Programação Linear: Maximização de Lucro e
Minimização de Custos
Afonso Celso Pagano Frossard
Faculdade Lourenço Filho
Resumo:
O presente artigo demonstra a importância da programação linear como ferramenta de suporte
para a solução de problemas na área de custos nas organizações. Para alcançar seus objetivos, as
empresas devem estar atentas ás diversas restrições apresentadas, tanto a nível interno, como resultantes
de fatores externos estabelecidos, dentre outros, pelo mercado. Assim, levando em conta a
competitividade e ás restrições existentes ao alcance de sua meta, torna-se necessário otimizar os recursos
disponíveis existentes, de modo a maximizar os resultados ou minimizar os custos. É nesse momento que
surge a programação linear auxiliando na realização de cálculos matemáticos, os quais consolidam esse
fim. Portanto, esse constitui o foco desse artigo, o qual, inicia por estudos teóricos acerca da matéria,
indo até a apresentação ilustrativa e didática de caso prático.
Palavras-chave: Programação Linear, Pesquisa Operacional, Otimização, Planilha
Eletrônica.
1 INTRODUÇÃO
Para que as empresas alcancem seus objetivos, elas devem se preocupar,
obrigatoriamente, com as diversas restrições, tanto a nível interno como externo, sendo a mais
importante, dentre as existentes, a política de formação de preços, a fim de programar a
produção de seus produtos e atender com eficiência o mercado. Para que a empresa consiga
atingir esse ponto ótimo ela tem que desenvolver seu próprio mecanismo de formação de
custos, despesas, preços, remuneração do seu investimento, enfim obter um modelo ideal que
vai desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado. Para que a
empresa possa cumprir sua missão, a organização depende dos resultados obtidos, assim, a
otimização dos resultados disponíveis constitui um fator de extrema importância,
principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade como exigência do mercado
atual.
O presente artigo objetiva demonstrar como a programação linear pode ser utilizada como
ferramenta poderosíssima de apoio á tomada de decisão, objetivando a otimização do resultado
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Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
global da empresa. O trabalho foi estruturado de forma a apresentar um breve histórico sobre
esse poderoso método quantitativo na resolução de problemas da contabilidade gerencial,
identificar os conceitos básicos e as características da Pesquisa Operacional, descrever
sucintamente as técnicas da Pesquisa Operacional e por fim apresentar um modelo prático e
didático de solução, utilizando-se exercícios e das técnicas descritas. Para isso será dado
ênfase no recurso chamado SOLVER, encontrado na Planilha eletrônica do Excel.
2 ORIGEM E EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS QUANTITATIVOS
De uma maneira geral, até o final do século XVIII, quando se iniciou a Revolução
Industrial, a gestão das empresas era relativamente simples, considerando que a produção era
praticamente artesanal ou executada por pequenas empresas familiares. Com o advento da
indústria, passou a produção ser processada no ambiente da fábrica e logicamente a
complexidade para se administrar as empresas constituiu o ponto maior de preocupação das
áreas notadamente ligadas à administração, economia e contabilidade. No inicio do século
XX,
surgem novos instrumentos visando a minimizar essa dificuldade.
Um desses
instrumentos é a utilização de Métodos Quantitativos no processo de gestão, muito embora
Michels (1995), afirme que o emprego dos modelos matemáticos dirigidos para a solução de
muitos problemas é muito antigo e tem acompanhado as gerações desde milênios atrás. Outros
estudiosos e pesquisadores têm evidenciado que os métodos quantitativos nas organizações não
são tão antigos assim e segundo McCloskey & Trefethen (1956) a análise quantitativa foi
iniciada com Taylor, muito embora fôssem métodos comparativamente elementares. O que de
fato poderia ser considerado relevante,
atualmente se chama Pesquisa Operacional.
Chiavenato (1983) descreve que o desenvolvimento da Teoria Matemática ocorre em função de
quatro causas, que são: Teoria dos Jogos;
Teoria das Decisões; Decisões Qualitativas e
Quantitativas e Desenvolvimento de Sistemas Computacionais. Shamblin (1979), considera a
Pesquisa
Operacional como um método científico de tomada de decisão, o qual começa
descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois manipula o modelo para
descobrir o melhor modo de operar esse sistema. Ramalhete et al. (1985), salienta “pesquisa
operacional é o ramo científico autônomo de nascimento recente (teria surgido na Segunda
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Guerra Mundial), que fornece uma abordagem sistemática e racional, baseada essencialmente
em técnicas quantitativas na solução de problemas e que necessite a tomada de decisões,
tendente á obtenção do melhor resultado para o sistema, á luz da informação disponível “.
Chiavenato (1983), considera que a utilização do método científico teria evoluído em função de
sua necessidade da investigação,
experimentação e melhoria de armamentos e técnicas
militares iniciadas na segunda grande guerra. Após essa utilização, a pesquisa operacional foi
gradativamente empregada nas empresas públicas americanas e, em seguida nas empresas
privadas, face ao sucesso obtido.
