mat9 – probabilidade
Experiência aleatória
Realização de um fenómeno aleatório e observação de
resultados. Neste tipo de experiências:
 conhecemos todos os seus possíveis resultados antes de
realizar a experiência
 a experiência pode ser repetida em condições idênticas
 cada vez que se realiza a experiência não se sabe qual dos
possível resultados irá ocorrer
Experiência determinista
Consiste na realização de uma experiência em que se sabe
antecipadamente qual o resultado




Espaço de resultados
É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma
experiência aleatória.
Pode-se chamar espaço de resultados ou espaço amostral e
representa-se habitualmente por S ou Ω
Acontecimento
É um conjunto de resultados do espaço amostral.
Exemplos
Lançamento de um dado equilibrado e registar o número
de pintas da face que fica voltada para cima
Atirar uma moeda ao ar e registar a face que fica voltada
para cima
Deixar cair um ovo no chão de um segundo andar e ver se
parte. (sabemos que o ovo se irá partir)
Atirar uma pedra ao mar e verificar se esta vai ao fundo

Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face
voltada para cima.
S  1, 2,3, 4,5, 6

Lançar uma moeda ao ar e registar a face que fica voltada
para cima.
S   face europeia, face nacional
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Sair face par A  2, 4, 6 é um acontecimento.
Acontecimento elementar
É um acontecimento que tem um único elemento do espaço
de resultados.
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Sair um número inferior a 2 B  2, 4, 6 é um acontecimento
elementar.
Acontecimento composto
É um acontecimento que tem 2 ou mais elementos do espaço
de resultados.
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Sair um número inferior a 4 C  1, 2,3 é um acontecimento
composto.
Acontecimento impossível
É um acontecimento que não tem elementos do espaço de
resultados. Representa-se por   ou  .
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Sair um número maior do que 6 D  
acontecimento impossível.
Acontecimento certo
É um acontecimento que tem todos os elementos do espaço de
resultados.
 ou D  
é um
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Sair um número menor do que 7 E  1, 2,3, 4,5,6 é um
acontecimento certo.
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mat9 – probabilidade
Acontecimento complementar
Acontecimento complementar de A é um acontecimento que
tem todos os resultados de S à exceção dos que estão em A.
Representa-se por A
Exemplos
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
O complementar do acontecimento A  1,3,5 é
A  2, 4, 6
Acontecimento interseção
Acontecimento interseção de dois acontecimentos A e B é
constituído por todos os resultados que pertencem
simultaneamente a A e a B, representa-se por A  B .
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Se A  1,3,5 é B  1, 2, 4 , então A  B  1
Acontecimento união
Acontecimento união de dois acontecimentos A e B é
constituído por todos os resultados de A e de B, representa-se
por A  B .
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Se A  1,3,5 é B  1, 2, 4 , então A  B  1, 2,3, 4,5
Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos
A e B são dois acontecimentos disjuntos ou mutuamente
exclusivos quando A  B é um acontecimento impossível.
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Se A  1,3,5 é B  2, 4, 6 , então A  B  
Probabilidade frequencista
A probabilidade de um acontecimento A é o valor para o qual
a frequência relativa de A tende a estabilizar para um número
suficientemente grande de realizações, independentes e
sempre nas mesmas condições.
Regra de Laplace
A probabilidade de um acontecimento A associado a um
espaço de resultados S, com n casos igualmente possíveis, é
igual à razão entre o número de m de resultados favoráveis a
A e o número n de resultados possíveis da experiência
m
aleatória. Escreve-se P  A  
n
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
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Se lançarmos o dado 100 vezes o número 2 irá sair em cerca
de 33 lançamentos, se lançarmos 600, terá tendência em sair
100 vezes e quanto maior foi o número de lançamentos mais
1
próximo de
estará o resultado, por isso podemos afirmar
6
1
que a probabilidade de sair o número 2 será de .
6
Num lançamento de um dado equilibrado com as faces
numeradas de 1 a 6 e registando-se o número da face voltada
para cima temos:
S  1, 2,3, 4,5, 6
Qual probabilidade de lançar o dado e sair um número menor
do que 3?
Casos possíveis: 6 (número de elementos do espaço de
resultados)
Casos favoráveis: 2 (números menores do que 3 que são
elementos do espaço de resultados são o 1 e o 2)
2 1
P  sair menor que 3  
6 3
2/3
mat9 – probabilidade

Propriedades da probabilidade
A probabilidade de qualquer acontecimento A, P  A  , é
Exemplos
0  P  A  1

A probabilidade de um acontecimento impossível é zero.
P   0

A probabilidade de um acontecimento certo é 1. P  S   1

A probabilidade do acontecimento complementar a A é
P  A   1  P  A

Dados dois acontecimentos do espaço de resultados, A e
B, disjuntos, então a probabilidade de A ou B se realizarem
é P  A  B   P  A  P  B 

Dados dois acontecimentos do espaço de resultados, A e
B, então a probabilidade de A ou B se realizarem é
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
Probabilidade de experiências compostas
Na maioria dos casos a construção de tabelas ou diagramas
em árvores pode facilitar o cálculo de probabilidades.
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Lançou-se um dado 2 vezes, registou-se o número da face que
ficou voltada para cima em cada uma das vezes e somou-se os
resultados.
Qual a probabilidade da soma ser 5?
+
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
1
3
4
5
6
7
8
2
4
5
6
7
8
9
3
5
6
7
8
9
10
4
6
7
8
9
10
11
5
7
8
9
10
11
12
6
Número de casos possíveis: 36
Número de casos favoráveis: 4
4 1
Probabilidade: P  5  

36 9
3/3