∂u2
= νu
(4.27)
(4.28)
(4.29)
onde a solução de cada uma delas é utilizada como condição inicial na equação
seguinte.
4.4. EVOLUÇÃO CLÁSSICA COM RESERVATÓRIOS
59
A solução de (4.27) e (4.28) segue o método de fluxo balanceado [53]. O espaço
de fase é dividido em células cujas probabilidades são evoluı́das no tempo somando os ganhos e subtraindo as perdas para as células vizinhas a partir do
fluxo ditado pelas equações. A parte relativa à difusão (4.29) utiliza um método
de diferenças finitas que funciona de maneira semelhante ao fluxo balanceado.
Em [54] há uma extensa discussão sobre diversos métodos de diferença finita e
processos de discretização.
A equação (4.26) é semelhante à (4.28) e utiliza-se, portanto, o mesmo método
de fluxo balanceado para solucioná-la. Neste caso a função δ é aproximada por um
pulso retangular de área unitária e duração muito menor que o intervalo entre dois
pulsos consecutivos.
A precisão desses métodos depende de uma conveniente discretização espacial e
temporal do problema. Obviamente o erro é tão menor quanto menor for o intervalo
de tempo ∆t e os espaçamentos ∆v e ∆u utilizados para a definição do tamanho das
células do espaço de fase. É claro, também, que um aumento em precisão corresponde a um aumento também no tempo de computação. A dificuldade maior nesse
problema é a de encontrar parâmetros de discretização que sejam compatı́veis com
a solução harmônica, a difusiva e a caótica simultaneamente o que só é possı́vel,
em alguns casos, com um aumento muito grande no número de pontos utilizados.
A figura (4.15) mostra a evolução da distribuição clássica com a introdução de
um reservatório difusivo. O parâmetro relevante para descrever o processo difusivo
é a razão entre a taxa Γ e a frequência da aplicação dos pulsos que definiremos
como um coeficiente de difusão D = Γτ /2 = Γα/2ν . O que é observado nesta
evolução é que a difusão suavisa a distribuição de probabilidades impedindo a
formação de estruturas cada vez mais finas como ocorria no caso conservativo.
Existe ainda um outro fator que aparece na dinâmica que é a possibilidade de
passagem de uma região caótica para uma regular, ou seja, a difusão permite
que pontos migrem para as áreas correspondentes aos pontos elı́pticos vizinhos à
origem.
60
CAPÍTULO 4. CAOS CLÁSSICO: O OSCILADOR HARMÔNICO PULSADO
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
Figura 4.15: Evolução de uma distribuição de probabilidades gaussiana centrada
na origem para Kcl = 2.0 e D = 0.005.
Capı́tulo 5
Caos em ı́ons aprisionados: o
oscilador harmônico pulsado
A descoberta de sistemas com sensibilidade às condições iniciais no mundo
clássico despertou a curiosidade sobre o comportamento de tais sistemas no domı́nio
microscópico, iniciando-se assim o estudo do que passou a ser conhecido como
caos quântico. Como o conceito de caos clássico está baseado na idéia de trajetórias e não temos esta idéia formulada de forma clara na mecânica quântica,
não podemos definir facilmente caos nesta teoria. O que hoje chamamos caos
quântico é uma vasta área que engloba pesquisas sobre o comportamento quântico
de sistemas classicamente caóticos, as assinaturas quânticas desse comportamento, a quantização desses sistemas assim como a transição quântico-clássico nesta
situação.
O desenvolvimento desta área despertou a curiosidade a respeito de sistemas
fı́sicos onde as previsões teóricas pudessem ser testadas, existindo hoje, diversas
propostas tanto na área de matéria condensada como em fı́sica atômica.
Há na literatura algumas sugestões nesse sentido utilizando ı́ons aprisionados [55] e aqui apresentaremos uma proposta semelhante à que foi introduzida
por Cirac e Zoller em 1994 [56] onde obtem-se o hamiltoniano quântico equivalente ao oscilador harmônico pulsado exposto no capı́tulo anterior. Como um ı́on
aprisionado é um sistema relativamente bem isolado do meio externo, ele apresenta
a possibilidade de estudar, aproximadamente, sistemas conservativos. Por outro
61
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
62
lado, como é possı́vel produzir reservatórios artificiais, também pode-se estudar
sistemas interagindo com o ambiente ao seu redor.
5.1
Interação com Laser e hamiltoniano Caótico
Consideremos um átomo de dois nı́veis interagindo com um laser numa configuração
de onda estacionária conforme ilustra a figura (5.1). A diferença de energia entre os
nı́veis eletrônicos é h̄ω21 = h̄ω2 − h̄ω1 , ωL é a freqüência do laser e kL é a componente
do vetor de onda ao longo da direção de movimento x. O laser encontra-se dessintonizado de ∆ = ω21 − ωL em relação à transição eletrônica e tem uma freqüência
de Rabi dependente do tempo Ω(t).
|2i
∆
ω21
Ω(t), ωL , kL
|1i
Figura 5.1: Esquema para a obtenção do oscilador harmônico pulsado num ı́on.
O hamiltoniano que descreve essa situação é obtido a partir de (2.12) simplesmente trocando a dependência espacial da onda propagante por uma onda estacionária
Ĥ = h̄νâ† â + h̄ω1 Â11 + h̄ω2 Â22 +
i
h̄ h
Ω(t)Â21 cos(kL x̂) e−iωLt + h.c. .
2
(5.1)
Vamos considerar uma situação em que a dessintonia ∆ seja muito maior que
as freqüências de Rabi envolvidas no problema de forma a podermos eliminar a
dinâmica do nı́vel |2i através de um procedimento de eliminação adiabática semelhante ao adotado no capı́tulo 2. Para tanto vamos passar para um referencial
definido pelo operador
Û = e−i[(ωL +ω1 +∆/2)Â22 t+(ω2 −ωL −∆/2)Â11 t] .
(5.2)
5.1. INTERAÇÃO COM LASER E HAMILTONIANO CAÓTICO
63
˜ = Û † ρ̂Û do sistema nesse novo referencial obedece a
A nova matriz densidade ρ̂
uma equação que é obtida a partir de
˜˙ = Û˙ †ρ̂Û + Û † ρ̂Û˙ + Û † ρ̂˙ Û
ρ̂
= i ωL + ω1 +
i
i
∆ h
∆ h
i ˜ ˜
Â22 , ρ̂ + i ω2 − ωL −
Â11, ρ̂ −
Ĥ, ρ̂ ,
2
2
h̄
(5.3)
˜
com Ĥ = Û † Ĥ Û .
Avaliando cada termo em (5.3) tem-se
ρ̂˙ = −
−
i
i iΩ(t) h
i∆ h
Â22 − Â11 , ρ̂ −
cos(kL x̂)Â21, ρ̂
2
2
i
iΩ∗(t) h
cos(kLx̂)Â12, ρ̂ .
2
(5.4)
Projetando esta equação na base eletrônica obteremos:
i
iΩ∗(t) h
cos(kLx̂)ρ̂22 − ρ̂11cos(kLx̂)
2
i
iΩ(t) h
= −i∆ρ̂21 −
cos(kL x̂)ρ̂11 − ρ̂22cos(kLx̂)
2
i iΩ(t) h
i
iΩ∗ (t) h
=−
cos(kLx̂)ρ̂21 +
ρ̂12cos(kLx̂)
2
2
i iΩ∗ (t) h
i
iΩ(t) h
=−
cos(kL x̂)ρ̂12 +
ρ̂21cos(kLx̂)
2
2
ρ̂˙12 = i∆ρ̂12 −
(5.5)
ρ̂˙21
(5.6)
ρ̂˙11
ρ̂˙22
(5.7)
(5.8)
A consideração que ∆ Ω para a eliminação do nı́vel superior consiste, na
prática, em dizer que ρ̂˙ 12 = 0. Fisicamente podemos justificar este procedimento
argumentando que, como ∆ é muito grande, então, o nı́vel superior não é praticamente populado e o ı́on permanece o tempo todo no nı́vel inferior |1i. A equação
para ρ̂12 torna-se:
ρ̂12 =
i
Ω∗ h
cos(kLx̂)ρ̂22 − ρ̂11cos(kLx̂)
2∆
(5.9)
Substituindo-a nas equações para ρ̂11 e ρ̂22, teremos:
ρ̂˙11 =
i
i |Ω(t)|2 h 2
cos (kL x̂), ρ̂11
4∆
ρ̂˙22 = −
i
i |Ω(t)|2 h 2
cos (kL x̂), ρ̂22
4∆
(5.10)
(5.11)
Como ρ̂22 ρ̂11 pode-se aproximar ρ̂v por ρ̂11. Podemos notar que (5.10) e
(5.11) reforçam a interpretação da não população do nı́vel 2 pois os dois estados
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
64
eletrônicos encontram-se, agora, desacoplados. A dinâmica efetiva fica descrita
por (5.10), ou seja, ela fica restrita ao movimento vibracional no estado eletrônico
fundamental. O hamiltoniano efetivo que gera a equação (5.10) é
Ĥef = Ĥ0 +
h̄ |Ω(t)|2
[cos(2kLx̂) + 1] |1ih1|,
8∆
(5.12)
onde Ĥ0é o hamiltoniano do oscilador harmônico.
Suponhamos, agora, que o laser seja ligado e desligado durante um tempo muito curto (σ ) e que isto seja feito sempre de maneira periódica em intervalos de
tempo iguais a τ . Desta forma teremos o ı́on iluminado por uma série de pulsos
gaussianos que, no limite de σ muito pequeno pode ser substituı́da por uma série
de pulsos tipo delta
|Ω(t)|2 = |Ω|2
X
e−(t−nτ )
n
2
/σ 2
X
√
≈ σ π |Ω|2
δ(t − nτ )
(5.13)
n
Devemos observar que há um compromisso entre o limite de σ τ para que
possamos considerar pulsos tipo delta e a condição de σ 1/∆ que é necessária
para que o laser não seja muito largo em freqüência e a eliminação do nı́vel 2 seja
possı́vel. O hamiltoniano final fica:
Ĥef = Ĥ0 + h̄KQ [cos(2kL x̂) + 1]
X
n
onde KQ =
√
σ π|Ω|2
8∆ .