Na visão de Wagner (1986), pode-se definir Pesquisa Operacional como uma abordagem
científica na resolução de problemas para a administração executiva, envolvendo as seguintes
características:
a) construir descrições ou modelos matemáticos, econômicos e estatísticos de problemas
de decisão e controle para tratar soluções de complexidade e incerteza
b) analisar as relações que determinam as conseqüências futuras prováveis de ações
alternativas e projetar medidas apropriadas de eficácia, de modo a calcular o mérito relativo a
cada uma dessas ações. Para o referido autor várias são as maneiras de se abordarem problemas
gerenciais, e a grande maioria delas estão relacionadas. Não existe uma delimitação da atuação
na resolução de problemas dos pesquisadores operacionais com os engenheiros industriais,
economistas, contadores ou administradores, porque para aceitar a pesquisa operacional, um
empresa deve aceitar que a aplicação do método científico contribua para a análise das decisões
gerenciais, sendo uma abordagem sistemática na tomada de decisão
Ramalhete et al. (1985) salienta que as características básicas da Pesquisa Operacional
são:
•
Orientação Sistêmica
•
Aplicação do método científico
•
Recursos a diferentes disciplinas científicas
Shamblin e Stevens (1979) descrevem que as fases usuais ou características básicas de um
estudo da Pesquisa Operacional são as seguintes:
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•
Formulação do problema
•
Construção de um modelo que represente o sistema em estudo
•
Obtenção de solução a partir de um modelo
•
Teste do modelo e da solução dele originada
•
Estabelecimento do controle sobre a solução
•
Colocação da solução em funcionamento, ou seja, implantação.
Horngren et al. (2000), asseguram que a utilização de modelos matemáticos ajuda os
contadores a solucionar problemas complexos na organização, principalmente quando se quer
tomar decisão. Destaca, ainda, que a orientação básica da Teoria da Decisão tem as seguintes
características:
•
Um objetivo organizacional que possa ser quantificado – maximização ou
minimização de lucro ou prejuízo (escolha da melhor alternativa)
•
Um conjunto de diversas alternativas de ação que estejam sendo explicitamente
consideradas – ações mutuamente exaustivas e mutuamente exclusivas
•
Um conjunto de todos os eventos ou situações que tenham possibilidades de
ocorrerem – coletivamente exaustivos e mutuamente exclusivos (somente
ocorrerá de fato uma das situações)
•
Um conjunto de probabilidades que descreva a probabilidade de ocorrência de
cada evento
•
Um conjunto de resultados ou rendimentos que possibilitem medir as
conseqüências das várias ações possíveis em função de maximizar ou minimizar
lucros ou prejuízos – cada resultado depende de um caminho e de um evento
específicos .
Iudicibus (1987), ensina que em algumas décadas passadas já havia um forte tendência
para o uso de métodos quantitativos que facilitassem a explicação e o encaminhamento de
problemas empresariais.
Analisa, ainda, que o grande erro dos contadores é usar
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rudimentarmente raciocínios puramente aritméticos ao invés de utilizarem modelos
quantitativos.
Marion e Silva (1986), também abordam que a Contabilidade Gerencial tem utilizado,
com muito mais segurança, métodos quantitativos para solucionar problemas contábeis,
possibilitando tomar decisões mais apropriadas. Eles estão de acordo que o gestor de uma
organização, para fins decisório, deve fazê-lo observando todo o cenário onde a empresa se
encontra, ou seja, da definição do problema até as conseqüências da alternativa escolhida para
implementação. Embora exista uma análise em bases qualitativas a se levar em conta nas
alternativas disponíveis, deve-se considerar
que bases quantitativas carregam certa
objetividade, não deixando possibilidades de dúvidas no sentido de existência de erros.
Koontz e O´Donnell (1982) alertam que um grande desafio para o gestor corresponde ao
tratamento a ser dispensado ás novas perspectivas de informações e a maneira de trata-las, ou
seja, estar atento ás informações de caráter econômico, por causa do seu valor elucidativo.
Megginson, Mosley e Petri Jr (1986), enfatizam casos em que grupos de pesquisa
juntaram os seus conhecimentos ao dos gestores para o desenvolvimento de modelos
quantitativos a serem utilizados em processos decisórios.
Como exemplo disso citam as
instituições e mercados financeiros, securitários e de previdência complementar privada.
Embora a maioria das empresas, na atualidade, independente do tipo e tamanho, vêm utilizando
os métodos quantitativos como forma mais apropriada de auxiliar o processo decisório.
Pode-se apresentar o esquema seguinte como influência dos Métodos Quantitativos na
gestão organizacional das empresas:
Figura 1 – Esquema Organizacional de uma Empresa
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O esquema visualizado pelos autores citados anteriormente, dão idéia de que toda
organização deve ter um banco de dados com os modelos matemáticos que julga utilizar e que
potencialmente necessite usar, de maneira que o sistema de informações seja alimentado
quantitativamente sem nenhuma perda de tempo. O modelo matemático escolhido deve ser
acionado objetivando quantificar as diversas alternativas que existem quando se pretende tomar
decisões. Logo após essa escolha, já com os dados quantificados, o Sistema de Informação
alimenta o Processo Decisório que serve de suporte á gestão das organizações.