δ(t − nτ ),
(5.14)
Podemos ainda escrever em termos dos operadores â e â†
†
†
Ĥ = h̄νâ â + h̄KQ cos[2η(â + â ) + 1]
∞
X
n=0
δ(t − nτ ).
(5.15)
Este hamiltoniano é o análogo quântico de (4.2) a menos de um termo constante
que contribui apenas com uma fase global e pode, portanto, ser desprezado.
5.2
Comparação com variáveis clássicas e escalamento
A dinâmica quântica apresenta um fator a mais que a dinâmica clássica devido
à existência da constante de Planck. Esta aparece explicitamente no hamiltoniano
5.2. COMPARAÇÃO COM VARIÁVEIS CLÁSSICAS E ESCALAMENTO
65
quântico e também implicitamente através do parâmetro de Lamb-Dicke. Classicamente devemos introduzir um parâmetro de escalamento correspondente ao
parâmetro de Lamb-Dicke para que possamos comparar as duas evoluções.
O mapa (4.9,4.10) descreve o problema clássico através das variáveis adimensionais v e u. Quanticamente estas variáveis estão relacionadas com o operador â
da seguinte forma:
hâi =
=
r
mν
hx̂i + i
2h̄
1
(v + iu)
4η
r
1
hp̂i
2h̄mν
(5.16)
≡ v̄ + iū.
Reescrevendo o mapa clássico para as variáveis escaladas v̄ e ū teremos:
v̄n+1 =
h
cos(α)v̄n + sin(α) ūn +
h
ūn+1 = − sin(α)v̄n + cos(α) ūn +
Kcl
4η
Kcl
4η
sin(4ηv̄n)
i
(5.17)
i
(5.18)
sin(4ηv̄n) .
Como o mapa é não-linear, um reescalamento de suas variáveis não significa
que o mesmo ocorra para o mapa como um todo. Realmente os mapas (5.17,5.18)
e (4.9,4.10) não diferem apenas de um fator de escala, entretanto, as alterações
ocasionadas pelo escalamento não mudam qualitativamente a dinâmica do sistema. Na figura (5.2), onde é mostrada a seção estroboscópica deste mapa para
dois valores distintos de η , podemos observar a alteração na escala sem alterações
importantes nas caracterı́sticas básicas da evolução do sistema.
Para uma completa identificação entre as grandezas que aparecem nos hamiltonianos quântico e clássico é necessário, também, comparar a intensidade do pulso
em ambos os casos. Isso pode ser feito a partir de (4.2) e (5.14) o que nos leva a
impor que h̄KQ = Acl . Esta relação pode ainda ser escrita utilizando a intensidade
p
adimensional clássica Kcl = 4k2 Acl /mν e o parâmetro de Lamb-Dicke η = k h̄/2mν :
h̄KQ =
KQ =
mνKcl
4k2
Kcl
.
8η 2
(5.19)
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
66
40
80
30
60
20
40
10
ū
20
ū
0
0
-10
-20
-20
-40
-30
-60
-40
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-80
-80
v̄
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
v̄
Figura 5.2: Seção estroboscópica para q = 6, Kcl = 2.0 e fatores de escala valendo
η = 0.25 e η = 0.125.
5.3
Evoluindo o Estado Quântico
A versão quântica do oscilador harmônico pulsado foi estudada pela primeira
vez por Berman e colaboradores [57] e posteriormente em alguns outros trabalhos [58]. A dinâmica quântica pode ser separada em duas partes: uma determinada pelo efeito do pulso e outra relacionada à evolução entre dois pulsos consecutivos. Procederemos no caso quântico de forma análoga ao clássico, ou seja,
resolveremos o problema estroboscopicamente encontrando o estado do sistema
imediatamente antes de cada pulso, como ilustra a figura (5.3).
τ
|ψ− in
T̂p
|ψ+ in
|ψ− in+1
T̂oh
Figura 5.3: Esquema da evolução do oscilador pulsado: no instante do pulso atua
o operador T̂p e entre os pulsos temos a atuação do operador T̂oh que produz a
evolução harmônica do sistema.
5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUÂNTICO
5.3.1
67
Dinâmica do pulso
A evolução de um vetor de estado |ψ(t)i é dada por:
(5.20)
|ψ(t)i = T (t, t0)|ψ(0)i,
h
onde T̂ (t, t0) = exp − h̄i
Rt
i
0
0
t0 Ĥ(t )dt .
Introduzindo no operador de evolução T̂p o hamiltoniano que descreve os pulsos
obteremos uma relação entre o estado do sistema antes e depois do pulso:
h
i
|ψ+ in = T̂p|ψ− in = exp −iKQcos[2η(â + â† )] |ψ− in ,
(5.21)
nesta equação, os ı́ndices + e − correspondem, respectivamente, a instantes de
tempo imediatamente após e antes do n-ésimo pulso.
Para resolver a eq. (5.21) vamos usar a expansão da exponencial em funções de
Bessel
∞
X
eiAcos(θ) =
ik Jk (A)eikθ .
(5.22)
k=−∞
No nosso caso teremos:
e−iKQ cos[2η(â+â
†
)]
=
∞
X
ik Jk (−KQ )ei2kη(â+â
†
)
k=−∞
= J0 (−KQ) +
= J0 (−KQ) +
= J0 (−KQ) +
∞
X
†
ik Jk (−KQ)ei2kη(â+â ) +
k=1
∞ h
X
k=1
∞
X
−1
X
ik Jk (−KQ )ei2kη(â+â
†
†
)
)
k=−∞
†
ik Jk (−KQ )ei2kη(â+â ) + i−k J−k (−KQ)e−i2kη(â+â
h
†
ik Jk (−KQ) ei2kη(â+â ) + e−i2kη(â+â
k=1
†
)
i
,
i
(5.23)
onde usamos que J−k (−KQ) = (−1)k Jk (−KQ).
Podemos, agora, expandir os vetores de estado |ψ+ i e |ψ−i na base de autoestados do operador número n̂ = â† â:
|ψ+ i =
|ψ−i =
∞
X
m=0
∞
X
c+
m |mi,
(5.24)
c−
m |mi,
(5.25)
m=0
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
68
−
e escrever os novos coeficientes c+
r em função dos antigos cm da seguinte maneira:
c+
r
= hr|ψ+i = hr|e
−iKQ cos[2η(â+â† )]
= c−
r J0 (−KQ ) +
†
∞
X
c−
m |mi
m=0
∞
h
i
X
k
i
J
(−K
)
A
(k)
+
A
(−k)
,
c−
k
Q
rm
rm
m
m=0
k=1
onde Arm (k) = hr|ei2kη(â+â ) |mi = e−2k
∞
X
2
√
η 2 (i2kη)r−m √m! Lr−m (4k 2η 2),
r! m
(5.26)
r−m (4k 2 η 2 )
sendo Lm
um polinômio de Laguerre generalizado.
A equação (5.26) nos revela que a evolução do estado quântico, para o pulso, depende apenas de dois parâmetros: KQ e η . Este útimo é de extrema importância para o limite clássico do problema já que é nele que se encontra qualquer dependência
com a constante de Planck. Este parâmetro que classicamente representa um escalamento, quanticamente tem um papel semelhante. A medida que diminuimos
η , estamos aproximando o sistema do limite macroscópico fazendo com que h̄ fique
cada vez menor quando comparado com uma ação tı́pica do problema. A grande
vantagem, neste caso, é que se pode alcançar o limite clássico manipulando uma
grandeza acessı́vel experimentalmente já que, como visto em (2.14), pode-se alterar
o parâmetro de Lamb-Dicke com a mudança do ângulo entre o laser e a direção de
vibração do ı́on.
5.3.2
Dinâmica entre os pulsos
Entre dois pulsos consecutivos devemos considerar as situações correspondentes ao sistema isolado ou interagindo com o ambiente. No primeiro caso a evolução
do estado quântico se dá através da atuação do operador de evolução correspondente ao oscilador harmônico T̂oh durante um tempo τ :
†
|ψ− in+1 = T̂oh |ψ+ in = e−iντ â â |ψ+in .
(5.27)
Esta parte da evolução corresponde, simplesmente, a uma rotação do estado.
Lembrando que classicamente definimos o intervalo de tempo entre os pulsos como
sendo τ = α/ν = 2π/qν , vemos que esta rotação transforma os coeficientes da
5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUÂNTICO
69
seguinte maneira:
c0m = ei2πm/q cm .
(5.28)
Para a situação do sistema isolado a solução está completa bastando combinar
as equações (5.28) e (5.26). Entretanto, ao considerarmos interações com reservatórios como descrito no capı́tulo 2, devemos modificar a evolução entre os pulsos.
Evolução com reservatório
Introduzindo a interação com um reservatório temos que procurar resolver a
equação mestra correspondente:
i γ
dρ̂
ih
ρ̂, Ĥ0 +
2 ĉ ρ̂ ĉ† − ĉ† ĉ ρ̂ − ρ̂ ĉ† ĉ ,
=
dt
h̄
2
(5.29)
onde Ĥ0 corresponde ao hamiltoniano do oscilador harmônico.
Uma das alternativas numéricas para a solução de (5.29) é o método de função
de onda de Monte Carlo [59, 60] a partir do qual obtemos a matriz densidade
fazendo uma média sobre várias realizações estocásticas do vetor de estado |ψi. A
vantagem deste método é que nele evoluı́mos o estado que tem dimensionalidade,
digamos, N enquanto que uma integração numérica de (5.29) resultaria na solução
de um sistema de equações N × N . Obviamente que o ganho não é tão grande pois
temos que executar o método de Monte Carlo um número suficiente de vezes para
fazermos uma boa média sobre as realizações. Este método pode ser implementado
para qualquer dos reservatórios encontrados no capı́tulo 2 já que sua aplicação é
válida sempre que a equação mestra estiver na forma de Lindblad.
Para alguns reservatórios podemos resolver analiticamente a equação mestra
escrevendo de que forma os elementos de matriz de ρ̂ evoluem no tempo. Este procedimento está descrito no apêndice A e, no caso do reservatório difusivo, teremos:
ρi,k (t) =
∞ min(i,k)
X
X
ρi+l−j,k+l−j (0)(γt + 1)
l=0
j=0
(j−i−k−1−l)
(γt)
l+j
p
i!k!(i + l − j)!(k + l − j)!
.
l!j!(i − j)!(k − j)!
(5.30)
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
70
A solução final deve envolver a evolução livre dada por (5.28) associada à evolução
do reservatório. No apêndice B mostramos que estas duas evoluções comutam e,
consequentemente, podemos calculá-las separadamente.
5.4
Considerações numéricas
Os cálculos númericos relativos à evolução quântica estão relacionados às soluções
da evolução dos pulsos (5.26) e da parte relativa ao reservatório.
A evolução hamiltoniana dos pulsos apresenta o parâmetro de Lamb-Dicke como um fator fundamental não só do ponto de vista teórico mas também numérico.
Vimos que este parâmetro é responsável por um escalamento que, classicamente,
está diretamente relacionado à ocupação maior ou menor de regiões do espaço de
fase. Quanticamente, uma maior extensão do sistema no espaço de fase significa
que necessitamos de uma maior base
1
para descrever os estados do sistema.
Numericamente, os somatórios que se estendem até o infinito em (5.26) devem
ser obviamente truncados em valores Mmax e kmax. No somatório em m quanto
menor o valor de η maior o valor de Mmax já que este ı́ndice está relacionado com
o tamanho da base. A segunda soma, em k, é levada em consideração até que
seus termos, basicamente dados pelas funções de Bessel, fiquem menores que um
valor muito pequeno δ = 10−10. Note que o argumento das funções de Bessel é a
intensidade do pulso KQ que varia com 1/η 2 para uma intensidade clássica constante(ver (5.19)), ou seja, ao diminuirmos η aumentamos KQ e devemos, portanto,
elevar o número de termos somados.
A figura (5.4) mostra o efeito da escolha do parâmetro de Lamb-Dicke no tempo
de execução do programa. Estes dados correspondem a cálculos executados em
um processador Athlon de 1.2 GHz e 512 M b de RAM para um total de 50 pulsos
sem adição de reservatório. Para uma diminuição de η por um fator de 5 (de 0.5
para 0.1) temos um aumento no tempo de execução de um fator maior que 18.
Um outro ponto importante neste caso é o gasto de memória. Como em (5.26)
1
No nosso caso usamos a base de autoestados de energia do oscilador harmônico
5.4. CONSIDERAÇÕES NUMÉRICAS
71
temos vários polinômios de Laguerre que são utilizados durante os cálculos e como
este número aumenta com a base, fizemos a opção de calculá-los todos no inı́cio
do programa para diminuir o tempo de execução. Esta medida, por outro lado,
aumenta a memória requerida para o armazenamento da matriz relativa a estes
polinômios o que limita o menor valor de η que conseguimos atingir numericamente.
400
Tempo de execuç ão (segundos)
350
300
250
200
150
100
50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
η
Figura 5.4: Tempo de execução do problema quântico sem reservatório em função
de η. As retas da figura simplesmente ligam os pontos que representam cálculos
realizados para um total de 50 pulsos em um processador Athlon de 1.2 GHz e
512 M b de memória.
Quanto aos cálculos com a introdução da interação com um reservatório devemos comparar os diferentes métodos numéricos utilizados. A integração numérica
por métodos de Runge-Kutta foi descartada por já termos a solução analı́tica (5.30)
e ambas realizarem cálculos com as matrizes N × N . A questão é comparar o
desempenho da solução analı́tica que trabalha diretamente com os elementos da
matriz densidade e uma solução numérica via Monte Carlo que utiliza apenas os
vetores de estado de dimensão N .
A comparação entre os métodos pode ser vista na figura (5.5) onde é mostrado o
tempo de execução, em horas, para a solução através de (5.30) e a feita por Monte
Carlo com 3000 realizações. O número de realizações foi escolhido de forma a ser o
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
72
mı́nimo necessário para se obter médias de acordo com os resultados conseguidos
com a solução analı́tica.
300
Tempo de execuç ão (horas)
250
200
150
100
50
(b)
(a)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
η
Figura 5.5: Tempo de execução do problema quântico com reservatório difusivo em
função de η. As curvas representam o tempo gasto, em horas, com os cálculos
feitos a partir de (5.30) (a) e com o método de Monte Carlo (b). Neste último foram
feitas 3000 realizações.
Vemos pelo gráfico que quando o parâmetro de Lamb-Dicke atinge o valor η = 0.1
os dois métodos se equivalem e que para valores maiores o método de Monte Carlo
é ligeiramente inferior. Isto ocorre porque a medida que diminuı́mos η a base
utilizada aumenta e como a solução através da matriz densidade escala com N × N
ela é mais afetada.
Uma vantagem do método de Monte Carlo que não podemos observar nesta
figura é a facilidade de paralelização que ele apresenta. A paralelização óbvia é
separar as diferentes realizações em processadores diferentes e depois reunı́-las
para calcular as médias. Isto foi feito usando quatro processadores de 800 M Hz
nos quais eram feitas apenas 750 realizações em cada.
Na maior parte dos cálculos da tese utilizou-se o método baseado na matriz
densidade apesar de ter sido utilizado o método de Monte Carlo em simulações
utilizando 4 processadores. A aparente vantagem do método de Monte Carlo em
relação à paralelização é, no entanto, minimizada nesse problema porque a parte
5.4. CONSIDERAÇÕES NUMÉRICAS
73
dos programas que consome mais tempo de execução é o cálculo do efeito dos pulsos onde esse método não se aplica. Além disso, embora o método de Monte Carlo
utilize vetores e não matrizes, consumindo menos tempo para o cálculo de cada
pulso, estes cálculos devem ser repetidos a cada nova realização comprometendo
os ganhos do método nos trechos entre os pulsos.
74
CAPÍTULO 5. CAOS EM ÍONS APRISIONADOS
Capı́tulo 6
Transição Quântico-Clássico em
ı́ons aprisionados
É sabido que em situações particulares, como no caso do oscilador harmônico,
as dinâmicas clássica e quântica coincidem. Entretanto, para casos mais gerais, o
máximo que podemos esperar é que as duas dinâmicas sejam equivalentes apenas
durante um certo intervalo de tempo após o qual as soluções se separam.
Um primeiro passo para tentar abordar esse problema é a utilização do teorema de Ehrenfest. Muitos livros de mecânica quântica [24, 61, 62] baseiam suas
discussões sobre limite clássico nesse teorema que diz que, sob certas condições,
o movimento do centro do pacote de onda obedece às equações clássicas. Para
mostrá-lo consideremos uma particula com momento p̂ submetida a um potencial
V (x̂) de maneira que, a partir do hamiltoniano
Ĥ = p̂2/2m + V (x̂),
(6.1)
podemos escrever as equações para os valores esperados dos operadores de momento e posição como:
d
hp̂i =
dt
d
hx̂i =
dt
1
h[p̂, V (x̂)]i,
ih̄
1
h[x̂, p̂2/2m]i.
ih̄
(6.2)
(6.3)
Utilizando as relações de comutação entre esses operadores obtemos
d
hp̂i = − hF (x̂)i ,
dt
75
(6.4)
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
76
d
hx̂i =
dt
1
hpi.
m
(6.5)
Essas equações seriam idênticas às clássicas se pudéssemos aproximar o lado
direito de (6.4) pela força clássica no centro do pacote, ou seja,
hF (x̂)i ≈ F (hx̂i),
(6.6)
o que, em geral, não é válido. Expandindo o lado direito de (6.4) em torno de hx̂i
tem-se:
D
E
d
∂
1 ∂2
2
hp̂i = F (hx̂i) +
F (hx̂i) hx̂ − hx̂ii +
F
(hx̂i)
(x̂
−
hx̂i)
+ . . ., (6.7)
dt
∂hx̂i
2 ∂hx̂i2
Pode-se notar que o segundo termo desta expansão é nulo de modo que a primeira
correção a (6.6) aparece somente nos termos de derivada segunda da força, ou seja,
derivada terceira do potencial. A aproximação (6.6) só é razoável, portanto, quando
se considera um pacote altamente localizado em relação à região onde o potencial
varia apreciavelmente. Uma primeira análise da expansão (6.7) pode levar à falsa
conclusão de que as correções em derivadas de mais alta ordem do potencial têm
origem puramente quântica e levariam a eventuais diferenças entre esta dinâmica
e a clássica. No entanto, as correções ao termo F (hx̂i) também aparecem quando é
feita uma análise puramente clássica a partir de distribuições de probabilidade. De
fato, a expansão (6.7) é equivalente à obtida classicamente para uma distribuição e
este resultado é usado em [63] para mostrar que a identificação do regime clássico
simplesmente a partir do teorema de Ehrenfest é inadequada.
Este problema da correspondência entre o mundo quântico e o clássico e da
escala de tempo em que ela é valida é especialmente interessante quando tentamos entendê-lo no contexto de sistemas quânticos cujos análogos clássicos são
caóticos. Nestes casos, a estimativa do tempo durante o qual as dinâmicas clássica
e quântica coincidem [64] escala com o logarı́tmo de 1/h̄ enquanto que, para sistemas regulares, escala com uma lei de potência.