Segundo Costa (1987), as técnicas da Pesquisa Operacional podem ser descritas assim:
•
Modelos de Substituição
•
Modelos de Estoque
•
Teoria das Filas de Espera
•
Análise de Sensibilidade de Funções Contínuas
•
Modelos de Transporte e Designação
•
Programação Linear
•
Programação Não-Linear
•
Programação Dinâmica
•
Teoria das Redes
•
Teoria dos Jogos
•
Teoria de Monte Carlo
Conforme cita BELCHIOR (1974), os instrumentos mais utilizados na aplicação dessa
técnica, são os seguintes:
•
Cálculo Integral e Diferencial
•
Cálculo das Probabilidades
•
Processos Estocásticos
•
Equações Lineares e Não-Lineares
•
Matrizes e Determinantes
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•
Teoria dos Conjuntos
•
Cálculo Vetorial
•
Lógica e Desenho
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Outros instrumentos poderão ser utilizados com muita freqüência como a Matemática
Financeira, Geometria Analítica e Programação em Computador. A Pesquisa Operacional tem
sido largamente utilizada e aplicada em vasta área do conhecimento humano, sendo
desenvolvida ao longo de milênios como pode ser remontada ao século III a.C, quando Euclides
buscava medir a distância entre o ponto maior e o menor de uma circunferência; o
desenvolvimento da Logística Militar durante a II Guerra Mundial e nos dias atuais a sua
utilização na identificação dos estoques até a otimização de resultados, lucros e minimização de
prejuízos das organizações.
3
TÉCNICAS LIGADAS À PESQUISA OPERACIONAL
Para compreender melhor as técnicas ligadas á Pesquisa Operacional, Costa (1987) as
descreve de forma sucinta, a seguir.
3.1 Modelos de Substituição
Quando se tem em vista encontrar um intervalo ideal para troca de equipamentos ou de
atividade numa organização. No caso de troca de equipamento, na medida em que é utilizado
acontece aumento dos custos de manutenção e operação além dos problemas de obsolescência
técnica ou econômica. Nesse caso, trata-se de um problema que pode ser resolvido através de
um modelo estocástico ou determinístico, dependendo da formulação que lhe é aplicada. Em
qualquer dos casos, o que se deseja saber é se o valor dos custos futuros sem substituição é
menor que aquele com substituição, ou então se os custos médios são diferentes, de forma que
ocorra um custo médio tido como ótimo ou uma vida útil ótima.
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3.2 Modelos de Estoque
As decisões relativas a estoque envolve o nível de estoque e sua reposição. Os modelos e
a descrição do sistema de estocagem representam a base para a decisão. Esses modelos podem
ser determinísticos ou estocásticos. Alguns desses modelos visam apurar as quantidades de
aquisição que minimizem os custos incrementais, ou seja, um modelo de lote econômico de
pedido. Exemplo: Modelo de compra com e sem carência; Modelo de fabricação com e sem
carência.
3.3 Teoria das Filas
Quando os estudos se referirem a programação do atendimento dos elementos que
chegam na fila, considerando o tempo de espera e a quantidade, de acordo com uma
expectativa. Esses sistemas sujeitos á teoria podem ter uma fila ou uma estação, duas filas e
uma estação, duas estações e uma fila, ou seja, várias combinações. Como exemplo pode-se
destacar: carga e descarga de caminhões; controle de pedágio, troncos telefônicos; caixas de
supermercados; tráfego de veículos, de embarcações, de aviões; atendimento em hospitais, etc.
3.4 Análise de Sensibilidade de Funções Contínuas
A análise de sensibilidade permite se verificar a precisão de dados e do modelo utilizados,
como também permite conhecer o nível de afastamento possível da solução tida como ótima.
Considerando, ainda a impossibilidade de se quantificar completamente todas as variáveis do
modelo, a análise alerta sobre aquelas que merecem uma melhor atenção.
3.5 Modelos de Transportes e Designação
Objetiva minimizar os custos, tendo em vista existirem muitos centros fornecedores e
muitos centros consumidores, sendo conhecidas as quantidades disponíveis na origem e no
destino. Na resolução de problemas dessa natureza, cada origem corresponde a um destino.
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Um exemplo pode ser fornecido como o caso da distribuição de mão-de-obra de forma a obter
uma eficiência máxima, a partir da designação de suas tarefas.
3.6 Programação Linear
O modelo visa determinar o valor ótimo de uma função linear, dando um conjunto de
restrições lineares de natureza estrita e não estrita.
É pois, um modelo matemático de
programação linear o qual é composto de uma função objetivo a de restrições técnicas
representadas por um grupo de inequações também lineares. A função objetivo mede a
eficiência e desempenho do sistema (no caso de maximização mede a geração de lucro). As
restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas
pelo sistema. Existem ainda outras restrições que exigem a não negatividade das variáveis de
decisão, o qual deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de programação
linear.
Não há uma regra fixa para esse trabalho, porém existe um roteiro que ajuda o
raciocínio, por exemplo:
•
Quais as variáveis de decisão ? Indicam as quantidades a produzir, decisões de
investimento – É a pergunta do problema.
•
Qual o objetivo ? Expressão que calcula o valor do objetivo – lucro, prejuízo,
custo, receita, etc
•
Quais as restrições ?
Expressam como uma relação linear de igualdade ou
desigualdade – quantidades, necessidades mínimas, distância a percorrer, etc.
3.7 Programação Não-Linear
A programação não-linear visa determinar o valor ótimo de uma função não linear (um
máximo e um mínimo) dado um conjunto de restrições lineares ou não lineares de natureza
estrita ou não estrita. Dependendo da forma de apresentação do problema podemos utilizar
vários métodos, como o método de Lagrange, o método de Gradiente, o método de Newton e os
Testes de Otimalidade pelas condições de Kunh-Tucker.
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3.8 Programação Dinâmica
É uma programação aplicável á otimização de eventos que sofrem uma seqüência de
estados, podendo ser aplicada a sistemas lineares ou não lineares.
3.9 Teoria das Redes
Envolve o estudo das atividades, de forma a se obter uma base para a tomada de decisões
quanto ao tempo, custo e áreas críticas. É o caso do estudo de atividades de rede como o PERT
(Program Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method).
3.10
Teoria dos Jogos
Tem larga aplicação em leilões, operações de bolsa de valores e de mercadorias.
Utilizado em eventos para os quais as regras estejam claramente definidas e na condição de se
otimizar os resultados.
3.11
Médoto de Monte Carlo
É um processo de simulação com tabelas de números aleatórios, formando-se uma
distribuição de probabilidade. Dada a sua complexidade é utilizado quando não se concebe um
modelo que possa descrever o sistema.
4
EXEMPLO NUMÉRICO DAS TÉCNICAS UTILIZADAS
O exemplo que será descrito, foi desenvolvido com a utilização do comando SOLVER do
programa Excel 2000, que pode ser entendido como importante aliado na solução de problemas
que envolvam a programação linear. O estudo feito parte do pressuposto de que é viável
projetar modelos de decisão eficazes, que apóiem o processo de gestão, através de um conjunto
de premissas e requisitos lógicos e estruturados com conceitos adequados, que espelhem a
realidade físico-operacional da organização. O objetivo principal é achar a melhor utilização
dos recursos disponíveis, que são geralmente limitados, procurando determinar a melhor
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programação otimizada que possa gerar o máximo de lucro para a empresa. De acordo com
Garcia (1997), “ geralmente uma decisão está ligada ao objetivo de minimizar custos ou
maximizar lucros, sob condições restritivas de recursos, mercado, políticas, dentre outras “.
Assim, durante o processo de estudo, é fundamental a correta identificação do objetivo a ser
alcançado, pois é a partir deste que o modelo será concebido. As alternativas de decisão e as
limitações existentes devem ser explicadas em sua plenitude, cujas inobservâncias podem
invalidar as soluções obtidas durante o processo. O modelo de otimização procura identificar a
melhor alternativa de ação. São utilizados na tentativa de solucionar problemas onde as
variáveis podem assumir um número elevado de valores. A solução ótima encontrada será
utilizada como referência para a decisão real. Os principais passos, os quais serão utilizados no
exemplo numérico, para a construção de um modelo, são:
• definição do problema
• identificação das variáveis relevantes
• formulação da função objetivo
• formulação das restrições
• escolha do método matemático de solução
• aplicação do método de solução
• análise avaliação da solução
4.1 Maximização do Lucro
Para o desenvolvimento e realização desse exemplo, é necessário fixar algumas hipóteses
iniciais:
•
O modelo é válido por uma unidade de tempo – dia, semana, mês, visto não
existir variação de custos e preços na unidade de tempo considerado
•
Os preços são constantes tanto no lado da demanda como da oferta, visto que a
variação de preço exigiria um modelo não linear
•
Os custos reagem de maneira linear, alguns estritamente variáveis, outros fixos e,
ainda, outros terem variação mista
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•
A hipótese linear é plenamente justificada porque se o preço varia no tempo,
sempre é possível maximizar os objetivos, podendo segmentar o tempo quando o
preço for fixo, daí maximizar o lucro para cada segmento. Se o preço variar em
relação á quantidade ofertada é possível criar restrições correspondente a essa
variação e encontrar o ponto ótimo para cada nível de preço ofertado.
Considerando as restrições que normalmente surgem nos empreendimentos de natureza
econômica (restrições de capacidade), investimentos são realizados tendo em vista a atividade
fim, havendo pois, restrições á capacidade produtiva e de venda, ou seja, no processo de
produção (interno) e no mercado (externo), onde a empresa produz e vende.
Nesse momento, tem-se restrições dos tipos:
- Horas máquinas disponíveis limitadas ás quantidades de equipamentos existentes
- Horas de mão-de-obra especializada que estão disponíveis
- Quantidade de matéria-prima a ser encontrada pode ser limitada
- Escassez de energia impulsionadora
- Recursos próprios limitados ou obtenção de recursos a valores não recomendáveis
Conseqüentemente, o problema inicial da determinação do lucro máximo é a identificação
dos fatores que restringem a capacidade da empresa em produzir e vender. Um segundo
problema que poderá advir é a definição da função objetivo (além desses, pode ser incorporado
outros objetivos como o religioso, artístico, educacional, esportivo, etc, desde que surjam como
redutores da margem de lucro).
A escolha do sistema de acumulação dos custos pode influenciar na determinação do
valor dos custos. Segundo Padoveze (2000), “ método de custeio indica quais os custos devem
fazer parte da apuração do custo dos produtos “.
O custeio por Absorção adota a sistemática levando-se em conta que todos os custos são
absorvidos pela produção, logo, admite o rateio dos custos indiretos e dessa forma, apresenta-se
inadequado em muitas circunstâncias como instrumento gerencial de tomada de decisão a curto
prazo, pois tem uma dificuldade de tratamento a ser dado aos custos fixos, que podem levar a
alocações arbitrárias e enganosas. Outra rejeição por esse critério é que ele não permite avaliar
a margem de contribuição de cada produto, dentro do processo produtivo.