Mesmo para sistemas macroscópicos essa escala logarı́tmica poderia levar a
correções quânticas em tempos muito curtos. Essa questão foi levantada por Zurek
6.1. FUNÇÃO DE WIGNER × DISTRIBUIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES 77
e Paz [65, 66] que, concluindo que a macroscopicidade era insuficiente para levar
ao limite clássico, propõem como solução a inclusão dos efeitos de descoerência no
sistema.
Neste cenário o sistema de ı́ons aprisionados apresenta-se como uma excelente
alternativa para testes experimentais das previsões para sistemas caóticos pois,
além de se poder usar a engenharia de reservatórios para criar descoerência artificialmente, pode-se modificar o parâmetro de macroscopicidade (η ) experimentalmente através de ajustes nas direções de feixes de laser.
6.1
Função de Wigner × distribuição clássica de probabilidades
Na análise do oscilador pulsado clássico foi utilizada a dinâmica da distribuição
de probabilidade a partir da qual, através de sua estrutura de esticamentos e dobras, visualizava-se a presença de caos no sistema. O mesmo podia ser verificado
pela observação da seção de Poincaré de uma trajetória ou pelo estudo do afastamento de trajetórias inicialmente próximas calculando-se o expoente de Lyapunov.
Para estudar o mesmo fenômeno quanticamente e, além disso, entender como o
caos clássico surge a partir de um limite da teoria quântica é interessante escolher
uma abordagem que seja acessı́vel tanto a uma quanto a outra teoria. Entre as
opções descritas anteriormente a que parece se adequar melhor à situação é a
exploração do espaço de fase via distribuição de probabilidade.
É importante ressaltar que não temos uma distribuição de probabilidade quântica no espaço de fase mas funções de quasi-probabilidade que podem servir como
instrumento para tentar entender o limite clássico da mecânica quântica.
Como foi visto antes, uma das distribuições de quasi-probabilidade mais utilizadas no contexto do limite quântico-clássico é a função de Wigner que apresenta certas vantagens em relação a outras distribuições quânticas. Algumas dessas vantagens já foram explicitadas no segundo capı́tulo como, por exemplo, a obtenção
das distribuições marginais (3.18) e dos valores médios de operadores em ordem
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
78
simétrica (3.19) por simples integração, assim como acontece classicamente.
A função de Wigner auxilia também na caracterização de estados não clássicos.
Considerando tais estados como aqueles em que as densidades de quasi-probabilidade não se comportam como verdadeiras distribuições de probabilidade [73],
pode-se relacionar o caráter quântico de um estado com a existência de valores
negativos na função de Wigner.
Um exemplo claro de estado não clássico é a superposição de dois estados coe√
rentes |φ+ i = (|α0i + | − α0 i)/ 2 cuja função de Wigner está representada na figura (6.1). Observa-se duas Gaussianas correspondentes aos estados coerentes |α 0i
e | − α0i e, entre elas, estruturas de franjas de interferência com a função de Wigner
oscilando entre valores positivos e negativos. Esta fácil identificação de fenômenos
puramente quânticos através desta função é o que faz com que ela seja tão útil na
observação da transição quântico-clássico.
Figura
√ 6.1: Função de Wigner para uma superposição coerente do tipo (|α 0i + | −
α0 i)/ 2 com α0 = 3.
Em sistemas caóticos, as interferências são geradas dinamicamente a partir dos
alongamentos e das dobras da função de Wigner sobre ela mesma. O aparecimento
6.1. FUNÇÃO DE WIGNER × DISTRIBUIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES 79
dessas oscilações é a principal contribuição para as diferenças entre a função de
Wigner e a distribuição clássica de probabilidades estando associado também ao
afastamento das previsões clássica e quântica para a evolução de valores esperados
de observáveis.
Assim como foi feito com as distribuições de probabilidade clássicas, podemos
analisar a evolução temporal da função de Wigner imediatamente antes de cada
pulso. As figuras (6.2) e (6.3) mostram esta evolução no caso de um sistema isolado
para η = 0.25 e η = 0.05, respectivamente.
No primeiro caso, podemos observar o aparecimento de interferências já a partir
do segundo pulso apesar de ainda haver entre a função de Wigner e a distribuição
clássica da figura (4.9) uma semelhança grande que, a partir do quarto pulso fica
completamente descaracterizada. Com a diminuição do parâmetro de Lamb-Dicke
para η = 0.05 vemos o efeito do escalamento já que o sistema agora ocupa uma
região do espaço de fase cerca de cinco vezes maior. Além disso, apesar de ainda
observarmos fortes efeitos de interferência, a estrutura geral da função de Wiger
mantém-se como a da distribuição clássica por mais tempo. Isso mostra que quanto mais próximo do limite macroscópico (η cada vez menor) maior o tempo em que
quântico e clássico mantêm-se juntos.
A mesma evolução é mostrada nas figuras (6.4) e (6.5) agora na presença de
um reservatório puramente difusivo com D = 0.005. A presença deste reservatório
modifica tanto a dinâmica clássica (figuras 4.15 e 6.6) quanto a quântica, possibilitando uma aproximação maior entre as duas. Do ponto de vista clássico a difusão
impede o desenvolvimento de estruturas cada vez mais finas, imposto pelo evolução
caótica, suavizando, portanto, a distribuição de probabilidade. Quanticamente, a
difusão contribui para a eliminação, ou pelo menos diminuição, dos processos de
interferência.
A comparação dessas figuras nos leva a tirar algumas conclusões a respeito da
transição quântico-clássico para sistemas caóticos. A grande semelhança entre as
figuras (6.5) e (6.6) nos leva a acreditar que o limite clássico é atingido quando se
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
80
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 6.2: Evolução da função de Wigner calculada imediatamente antes do N ésimo pulso para η = 0.25, Kcl = 2.0 e q = 6.
6.1. FUNÇÃO DE WIGNER × DISTRIBUIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES 81
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 6.3: Evolução da função de Wigner calculada imediatamente antes do N ésimo pulso para η = 0.05, Kcl = 2.0 e q = 6.
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
82
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 6.4: Evolução da função de Wigner para os mesmos parâmetros da figura
6.2 mas agora na presença de um reservatório puramente difusivo com D = 0.005.
6.1. FUNÇÃO DE WIGNER × DISTRIBUIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES 83
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 6.5: Evolução da função de Wigner para os mesmos parâmetros da figura
6.3 mas agora na presença de um reservatório puramente difusivo com D = 0.005.
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
84
N =0
N =1
N =2
N =3
N =4
N =5
N =6
N =7
N =8
N =9
N = 10
N = 20
Figura 6.6: Evolução da distribuição clássica para os mesmos parâmetros da figura
6.5.
6.1. FUNÇÃO DE WIGNER × DISTRIBUIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES 85
combina os dois efeitos já mencionados: macroscopicidade (η 1) e interação com
o ambiente (D > 0).
O processo de descoerência parece, então, conciliar a existência do caos clássico
com a natureza quântica intrı́nseca dos sistemas fı́sicos. É claro também que a presente análise, baseada simplesmente na comparação visual entre as distribuições
clássica e quântica, é muito elementar e necessita de argumentos mais quantitativos para ser justificada.
Um tópico a ser considerado é como a introdução da descoerência resolve o
problema da separação do sistema clássico do quântico numa escala de tempo que cresce apenas logaritmamente com o inverso de h̄. Os artigos que tratam a descoerência como solução para a transição quântico-clássico em sistemas
caóticos [65, 66, 67, 68] não explicam o que ocorre com o tempo de separação
mas estão interessados em encontrar as condições para que seja restaurada a correspondência entre as duas dinâmicas, ou seja, a situação em que não há mais
separação.
Essas condições devem relacionar os parâmetros relevantes do problema como
o coeficiente de difusão, o expoente de Lyapunov e o parâmetro de escalamento
que dá uma medida de quão macrocópico o sistema é. Algumas tentativas foram
realizadas nesse sentido [68, 69, 70, 71] mas ainda não há um consenso quanto à
melhor medida de separação entre as dinâmicas nem tampouco quanto à universalidade dos resultados para diversos modelos [72].
Uma outra questão ainda não explorada dentro desse contexto é a influência
que o tipo de interação entre o sistema e o ambiente à sua volta exerce na obtenção
do limite clássico. Esse problema é especialmente interessante do ponto de vista
de ı́ons aprisionados pois, neste sistema, já foram criados, experimentalmente,
diferentes tipos de reservatório artificiais o que abre a possibilidade de um estudo
sistemático do efeito de interações distintas.
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
86
6.2
Função caracterı́stica e tempo de separação
Para dar às considerações feitas na seção anterior uma justificativa mais formal
e tentar responder às questões lá colocadas pode-se tentar estudar as equações que
dão origem às distribuições de Wigner apresentadas nas figuras (6.2), (6.3), (6.4)
e (6.5). As tentativas nesse sentido procuram, geralmente, partir da equação diferencial parcial que descreve diretamente a dinâmica obedecida pela função de
Wigner. No entanto, pode-se optar por uma descrição do problema através da
transformada de Fourier da função de Wigner, a função caracterı́stica em ordem
simétrica, definida como [36]
h
C(λ, λ∗) = Tr ρ̂eλâ
†
−λ∗ â
i
(6.8)
.
Como foi dito, esta função está ligada à função de Wigner via transformada de
Fourier:
∗
C(λ, λ ) =
W (α, α∗ ) =
1
π2
Z
Z
d2 α eλα
∗
−λ∗ α
d2λ e−λα
∗
W (α, α∗),
+λ∗ α
(6.9)
C(λ, λ∗).
(6.10)
Foi visto no segundo capı́tulo que a média de qualquer operador em ordem
simétrica poderia ser calculada através de integração da função de Wigner. Com o
uso da função caracterı́stica essas médias podem ser calculadas através de derivadas avaliadas na origem:
ha
6.2.1
†m n
â isim =
∂
∂λ
m ∂
∂λ∗
n
C(λ, λ∗)
λ=0
.