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Na formulação do modelo a ser ilustrado, utilizar-se-á o método do custeio variável, pois
além de identificar a margem de contribuição unitária por produto, os custos de produção estão
intimamente relacionados com o produto e variam com o volume do parâmetro escolhido.
Outra vantagem dessa escolha é que a programação linear busca um valor ótimo em
pontos extremos de um conjunto convexo, cujas relações entre as variáveis são precipuamente
lineares, isto é, o que importa na decisão é a relação entre as margens de contribuição advindas
dos preços e os custos variáveis de produção. Nos exemplos que envolvam períodos de longo
prazo, é necessário segmentar os períodos, para os quais não haja variação de custos e preços
de forma relevante.
4.2 Minimização dos Custos
O exercício a ser desenvolvido é o mesmo anteriormente ilustrado.
Essa opção visa
estabelecer a comparação entre a maximização do lucro e a minimização dos custos.
A função objetivo da minimização dos custos é a seguinte:
CDVu_ X_Qde Produzida = 50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 800 X4 + 650 X5 + 100.000
As análises dos relatórios estão comentadas nos relatórios de respostas gerados pelo
Excel.
5 CONCLUSÃO
Administrar com eficiência os recursos disponíveis na empresa, através do planejamento,
controle e execução das atividades relacionadas á utilização destes, é fator fundamental na
busca da otimização do resultado global da empresa. A programação linear juntamente com as
técnicas de pesquisa operacional, permite identificar o resultado ótimo, considerando todas as
restrições impostas no modelo adotado.
Assim, o resultado ótimo esperado é possível
acontecer, visto que os vários cenários que serão analisados têm o objetivo de definir a política
de ação da organização. Espera-se que com a utilização da pesquisa operacional, utilizando-se
do comando SOLVER do programa Excel, para solução de problemas que envolvam a procura
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de solução ótima, tem o propósito de, exclusivamente, direcionar os gestores na tomada de
decisões que visam otimizar o resultado da empresa.
Considera-se que a contabilidade tem papel relevante como sistema de informação para a
administração de recursos escassos á disposição da empresa, necessário e urgente se faz a
utilização de ferramental que possa contribuir para a redução de custos de processamento e
aumentar a competitividade da organização.
A contabilidade, pois, como maior banco
fornecedor de informações relevantes, interna e externamente, não pode ficar omissa em
relação aos novos instrumentos de apoio a gestão, devendo aplica-los juntamente com outras
tantas técnicas contábeis, para melhor informar o usuário e constituir-se numa potente área de
linguagem dos negócios.
Linear programming: Maximization of Profit and
Minimization of Costs
Abstract:
The present article demonstrates the importance of the linear programming as support tool for the
solution of problems in the area of costs in the organizations. To reach your objectives the companies
they should be attentive ace several restrictions, so much at internal level, as resultants of external factors,
established, among other, for the market. Like this, taking into account the competitiveness and the
existent restrictions to the reach your goal, becomes necessary to optimize the existent available resources
in way to maximize results or to minimize costs. It is on that moment that the linear programming
appears, aiding in the accomplishment of mathematical calculations which consolidate that end.
Therefore, that constitutes the focus of that article, which, it begins for theoretical studies concerning the
matter, going until the illustrative and didactic presentation of practical case.
Keywords: Linear programming, Operation research, Optimization, Spreadsheet.
REFERÊNCIAS
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Gráfica Editora do Brasil, 1974.
CHIAVENATO, Idalberto, Introdução á Teoria Geral da Administração, São Paulo: McGraw-Hill do
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Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
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Mccloskey, Joseph F. e TREFLETHEN, Florence, N., Pesquisa Operacional como Instrumento de
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MEGGISON, Leon, MOSLEY, Donald e PETRI Jr. Paul H., Administração: Conceitos e Aplicações, São
Paulo: Harbra, 1986
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PADOVEZE, Clovis L, Contabilidade Gerencial, São Paulo: Atlas, 2000
_______________ O Paradoxo da Utilização do Método do Custeio de Custeio: Variável versus
Absorção, RBC/SP – nº 12 – junho 2000
RAMALHETE, Manuel, GUERREIRO, Jorge e MAGALHÃES, Alípio , Programação Linear, Volume
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SHAMBLIN, James E. e STEVENS Jr., G.T., Pesquisa Operacional – uma abordagem básica. São
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WAGNER, Harvey M., Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1986
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Anexo- MAXIMIZAÇÃO DE MULTIPRODUTOS COM RESTRIÇÕES
Um Exemplo ilustrativo
Uma empresa produz e vende cinco produtos. Os preços, custos e despesas são:
Produto
Produto
Produto
Produto
Produto
Produto
Alfa
Beta
Delta
Gama
Sigma
Preço de venda
100,00
200,00
500,00
1000,00
800,00
Custo e despesa variáveis
50,00
100,00
250,00
800,00
650,00
A partir deste mês a empresa formalizou um contrato de entrega de 1.000 produtos Alfa,
projetando a venda máxima de mais 4.000 unidades do produto, para os meses seguintes. O
produto Sigma é fabricado especialmente para atender o mercado fora do Estado e é vendido
para um cliente específico, numa quantidade fixa de 120 unidades por mês. Os outros três
produtos (Beta, Delta e Gama),
têm grande procura, de modo que qualquer quantidade
produzida é absorvida pelo mercado.
O processamento de fabricação passa por três
departamentos, cuja produção é limitada pela utilização de horas-máquinas disponíveis. No
quadro abaixo, é apresentado os coeficientes de utilização por unidade produzida de cada
produto.
Departamento
Produto
Hs Máq. p/unidade
Depto A
Hs Máq. p/unidade
Depto B
Hs Máq. p/unidade
Depto C
Produto Alfa
Produto Beta
Produto Delta
Produto Gama
Produto Sigma
Hs máq. disponível
1
2
4
15
10
3.000 hs
2
1
2
10
6
3.800 hs
1
1
3
5
4
2.700 hs
Os custos e despesas fixos para o presente mês deve importar em 100.000,00. A gerência
administrativa da empresa quer conhecer qual deve ser a produção do mês deste mês, em termos de
combinação dos cinco produtos que venham a apresentar o melhor resultado operacional possível (maior
lucro), nas condições de produção, custos, despesas e vendas programadas.
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SOLUÇÃO
O primeiro passo é formular o problema a fim de identificar a função objetivo e as
restrições. As quantidades produzidas e vendidas de cada produto podem ser representadas
assim:
X1 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Alfa
X2 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Beta
X3 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Delta
X4 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Gama
X5 = Quantidade produzida e vendida dos produtos Sigma
A função objetivo deve considerar as margens de contribuição unitária de cada produto e
os custos de despesas variáveis, ou seja: MCu = PVu - CDVu . Assim, para otimizar a
função, isto é, maximizar o resultado temos:
Y =
50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 200 X4 + 150 X5 - 100.000
Identificando as restrições que estão envolvendo o sistema:
a) Restrição de demanda:
X1 ≥ 1000 (quantidade a ser vendida neste mês do produto Alfa)
X1 ≤ 5000 (quantidade máxima a ser vendida nos próximos meses do produto Alfa)
X5 = 120 (quantidade fixa de venda do produto Sigma)
Restrições de capacidade fabril:
X1 + 2X2 + 4X3 + 15X4 + 10X5 ≤ 3000 (Hs Máq. disponíveis no Depto A)
2X1 + X2 + 2X3 + 10X4 + 6X5
≤ 3800 (Hs Máq. disponíveis no Depto B)
X1 + X2 + 3X3 + 5X4 + 4X5 ≤ 2700 (Hs Máq. disponíveis no Depto C)
Condições Obrigatórias:
X1 ≥ 0;
X2 ≥ 0;
X3 ≥ 0;
X4 ≥ 0;
X5 ≥ 0
36
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O modelo completo seria:
Maximizar Y =
50 X1 + 100 X2 + 250 X3 + 200 X4 + 150 X5 - 100.000
Sujeito a:
X1 + 2 X2 +
4 X3 + 15 X4 + 10 X5 ≤ 3000
2 X1 +
X2 +
2 X3 + 10 X4 + 6 X5 ≤ 3800
X1 +
X2 +
3 X3 + 5 X4 + 4 X5 ≤ 2700
X1
≤ 5000
X1
≥ 1000
X5
= 120
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0; X4 ≥ 0; X5 ≥ 0;
Figura 2 - Dados Originais para Otimização de Resultados
Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
37
Figura 3 - Relatório de Respostas – Maximização de Resultados
A partir dos dados originais fornecidos, é solicitado o comando SOLVER.
Após
inseridos os dados (células para resultado e as restrições), o programa encontra uma solução e
gera três relatórios:
1. Relatório de resposta
2. Relatório de sensibilidade
3. Relatório de limites
38
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Figura 4 - Relatório de Respostas - Maximização de Resultados
Restrições
Célula Nome
$B$13 HM Depto A
$C$13 HM Depto A
$D$13 HM Depto A
$E$13 HM Depto A
$F$13 HM Depto A
Valor da célula
1000
0
800
0
1200
Fórmula
$B$13<=3000
$C$13<=3000
$D$13<=3000
$E$13<=3000
$F$13<=3000
Status
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
$G$13 HM Depto A - Total TOTAL
3000
$G$13<=$G$9
Agrupar
$G$14 HM Depto B - Total TOTAL
$B$14 HM Depto B - Total Alfa
$C$14 HM Depto B - Total Beta
3120
2000
0
$G$14<=$G$10
$B$14<=3800
$C$14<=3800
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
- Total Alfa
- Total Beta
- Total Delta
- Total Gama
- Total Sigma
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$D$14
$E$14
$F$14
$B$15
$C$15
$D$15
$E$15
$F$15
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
-
Total Delta
Total Gama
Total Sigma
Total Alfa
Total Beta
Total Delta
Total Gama
Total Sigma
$G$15
$F$2
$B$2
$D$2
$C$2
$B$2
$B$2
$E$2
$F$2
HM Depto C - Total TOTAL
Qde Vendida Sigma
Qde Vendida Alfa
Qde Vendida Delta
Qde Vendida Beta
Qde Vendida Alfa
Qde Vendida Alfa
Qde Vendida Gama
Qde Vendida Sigma
400
0
720
1000
0
600
0
480
$D$14<=3800
$E$14<=3800
$F$14<=3800
$B$15<=2700
$C$15<=2700
$D$15<=2700
$E$15<=2700
$F$15<=2700
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
2080
120
1000
200
0
1000
1000
0
120
$G$15<=$G$11
$F$2>=0
$B$2<=5000
$D$2>=0
$C$2>=0
$B$2>=1000
$B$2>=0
$E$2>=0
$F$2=120
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Sem agrupar
Agrupar
Agrupar
Sem agrupar
Agrupar
Sem agrupar
No relatório de resposta do período,
39
pode-se verificar que a combinação ótima de
produção e venda é: 1000 produtos Alfa, 200 produtos Beta e 120 produtos Sigma
Observa-se que a célula de destino evidencia-se o valor otimizado da Margem de
Contribuição Total (Lucro máximo a ser obtido), considerando as vendas contratadas. O valor
inicial é zero (sem vendas) e valor final igual a 18.000,00. Nas células ajustáveis, apresenta o
valor inicial e final de cada produto em quantidades vendidas, observadas as condições de
maior margem de contribuição. Na coluna Restrições, apresenta uma coluna de posição para
cada item com a identificação de cada recurso utilizado correspondente, outra coluna identifica
o valor de cada recurso com a respectiva fórmula de máximo e mínimo a ser utilizado de cada
um. A outra coluna indica se os recursos foram totalmente utilizados e os recursos que
apresentam folga em sua utilização – coluna chamada status.