(6.11)
Função caracterı́stica para o sistema isolado
Introduzindo a evolução do operador densidade na definição (6.8) obtêm-se a
equação obedecida pela função caracterı́stica. No caso do oscilador harmônico
pulsado isto foi feito por Berman e colaboradores [57] e este procedimento está
descrito no apêndice B. A função caracterı́stica imediatamente antes do n-ésimo
6.2. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA E TEMPO DE SEPARAÇÃO
87
pulso é dada por:
∞
X
Cn (λ, λ∗) =
Jm1 (z1)Jm2 (z2) . . . Jmn (zn ) C0 (λn , λ∗n),
(6.12)
m1 ,m2 ,...,mn =−∞
onde
λk = λk−1 eiα + i2mk η,
zk = 2KQ sen(ξk ) =
(6.13)
Kcl
sen(ξk ),
4η 2
(6.14)
ξk = −η(λk + λ∗k ),
(6.15)
λ0 ≡ λ.
(6.16)
O limite macroscópico é obtido fazendo o parâmetro de Lamb-Dicke tender a
zero o que significa dizer que as funções seno na expressão acima podem ser substituı́das por seus argumentos, ou seja,
(6.17)
sen(ξk ) ≈ ξk .
Neste caso a função caracterı́stica clássica fica sendo
Cncl (λ, λ∗)
=
∞
X
Jm1 (2KQξ1 )Jm2 (2KQξ2) . . . Jmn (2KQξn ) C0cl (λn, λ∗n ), (6.18)
m1 ,m2 ,...,mn =−∞
com a condição inicial dada por
C0cl (λ, λ∗) =
Z
∞
−∞
d2αP (α, α∗ )eλn α
∗
−λ∗n α
.
(6.19)
Note que (6.18) poderia ter sido obtida, alternativamente, através da substituição
do mapa clássico na definição de função caracterı́stica acima (ver apêndice C).
Consideremos, agora, o caso de caos forte (Kcl 1) e vejamos em que condições
as dinâmicas clássica e quântica coincidem. A aplicabilidade de (6.18) para descrever o sistema quântico significa que todas as funções seno poderão ser substituı́das
por seus argumentos, ou seja, |ξk | 1 (k = 1, . . ., n). Levando em consideração que
as funções de Bessel decrescem exponencialmente para |mk | 2KQ|ξk |, podemos
truncar as somas em (6.12) e estimar os valores tı́picos de mk até os quais cada
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
88
soma deve ser calculada. As contribuições relevantes serão aquelas em que os
ı́ndices das funções de Bessel são da ordem do seu argumento, ou seja,
Kcl iα
|λe + λ∗e−iα |,
4η
Kcl i2α
|λe + λ∗e−i2α − 4m1 η sen(α)|,
(6.20)
|m2| ≈ 2KQ|ξ2| =
4η
Kcl inα
|mn | ≈ 2KQ|ξn | =
|λe + λ∗e−inα − 4m1η sen((n − 1)α) − . . .4mn−1η sen(α)|.
4η
|m1| ≈ 2KQ|ξ1| =
Na situação onde Kcl 1 temos, a partir de (6.20),
|m1 | ≈
K
K2
Kn
1, |m2| ≈
, . . ., |mn| ≈
,
4η sen(α)
4η sen(α)
4η sen(α)
o que nos dá a estimativa
|ξn | ≈
ηen ln (K)
4η 2|mn |
≈
,
Kcl
K
onde K ≡ Kcl sen(α).
A relação acima mostra que quanto maior o ı́ndice k, maior o valor do argumento
|ξk |. Isso significa que existirá um n a partir do qual a condição |ξn | < 1 não será
mais satisfeita e as previsões quânticas e clássicas não serão mais iguais. Esta
condição leva ao tempo de separação logarı́tmico em 1/η :
n<
ln(K/η)
.
ln (K)
(6.21)
Os gráficos da figura (6.7) mostram o tempo de separação (ts ) para o oscilador
harmônico pulsado em função de η (6.7-a) e em função de log (1/η) (6.7-b). Cada
ponto é obtido comparando-se a evolução da variância de x classicamente e quanticamente e determinando-se o instante em que a diferença relativa (d r ) entre as
duas dinâmicas excede um valor , ou seja, quando é satisfeita a inequação
dr ≡
h∆x2icl − h∆x2iq
> .
h∆x2icl
(6.22)
A escolha de é arbitrária e, nos casos apresentados, utilizou-se o valor = 0.2.
É importante salientar que, apesar de modificar o valor absoluto do tempo de
separação, a escolha de diferentes valores de não modificam significativamente as figuras apresentadas alterando basicamente a escala do eixo vertical.
6.2. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA E TEMPO DE SEPARAÇÃO
89
A reta superior em (6.7-b) corresponde a um ajuste da curva enquanto que
a inferior representa um ajuste levando em consideração somente os pontos da
parte final da mesma (η < 0.05). As duas regiões, apesar de haver uma pequena
transição entre elas, são muito bem ajustadas por retas com praticamente o mesmo
coeficiente angular (≈ 3.6). Embora esse valor não concorde com o coeficiente
angular de aproximadamente 1.82 previsto em (6.21), a lei de escala obtida confirma
o comportamento logarı́timico. Não é surpreendente que ocorra esse desvio entre
os valores dos coeficientes angulares previsto e calculado por terem sido utilizados
diversos argumentos de ordem de grandeza na dedução de (6.21), além disso, nosso
caso numérico não obedece a uma dessas aproximações que é a condição de caos
forte.
13
ts
14
ts
12
12
11
10
10
9
8
8
7
6
6
5
4
4
3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2
0.5
η
(a)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log (1/η)
(b)
Figura 6.7: Tempo de separação ts em função de η (a) e de log (1/η) (b). O ajuste de
(b) por uma reta comprova a estimativa (6.21).
6.2.2
Reservatório a temperatura zero
A introdução da interação entre o sistema e o mundo exterior modifica a dinâmica
do problema entre os pulsos. Para o o sistema isolado havia, entre os pulsos,
somente uma rotação devido à evolução do oscilador harmônico mas, adicionando o reservatório a temperatura nula, acrescenta-se à esta rotação um termo de
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
90
dissipação e−Γτ /2 [36]. Neste caso a função caracterı́stica será dada por
∞
X
Cn (λ, λ∗) =
Jm1 (z1)Jm2 (z2) . . . Jmn (zn ) C0 (λn , λ∗n),
(6.23)
m1 ,m2 ,...,mn =−∞
onde
λk = λk−1 eiα e−Γτ /2 + i2mk η
(6.24)
e as demais grandezas permanecem como no caso conservativo.
O procedimento para a obtenção do tempo de separação é semelhante ao utilizado no caso anterior, ou seja, devemos analisar as condições de validade da
substituição das funções seno por seus argumentos. Definindo e−Γτ /2 = e−Γα/2ν ≡
e−D (note que D é igual ao parâmetro β usado classicamente), teremos para os
valores tı́picos de |mk | o seguinte:
Kcl −D iα
e λe + λ∗e−iα ,
4η
Kcl i2α
(6.25)
+ λ∗e−i2α )e−2D − 4m1 η sen(α)e−D ,
|m2| ≈ 2KQ|ξ2 | =
(λe
4η
Kcl inα
+ λ∗e−inα )e−nD − 4m1η sen((n − 1)α)e−(n−1)D −
|mn | ≈ 2KQ|ξn | =
(λe
4η
|m1| ≈ 2KQ|ξ1 | =
. . . − 4mn−1 , sen(α)e−D .
Novamente, na situação de caos forte, teremos
|m1| ≈
K
K2
Kn
e−D , |m2| ≈
e−2D , . . ., |mn| ≈
e−nD
4η sen(α)
4η sen(α)
4η sen(α)
Teremos agora uma riqueza maior de comportamento já que o aumento do
ı́ndice k não implica mais necessariamente no crescimento do argumento |ξ k |. Note
que, de acordo com a relação acima, a razão entre dois ξ ’s consecutivos será
|ξk |
≈ K e−D ,
|ξk−1 |
(6.26)
enquanto que o primeiro dos argumentos será
|ξ1| ≈ ηe−D .
(6.27)
6.2. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA E TEMPO DE SEPARAÇÃO
91
A tabela (6.1) resume os diferentes situações possı́veis nesse caso. A partir
de (6.27) pode-se ver que quando D < ln(η) tem-se |ξ1 | > 1 o que significa que, já no
primeiro pulso, as dinâmicas quântica e clássica diferem.
Quando a condição complementar a esta for satisfeita, ou seja, D > ln(η), o primeiro termo será menor que 1 e pode haver coincidência entre as duas evoluções.
O tempo durante o qual esse acordo entre as duas se mantém depende do valor
de (6.26). Quando essa razão for maior que 1, os ξk ’s estão crescendo com k e,
em algum instante n, o valor de ξn torna-se maior que 1 invalidando a descrição
clássica.
Esse instante determina o tempo de separação que aumenta com a
dissipação mas continua com uma escala logarı́tmica como pode ser visto na tabela (6.1). Caso a razão entre dois ξ ’s consecutivos seja menor que um, a aproximação
clássica será sempre válida e não há, portanto, separação.
D < ln (K)
(ξk > ξk−1 )
D > ln (K)
(ξk < ξk−1 )
D < ln(η) (|ξ1| > 1)
Clássico 6= Quântico sempre
D > ln(η) (|ξ1| < 1)
A condição |ξn | < 1 nos dá n <
Clássico 6= Quântico sempre
ln (K/η)
ln (K)−D
Clássico = Quântico sempre
Tabela 6.1: Correspondência entre quântico e clássico em diversas regiões dos
parâmetros D, η e K.
A primeira coluna da tabela (6.1) representa a situação fı́sica de um sistema
muito longe do limite macroscópico e, mesmo com a inclusão de dissipação, o
comportamento quântico não pode ser reproduzido pela dinâmica clássica. Apesar
de se poder manipular η nos ı́ons, experimentos tı́picos trabalham com valores do
parâmetro de Lamb-Dicke (η < 1) que se enquadram com a condição da segunda
coluna da tabela.
Nessa coluna encontram-se os resultados de maior interesse pois tratam das
situações onde o sistema quântico pode se comportar como o clássico. No entanto,
uma análise mais detalhada mostra que o reservatório a temperatura nula não é
eficiente para levar o sistema ao limite clássico.
Se por um lado uma pequena dissipação (D < ln (K)) mantém o tempo de
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
92
separação obedecendo a uma incômoda escala logarı́timica em 1/η , por outro,
dissipações maiores (D > ln (K)) que levariam ao limite clássico simplesmente destroem a caracterı́stica caótica do sistema. Isso pode ser visto através da comparação
dos valores do expoente de Lyapunov para o sistema clássico dissipativo mostrado
em (4.14) com a condição D > ln (K). Para Kcl = 2.0, por exemplo, deverı́amos ter
D > 0.549 que claramente já leva o sistema para regiões de expoente de Lyapunov
negativo. Mesmo explorando para valores maiores de Kcl não foi possı́vel encontrar regiões que compatibilizassem as condições para limite clássico e existência
de caos simultaneamente.
6.2.3 Reservatório difusivo
A evolução da função caracterı́stica em presença de um reservatório difusivo está
descrita no apêndice D e é dada por:
2
C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ| t.
(6.28)
Combinando-a com a relação de recorrência para a dinâmica caótica (6.12) teremos:
∗
Cn (λ, λ ) = e
−Γ|λ|2 τ
∞
X
m1 =−∞
Jm1 (z1)Cn−1 (λeiα + i2m1η, λ∗e−iα − i2m1η),
(6.29)
que, em termos da função caracterı́stica inicial, assume a forma
Cn (λ, λ∗) =
∞
X
2
2
e−2D|λ| Jm1 (z1) e−2D|λ1| Jm2 (z2 )
m1 ,...,mn =−∞
2
. . . e−2D|λn−1 | Jmn (zn ) C0(λn , λ∗n),
(6.30)
com as variáveis definidas exatamente como no caso do sistema isolado.
A investigação do limite clássico, neste caso, é um pouco diferente das analisadas anteriormente. Tanto no caso do sistema isolado quanto no do reservatório a
temperatura zero a discussão foi baseada na aproximação da função seno pelo seu
argumento, o que não parece ser o melhor caminho para o reservatório difusivo. A
exclusão dessa abordagem se deve ao fato de não haver diferença entre os argumentos das funções seno no caso conservativo e no reservatório difusivo, ou seja,
6.2. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA E TEMPO DE SEPARAÇÃO
93
basear-se somente nesta aproximação colocaria em pé de igualdade duas situações
que, como vimos através da função de Wigner, são completamente distintas.
A solução está em procurar justamente as diferenças entre o sistema com e sem
difusão. Na função caracterı́stica a presença da difusão está caracterizada pelo
aparecimento das exponenciais do tipo e−2D|λk| que devem, portanto, desempenhar
papel crucial na definição do limite clássico.
Para esta discussão pode-se usar a expressão (6.29) por ser bem mais simples
que (6.30). Considerando-se que as dinâmicas quântica e clássica coincidam até
o n-ésimo pulso pode-se tentar obter a condição para que continuem coincidindo
no próximo pulso, ou seja, supondo que Cn (λ, λ∗) = Cncl (λ, λ∗) deve-se determinar
cl (λ, λ∗). Pode-se obter uma estimativa da região dos ponquando Cn+1 (λ, λ∗) = Cn+1
tos da função caracterı́stica onde falha a aproximação macroscópica, ou seja, onde
|ξ| = |η(λ + λ∗)| > 1.
(6.31)
Esta condição mostra que são os valores da função caracterı́stica afastados da
origem que contribuem para as correções quânticas. Os valores tı́picos λ T para os
quais isso ocorre são dados por
|λT | ≡ |<(λeiα)| >
1
.
η
(6.32)
No caso difusivo, entretanto, mesmo que (6.32) seja satisfeita, há ainda a possibilidade de se obter o limite clássico. Para isso seria preciso que a gaussiana
que aparece em (6.29) eliminasse os termos que geram a falha na aproximação
macroscópica. Isso ocorre quando os valores tı́picos λT são maiores que a largura
da gaussiana e podem ser desprezados. Esta condição pode ser escrita como
1
1
√
< ,
η
2D
(6.33)
o que dá uma escala de como varia o menor coeficiente de difusão necessário para
se obter o limite clássico em função do parâmetro de Lamb-Dicke:
D ∝ η 2.
(6.34)
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
94
Esta análise também pode ser entendida a partir da relação entre a função
caracterı́stica e a de Wigner. De fato, como estas funções estão ligadas através
de uma transformada de Fourier (6.9 e 6.10), as estruturas em grande escala da
função caracterı́stica estão associadas com as estruturas em pequena escala da
função de Wigner.
Este fato relaciona o que foi discutido na seção anterior sobre as interferências
que aparecem nas funções de Wigner e as correções quânticas nas funções caracterı́sticas que levaram à (6.34). Enquanto que nesta última o termo difusivo
funciona impondo um corte nos valores de λ, na função de Wigner ele aparece
como uma convolução gaussiana que suaviza as interferências.
O efeito da difusão pode ser visto na figura (6.8) onde são mostradas as diferenças
relativas entre a dinâmicas clássica e quântica em função do número de pulsos para diferentes valores de η e D. Quando introduz-se a difusão a distância
entre clássico e quântico diminui mas o tempo de separação, indicado por setas na figura, praticamente não é alterado em relação ao tempo sem reservatório.
Quando a difusão é suficiente para reduzir a distância relativa a valores menores
que (condição de separação) pode-se dizer que o limite clássico é atingido e as
dinâmicas não mais se separam.
Pode ser observado também que quanto menor o parâmetro de Lamb-Dicke menor o coeficiente de difusão necessário para não haver separação. Para testar a
escala prevista em (6.34) foi feito o gráfico da figura (6.9) onde se vê, em escala
linear (6.9-a) e logarı́tmica (6.9-b), a difusão mı́nima necessária para não haver
separação em função de η . Para η > 0.1 os resultados confirmam a escala quadrática prevista em (6.34) havendo, no entanto, um desvio nesse comportamento
para valores menores de η .
Com o reservatório difusivo deve-se ter o mesmo cuidado que foi tomado ao
analisar o limite clássico com o reservatório à temperatura nula. Naquela ocasião
foi visto que os valores de D para os quais não havia separação entre clássico e
quântico encontravam-se em regiões de expoentes de Lyapunov negativos, ou se-
6.2. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA E TEMPO DE SEPARAÇÃO
η = 0.05
η = 0.1
1
dr
95
0.8
D=0
D=0.0005
D=0.002
D=0
D=0.001
D=0.00167
dr
0.5
0.6
0
0.4
-0.5
0.2
-1
0
-1.5
-0.2
-2
-0.4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
N
N
η = 0.15
η = 0.25
0.8
1
D=0
D=0.00111
D=0.0025.dat"
dr
dr
0.6
D=0
D=0.001
D=0.005
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-0.2
0
-0.4
-0.2
-0.6
-0.8
-0.4
-1
-0.6
-1.2
0
5
10
15
20
25
N
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
N
Figura 6.8: Evolução da diferença dr (ver (6.22)) em função do número de pulsos
para diferentes valores de η e D. As retas paralelas indicam o valor = 0.2 utilizado
na definição do tempo de separação (indicado por setas).
CAPÍTULO 6. TRANSIÇÃO QUÂNTICO-CLÁSSICO
96
0.018
-4
0.016
-4.5
0.014
0.012
D
-5
log D
0.01
-5.5
0.008
0.006
-6
0.004
-6.5
0.002
0
0.05
-7
0.1
0.15
0.2
η
0.25
0.3
0.35
-3
-2.5
-2
-1.5
log η
Figura 6.9: Coeficiente de difusão em função de η em escala linear (a) e logarı́tmica
(b). Para η > 0.1 o ajuste da curva logarı́tmica em (b) é uma reta de coeficiente
angular 2.12 confirmando (6.34).
ja, ausência de caos. Para o reservatório difusivo não dispomos dos expoentes de
Lyapunov porque não temos a evolução de trajetórias mas sim de densidades de
probabilidade. A solução neste caso é observar a dinâmica dessas distribuições de
probabilidade e verificar se apresentam ainda caracterı́sticas caóticas. A difusão
pode levar pontos de regiões caóticas para regiões regulares dificultando a tirada
de conclusões mais gerais sobre a transição quântico-clássico. Por outro lado essa pode ser uma explicação para os desvios encontrados a partir de η ≈ 0.1 nas
figuras (6.7) e (6.9). Como o parâmetro de Lamb-Dicke escala as dinâmicas, as
alterações em η modificam as posições dos pontos elı́pticos assim como a relação
entre o tamanho da região caótica e a largura do estado inicial. Essas mudanças
fazem com que o expoente de Lyapunov seja diferente para valores distintos de η e
isto pode ser responsável pelas alterações observadas nos gráficos.
-1
Capı́tulo 7
Conclusão
Íons aprisionados em armadilhas harmônicas são excelentes sistemas de testes
para questões fundamentais em mecânica quântica. Nesta tese foram abordados
alguns tópicos que permitem ampliar ainda mais as possibilidades de exploração
de temas importantes neste tipo de sistema.
Um dos grandes desafios enfrentados em qualquer experimento que vise demonstrar aspectos essenciais da teoria quântica é a questão da descoerência.