Na
coluna chamada
Transigência, observa-se que as folgas de horas máquinas nos Departamentos foram:
40
Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
Depto A ........ Não houve folga
Depto B ........ 680 horas de folga
3800 horas - (2X1 + X2 + 2X3 + 10X4 + 6X5)horas
3800 horas - (2000 + 0 + 2 x 200 + 10 x 0 + 6 x 120)
3800 horas - 3120 horas = 680 horas de folga
Depto C ...... 620 horas de folga
2700 horas - (X1 + X2 + 3X3 + 5X4 + 4X5)
2700 horas - (1000 + 0 + 3 x 200 + 5 x 0 + 4 x 120) horas
2700 horas - 2080 horas = 620 horas de folga
Observa-se que o lucro máximo possível é de 18.000,00, conforme se comprova:
Lucro = 50X1 + 100X2 + 250X3 + 100X4 + 150X5 - 100.000
Lucro = 50 X 1000 + 100 X 0 + 250 X 200 + 100 X 0 + 150 X 120 - 100.000
Lucro = 18.000,00
Figura 5 – Relatório de Sensibilidade – Maximização de Resultados
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Célula
$B$13
$C$13
$D$13
$E$13
$F$13
$G$13
$G$14
$B$14
$C$14
$D$14
$E$14
$F$14
$B$15
$C$15
$D$15
$E$15
$F$15
$G$15
Nome
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
- Total Alfa
- Total Beta
- Total Delta
- Total Gama
- Total Sigma
- Total TOTAL
- Total TOTAL
- Total Alfa
- Total Beta
- Total Delta
- Total Gama
- Total Sigma
- Total Alfa
- Total Beta
- Total Delta
- Total Gama
- Total Sigma
- Total TOTAL
41
Multiplicador
Valor Final de Lagrange
1000
0
0
0
800
0
0
0
1200
0
3000
62,5
3120
0
2000
0
0
0
400
0
0
0
720
0
1000
0
0
0
600
0
0
0
480
0
2080
0
O relatório de sensibilidade identifica os seguintes itens:
Na tabela células ajustáveis as colunas indicam a quantidade a ser produzida e vendida
de cada produto (valor final). O valor reduzido indica o ganho perdido por unidade produzida e
vendida do produto que está correspondente na mesma linha.
O relatório de sensibilidade procura evidenciar as taxas de substituição entre as variáveis
decisórias de folga. Assim, cada hora de folga no Depto A, custa ao lucro o equivalente a
12,50. Uma unidade de folga no Depto A exige 0,25 unidades de produto Delta e 0,1 de
produtos Sigma (1 hora em Alfa = 4 horas em Delta = 10 horas em Sigma).
Na tabela Restrições são evidenciados, na primeira coluna a célula correspondente ás
restrições impostas no problema e o recurso que sofrerá a restrição. Na coluna valor final,
indica o tempo máximo a ser utilizado em cada área. Na última coluna é indicado o ganho total
obtido pela solução ótima encontrada (maior margem de contribuição considerando o mix de
produtos) .
42
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Figura 6 - Relatório de Limites - Maximização de Resultados
O relatório de limites apresenta os dados já analisados nos relatórios anteriores, com
exceção da coluna destino/resultado, que representa o quanto seria o ganho se a produção do
produto da linha correspondente fosse igual a zero. No exemplo os produtos Beta e Gama não
afetaram o resultado ótimo que foi de 18.000,00 para o lucro otimizado.
Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
43
Figura 7 - Relatório de Resposta - Minimização de Custos
Para o período atual o relatório de resposta criado pelo SOLVER, no caso de minimização
de custos é:
Produção e venda de 1000 produtos Alfa
Produção e venda de 120 produtos Sigma
O menor custo de produção possível (minimização de custos), é dado por
Y = CDVu ( X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ) + CF
Y = 50 (1000) + 100 (0) + 250 (0) + 800 (0) + 650 (120) + 100.000
Y = 50.000 + 78.000 + 100.000 Y = 228.000
44
Revista Científica da Faculdade Lourenço Filho - v.6, n.1, 2009
Observa-se que minimizando os custos totais há folga de horas nos Departamentos A, B e
C, como especifica o relatório:
Depto A ........... 3000 hs – ( X1 + 2 X2 + 4 X3 +15 X4 +10 X5 )
3000 hs – (1000 + 2 x 0 + 4 x 0 + 15 x 0 + 10 x 120)
3000 hs – 2200 hs = 800 hs
Depto B ………. 3800 hs – (2 X1 + X2 + 2 X3 +10 X4 +6 X5 )
3800 hs – (2 x 1000 + 0 + 2 x 0 + 10 x 0 + 6 x 120)
3800 hs – 2720 hs = 1080 hs
Depto C ........... 2700 hs – ( X1 + X2 + 3 X3 + 5 X4 +4 X5 )
2700 hs – (1000 + 0 + 3 x 0 + 5 x 0 + 4 x 120)
2700 hs – 1480 hs = 1220 hs
Figura 8 - Relatório de Resposta – Minimização de Custos
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Célula
$G$18
$B$17
$C$17
$D$17
$E$17
$F$17
$B$18
$C$18
$D$18
$E$18
$F$18
$B$19
$C$19
$D$19
$E$19
$F$19
$G$17
$G$19
$D$2
$B$2
$B$2
$C$2
$E$2
$F$2
$B$2
$F$2
Valor da
Nome
célula
HM Depto B - Total
TOTAL
2720
HM Depto A - Total ALFA 1000
HM Depto A - Total BETA
0
HM Depto A - Total
DELTA
0
HM Depto A - Total
GAMA
0
HM Depto A - Total
SIGMA
1200
HM Depto B - Total
ALFA
2000
HM Depto B - Total
BETA
0
HM Depto B - Total
DELTA
0
HM Depto B - Total
GAMA
0
HM Depto B - Total
SIGMA
720
HM Depto C - Total ALFA1000
HM Depto C - Total
BETA
0
HM Depto C - Total
DELTA
0
HM Depto C - Total
GAMA
0
HM Depto C - Total
SIGMA
480
HM Depto A
- Total
TOTAL
2200
HM Depto C - Total
TOTAL
1480
Qde Vendida DELTA
0
Qde Vendida ALFA
1000
Qde Vendida ALFA
1000
Qde Vendida BETA
0
Qde Vendida GAMA
0
Qde Vendida SIGMA
120
Qde Vendida ALFA
1000
Qde Vendida SIGMA
120
Fórmula
Status
Transigência
$G$18<=$G$14 Sem agrupar 1080
$B$17<=3000 Sem agrupar 2000
$C$17<=3000 Sem agrupar 3000
$D$17<=3000
Sem agrupar 3000
$E$17<=3000
Sem agrupar 3000
$F$17<=3000
Sem agrupar 1800
$B$18<=3800
Sem agrupar 1800
$C$18<=3800
Sem agrupar 3800
$D$18<=3800
Sem agrupar 3800
$E$18<=3800 Sem agrupar
3800
$F$18<=3800 Sem agrupar
$B$19<=2700 Sem agrupar
3080
1700
$C$19<=2700 Sem agrupar
2700
$D$19<=2700 Sem agrupar
2700
$E$19<=2700 Sem agrupar
2700
$F$19<=2700
2220
Sem agrupar
$G$17<=$G$13 Sem agrupar
800
$G$19<=$G$15 Sem agrupar
$D$2>=0
Agrupar
$B$2>=0
Sem agrupar
$B$2>=1000 Agrupar
$C$2>=0
Agrupar
$E$2>=0
Agrupar
$F$2=120
Sem agrupar
$B$2<=5000 Sem agrupar
$F$2>=0
Sem agrupar
1220
0
1000
0
0
0
0
4000
120
45
46
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Figura 9 – Relatório de Sensibilidade
Restrições
Célula
$G$18
$B$17
$C$17
$D$17
$E$17
$F$17
$B$18
$C$18
$D$18
Nome
HM Depto B
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto A
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto B
- Total TOTAL
- Total ALFA
- Total BETA
- Total DELTA
- Total GAMA
- Total SIGMA
- Total ALFA
- Total BETA
- Total DELTA
Final Lagrange
Valor Multiplicador
2720 0
1000 0
0
0
0
0
0
0
1200 0
2000 0
0
0
0
0
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$E$18
$F$18
$B$19
$C$19
$D$19
$E$19
$F$19
$G$17
$G$19
HM Depto B
HM Depto B
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto C
HM Depto A
HM Depto C
- Total GAMA
- Total SIGMA
- Total ALFA
- Total BETA
- Total DELTA
- Total GAMA
- Total SIGMA
- Total TOTAL
- Total TOTAL
0
720
1000
0
0
0
480
2200
1480
47
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Figura 10 - Relatório de Limites - Minimização de Custos
A análise dos três relatórios (Resposta, Sensibilidade e Limites) foram comentados no
mesmo exemplo numérico - Maximização de resultado. Entretanto, pode-se observar que no
relatório de resposta é apresentado na célula de destino o resultado da Minimização dos custos
totais, ao invés da maximização do resultado (otimizado). A análise do restante dos dados não
difere da análise já considerada.
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Afonso Celso Pagano Frossard
Contador e Mestre em Contabilidade - FEA/USP
Professor da Faculdade Lourenço Filho
e-mail: [email protected]