Em relação a esse assunto, contribuimos com a proposta de um método para a
proteção de estados quânticos baseado na técnica de engenharia de reservatórios.
Neste método o estado a ser protegido é um estado ponteiro de um reservatório artificialmente produzido através da interação de lasers com o ı́on. Embora o número
de lasers a ser utilizado no processo de proteção possa ser muito grande para um
estado geral, para alguns casos de importância como o estado de um “qubit”, estados comprimidos ou estados tipo gato de Schrödinger, o arranjo experimental pode
ser simples e exigir um número reduzido de lasers.
Os efeitos da descoerência, indesejáveis quando se quer observar fenômenos de
coerência quântica, parecem, por outro lado, desempenhar um papel fundamental
no limite clássico da mecânica quântica. Alguns autores, porém, alegam que o
limite clássico é obtido simplesmente a partir do limite macroscópico e que recorrer
à introdução de descoerência, embora ajude, é desnecessário. Dentro desse cenário
nosso objetivo foi tentar contribuir para o entendimento do papel desempenhado
97
CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO
98
por cada uma dessas abordagens no limite de sistemas quânticos cujos análogos
clássicos sejam caóticos.
Para essa análise foi escolhido o modelo caótico do oscilador harmônico pulsado
(OHP) clássico. Apesar de não ser tão simples, nem tão exaustivamente estudado,
quanto o modelo do rotor pulsado, a escolha do OHP foi feita por poder ser reproduzido, como mostrado no capı́tulo 4, no sistema de ı́ons aprisionados.
Combinando a possibilidade de reproduzir sistemas classicamente caóticos em
ı́ons com a engenharia de reservatórios, foi possı́vel avaliar a influência do tipo de
interação com o ambiente na obtenção do limite clássico. A maioria dos trabalhos que se referem a efeitos de descoerência no limite quântico-clássico adotam
o limite de pequena dissipação e, portanto, um reservatório puramente difusivo.
Aqui tratamos de dois casos extremos de reservatório: o difusivo e o dissipativo à
temperatura nula.
Os resultados obtidos para o caso com dissipação indicam regiões de parâmetros
onde o limite clássico é atingido, entretanto, nesta mesma região o sistema deixa
de ser caótico. Porém, este resultado pode ser um reflexo do modelo estudado e
não se pode afirmar, para um caso geral, que as condições para o limite clássico
implicam em regularidade do sistema. No caso difusivo também existe uma região
de parâmetros que une as evoluções quântica e clássica e ainda assim o espaço
de fase do sistema apresenta caracterı́sticas caóticas sendo, portanto, mais eficaz
para levar ao limite clássico que o reservatório dissipativo. É importante notar
que neste caso também há mudanças na dinâmica clássica pois a difusão, além
de impedir a formação de estruturas cada vez mais finas, promove a passagem de
pontos que estavam em regiões regulares para regiões caóticas e vice-versa.
Além dessa comparação entre reservatórios foi feita também uma análise para
examinar as relações entre o que ocorre quando é introduzida uma interação com
o ambiente e o que acontece quando é feito um escalamento do sistema tornando-o
mais macroscópico. Diante dessa análise concluiu-se que os dois procedimentos
são necessários para alcançar o limite clássico e, mais ainda, foi obtida uma relação
99
entre os parâmetros de difusão e de macroscopicidade para que as dinâmicas
quântica e clássica coincidam.
Embora alguns avanços tenham sido alcançados, existe ainda um campo aberto a ser explorado nesta área. Ainda no modelo de OHP há uma vasta região de
parâmetros a ser estudada como por exemplo o limite de caos forte. Esse limite diminuiria as regiões regulares e permitiria tirar conclusões mais gerais a respeito do
limite clássico. O regime de tempos mais longos também poderia ser interessante
para estudar fenômenos como a localização, por exemplo. Uma outra alternativa seria encontrar um modelo caótico diferente do OHP, também reproduzı́vel em
ı́ons, mas com caracterı́sticas clássicas mais simples que evitem as dificuldades
numéricas do OHP. Finalmente, há ainda a possibilidade de estudar a influência
de outros tipos de reservatório no limite quântico-clássico.
100
CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO
Apêndice A
Evolução do estado quântico com
reservatório
Descreveremos nesse apêndice a evolução do estado quântico com reservatório
tanto para o caso difusivo quanto para o dissipativo a temperatura nula. Podemos
escrever a equação de Lindblad para o reservatório (3.1) da seguinte forma:
ρ̂˙ =
X
γi Jˆi + L̂i ρ̂,
i
(A - 1)
onde Jˆi ρ̂ = ĉi ρ̂ĉ†i e L̂i ρ̂ = − 21 (ĉ†i ĉi ρ̂ + ρ̂ĉ†i ĉi ), os operadores ĉi e ĉ†i sendo independentes
do tempo.
Integrando a equação obtemos a solução:
ρ̂(t) = e(
P
i
γi (Jˆi +L̂i )t)
ρ̂(0).
(A - 2)
Esta equação tem a a forma geral
ρ̂(t) = F̂ (α)ρ̂(0),
(A - 3)
F̂ (α) = eα(Â+B̂).
(A - 4)
onde
Supondo que o operador F̂ (α) possa ser separado num produto de exponenciais
dependentes de Â e B̂ , teremos
F̂ (α) = ep(α)B̂ eq(α)Â ,
onde q(α) e p(α) são funções a serem determinadas.
101
(A - 5)
APÊNDICE A
102
Derivando F̂ (α) utilizando (A - 4) teremos:
dF̂
= (Â + B̂)F̂ (α)
dα
(A - 6)
dF̂
= ṗ(α)B̂ F̂ (α) + ep(α)B̂ q̇(α)Âe−p(α)B̂ F̂ (α).
dα
(A - 7)
ou, utilizando (A - 5),
O segundo termo da equação (A - 7) pode ser expandido utilizando:
eβ B̂ Â e−β B̂ = Â + β[B̂, Â] +
i
β2 h
B̂, [B̂, Â] + ...
2!
(A - 8)
Os próximos passos dependem da forma de Â e B̂ o que significa que devemos
escolher um caso particular de reservatório para ilustrar o procedimento.
A.1
Reservatório difusivo
No caso de um reservatório difusivo teremos as seguintes relações:
(A - 9)
α = γt,
Âρ̂ = ŜR ρ̂ = JˆR + L̂R ρ̂,
B̂ ρ̂ = ŜA ρ̂ = JˆA + L̂A ρ̂,
(A - 10)
(A - 11)
onde os ı́ndices A e R correspondem às partes de aquecimento e resfriamento,
respectivamente. Os operadores Jˆi são definidos por:
JˆA ρ̂ = â† ρ̂â,
(A - 12)
1
L̂A ρ̂ = − (ââ† ρ̂ + ρ̂ââ† ),
2
ˆ
JR ρ̂ = âρ̂â† ,
1
L̂R ρ̂ = − (â† âρ̂ + ρ̂â† â).
2
(A - 13)
(A - 14)
(A - 15)
Substituindo o comutador entre ŜA e ŜR
h
i
ŜA , ŜR ρ̂ = ŜA + ŜR ρ̂
(A - 16)
A.1. RESERVATÓRIO DIFUSIVO
103
em (A - 8) tem-se:
ep(α)ŜA ŜR e−p(α)ŜA = ŜR + p(α)(ŜA + ŜR) +
p(α)2
(ŜA + ŜR ) + · · ·
2!
= (ŜA + ŜR )ep(α) − ŜA .
(A - 17)
Comparando as derivadas obtidas em (A - 6) e em (A - 7) teremos
h
(ŜR + ŜA )F̂ (α) = ṗ(α)ŜA + q̇(α) ŜA + ŜR )ep(α) − ŜA
i
F̂ (α),
(A - 18)
o que nos leva às equações:
ṗ(α) + q̇(α) ep(α) − 1 = 1,
(A - 19)
q̇(α)ep(α) = 1.
(A - 20)
Resolvendo-as para as condições iniciais p(0) = q(0) = 0 obtemos p(α) = q(α) =
ln (α + 1) e para ρ̂(t)
ρ̂(t) = eln(γt+1)ŜA eln(γt+1)ŜR ρ̂(0).
(A - 21)
Este procedimento que possibilitou a separação dos operadores correspondentes aos reservatórios de aquecimento e resfriamento deve ser repetido agora para
separar os operadores Ŝi em Jˆi e L̂i . Usando os comutadores
h
i
JˆR , L̂R ρ̂ = −JˆR ρ̂,
(A - 22)
JˆA , L̂A ρ̂ = JˆA ρ̂
(A - 23)
i
h
e resolvendo para p(α) e q(α) obtem-se
ˆ
eα(L̂R +JR ) = eαL̂R e(1−e
−α
)JˆR
(A - 24)
e
ˆ
eα(L̂A+JA ) = eαL̂R e(e
α
−1)JˆR
(A - 25)
.
Com isso a equação para ρ̂(t) fica
ρ̂(t) = e
ln(γt+1)L̂A γtJˆA ln(γt+1)L̂R
e
e
e
γt
γt+1
JˆR
ρ̂(0).
(A - 26)
APÊNDICE A
104
A solução final depende da escolha de uma base apropriada para ρ̂ e da aplicação
dos superoperadores na forma indicada em (A - 26). Escrevendo o operador densidade na base de autoestados de energia do oscilador harmônico
ρ̂(0) =
X
(A - 27)
ρn,m (0)|nihm|,
m,n
teremos:
ˆ
eαJR ρ̂(0) =
∞
XX
αl
m,n l=0
=
ρn,m (0)âl|nihm|(â†)l
X αl
X min(n,m)
m,n
eαL̂R ρ̂(0) =
l!
X
l=0
l!
ρn,m (0)
ρn,m (0)e−αâ
†
â/2
m,n
=
X
m,n
ˆ
eαJA ρ̂(0) =
∞
XX
αl
=
l!
∞
XX
αl
m,n l=0
eαL̂A ρ̂(0) =
X
n!
(n − l)!
|nihm|e−αâ
†
m!
|n − lihm − l|,
(m − l)!
(A - 28)
â/2
(A - 29)
l
ρn,m (0)â† |nihm|(â†)l
s
(n + l)!
ρn,m (0)
l!
n!
ρn,m (0)e−αââ
†
s
(m + l)!
|n + lihm + l|,
m!
†
m,n
|nihm|e−αââ
m,n
ρn,m (0)e−α(n+m+2)/2|nihm|.
X
s
ρn,m (0)e−α(n+m)/2|nihm|,
m,n l=0
=
s
/2
(A - 30)
/2
(A - 31)
Finalmente os elementos de matriz num tempo t podem ser escritos, exatamente, em função dos elementos no instante inicial:
ρi,k (t) =
∞ min(i,k)
X
X
ρi+l−j,k+l−j (0)(γt + 1)
l=0
A.2
(j−i−k−1−l)
(γt)
l+j
j=0
p
i!k!(i + l − j)!(k + l − j)!
.
l!j!(i − j)!(k − j)!
(A - 32)
Reservatório a temperatura nula
Considerando apenas o reservatório a temperatura zero, pode-se utilizar a relação (A 24) para escrever a equação para o operador densidade como
ρ̂(t) = eγtL̂R e(1−e
−γt
)JˆR
ρ̂(0).
(A - 33)
A.2. RESERVATÓRIO A TEMPERATURA NULA
105
A solução de (A - 33) na base de autoestados de energia do oscilador harmônico
segue diretamente da aplicação de (A - 28) e (A - 29). Dessa maneira teremos
min(i,k)
ρi,k (t) =
X
l=0
(1 − e−γt )l
l!
s
(i + l)!
i!
s
(k + l)! −γt(i+k)/2
e
ρi+l,k+l (0).
k!
(A - 34)
106
APÊNDICE A
Apêndice B
Evolução da função caracterı́stica
do oscilador pulsado
A função caracterı́stica em ordem simétrica imediatamente antes do n-ésimo pulso
é definida como:
h
Cn (λ, λ∗) = Tr ρ̂n eλâ
†
−λ∗ â
i
(B - 1)
.
A evolução desta função pode ser obtida recursivamente a partir da evolução do
operador densidade:
ρ̂n = T̂ ρ̂n−1 T̂ † ,
†
(B - 2)
†
onde T̂ = e−iαâ â e−iKQ cos[2η(â+â )] . Utilizando estas relações em (B - 1) teremos
h
†
†
†
†
Cn (λ, λ∗) = Tr e−iαâ â e−iKQ cos[2η(â+â )]ρ̂n−1 eiKQ cos[2η(â+â )]eiαâ â eλâ
†
−λ∗ â
i
.
(B - 3)
A partir da propriedade cı́clica do traço e da fórmula de Baker-Hausdorff podemos escrever
h
†
†
†
∗
Cn (λ, λ∗) = Tr eiKQ cos[2η(â+â )]eiαâ â eλâ e−λ âe−|λ|
2
/2 −iαâ† â −iKQ cos[2η(â+â† )]
e
e
i
ρ̂n−1 .
(B - 4)
Através das relações de ordenamento
†
eiαâ â f (â, â†)e−iαâ
†
†
â
= f (âe−iα , â†eiα )
†
e−βâ f (â, â†)eβâ = f (â + β, â†)
eβâ f (â, â†)e−βâ = f (â, â† + β),
107
(B - 5)
APÊNDICE B
108
podemos simplificar ainda mais a expressão para a função caracterı́stica
h
†
Cn (λ, λ∗) = Tr eiKQ cos[2η(â+â )]eλâ
h
= Tr eλâ
† iα
e
eiKQ cos[2η(â+â
†
† iα
e
e−λ
∗
âe−iα −iKQ cos[2η(â+â† )]
e
+λeiα )] −iKQ cos[2η(â+â† −λ∗ e−iα )] −λ∗ âe−iα
e
e
i
ρ̂n−1 e−|λ|
i
ρ̂n−1 e−|λ|
2
2
/2
/2
. (B - 6)
É possı́vel, ainda, agrupar as exponenciais com cossenos já que os operadores que
neles aparecem comutam, e, usando a relação trigonométrica
cos(x) − cos(y) = −2sen(
x+y
x−y
)sen(
),
2
2
(B - 7)
obter
h
Cn (λ, λ∗) = Tr eλâ
† iα
e
e−i2KQ sen[2η[â+â
†
+(λeiα −λ∗ e−iα )/2]]sen[η(λeiα +λ∗ e−iα )] −λ∗ âe−iα
e
i
ρ̂n−1 e−|λ|
2
/2
(B - 8)
Expandindo em funções de Bessel através de
eiβsen(θ) =
∞
X
Jm (β)eimθ ,
(B - 9)
m−∞
teremos:
∗
"
Cn (λ, λ ) = Tr e
λâ† eiα
∞
X
Jm (z)e
im2η[â+â† +(λeiα −λ∗ e−iα )/2] −λ∗ âe−iα
e
#
ρ̂n−1 e−|λ|
m=−∞
2
/2
,
(B - 10)
com z = 2KQ sen[−η(λeiα + λ∗e−iα )].
Ordenando as exponenciais com â e â† adequadamente obteremos uma relação
de recorrência entre Cn e Cn−1
Cn (λ, λ∗) =
∞
X
m=−∞
Jm (z)Cn−1 (λeiα + i2mη, λ∗e−iα − i2mη),
(B - 11)
que, escrita em termos da função caracterı́stica inicial, torna-se
Cn (λ, λ∗) =
∞
X
Jm1 (z1)Jm2 (z2) . . . Jmn (zn ) C0 (λn, λ∗n ),
(B - 12)
m1 ,m2 ,...,mn =−∞
onde
.
λk = λk−1 eiα + i2mk η,
(B - 13)
zk = 2KQ sen(ξk ),
(B - 14)
ξk = −η(λk + λ∗k ).
(B - 15)
Apêndice C
Evolução da função caracterı́stica
clássica
A função caracterı́stica clássica imediatamente antes do n-ésimo pulso é dada por
Cncl (λ, λ∗) =
Z
∞
−∞
d2 α Pn (α, α∗)eλα
∗
−λ∗ α
(C - 1)
,
onde Pn (α, α∗) é a distribuição de probabilidade correspondente a este mesmo instante de tempo e α ≡ v̄ + iū um ponto qualquer do espaço de fase. Em termos de α
e α∗ o mapa dado por (5.17) e (5.18) fica como
α = e−iντ α0 + ie−iντ
h i
Kcl
∗
sen 2η α0 + α0
.
4η
(C - 2)
A evolução de Pn (α, α∗) é obtida a partir de
∗
Pn (α, α∗) = Pn−1 (α0 , α0 ),
(C - 3)
∗
onde (α, α∗ ) é o ponto que é obtido a partir da aplicação de (C - 2) em (α0, α0 ), ou seja,
no decorrer de uma iteração transporta-se o valor da distribuição de probabilidade
para um novo ponto dado pelo mapa clássico.
Inserindo (C - 2) e (C - 3) em (C - 1) e notando que o Jacobiano da transformação (C 2) é unitário obtem-se
Cncl (λ, λ∗) =
Z
∞
d2 α0 Pn−1 (α0, α0 )e(λe
∗
−∞
iντ
∗
α0 −λ∗ e−iντ α0 ) −i
e
Kcl
4η
∗
(λeiντ +λ∗ e−iντ )sen(2η(α0+α0 ))
.
(C - 4)
Utilizando a relação (B - 9) tem-se
Cncl (λ, λ∗) =
∞
X
m=−∞
Jm −
Z ∞
iντ
0∗
∗ −iντ
Kcl iντ
∗
−i2mη)α0 ]
λe − λ∗e−iντ
d2 α0 Pn−1 (α0, α0 )e[(λe +i2mη)α −(λ e
4η
−∞
109
APÊNDICE C
110
=
∞
X
m=−∞
Jm (2KQξ1 ) Cn−1 λeiντ + i2mη, λ∗e−iντ − i2mη .
Esta equação é exatamente a que é encontrada aproximando o seno por seu argumento em (B - 11) e que dá origem a (6.18).
(C - 5)
Apêndice D
Evolução da função caracterı́stica
com reservatório difusivo
A equação mestra que descreve a evolução com um reservatório puramente difusivo
é dada por (3.43):
h
i
Γ
ρ̂˙ = − (â†âρ − 2âρâ† + ρâ†â) + (ââ† ρ − 2â†ρâ + ρââ† ) .
2
(D - 1)
A função caracterı́stica em ordem simétrica definida anteriormente por (6.8) terá
sua dinâmica dada através de:
i
h
†
∗
Ċ(λ, λ∗) = Tr ρ̂˙n eλâ −λ â .
(D - 2)
Introduzindo (D - 1) em (D - 2) teremos
Ċ(λ, λ∗) =
Γ h †
†
∗
†
∗
†
∗
Tr −â âρeλâ −λ â + 2âρâ† eλâ −λ â − ρâ†âeλâ −λ â
2
−ââ† ρeλâ
†
−λ∗ â
+ 2â†ρâeλâ
†
−λ∗ â
− ρââ† eλâ
†
−λ∗ â
i
,
(D - 3)
(D - 4)
que, utilizando as propriedades de ordenamento (B - 5), pode ser reescrita como:
Ċ(λ, λ∗) =
i
Γ h
†
∗
Tr −2|λ|2eλâ −λ âρ̂
2
= −Γ|λ|2C(λ, λ∗).
(D - 5)
Integrando esta equação no tempo encontra-se a solução
2
C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ| t.
111
(D - 6)
112
APÊNDICE D
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